2 (2016 3Q N) c = o (11) Ax = b A x = c A n I n n n 2n (A I n ) (I n X) A A X A n A A A (1) (2) c 0 c (3) c A A i j n 1 ( 1) i+j A (i, j) A (i, j) ã i

(1)

[

前期の復習

]

行列の基本変形．

m

× n

行列

A

を

A =





a

11

· · ·

a

1n

..

.

..

.

am1

· · · amn





とし，

A

の行ベクトル分割を

A =





a

1

..

.

a

n





とします．行列

A

の行基本変形とは，次の３つの操作のことです．

(1) A

のある２つの行を入れ換える．

(a

i

↔ aj,

第

i

行と第

j

行以外は不変

).

(2) A

のある行に零ではない定数を掛ける．

(a

i

→ cai

, c

̸= 0,

第

i

行以外は不変

).

(3) A

のある行に別の行の定数倍を加える．

(a

i

→ ai

+ ca

j

, j

̸= i,

第

i

行以外は不変

).

ここで「行」を「列」で置き換えたものを列基本変形と呼びます．行列の階数．行列

A

に行基本変形を繰り返し行い，次のような階段行列に変形します．







O

1 A

11

0 A

12

0 ∗ 0 A

1k

0 O

1 A

22

0 ∗ 0 A

2k

0 O

1 ∗ 0 A

3k

0 ..

.

..

.

1 A

rk

O







このときの零ベクトルではない行ベクトルの数

(

行の左端の

“1”

の数，あるいは基本ベクトルとなっている列ベクトルの数

)

を

A

の階数といい，

rank A

で表します．連立１次方程式．

x

1

, . . . , xn

を変数とする連立１次方程式

(1.1)







a

11

x

1

+

· · · + a

1n

xn

= b1

..

.

am1x

1

+

· · · + amnxn

= b

m に対して

m

× n

行列

A

とベクトル

b, x

を

A =





a

11

· · ·

a

1n

..

.

..

.

am1

· · · amn



 , b =





b

1

..

.

bm



 , x =





x

1

..

.

xn





とおきます．このとき連立１次方程式

(1.1)

は

Ax = b

と表されます．

A

と

b

を並べてできる

m

× (n + 1)

行列

A = (A

e

| b)

を拡大係数行列と呼びます．

A

e

を行基本変形して

(A

′

| c) =







1 A

11

0 A

12

0 ∗ 0 A

1k

c

1

0 O

1 A

22

0 ∗ 0 A

2k

c

2

0 O

1 ∗ 0 A

3k

c

3

0 ..

.

..

.

..

.

1 Ark

cr

O

c

′







1

(2)

となったとき，

c

′

= o

であれば

(1.1)

は解を持ち，

Ax = b

の解は方程式

A

′

x = c

の解と一致します．逆行列．

A

を

n

次正方行列，

I

n を

n

次単位行列とします．

n

× 2n

行列

(A

| In

)

を行基本変形して

(I

n

| X)

と左半分を単位行列に変形できたとき，

A

は正則で

A

の逆行列は

X

です．行列式．

A

を

n

次正方行列とします．

A

の行列式

|A|

は

A

の基本変形によって

(1)

行または列を入れ換えると符号が変わる．

(2)

行または列を

c

̸= 0

倍すると，行列式も

c

倍される．

(3)

ある行に別の行の

c

倍を加えても行列式は変わらない．列に関しても同様．となります．また

A

に対して

A

の第

i

行と第

j

列を除いてできる

n

− 1

次行列の行列式の

(

−1)

i+j 倍を

A

の

(i, j)

余因子といいます．

A

の

(i, j)

余因子を

aij

f

とおくと行列式

|A|

は

|A| =

n

∑

k=1

a

ik

ea

ik

=

n

∑

k=1

a

kj

ea

kj と余因子展開できます．特に基本変形と組み合わせて

a

11

a

12

· · · a

1n

0 a

22

· · · a

2n

..

.

..

.

..

.

0 an2

· · · ann

=

a

11

0 · · ·

0 a

21

a

22

· · · a

2n

..

.

..

.

..

.

an1

an2

· · · ann

= a

11

a

22

· · · a

2n

..

.

..

.

an2

· · · ann

と次数を下げることができます．写像

f : A

→ B

を写像とします．つまり全ての

A

の要素

a

に対して，

B

の要素

f (a)

が１つ定められているとします．

(1)

任意の

b

∈ B

に対して

b = f (a)

をみたす

a

∈ A

が存在するとき

f

は全射であるといいます．

(2) a, a

′

∈ A

が

a

̸= a

′ であるとき常に

f (a)

̸= f(a

′

)

をみたすとき

f

は単射であるといいます．したがって

f : A

→ B

が単射

⇐⇒ a ̸= a

′ ならば

f (a)

̸= f(a

′

)

⇐⇒ f(a) = f(a

′

)

ならば

a = a

′

が成り立ちます．

f

が全射かつ単射であるとき，単に

f

は全単射であるといいます．写像

f : A

→ B, b ∈ B

に対して集合

f

−1

(b)

を

f

−1

(b) =

{a ∈ A | f(a) = b} ⊂ A

で定め，これを

f

による

b

∈ B

の逆像と言います．

f

が全単射ならば

f

−1 は写像になり，対応

f

−1

: B

→ A

を

f

の逆写像といいます．また

B

の部分集合

S

に対して

f

−1

(S) =

{a ∈ A | f(a) ∈ S} ⊂ A

を

f

による

S

の逆像といいます．

(3)

[

ベクトル空間

]

以下

K

を

R (

実数全体のなす集合

)

または

C (

複素数全体のなす集合

)

とし，

K

n を

n

次元ベクトル全体のなす集合

(

したがって

R

n または

C

n，以下同じ

)

とします．

x = (x

i

), y = (y

i

)

∈ K

n

, λ

∈ K

とします．集合

K

n には和

x + y = (x

i

+ y

i

)

∈ K

n と定数倍

λx = (λxi

)

∈ K

n が定義されて次が成り立っています．

(1) (

交換法則

)

任意の

x, y

∈ K

n に対して

x + y = y + x.

(2) (

和の結合法則

)

任意の

x, y, z

∈ K

n に対して

(x + y) + z = x + (y + z).

(3) (

零ベクトル

)

ある

o

∈ K

n が存在して，任意の

x

∈ K

n に対して

x + o = x

をみたす．

(4) (

逆ベクトル

)

任意の

x

∈ K

n に対して，

x + x

′

= o

をみたす

x

′

∈ K

n が存在する．

(5) (

スカラーの分配法則

)

任意の

x

∈ K

n

, λ, µ

∈ K

に対して

(λ + µ)x = λx + µx.

(6) (

ベクトルの分配法則

)

任意の

x, y

∈ K

n

, λ

∈ K

に対して

λ(x + y) = λx + λy.

(7) (

スカラーの結合法則

)

任意の

x

∈ K

n

, λ, µ

∈ K

に対して

(λµ)x = λ(µx).

(8) (

単位元倍

)

任意の

x

∈ K

n に対して

1 · x = x.

ここで

(3)

のベクトル

o

は全ての成分が

0

であるようなベクトルで，ベクトル

x = (x

i

)

に対して

(4)

のベクトル

x

′ は第

i

成分が

−xi

であるようなベクトルです．これを一般化します．

V

を集合とします．集合

V

に和が定義されているとは，任意の

x, y

∈ V

に対して和

x + y

が定義されていて

x + y

∈ V

をみたしていることをいいます．また

K

と

V

の積が定義されているとは，任意の

λ

∈ K

と任意の

x

∈ V

に対して積

λx

が定義されていて

λx

∈ V

をみたしていることをいいます．定義

. (

ベクトル空間，線形空間

)

集合

V

が

K

上のベクトル空間または線形空間である．

⇐⇒ V

に和と

K

との積

(

定数倍

)

が定義されていて上の

(1)

∼ (8)

をみたす．

K

が実数全体の集合

R

のとき

V

を実ベクトル空間，

K

が複素数全体の集合

C

のとき

V

を複素ベクトル空間といいます．

K

を成分とする

n

次元ベクトルの全体

K

n は

K

上のベクトル空間です．これを

K

上の

n

次元数ベクトル空間といいます．また

V =

{o}

もベクトル空間になります．ベクトル空間

{o}

を零ベクトル空間といいます．この他にも

(1) K

を成分とする

m

× n

行列全体の集合

M (m, n; K) =

{(aij

)

| aij

∈ K}

(2) K

の元を係数とする

n

次以下の多項式全体

P

n

(K) =

{a

0

+a

1

X +

· · ·+an

X

n

| ai

∈ K}

(3) K

の元を係数とする多項式全体

K[X] =

{a

0+a1

X+

· · ·+anX

n

| ai

∈ K, n ∈ N∪{0}}

(4) K =

R

として，

R

上連続な関数全体

C(

R) = {f(x): R → R | f(x)

は連続

}

(5) K =

R

として，

R

上

C

∞ 級関数全体

C

∞

(

R) = {f(x): R → R | f(x)

は

C

∞ 級

}

などがあります．ベクトルには和とスカラー倍が定義されています．そこで次のように定義します．定義

. (

１次結合，線形結合

)

V

を

K

上のベクトル空間とします．

V

の

r

個のベクトル

x

1

, . . . , xr

について，次のような和

λ

1

x

1

+

· · · + λr

x

r

, (λ1

, . . . , λr

∈ K)

を

x

1

, . . . , xr

の１次結合または線形結合という．

(4)

[

１次独立性

]

V

を

K

上のベクトル空間とします

(

R

n または

C

n でよい

)

．

V

のベクトル

a

1

, . . . , a

r に対して

a

1

, . . . , ar

の１次結合で表される部分集合

W =

{λ

1

a

1

+ λ2

a

2

+

· · · + λr

a

r

| λ

1

, λ

2

, . . . , λr

∈ K}

を考えます．

W

のベクトル

x

はある

λ

1

, λ

2

, . . . , λ

r

∈ K

で

x = λ

1

a

1

+ λ

2

a

2

+

· · · + λr

a

r と表されますが，このような表し方が複数通り存在することがあります．そこで

W

のベクトルを表すために必要な最小のベクトルの組を考えます．定義

. (

１次独立

)

V

の

r

個のベクトル

a

1

, a

2

, . . . , a

r が１次独立である．

⇐⇒ λ

1

a

1

+ λ2

a

2

+

· · · + λr

a

r

= o

ならば

λ

1

= λ2

=

· · · = λr

= 0

である．

a

1

, a

2

, . . . , ar

を

n

次元数ベクトルとします．

λ

1

a

1

+ λ2

a

2

+

· · · + λr

a

r

= o

は

n

× r

行列

A = (a

1

a

2

. . . ar

)

とベクトル

x =





λ

1

..

.

λr





を用いて

Ax = o

と表されますから

a

1

, a

2

, . . . , ar

が１次独立である

⇐⇒

連立１次方程式

Ax = o

が

o

以外の解を持たないとなります．したがって次が成り立ちます．定理

. (

１次独立

)

a

1

, a

2

, . . . , a

r

∈ K

n とし

A = (a

1

a

2

. . . a

r

)

とする．このとき次は同値．

(1) a1

, a

2

, . . . , ar

が１次独立．

(2) Ax = o

の解は

x = o

のみ．

(3) rank A = r.

特に，

a

1

, a

2

, . . . , ar

が１次独立であるとき

x

∈ W

に対して

x = λ

1

a

1

+ λ2

a

2

+

· · · + λr

a

r という表し方は一意的です．ベクトル

a

1

, a

2

, . . . , ar

が１次独立ではないとき１次従属といいます．定義

. (

１次従属

)

V

の

r

個のベクトル

a

1

, a

2

, . . . , a

r が１次従属である．

⇐⇒ a

1

, a

2

, . . . , ar

たちは１次独立ではない．

⇐⇒ λ

1

a

1

+ λ

2

a

2

+

· · · + λr

a

r

= o

となる

(λ

1

, λ

2

, . . . , λ

r

)

̸= (0, 0, . . . , 0)

が存在する．したがって次が成り立ちます．定理

. (

１次従属

)

V

の

r

個のベクトル

a

1

, a

2

, . . . , a

r が１次従属である．

⇐⇒

ある

a

i は

a

1

, . . . , ai

−1

, ai+1, . . . , ar

たちの１次結合で表される．ここで

a

1

, . . . , ar

∈ V

が１次従属としても

a

1 が

a

2

, . . . , ar

の１次結合で表されるとは限りません．同様に

a

r が

a

1

, . . . , a

r−1 の１次結合で表されるとも限りません．適当に番号を付け替えて

a

1 が

a

2

, . . . , ar

の１次結合で表されるようにすることはできます．

(5)

[

部分ベクトル空間

]

K

を

R

または

C

として，

V

を

K

W

を

V

の部分集合とします．

x, y

∈ W

に対して，これを

V

の要素と見て和

x + y

∈ V

やスカラー倍

λx

∈ V , (λ ∈ K)

が計算できますが，これらが

W

に入っていてベクトル空間の条件をみたすとき

W

を

V

の部分ベクトル空間であるといいます．定義

. (

)

K

上のベクトル空間

V

の部分集合

W

が

V

の部分ベクトル空間である．

⇐⇒ W

は

V

の和とスカラー倍によってベクトル空間をなす．

W

が

V

の部分ベクトル空間であるとき

o

∈ W

であって，

x, y

∈ W , λ ∈ K

に対して

x + y

∈ W , λx ∈ W

が成立しています．逆に

V

の部分集合

W

が

o

∈ W

であり，任意の

x, y

∈ W , λ ∈ K

に対して

x + y

∈ W , λx ∈ W

をみたしているとしましょう．このとき和とスカラー倍は

V

のものですので，和について

(1)

交換法則，

(2)

結合法則をみたし，さらにスカラー倍に関する条件

(5)

∼ (8)

もみたします．さらに

o

∈ W

なので零ベクトルが存在し，また

−1 ∈ K

に対して

−x = (−1)x ∈ W

であり，さらに

x + (

−x) = (1 − 1)x = o

ですので逆ベクトルも存在します．このことから次が成り立つことがわかります．命題

. (

)

K

V

の空でない部分集合

W

が

V

の部分ベクトル空間であることと次の２条件は同値である．

(1)

任意の

x, y

∈ W

に対して

x + y

∈ W

である．

(2)

任意の

x

∈ W , λ ∈ K

に対して

λx

∈ W

である．特に

{o}

と

V

自身は

V

の部分ベクトル空間です．これを

V

の自明な部分ベクトル空間といいます．先に述べた通り

W

が

V

の部分ベクトル空間であるとき必ず

o

∈ W

をみたします．したがって

o

̸∈ W

となる

V

の部分集合

W

は

V

の部分ベクトル空間ではありません．例．

(1) V = C

0

₍

_R)

_{を連続関数全体のなす集合とします．}

_{f, g}

_{∈ C}

0

₍

_R)

_{に対して和}

_{f + g}

_と実数倍

λf

を

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (λf )(x) = λf (x)

で定義すると

f + g, λf

も

R

上連続な関数であり，この和とスカラー倍で

C

0

(

R)

は定数関数

O(x)

≡ 0

を零ベクトルとする実ベクトル空間となります．

C

∞ 級関数は連続ですから実数上の

C

∞ 級関数全体のなす部分集合

W = C

∞

(

R)

は

C

0

(

R)

の部分集合であり，

C

∞ 級関数どうしの和と

C

∞ 級関数の実数倍も

C

∞ 級ですから

C

∞

(

R)

は

C

0

(

R)

の部分ベクトル空間です．

(2) V = Seq(

R)

を実数列全体のなす集合とします．数列

{an}

∞_n=1

,

{bn}

∞_n=1 と実数

λ

に対して和と実数倍を

{an}

∞

n=1

+

{bn}

∞n=1

=

{an

+ b

n}∞n=1

, λ

{an}

∞n=1

=

{λan}

∞n=1

で定義すると

Seq(

R)

は定数列

{0}

∞_n=1 を零ベクトルとする実ベクトル空間となります．

収束する実数列全体のなす部分集合

W = Conv(

R)

は

V

の部分ベクトル空間です．さらに

0

に収束する実数列全体のなす集合

Conv

0

(

R)

は

W

の部分ベクトル空間であり，

V

の部分ベクトル空間でもあります．

c

1

, . . . , ck

∈ R

を定数として漸化式

an+k

+ c1

an+k

−1

+

· · · + cnan

= 0

をみたす実数列

{an}

全体のなす部分集合

U =

{{an}

∞_n=1

∈ Seq(R) | an+k

+ c1

an+k

₋₁

+

· · · + ckan

= 0

}

は

V

の部分ベクトル空間となります．

(6)

[

和空間

]

V

をベクトル空間とし，

W

1

, W

2 を

V

の部分ベクトル空間とします．集合

W

1

+ W

2 を

W

1

+ W2

=

{x

1

+ x2

| x

1

∈ W

1

, x

2

∈ W

2

}

と定めると

W

1

+ W2

は

V

の部分ベクトル空間になります．これを

W

1

, W

2 の和空間といいます．和空間

W

1

+ W

2 の任意のベクトル

x

は，ある

x

1

∈ W

1 とある

x

2

∈ W

2 を用いて

x = x

1

+ x2

と表されます．任意の

x

∈ W

1

+ W2

に対してこのような

x

1

, x

2 がただ１通りしかないとき和空間

W

1

+ W

2 は

W

1

, W

2 の直和であるといい

W

1

⊕ W

2 と表します．定義

. (

和空間，直和

)

ベクトル空間

V

の部分空間

W

1

, W

2 に対して

W

1

+ W

2

=

{x

1

+ x

2

| x

1

∈ W

1

, x

2

∈ W

2

}

は

V

の部分空間であり，

W

1

+ W

2 を

W

1

, W

2 の和空間と呼ぶ．

W

1

+ W2

において

x

1

+ x2

= x

′1

+ x

′2

(x

i, x′i

∈ Wi

)

ならば

x

i

= x

′i であるとき

W

1

+ W

2 は

W

1 と

W

2 の直和であるといい

W

1

⊕ W

2 と表す．

V

の部分ベクトル空間

W

1

, W

2 に対して，これらの共通部分

W

1

∩ W

2

=

{x ∈ V | x ∈ W

1 かつ

x

∈ W

2

}

もまた

V

の部分ベクトル空間となります．しかし

W

1

, W

2 の和集合

W

1

∪ W

2 は

V

の部分ベクトル空間とは限りません．有限個の部分ベクトル空間の和空間，直和，共通部分についても同様に定義されます．

V

を

K

V

のベクトル

a

1

, . . . , ak

∈ V

について

W =

{λ

1

a

1

+

· · · + λk

a

k

| ∀λi

∈ K}

は

V

の部分ベクトル空間をなします．これを

a

1

, . . . , ak

で生成される部分ベクトル空間といい

⟨a

1

, . . . , a

k⟩ で表します．

⟨a

1

, . . . , ak⟩ = {λ

1

a

1

+

· · · + λk

a

k

| ∀λi

∈ K} ⊂ V.

W

1

, W

2 は有限生成であるとし，

W

1

=

⟨a

1

, . . . , an⟩, W

2

=

⟨b

1

, . . . , bm⟩

とします．すると任意の

x

∈ W

1 は

a

1

, . . . , a

n の線形結合で表され，任意の

y

∈ W

2 は

b

1

, . . . , b

m の線形結合で表されますから

W

1

+ W2

の任意のベクトルは

a

1

, . . . , an, b

1

, . . . , bm

の線形結合で表すことができます．したがって

W

1

+ W

2

=

⟨a

1

, . . . , a

n

, b

1

, . . . , b

m⟩ となります．ただし

a

1

, . . . , an

が１次独立であり，

b

1

, . . . , bm

が

W

2 も１次独立であったとしても，

a

1

, . . . , an, b

1

, . . . , bm

が１次独立であるとは限りません．

x

∈ W

1

∩W

2とすると

x

∈ W

1かつ

x

∈ W

2 なので，ある

λ

1

, . . . , λ

n

∈ K

と

µ

1

, . . . , µ

m

∈

K

が存在して

x = λ

1

a

1

+

· · · + λn

a

n

= µb

1

+

· · · + µm

b

m と表されます．したがって

λ

1

, . . . , λn

と

µ

1

. . . , µm

は

λ

1

a

1

+

· · · + λn

a

n

− (µb

1

+

· · · + µm

b

m

) = o

をみたします．これを解いて

λ

1

, . . . , λn

(

あるいは

µ

1

, . . . , µn

)

が決まり，

W

1

∩ W

2 を生成するベクトルを求めることができます．

(7)

[

基底と次元

]

W

をベクトル空間

V

の部分ベクトル空間とします．いま

W

は

a

1

, . . . , a

r

∈ V

で生成されているとします．つまり

W =

⟨a

1

, . . . , ar⟩

とします．このとき

W

の任意のベクトル

x

は

x = λ

1

a

1

+

· · · + λr

a

r

(λ

1

, . . . , λ

r

∈ K)

と

a

1

, . . . , a

r の線形結合で表されます．しかし，この表し方は１通りとは限りません．このうち「無駄な」ベクトルを除いて任意の

x

をただ１通りに表すようにすることができます．以下

K

を

R

または

C

とし，

V

を

K

上の

(

有限次元

)

ベクトル空間とします．定義

. (

基底

)

V

のベクトルの組

a

1

, . . . , an

が次の条件をみたすとき

V

の基底であるという．

(1) a1

, . . . , an

は１次独立である．

(2) V

の任意のベクトルは

a

1

, . . . , a

n の１次結合で表される．

V

の基底は１通りとは限りません．例えば

R

n の単位ベクトル

e

1

, . . . , e

n について

λ

1

e

1

+

· · · + λn

e

n

= λ1





1 ..

_.

0 

 + · · · + λ

n





0 ..

_.

1 

 =





λ

1

..

.

λ

n



 = o

とすると成分を比較して

λ

1

=

· · · = λn

= 0

となりますから

e

1

, . . . , e

n は１次独立です．また任意の

x = (x

i

)

∈ R

n に対して

x =

∑

xi

e

i と表されますから

R

n は

e

1

, . . . , en

の１次結合で表されます．したがって

e

1

, . . . , e

n は

R

n の基底をなします．これを

R

n の標準基底といいます．

R

n _{のベクトル}

_f

1

, . . . , f

n を

f

i

= e

1

+

· · · + ei

(1

≤ i ≤ n)

f

1

, . . . , f

n も

R

n の基底となります．

V

の基底を１組選び，これを

a

1

, . . . , a

n とします．このとき次が成り立ちます．定理

. (

基底の性質

)

a

1

, . . . , a

n を

V

の基底とする．このとき任意の

x

∈ V

は

x = λ

1

a

1

+

· · · + λn

a

n と一意的に表される．つまり，任意の

x

∈ V

に対して

x = λ

1

a

1

+

· · · + λn

a

n となる定数

λ

1

, . . . , λ

n が必ず存在して，

x = µ

1

a

1

+

· · · + µn

a

n でもあるとすると，任意の

i

について

λi

= µ

i となります．ベクトル空間

V

の基底の取り方はたくさんあります．しかし，基底をなすベクトルの個数は常に一定です．この数を

V

の次元と呼びます．定義

. (

次元

)

K

V

̸= {o}

が

n

個からなる基底をもつとき

V

は

n

次元であるといい，

dim

K

V = n

と表す．また

V =

{o}

のとき

dim

K

V = 0

とする．

また，

K

を略して

dim V

と表すこともあります．

W

を

V

の部分ベクトル空間とすると

W

自身もベクトル空間ですから

W

の次元

dim W

も同様に定義されます．

a

1

̸= o

とし，

W =

⟨a

1

⟩ ⊂ R

n とします．このとき

W =

{ta

1

| t ∈ R}

(8)

V

W

が

W =

⟨a

1

, . . . , ar⟩

と表されているとします．このとき

a

1

, . . . , ar

から１次独立となる最も多くのベクトルを選ぶことによって

W

の基底ができます．命題

. (

生成系と次元

)

ベクトル空間

V

W

が

r

個のベクトルで生成されるとする．このとき

dim W

≤ r

である．特に

W

の

(dim W + 1)

個以上のベクトルの組は互いに１次従属です．

W

を

V

の部分ベクトル空間とします．

W

の１次独立なベクトルがわかっているとき，このベクトルにいくつかベクトルを追加して

W

の基底を作ることができます．定理

. (

基底の延長定理

)

W

̸= {o}

を

V

の部分ベクトル空間とし，

a

1

, . . . , as

∈ W

は１次独立とする．このとき

a

s+1

, . . . , a

r

∈ W

をうまく選んで

a

1

, . . . , a

r が

W

の基底であるようにできる．このことから

W

⊂ V

がベクトル空間であるとき，

W

の基底を延長して

V

の基底を構成することができます．したがって

W

⊂ V

のとき

dim W

≤ dim V

が成り立ちます．特に

W

に

r = dim W

個の１次独立なベクトル

a

1

, . . . , a

r が存在したとき

⟨a

1

, . . . , a

r⟩ ⊂ W で任意の

x

∈ W

は

a

1

, . . . , ar

に１次従属ですから

⟨a

1

, . . . , ar⟩ = W

となります．系

. (

部分空間と次元

)

W

を

V

の部分ベクトル空間とする．このとき

(1) dim W

≤ dim V .

(2) dim W = dim V

ならば

W = V .

これより次もわかります．系

. (

次元と１次独立性

)

V

を

n

次元ベクトル空間とする．このとき次が成り立つ．

(1) n + 1

個以上のベクトルの組は１次従属．

(2) n

個のベクトルが１次独立ならば基底をなす．

W

1

, W

2 を

V

の部分ベクトル空間とし，

dim W1

= r, dim W2

= s

とします．すると

W

1,

W

2 の基底を選んで

W

1

=

⟨a

1

, . . . , ar⟩ , W

2

=

⟨b

1

, . . . , bs⟩

と表すことができます．このとき和空間

W

1

+ W2

は

W

1

+ W

2

=

⟨a

1

, . . . , a

r

, b

1

, . . . , b

s⟩ と表されます．しかし，これらの生成系は１次独立とは限りません．したがって

dim(W

1

+ W

2

)

≤

r + s = dim W

1

+ dim W2

ですが，次が成り立ちます．定理

. (

次元定理

)

W

1

, W

2 を

V

の部分ベクトル空間とする．このとき次が成立する．

dim(W

1

+ W

2

) = dim W

1

+ dim W

2

− dim(W

1

∩ W

2

)

(9)

[

線形写像

]

K

を

R

または

C

とし，

V

を

K

V

のベクトル

x, y

∈ V

と定数

λ

∈ K

に対して和

x + y

∈ V

とスカラー倍

λx

∈ K

が定義されていました．いま

V , V

′ を

K

上のベクトル空間とし，

f : V

→ V

′ を

V

から

V

′ への写像とします．すると

x

∈ V

に対して

f (x)

は

V

′ のベクトルになります．

x, y

∈ V , λ ∈ K

に対して

x + y

∈ V

ですから

f (x + y)

∈ V

′ であり，また

λx

∈ V

ですから

f (λx)

∈ V

′ となります．一方

f (x), f (y)

∈ V

′ ですから

f (x) + f (y)

∈ V

′ であり，

λf (x)

∈ V

′ でもあります．そこで，「和・スカラー倍をすること」と「写像で写すこと」を入れ替えることができるとき，つまり

(1) f (x + y) = f (x) + f (y),

(2) f (λx) = λf (x)

が成り立つとき

f

を線形写像といいます．とくに

V = V

′ である写像を変換といい，変換が線形写像でもあるときは線形変換といいます．定義

. (

線形写像

)

K

V

から

V

′ への写像

f : V

→ V

′ が線形写像である．

⇐⇒

任意の

x, y

∈ V

′

,

任意の

λ

∈ K

に対して

(1) f (x + y) = f (x) + f (y),

(2) f (λx) = λf (x)

が成り立つ．特に

V = V

′ である線形写像を線形変換という．例

(1) V =

R

n

, V

′

=

R

m とし，

A

を

m

× n

行列とします．このとき写像

f :

R

n

→ R

m を

f (x) = Ax

で定義します．すると任意の

x, y

∈ V

，任意の

λ

∈ R

に対して

f (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f (x) + f (y)

f (λx) = A(λx) = λAx = λf (x)

が成り立つので

f

は線形写像です．

(2) V = C

∞

(

R)

とし，写像

d

dx

: V

→ V

を

f

∈ C

∞

₍

_R)

_に対して

d

dx

f =

df

dx

と定めます．このとき

d

dx

(f + g) = (f + g)

′

_{= f}

′

_{+ g}

′

₌

d

dx

f +

d

dx

g

d

dx

(λf ) = (λf )

′

_{= λf}

′

_{= λ}

d

dx

f

が成り立つので

d

dx

は線形変換です．

f : V

→ V

′ を線形写像とし，

V

の基底を

a

1

, . . . , an

とします．任意の

x

∈ V

は

x = λ

1

a

1

+

· · · + λn

a

n と一意的に表され，

f

が線形写像であることより

f (x) = λ

1

f (a

1) +

· · · + λnf (an

)

となります．このように

V

の基底

a

1

, . . . , a

n の

f

による行き先

f (a

1

), . . . , f (a

n

)

が決まると，全ての

x

∈ V

の

f

による行き先が決まります．

(10)

V

を

K

上のベクトル空間とします．恒等写像

id

V

: V

→ V

を

id

V

(x) = x

と定めると

id

V は

V

の線形変換を定めます．定義

. (

同型，同型写像

)

K

V , V

′ に対して線形写像

f : V

→ V

′ と

g : V

′

→ V

で

g

◦ f = idV

, f

◦ g = idV

′ をみたすものが存在するとき

V

と

V

′ は同型であるといい

V ∼

= V

′ と表す．

V

と

V

′ が同型であるとき，同型を与える写像

f : V

→ V

′

(g : V

′

→ V )

を同型写像という．

V

と

V

′ が同型のとき同型写像

f : V

→ V

′ と

g : V

′

→ V

で

g

◦ f = idV

, f

◦ g = idV

′ をみたすものが存在します．このとき任意の

x

′

∈ V

′ に対して

x = g(x

′

)

とおくと

f

◦ g = idV

′ なので

f (x) = f (g(x

′

)) = id

V′

(x

′

) = x

′ となり，

f

が全射であることがわかります．また

f (x) = o

とすると

g

◦ f = idV

より

x = g(f (x)) = g(o) = o

となり，

f

は単射でもあります．よって

f : V

→ V

′ は全単射な線形写像です．逆に

f : V

→ V

′ が全単射な線形写像とします．

f

の逆写像を

g : V

′

→ V

とします．

x

′

, y

′

∈

V

′ に対して

x = g(x

′

), y = g(y

′

)

とおくと

f

が線形写像であることから

f (x + y) = f (x) + f (y) = f (g(x

′

)) + f (g(y

′

)) = x

′

+ y

′ となります．これから

g(x

′

) + g(y

′

) = x + y = g(f (x + y)) = g(x

′

+ y

′

)

となります．同様に

λ

∈ K

に対して

f (λx) = λx

′ より

λx = g(f (λx)) = g(λx

′

)

より

λg(x

′

) = g(λx

′

)

となり，

g

も線形写像になります．したがって次が成り立ちます．定理

. (

同型，同型写像

)

V, V

′ を

K

上のベクトル空間とする．このとき，線形写像

f : V

→ V

′ が全単射ならば

f

は同型写像であり，

V

と

V

′ は同型である．

K =

R

とし，

A

を

m

× n

行列，

B

を

ℓ

× m

行列とします．線形写像

f :

R

n

_{→ R}

m

_,

g :

R

m

→ R

ℓ を

f (x) = Ax, g(y) = By

で定めます．このとき合成写像

g

◦ f

は

g

◦ f(x) = g(f(x)) = B(f(x)) = B(Ax) = (BA)x

となります．このように線形写像の合成は，行列の積に対応します．特に

ℓ = m = n

で

g

◦f = id

_Rn のとき任意の

x

∈ R

n に対して

x = g

◦ f(x) = (BA)x

ですから

R

n の標準基底

e

1

, . . . , en

に対して

(e

1

. . . e

n

) = (BA)(e

1

. . . e

n

)

となり，

BA = In

であることがわかります．したがって

B

は

A

の逆行列で，

f (x) = Ax

が同型であることと

A

が正則であることが同値になります．

(11)

[

基底と座標

]

V

を

K

上の

n

次元ベクトル空間とし，

V

の基底を

e

1

, . . . , e

n とします．すると

e

1

, . . . , e

n は

V

の基底ですので任意の

x

∈ V

は

x = a

1

e

1

+ a2

e

2

+

· · · + an

e

n

(a

i

∈ K)

と一意的に表されます．そこで

x

∈ V

と

a

∈ K

n が

V

∋ x = a

1

e

1

+ a2

e

2

+

· · · + an

e

n

←→ a =





a

1

..

.

a

n



 ∈ K

n と１対１に対応します．つまり，順序付けられた基底

E = (e

1

, . . . , en

)

が与えられたとき，

V

から

K

n _への写像

_φ

E が

φ

E

(a

1

e

1

+ a

2

e

2

+

· · · + an

e

n

) =





a

1

..

.

an





と定義され，この写像は全単射です．

x = a

1

e

1

+

· · · + an

e

n

, y = b1

e

n

+

· · · + bn

e

n に対して

φE

(x + y) = φ

E

((a1

+ b1)e1

+

· · · + (an

+ b

n

)e

n

) =





a

1

+ b

1

..

.

a

n

+ b

n





=





a

1

..

.

an



 +





b

1

..

.

bn



 = φ

E

(x) + φ

E

(y)

であり，また

c

∈ K

に対して

φE

(cx) = φ

E

(ca1

e

1

+

· · · + can

e

n

) =





ca

1

..

.

ca

n





= c





a

1

..

.

an



 = cφ

E

(x)

となるので

φ

E は線形写像です．

φ

は全単射なので

V

から

K

n への同型写像です．

x = a

1

e

1

+ a2

e

2

+

· · · + an

e

n

∈ V

に対応する

K

n のベクトル

a =





a

1

..

.

a

n





を

x

の基底

E

に関する座標といいます．このようにして有限次元ベクトル空間

V

は

K

dim V と同一視することができます．

(12)

さて

F = (f

1

, . . . , fn

)

を

V

の別の基底とします．このとき

x = a

1

e

1

+

· · · + an

e

n は基底

F

を用いて

x = b

1

f

1

+ b2

f

2

+

· · · + bn

f

n と別の形に表されます．このとき，基底

F

に関する同型写像

φ

F

: V

→ K

n は

b = φ

F

(x) =





b

1

..

.

bn





と別の写像となり，基底

F

に関する座標も

b

と変わります．いま

f

j たちは

V

のベクトルなので基底

E = (e

1

, . . . , en

)

を用いて

f

j

= p

1j

e

1

+

· · · + pnj

e

n と

e

i たちの線形結合で表されます

(

添字の付け方に注意

)

．これを行列の積で表すと

f

j

= (e1

. . . en

)







p

1j

..

.

p

nj







と表されます．これらを並べて，行列として

(f1

· · · fn

) = (e1

· · · en

)







p

11

p

12

· · · p

1n

p

21

p

22

· · · p

2n

..

.

..

.

. .

.

..

.

p

n1

p

n2

· · · pnn







となります．したがって基底

F

で

x = b

1

f

1

+

· · · + bn

f

n と表されているとき，基底

E

では

x = (f

1

· · · fn

)





b

1

..

.

bn



 = (e

1

· · · en

)







p

11

p

12

· · · p

1n

p

21

p

22

· · · p

2n

..

.

..

.

. .

.

..

.

pn1

pn2

· · · pnn











b

1

..

.

bn





となります．この行列

P = (pij

)

を基底

E

から基底

F

への基底の取り替え行列といいます．

x

∈ V

の基底

E

での座標が





a

1

..

.

an





なので

x = (e

1

. . . en

)





a

1

..

.

an





でもあります．したがって

E

が基底であることから





a

1

..

.

an



 =







p

11

p

12

· · · p

1n

p

21

p

22

· · · p

2n

..

.

..

.

. .

.

..

.

pn1

pn2

· · · pnn











b

1

..

.

bn





となります．このように基底の取り替え行列は座標の変換行列でもあります．

(13)

[

表現行列

]

V , W

を

K

上の有限次元ベクトル空間とし，

V

の順序付けられた基底を

E = (e

1

, . . . , e

n

)

，

W

の順序付けられた基底を

F = (f

1

, . . . , fm

)

とします．

E

は

V

の基底なので任意の

x

∈ V

は

x = x

1

e

1

+

· · · + xn

e

n

= (e

1

. . . e

n

)





x

1

..

.

xn





と一意的に表され，

F

は

W

の基底なので任意の

y

∈ W

は

y = y

1

f

1

+

· · · + ym

f

m

= (f1

. . . fm

)







y

1

..

.

ym







と一意的に表されます．

f : V

→ W

を線形写像とし，

y = f (x)

とおきます．いま

e

j

∈ V

ですから

f (e

j

)

∈ W

は

f (e

j

) = a

1j

f

1

+

· · · + amj

f

m

= (f

1

. . . f

m

)







a

1j

..

.

a

mj







と表されます．すると

f

は線形写像なので任意の

x

∈ V

に対して

f (x) = f (x

1

e

1

+

· · · + xn

e

n

) = x1

f (e

1) +

· · · + xnf (en

)

= (f (e

1

) . . . f (e

n

))





x

1

..

.

xn



 = (f

1

. . . f

m

)





a

11

· · ·

a

1n

..

.

. .

.

..

.

am1

· · · amn









x

1

..

.

xn





となります．したがって

y = f (x)

なので







y

1

..

.

y

m





 =





a

11

· · ·

a

1n

..

.

. .

.

..

.

am1

· · · amn









x

1

..

.

xn





が成り立ちます．この行列

A = (a

ij

)

を

V

の順序付けられた基底

E

と

W

F

に関する

f

の表現行列といいます．

E

は

V

の基底なので

φ

E によって

V

と

K

n が同一視され，

F

は

W

の基底なので

φ

F によって

W

と

K

m が同一視されます．このとき線形写像

f

は

K

n から

K

m の線形写像と見ることができ，

f : K

n

→ K

m として

f

は行列

A

によって定まる線形写像

f

A となります．

V

−−−−→ W

f φE



y



y

φF

K

n

−−−−→ K

fA m

x = x

1

e

1

+

· · · + xn

e

n f

−−−−→

f (x)

φE



y



y

φF

ex =





x

1

..

.

xn





fA

−−−−→ A





x

1

..

.

xn



 = Aex

(14)

V

の別の順序付けられた基底を

E

′

= (e

′₁

, . . . , e

′_n

)

とし，

W

の別の順序付けられた基底を

F

′

= (f

₁′

, . . . , f

_m′

)

x

∈ V , y ∈ W

は基底

E

′

, F

′ で

x = x

′₁

e

′₁

+

· · · + x

′_n

e

′_n

= (e

′₁

. . . e

′_n

)







x

′₁

..

.

x

′_n







y = y

₁′

f

₁′

+

· · · + y

_m′

f

_m′

= (f

₁′

. . . f

_m′

)







y

₁′

..

.

y

′_m







と別の座標を持ちます．このとき線形写像

f

の基底

E

′ と基底

F

′ に関する表現行列は

x

∈ V

の基底

E

′ に関する座標を

ex

′

, y = f (x)

の基底

F

′ に関する座標を

y

e

′ とするとき

e

y

′

= A

′

ex

′ をみたす行列

A

′ になります．基底の取り替え

E

→ E

′ を表す行列を

P

，基底の取り替え

F

→ F

Q

E

′

= EP , F

′

= F Q

ですから

x = E

′

ex

′

∈ V

に対して

E

′

ex

′

= EP

ex

′ f

−→ F AP ex

′

= F

′

Q

−1

AP

ex

′ と移ります．

f (x) = y = F

′

y

e

′ なので

e

y

′

= Q

−1

AP

ex

′ したがって線形写像

f

E

′

, F

Q

−1

AP

となります．特に

f

が

V

の１次変換

f : V

→ V

′

= V

の場合，

V

′ の基底は元の

V

と同一

(F = E)

にとります．このとき

f (x

1

e

1

+

· · · + xn

e

n

) = (e1

. . . en

)





a

11

· · · a

1n

..

.

. .

.

..

.

a

n1

· · · ann









x

1

..

.

x

n





となる行列

A = (a

ij

)

が

f

の表現行列となります．さらに別の基底

E

′ に対して基底の取り替え

E

→ E

P

とすると１次変換

f

の基底

E

P

−1

AP

となります．

n

次行列

A, A

′ について，ある正則行列

P

が存在して

A

′

= P

−1

AP

と表されるとき

A

と

A

′ は相似であるといいます．これは線形写像

f

A と

f

A′ が基底の取り方を除いて同じ写像であることを表しています．