量子物性物理学とトポロジー
対称性、量子もつれ、トポロジー
笠 真生
シカゴ大物理
今日のお題
量子 と古典のはざまで
量子多体系
古典系にない相関
量子もつれ トポロジカル相(≃量子異常) (≃ロバストな(量子化)されたエンタングルメント)量子凝縮系物理における
(
広い意味での
)
トポロジカル相
"Topological phases of matter"
Congratulations!
2016 Nobel Prize in Physics was awarded to David J. Thouless, F. Duncan M. Haldane and J. Michael Kosterlitz "for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter".
TKNN公式(量子ホール効果における位相不変量)
ハルデン相(対称性に保護されたトポロジカル相)
様々なトポロジカル相
Topological systems Related concepts
整数量子ホール効果 ベリー位相 分数量子ホール効果 位相不変量 トポロジカル秩序/エ二オン ハルデン相 対称性に保護されたトポロジカル相(SPT相) トポロジカル絶縁体 トポロジカル超伝導体 マヨラナ粒子
Outline
1. 整数量子ホール効果 トポロジカル相と量子異常 2. ハルデン相 対称性に保護されたトポロジカル相 3. トポロジカル超伝導体 マヨラナ粒子相 4. まとめTKNN
公式
Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs (TKNN) 公式: σxy= e2 ℏ 1 2π ∫ d2kB(k) = e 2 h × (整数)What is it about?
強磁場下の2次元電子系における量子ホール効果
量子化ホールコンダクタンス:
Jx= σxyEy, σxy=
e2 h ×整数
Ingredients in TKNN
固体中の電子に対するシュレディンガー方程式：[ −ℏ2∇2 2m + V (r) ] ψ(r) = εψ(r) エネルギーバンドεn(k)とブロッホ波動関数|un(k)⟩ エネルギーバンドεn(k)とフェルミエネルギーεF =⇒バンド金属 v.s. バンド絶縁体 TKNN公式は波動関数のみに依る: σxy= e2 ℏ 1 2π ∫ d2kB(k) = e 2 h × (整数) ここで Aj(k) = i⟨un(k)|∂k∂ j|un(k)⟩: 運動量空間のベリー接続 (non-dynamicalなU (1)ゲージ場) B(k) = ∇k× ⃗A(k);ベリー磁場orベリー曲率 磁場の2次元閉面積分は量子化されている(ディラックの量子化規則) ホール伝導度=トポロジカル不変量(チャーン数)!
運動量空間でのアハラノフ
-
ボーム効果
運動量空間のブロッホ波動関数: How does |un⟩ change? How |un⟩
at k and k′ are related?
ブロッホ波動関数のAdiabatic transport ブロッホ波動関数は自分自身に戻ってくるとは限らない！ ベリー位相: γ = ∫ dSB(k) = I dl· A(k)
運動量空間でのアハラノフ
-
ボーム効果
運動量空間のブロッホ波動関数: How does |un⟩ change? How |un⟩
at k and k′ are related?
トポロジカル相の一般的性質
異なった量子相を 波動関数の大域的な性質によって区別する
バルク・境界対応
自発的な対称性の破れを伴う相
ランダウ・ギンツブルグ・ウィルソンパラダイム：異なった相を対称
性の破れの観点から理解する枠組み。
局所的な秩序変数の存在。
Symmetry breaking paradigm
を越えて
量子相には局所的な秩序変数で記述できないものが存在する。
例:量子ホール効果
波動関数のトポロジーによる量子相の区別
異なった量子相⇐⇒異なったトポロジカル数・波動関数の大域的な 性質(トポロジー) 1 2π ∫ d2kB(k) = (チャーン数) = (整数) C.f. アナロジー：量子相をσxyで区別⇔曲面を穴の数で区別； ガウス・ボンネの定理: 1 4π ∫ 2次元閉曲面 (曲率) = 1−穴の数波動関数のトポロジーによる量子相の区別
絶縁相を波動関数の性質(トポロジー)の観点から区別
自明な絶縁体=原子極限に連続的につながる、”量子もつれのない”
状態
波動関数のトポロジーによる量子相の区別
トポロジカル不変量は状態の微小な変形に対して不変
⇒異なったトポロジーを持つ波動関数は連続的に移り変わることが
できない；それらは相図上で異なった相に属する；間には必ず相転移 が存在。
端状態とバルク・境界対応
トポロジカル相の境界にはgaplessな励起が必然的に存在する；「局
バルク・境界対応と量子異常
端状態の粒子数は保存しない。U (1)対称性の量子的な破れ「量子
異常」
端状態(境界状態)のトポロジカルな性質(量子異常)と、 バルクのト
凝縮系物理におけるトポロジカルな現象
⃗ J∼ (−e) ∫ ddk ( (τ ℏE⃗· ∇kf0) ∂ε ℏ∂⃗k | {z } dynamical part + f0 e ℏE⃗× ⃗B | {z } “topological“ part ) 量子効果(波動関数効果)が顕著に効いている 不規則性や相互作用などの摂動に対して安定である(e.g.,量子化コン ダクタンス) 散逸を伴わない(No dynamics, no Joule heating)
制御可能な応用: 散逸や乱れの影響がない量子輸送 交差応答；スピントロニクスなど エニオン、マヨラナ粒子を使った、デコヒーレンスの影響を受けない量 子計算 etc.
量子ホール系以外にトポロジカル相は存在するか？
Topological phases beyond the quantum Hall eect?
空間2次元 強い磁場による時間反転対称性の破れ
様々なトポロジカル相
Topological systems Related concepts
整数量子ホール効果 ベリー位相 分数量子ホール効果 位相不変量 トポロジカル秩序/エ二オン ハルデン相 対称性に保護されたトポロジカル相(SPT相) トポロジカル絶縁体 トポロジカル超伝導体 マヨラナ粒子 ... ...
トポロジカル相と対称性
波動関数の大域的な性質による相の区別 相図のトポロジー バルク・境界対応 これらの性質は対称性の存在下でも議論することができる。 トポロジーと対称性のinterplay: 対称性に保護されたトポロジカル相(Symmetry-Protected Topological phases; SPT相) 対称性を伴うトポロジカル相(Symmetry-Enriched Topological対称性に保護されたトポロジカル相
(SPT
相
)
対称性を無視した場合、SPT相は自明な状態に連続的に変形できる。
しかし対称性を課した場合、SPT相は自明な状態と明確に区別で
例：時間反転対称なトポロジカル絶縁体、一次元スピン鎖におけるハ ルデン相。
Symmetry-breaking paradigmは適用できない：局所的な秩序変数は ない
Phases of condensed matter
Symmetry protected
Topologically ordered phases Long-range entangled states Trivial phases
Short-range entangled states (a.k.a "invertible" states) No topological order Topological order Symmetry enriched Symmetry Gapped Gapless No spontaneous symmetry breaking Spontaneous symmetry breaking Gapless Gapped Continuous symmetry-broken phases Discrete symmetry-broken phases Symmetry Quantum critical disordered phases and critical points
Other phases Symmetry breaking coexists
with topological order ...
Ordered phases Quantum disordered phases
Gapped quantum disordered phases Phases of matter
ハルデン相
スピン１反強磁性ハイゼンベルグ模型：
H = J∑
i
Si· Si+1, J > 0
Gapped, unique ground state, no SSB =⇒量子スピン液体
時間反転対称性、又は、スピン回転対称性（の一部）によって保護さ
バルク・境界対応
スピン1/2の端状態
量子異常：系の端状態はスピンの回転で不変でない((−1)の符号をひ
ろう)。
時間反転対称性と量子もつれ
ベル状態：|Ψ⟩ = √1 2[|01⟩ − |10⟩] ρ =|Ψ⟩⟨Ψ| =1 2[|01⟩⟨01| + |10⟩⟨10| − |01⟩⟨10| − |10⟩⟨01|] 量子もつれをどのように特徴づけるか？ 部分転置： ρT2= 1 2[|01⟩⟨01| + |10⟩⟨10| − |00⟩⟨11| − |11⟩⟨00|] 部分転置で影響される⇒量子もつれあり 部分転置で影響されない⇒量子もつれなし 負固有値の存在：Spec(ρT1) ={1/2, 1/2, 1/2, −1/2}.部分転置（ボソンの場合）
定義: for the density matrix ρA1∪A2,⟨e(1) i e (2) j |ρ T2 A1∪A2|e (1) k e (2) l ⟩ = ⟨e (1) i e (2) l |ρA1∪A2|e (1) k e (2) j ⟩ where |e(1,2) i ⟩ is the basis of HA1,A2. 部分転置=部分時間反転 H∗= HT 密度行列の「非対角項」からくる量子相関をdetect：Entanglement
negativity and logarithmic negativity 1
2(Tr|ρ
T2
A| − 1), EA= log Tr|ρTA2|
[Peres (96), Horodecki-Horodecki-Horodecki (96), Vidal-Werner (02), Plenio (05) ...]
部分転置を使ったトポロジカル不変量の構成
Partial transpose can be used to construct/de ne topological invariants of bosonic topological phases[Pollmann-Turner]
Start from the reduced density matrix for the interval I, ρI := TrI¯|Ψ⟩⟨Ψ|.
I consists of two adjacent intervals, I = I1∪ I2.
The invariant is given by the phase of: Z = Tr[ρIρ T1 I ].
C.f. Negativity: Tr |ρT1 I |
Matrix product state representation:
Wave function; Ψ(s1, s2,· · · ) = ∑ {in=1,··· } As1 i1i2A s2 i2i3A s3 i3i4· · · sa=↑, ↓ Topological invariant: Z = Tr[ρIρ T1 I ] :
The invariant "simulates" the path integral on real projective plane RP2:[Shiozaki-Ryu (16)]
トポロジカル超伝導体
超伝導体にはトポロジカルな区別があるか？ 超伝導体 =クーパー対(ボソン) + BdG準粒子(フェルミオン) Bogoliubov-de Genneハミルトニアン: H = 1 2 ∫ Ψ†H Ψ, H = ( ξ ∆ −∆∗ −ξT ) where Ψ = (ψ†↑, ψ↓†, ψ↑, ψ↓)T ギャップの開いた超伝導体＝BdG準粒子の"バンド絶縁体"トポロジカル超伝導体
超伝導体にはトポロジカルな区別があるか？ 超伝導体 =クーパー対(ボソン) + BdG準粒子(フェルミオン) Bogoliubov-de Genneハミルトニアン: H = 1 2 ∫ Ψ†H Ψ, H = ( ξ ∆ −∆∗ −ξT ) where Ψ = (ψ†↑, ψ↓†, ψ↑, ψ↓)Tトポロジカル超伝導体
超伝導体にはトポロジカルな区別があるか？ 超伝導体 =クーパー対(ボソン) + BdG準粒子(フェルミオン) Bogoliubov-de Genneハミルトニアン: H = 1 2 ∫ Ψ†H Ψ, H = ( ξ ∆ −∆∗ −ξT ) where Ψ = (ψ†↑, ψ↓†, ψ↑, ψ↓)T ギャップの開いた超伝導体＝BdG準粒子の"バンド絶縁体"トポロジカル超伝導体
超伝導体にはトポロジカルな区別があるか？ 超伝導体 =クーパー対(ボソン) + BdG準粒子(フェルミオン) Bogoliubov-de Genneハミルトニアン: H = 1 2 ∫ Ψ†H Ψ, H = ( ξ ∆ −∆∗ −ξT ) where Ψ = (ψ†↑, ψ↓†, ψ↑, ψ↓)Tキタエフ鎖
一次元の超伝導体：(以下、簡単のため∆ = tとする) H =∑ j [ − tc† jcj+1+ ∆c†j+1c†j+ h.c. ] − µ∑ j c†jcjキタエフ鎖
相図：二つの相 二つの相はトポロジカルに異なる：2|t| ≥ |µ|の相はトポロジカル超 伝導体 二つの相を区別するZ2値のトポロジカル不変量がある： exp [ i ∫ π −π dkAx(k) ] =±1マヨラナ端状態
トポロジカル超伝導相では、端状態が存在する（バルク・境界対応）
マヨラナ端状態
トポロジカル超伝導相では、端状態が存在する（バルク・境界対応）
マヨラナフェルミオン
粒子と正孔の重ね合わせ： γ∼ ∫ dr(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)) マヨラナフェルミオンは自身の反粒子になっている： γ†= γ マヨラナフェルミオンを２つ 組み合わせると、通常のフェルミオンcomplex fermion を構成できる：f = γ1+ iγ2。２準位系。 二つのマヨラナフェルミオンは、空間的に離れている：
マヨラナフェルミオン
粒子と正孔の重ね合わせ： γ∼ ∫ dr(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)) マヨラナフェルミオンは自身の反粒子になっている： γ†= γ マヨラナフェルミオンを２つ 組み合わせると、通常のフェルミオンcomplex fermion を構成できる：f = γ1+ iγ2。２準位系。 二つのマヨラナフェルミオンは、空間的に離れている：
マヨラナフェルミオン
粒子と正孔の重ね合わせ： γ∼ ∫ dr(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)) マヨラナフェルミオンは自身の反粒子になっている： γ†= γ マヨラナフェルミオンを２つ 組み合わせると、通常のフェルミオンcomplex fermion を構成できる：f = γ1+ iγ2。２準位系。 二つのマヨラナフェルミオンは、空間的に離れている：
マヨラナフェルミオン
粒子と正孔の重ね合わせ： γ∼ ∫ dr(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)) マヨラナフェルミオンは自身の反粒子になっている： γ†= γ マヨラナフェルミオンを２つ 組み合わせると、通常のフェルミオンcomplex fermion を構成できる：f = γ1+ iγ2。２準位系。
マヨラナフェルミオン
粒子と正孔の重ね合わせ： γ∼ ∫ dr(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)) マヨラナフェルミオンは自身の反粒子になっている： γ†= γ マヨラナフェルミオンを２つ 組み合わせると、通常のフェルミオンcomplex fermion を構成できる：f = γ1+ iγ2。２準位系。
二つのマヨラナフェルミオンは、空間的に離れている：
マヨラナダイマー
描像
電子が２つのマヨラナ粒子に分数化：
実験
Proximitized spin-orbit quantum wire[Mourik et al (12)],
Magnetic adatomes on the surface of an s-wave superconductor [Nadj-Perge et al (14)]
トポロジカル量子計算、マヨラナ粒子
マヨラナ粒子は、デコヒーレンスに強い量子コンピュータの構成に役 立つと考えられている。 より一般に、トポロジカル秩序相などに存在するトポロジカルな励起 の非可換統計を使って量子計算を行うことが提案されている。（トポ ロジカル量子計算）マヨラナ粒子のエンタングルメント
Can partial transpose/negativity can capture fermionic entanglement?
An example in 1+1 dimensions: the Kitaev chain (with t = ∆)
H =∑ x [ − tfx†fx+1+ ∆fx+1† fx†+ h.c. ] − µ∑ x fx†fx
マヨラナ粒子のエンタングルメント
Consider log negativity E for two adjacent intervals of equal length. (L = 4ℓ = 8)
Topological insight into partial transpose in topological
phases
ハルデン相の例から、部分転置には、トポロジカルな解釈を付与する ことができることが予想される；向きづけ不能な曲面上での場の 理論。 マヨラナ粒子の場合も、部分転置にはトポロジカルな解釈が与えられ るべき：このことを指導原理にして、適切な部分転置の定義を探す。Partial transpose for fermions our de nition
[Shiozaki-Shapourian-SR (16)]
Expand the density matrix in terms of Majorana fermions:
ρA= ∑ κ,τ wκ,τ cκm11· · · c κ2k m2k | {z } ∈H1 cτ1 n1· · · c τ2l n2l | {z } ∈H2 ρT1 A = ∑ κ,τ wκ,τR(cκm11· · · c κ2k m2k) cτn11· · · c τ2l n2l =∑ κ,τ wκ,τi|κ|cκm11· · · c κ2k m2kc τ1 n1· · · c τ2l n2l
既存の定義との比較
[Shiozaki-Shapourian-SR (16)]
(Blue circles and Red crosses): Old (bosonic) de nition (Green triangles and Orange triangles) Our de nition;
時間反転対称なマヨラナ鎖のトポロジカル不変量
トポロジカル不変量: Z = Tr (ρIρT1
I );
まとめ
マヨラナ粒子のエンタングルメントを特徴づける新しい部分転置操作
の提案。Fermionic partial transpose
Fermionic partial transposeを用いた多体のトポロジカル不変量の構 成。(C.f. TKNN公式、Kane-Mele公式など。)
Outlook
量子異常、トポロジー、量子もつれの関係の解明。
Many future applications, in particular, in numerics. NbSe3Möbius strip
