はすぱ歯車の歯元応力に及ぽす重なりかみあい率の影響

月ヽ

田

哲

永

村

和

照

難

波

千

秋

(1977年 5月 31日 受 理)

On Effcct of《

Э

vcrlap Raio on RoOt Fillet Strcsses in Hclical Gear Tceh

by

Satoshi ODA*,]Kazuteru NAGAMURA*,and Chiaki NANBA*

(Rece ed May 31,1977)

Suni】

mary

ln the present Paper, the authOrs investigated the effect of overlap ratio on rcot stresses in helical gear teeth and the worst meshing cOndition under which the Hlaximuln roOt fillet stress occurs, based on the cantilever― _PIate

approach and strain― gage investigatiOns using the static gear 10ading appa―

ratus, which was developed by the authOrs.

It is fOund that the maxiinum root fillet stress occurs under the meshing condition,that the meshing POint in the middle plane perpendicular tO the

gear axis lies in the close vicinity of the outer single meshing Point fOr any overlaP ratiOS,

The calculated stress values based on the principle of superPOsitiOn and the moment―image methOd shOwed a gOOd qualitative agreement with the

results of strain― gage investigations on gear teeth.

1・ ま え が き はすば歯車の曲げ疲労強度について研究を進めるため には,まず負荷が作用 した場合に生 じる歯元応力につい て明らかにしておかなければな らない。本報では

,重

な りかみあい率 の異なるはす ば歯車に対 して負荷かみあい 時に生 じる歯元応力について理論的検討を行な うととも に

,試

作 した静的負荷かみあい試験機を用いて

,負

荷か みあい時に生 じる歯元応力を測定 して

,歯

元応力波形, 最大歯元応力が発生す るかみあい位置および重な りかみ あい率の歯元応力に及ぼす影響についてかな り明 らかに す ることがで きたので,これ らの 結果 について 報 告す る。

2.歯

元 応 力 の 計 算

2.1

_{歯元応力計算式} (り 単位長さ当た りの荷重による歯元応力

はすば 歯車の歯を有限幅の片持平板 と考え

,歯

の接触線にそ っ た分布荷重を同時接触線の単位長 さ当た りの集 中荷重の 集 ま りとみなす と

,歯

面 に垂直に作用す る接触線の単位 長さ 当た りの荷重 ´ によって固定端 (歯元

)に

生 じる 曲げモーメン ト ″ は

,次

式によって与え られ る。

ν =p cosα 携

Ⅲ … … …・ ・(1) ここで β :固 定端 における曲げモーメ ン トを与 え る係数

α身

:荷

重の作用線 と歯形 中心線 とのなす角の余角 また

,

単位長さ当た りの荷重 ´ によって歯元に生 じ る公称曲げ応力 σれ は

,歯

直角断面における

,HOfer

の30°_{接線法に よる危険断面の弦歯厚を}S″ とすれ ば, 次式によって求め られ る。 6膨

cos軋

・… …・・(2) 修

)固

定端における曲げモーメン トを与える係数 β 式(21における β は, 図 1の ように座標軸をとると, 荷重作用点か らの距離 ″

,荷

重作用点の自由端か らの距 離 ηお よび荷重作用点の歯す じ中央か らの距離 ξによ

H夢

l SySte♂

話 綴 1員露 縮頑 『 dる霊 buttd って変化する。ここでは

,荷

重が歯すじ中央に作用する 場合の β=βξ

_0の

値 としては

,無

限幅の片持平板に垂 直に集 中荷重が作用す る場合に対 して藤田1)が求めた値 をそのまま用い

,荷

重が歯す じ中央か ら離れた位置に作 里竜 黒 ヽ含￡ゴ炉

:こ

整七皇握皇き死ほとで耳

9て

写第 メージ法を適用 して求めた値を用いる。表 1は 藤国の計 算結果を示す。

13)接

触線上の荷重分布

同時接触線上の荷重分布 については,Niemann―Richer3)の 実験式を適用する。 すなわち接触線上単位長さ当た りの荷重 クは

,

次式に よって与え られる。

″

=″

_″

_{(1 + 0,4cos 2rg C°}S(π

″り

}

夕

_″

_う

∬ 'う

∬

=Σ

′

COS鳴

ここで ″′:か みあい長さの中央か らの距離を示 し

,中

央でガ

=0,両

端で ″′=±

1l y:円

周力,″解 :単位長さ当 た りの平均荷重,′:接触線の長さ

1),鳴

_:基

礎円筒ね じれ角 式12)における荷重 ´ は

,か

みあい圧力角を αぅとす れば

,次

式で求め られ る。 ´ = _COS ・… … …・・(4) αぅ (41 はすば歯車の歯元応力

はすば歯車の歯面に作 用す る荷重は

,実

際には歯面 の接触線にそ った分布荷重 であるか ら

,歯

元応力の計算にはこれ らのすべての荷重 に よる影響を考慮 しなければな らない。はすば歯車の歯 に対 して座標軸を図 1に 示す ように定める。すなわち座 標軸は分布荷重 ´ゲの作用線が 歯の中心線を含む平面

A

BCDと

交わ る点 Gす _{か ら自由端}

ABに

_{下 した垂線の足} を原点 にとり,自由端を ″軸,これに直角の方 向に,軸 を とる。そ して自由端の中央0。 _{点か らそれぞれの荷重} 作用点 に対応す る原点0,までの距離を ξ

F'そ

れぞれの

σ

_や♭

₌

汁

=

Table l Factors β for bending mOment at clamped edgel)

H 1 2H 1 3H

X

0 0,2 0,4 0,6 0.8 0,511 0.443 0.397 0.360 0.386 0.510 0.438 0.387 0.339 0.268 0.475 0,405 0.341 0.264 0.122 0.389 0.317 0.240 0.14σ O.051 0.210 0.159 0,107 0,053 0,012 0.038 0.025 0,012 0,004 0.002 0,016 0.011 0.007 0.002 0.001

0 1mHI蜘

1腑

H

原点か ら荷重の作用点 C,までの距離を η,とすれば, 歯す じ中央か ら ξブ離れた点 Qブ に生 じる歯元曲げ応力

_て σξブは

,次

の釘宮の式5)によって求めることができる。

キ 鴇

=〒

X

σ′_{f_ξ が,η =η}

_,,r-0

…… …・(5) ここに, 〆ξ_ξ_,,η=ηf'″ ‐

0お

よび βξ=ξ,, クη_J'″

=0は

'

それぞれ歯す じ中央か ら ″軸方向に ζ

_,,歯

先端か ら ノ軸方向に ηどだけ離れた 位置 に作用 す る ´すによって,これに対応す る歯元の点Qす に生 じ る曲げ応力および曲げモーメン トの 係数 を示 し

,

また βξ=ξす,η =η

,,

″‐(ξ J―ξ′

)は

' 荷重点か ら ″ 軸方向に一(ξ,一 ξァ)離れた点に対す る曲げモーメン ト の係数を示す。α坊,η の 計算式 については文 献151参 照。なお

,本

論文の歯元応力の計算には

,荷

重の半径方 向成分による圧縮応力および円周方向成分によるせん断 応力は考慮していない。

2.2計

算 方 法 歯元応力の計算に用いた歯車の諸元を表 2に 示 した。 図 2は

,歯

車G・

Aに

対する歯元応力の計算お よび測定 を行なった各かみあい位置を示す。歯元応力の計算は歯 車

G.A,G・ Bと

もに歯幅中央の軸直角断面においてか みあいを始める位置をかみあい位置番号①

,か

みあいを 終 る位置をかみあい位置番号⑫ として,この間を13等分 して

,そ

れぞれのかみあい位置 における歯元応力を歯車

Table 2 D二重nenSion of test gears

Begining oF engagement End of engagement

(Root) 0や

)

Fig. 2 Meshing positions for calCulation and

measurment Of root stresses(G.A)

G・

Aに

対 して

,円

周力

P=1000kg,G・ Bに

対 しては,

P=1380kgの

場合 につ い て計算 を行 な ってい る。な お

,

危 険断面 の 位 置 は 歯直角断面 におい て

HOferの

30° _{接線法 に よ り決定 し}

,

危 険断面 か ら歯先端 までの 歯 たけH=13.951ull,危 険断面 の弦歯厚 d″ =12.931ulを 実測 に よ り求 め計算 に用いた。

3.歯

元応力の測定

3.1試

験 歯 車 歯元応力の測定に使用 した歯車の諸 元 は計算 に用いたものと同一で表2に 示す とお りである。 歯車材料は

SNC

21,浸炭焼入後研削したもので

,歯

車 精度はJIS l級である。図 3は

,歯

車 G・

Aの

歯形および歯す じ方 向誤差曲 線の代表例を示 したもので

,歯

形誤差 は左

,右

歯面でそれぞれ7μ, 5μ

,歯

す じ方向誤差は

,

それぞれ 5μ_{ュ 4μ} 程度であることがわかる。 歯元応力の測定 は

,図

4に示す よう に

,か

みあい歯面の歯元す み肉部の, 歯直角断面上でI‐IOferの30° 接線法 に より決定 され る危険断面の位置に, ゲージ長さl IMllの_{ひずみゲージを歯す} ε_stes=2儀0麓ぬ Gear profile

Normal Pressure angle α″ Number of teeth Helix angle Face width Transverse contact ratio Overlap ratio 20°

(R.L)

20°

(R.L)

Ｉ Ｔ ← ︱ フ ｒ ｒ ィ

獅

打

鞘

Ⅲ

fr ︲ Ｒ Ｉ (a)Profile erroF

】

院

_Ⅲ

封 ︱ 働 一 ” 欧 И 附 ｉ Ｏ Ｏ Ｓ 中 ︱ ︱ ． コ ー ！ ︱ ︱ １ 日 日 〇 出   １ ￨ α

(b)Lead errOr

Fig. 3 Profile and lead error diagrams oftest

gears(G.A)

じにそって等間隔に 7枚 (歯車

G.Bの

場合は 9枚

)接

着 し

,歯

車G・

Aに

対 しては

,円

周力

P=1000kg,G.B

に対 しては

, P=1380kgを

負荷 して行な った。また, 歯車

G.Aに

対 しては

,

かみあい歯面の背面 にもひずみ ゲージを接着 して,引張側

,圧

縮側に生 じる歯元応力を 同時に測定 している。 Compres side Gage nunもer H=139節m SIュ_=1293剛 Tensilc side Gage nШlber

Fig, 4 Location o「 strain gages(G.A) 3.2 静的負荷かみあい試験機

実験に用いた静的負荷かみあい試験機は

,図

5に 示す ように試験歯車 (左ね じ旅う とかみあう支持歯車 (右ね

じれ

)を

回転止め円板固定台 により任意の 位置 で固定 し

,負

荷棒を介 して

,油

圧 ジャッキにより所定の荷重を

Fig. 5 Static ttOading apparatuS fOr spur and helical gears 負荷できるようにしたものである。荷重値は軸に接着 し た トル ク検 出用 のひずみゲージに より知 ることがで き る。かみあい位置は試験機に取 りつ けた読取顕微鏡によ り

,一

対 の歯車の特定の2枚の歯間の距離を測定するこ とによって決定 した。なお

,バ

ックラッシは軸間距離を 変えることにより与えることができ

,本

実験では

,円

周 方向バ ックラッシ量 ι。=110μ を選んだ。 これはJIS に規定される最小バ ックラッシ量の1/2に相当 する。

4.計

算・ 測定結果および考察 図 6は

,歯

車

G.Aに

対す る歯す じ方向の歯元応力分 布の計算結果を,また図 7は 測定結果を示す。 これ らの 図中の番号はかみあい位置番号を示 し

,図

2の かみあい 位置番号に対応 している。 歯元応力分布が計算結果 と測定結果 とでい くぶん異な っているのは

,仮

定 した接触線上の荷重分布が実際の荷 重分布 よりずれているためか

,あ

るいは計算には荷重の 半径方向成分による圧縮応力

,円

周方向成分によるせん 断応力

,歯

元すみ肉部における応力集中および両端不完 全部の影響が考慮されていない ことに よるものと考え ら れる。さ らに歯す じ方 向誤差などの歯車誤差の影響が計 算値には考慮されていない ことも理 由の一つ として考え られ よう。これ らの問題 については現座 検討を進めてい る。図

6,図

7ょ り歯車G・

Aで

は計算結果

,測

定結果 のいずれにおいても

,そ

れぞれかみあい位置番号③付近 で最大歯元応力値を示 していることがわかる。 このかみ あい位置は歯幅中央の軸直角断面 における外の 1組 かみ あい点にほぼ一致 している。また最大歯元応力は

,歯

端 Supporting gear

Gage number No2′

End

No4′ No5′ No6′ N07′

ｓ_Ｅ 日 ＼ 亜 喜   ゃ Ｚ も の の Ｏ Ｈ Ｐ ∽   ゃ 。 。 α 一１       一．       一        一 “ 目 く 亜 解 。 も ， ∽ 。 名 η や_０ 。 館 Center of tooth と1.5rl ―

H

引儀

5H O

α 5H H l.5H

End Center Of toOth End

亀=20°

,b=4thm,P=1∞

Okg

Fig. 6 Longitudinal stress distribution Of heト ical gear tooth (CalCulated,G.A)

Gage number 1.5H No7 End F。=20°,b=404n,P=llXDkg,C。 =110/

Fig, 7 Longitudinal stress distribution of hel一

ical gear tooth(Measured,G.A)

よ りい くぷん歯す じ中央 に寄 った位置で現われ

,両

端 で

歯元応力 は小 さくな る傾 向が認め られ る。図8は

,歯

車

G.Aに

対す る, 圧縮側 にお ける歯す じ方 向の歯元応力

F。=2ば,b=41X m,P=1000kg, cO=■ 0/

Eig. 8 Longitudinal stress distribution of heユ ー

ical gear tooth (Atteasured,G.A)

分布の測定結果 を示す。図

7,図

8ょ り引張側 と圧 縮側 の最大歯元応力 の絶対値 の比 は

,約

1・15と_{圧 縮側 で大} きくなっているが,これは主として負荷荷重の半径方向 成分の影響によるものと考えられる。 -2H-1,田 ―

_{H■ 5H00.5H‐}

_{‐ 割} 「 餌

End , center of tOoth End

亀=20°,b=55.1lmm,P=1380kg

Fig。 9 Longitudinal Stress distribution of hel―

ical gear tooth(CalCulated,G.B)

図9は

,歯

車G・

Bに

対す る歯す じ方 向の歯元応力分 布の計算結果 を,また図10は測定結果 を示す 。計算結果 では

,最

大歯元応力の発生す るかみ あい位 置 は厳密 には 増 目 ＼ ∞ ︼ ． も の り ０ 陶 ， _∽ 一 〇 〇 館 ４ ３ ２ Ｐ 0 指 日 ＼ ∞ ︼ や Ｚ も の ∽ ω 魯 ∽ ぢ ０ 碇

Ｈ

雨

０

_・

５

Ｈ

嶋

ｏ

ｔ

ｈ

Ｏ

醇

 

中

綱

艦

Ｃ

ｅ

ｎ

・Ｈ

_咸

噂却

_耐

Ｅｎｄ

ヽ目 ＼ 望 っ も 明 ８ 缶 あ む ０ 館 ⑫付近 となってい るが

,か

みあい位置番号⑥∼⑮ の範 囲 では最大歯元応力値 の 間 にはほとん ど差が認め られな い。また

,歯

す じ方向の各断面に生 じる最大歯元応力値 は歯す じにそってほぼ 一様 となっている。測定結果で は

,最

大歯元応力の発生す るかみあい位置 は③付近にな ってお り,このかみあい位置は歯幅中央の軸直角断面 に おける外の 1組 かみあい点にほぼ相当している。 これ ら の結果 より

,ね

じれ角 β。=20°の歯車については, 最 大歯元応力の発生するかみあい位置は

,重

な りかみあい 率 に関係なく

,歯

幅中央の軸直角断面における外の1組 かみあい点近傍であると考えることがで きよう。また, 歯元応力分布が計算結果 と測定結果 とでい くぶん異な っ cage -2H mumber Noエ End ―G5H 0 0・5■ N34 NoS N06 Center Of tOoth 一 Ｈ朧 ・ ︲ ・ ５ ︲詑

・

別

憫

Ｅ

_ｎ

ｄ

胡

醒

一

Ｈ

Ｗ

亀=20・,b=55,1lmm,P=1380kg,c。 =■Oμ

Figi 10 Lo4gitwdhal stress distribution of heト

ical gear tooth (Measured,G,B)

Positions of engagement 亀=20°

,b=40m,P=1000kg

la)G.A

” 目 Ｈ ＼ 曽 れ 。 Ｚ も   ∽ り ｏ ︼ ゃ め   ゃ ０ ０ α 名 目 ＼ ︺ 一 ゃ Ｚ も   い φ ｏ 蜘 ゛ ∽   ゛ ｏ ｏ ば ・０   ５ ０ ・０   ５ ０ ・０   ５ ０ ・０ ５ ０ ・０   ５ ０ ・０   ５   ０ ︲０   ５ ε_stes

Ro

②①③③

O③

①

OOOTや

RootO①

_③③

O◎

①

OOO・

p

Positions of Ongagement

亀=20°,b=55.llnd,P=1380kg

lb)G.B

たものと同 じ理由に よるもの と考えている。 てい るのは

,図

6,図

7に ついての考察のところで述ペ 図11修_{た い)は}

_,そ

_{れぞれ歯車}

G.A,G・

Bに

対す る かみあい位置の移動にともな う歯元応力波形の計算結果 を

,図

14a〕_,い)は

,歯

元応力波形の測定結果を示す。 こ こで

,図

中の矢印 電は歯幅中央の軸直角断面における外 の 1組 かみあい点に相当 す る位置を表わす。 歯車G・

B

に対する歯元応力波形は

,

計算値

,測

定値 ともに

G.A

に比べてより滑 らかになってい る。 これは

,歯

車

G.A

の重な りかみあい率が εs夕=0・

73で

ぁるのに対 して, G・

Bで

_{は,亀 夕}

=1と

整数になっているために同時接触 線長さが

,各

かみあい位置に対 して常に一定 になること Cage number No7 1.5H No.6 H No 5 0.511 No 4 0 No.3 -0.5H に よるものと考え られ る。また

,は

す ば歯車の歯のかみ あいは歯す じ上 の一端か ら始 ま り

,漸

次移動 して歯す じ の他端で終 るので

,

歯す じ上の 各点 に生 じる歯元応力 は

,一

般にその点に対応す る歯元 あるいは歯先がかみあ いにはい る前か ら現われ

,同

様にかみあいを終 った後に も現われ る。そ してこの期間は

,対

応 した歯元あるいは 歯先がかみあいにはいる前では

,歯

す じ上のかみあい始 めの位置に近いほど短 く

,か

みあい終 りの位置に近づ く ほど長 くな り

,か

みあいを終 った後では

,そ

の逆になる 傾向が認め られ る。 Cage number No0 No4 -0.5H No3 -H No.2 -1.5H

ROOt◎

_①③⑤

_O◎

_①

OOOTや

/」_。=20°,b=55.1lmm,P=1380kg,c。 =110/

(b)G.B

in pinion tooth (Measured)

Ｍ

Ｈ

 

唖

０

_・

５

Ｈ

 

嶋

０

ｇ 日 出 出 ，い い ＝ ＝ ね ５ ０ ・０ ５ ０ ︲０ ５ ０ ５ ０ Ｎ 日 日 ＼ 的 喜 ， も   り の 。 歯 ↓ ∽   一 〇 ０ ∝ 口 Ｅ Ｏ Ｗ ＝ ＝ わ 斜日 日 ＼ ∞ 留 ゃ も   ∽ の ｏ 監 Ｐ ∽ ， ０ ０ ば No.2 H Root

②

① ◎⑤①③ ① ①

OOTわ

Positions of engagement /J。=2ば,b=40mtt P=llXDk5 C。 =■ 0/t

(a)G.A

Fig. 12 Root stress wave forms ―g

１ ． ０ ． ０ ． ０ ． ０ ． ∽ ∽ Ｏ 角 一 の   ，Ｘ ” ｇ   Ｏ ゛   η り Φ ﹃ “ ∽   ︼ Ｏ   Ｏ ｒ § 碇

…―

CaLuhted(∫_f齢

_鵠

_1悪PChter) ―‐―Calculated(Uniform distribution) 一 Measured

◎ ① ③ ③

O◎ OOOO

Posijons of engagement 亀=20°,b=41hlnl,P=1000kg, c。=110/

1a)G.A

図1引_剣,い)は

,各

歯車に対す る歯幅 中央における歯元 応力波形の計算結果 と測定結果 を比較 して 示 したもの で

,計

算値 と測定値のいずれについても

,最

大歯元応力 を 1と し

,他

のかみあい位置で生 じた歯元応力を最大歯 元応力の比で表わ している。これ らの図 より

,最

大歯元 応力が発生す るかみあい位置についてみれば

,各

歯車に おいて

Niemannら

に よる 分布荷重 にもとづいて求め た 計算結果 は 測定結果 とかな りよく一致 しているが, 等分 布 荷 重 にもとづいて求 めた 計算結果 (図13(aD は少 しずれていることがわかる。 これ らの 結果 か ら,

Niemannら

_{に よる荷重分布はほぽ妥当なものと考えて} よかろう。 5。 む す び 負荷かみあい時に生 じるはすば歯車の歯元応力に及ぼ す重な りかみあい率の影響について検討を加えた結果明 らかになった諸点は

,次

の とお りである。 位

)は

すば歯車において

,最

大歯元応力が発生す るか みあい位置 (最悪かみあい位置

)は ,重

な りかみあい率 に関係なく

,歯

幅中央の軸直角断面 において

,か

みあい 点が外の1組かみあい点 と一致す る位置の近傍である。 (21 -対 のはすば歯車をかみあわせてパルセータ試験 ② ① ③ ③ ⑦ ③ ①

O⑤ O

F。=2ば,b=55 1lmm,P=1380kg,C。=110T

tb)G.B

(曲げ疲労試験

)を

行 な う場合 のかみあい条件 として は

,結

論位)で述べた最悪かみあい位置を選ぷのが適当で あろう。 俗

)重

な りかみあい率 亀

,=1の

はすば歯車では

,各

断面に生 じる最大歯元応力値は態す じにそってほぼ一様 となる。 14)引 張側 および圧縮側に生 じる最大歯元応力の絶対 値 の比は

,約

1,15と 圧縮側の方が大きい。 脩

)最

大歯元応力は歯端 よ り歯す じ中央に寄 った位置 に生 じ

,両

端ではい くぶん小 さくなる傾向がある。 おわ りに

,本

研究を行 なうにあたって

,熱

心にご協力 いただいた元鳥取大学助手島冨泰司氏に対 して深 く感謝 の意を表 します。 参 考 文 献 藤 田

,機

械学会論文集,26-163(昭 3卜3),430.

Wellauer,E.J. & Seireg,A.,「

Frans,ASME,

Ser.B82弓 (1960-3),213.

Niemann,G.,Maschinenelemente,Bd.工

,(19 65),S,76,SpringeriVerlag.

仙波

,歯

車第3巻,(昭 31),774, 日刊工 業新聞社.

釘宮

,機

械学会論文集,32-235(昭41-3),511.

Fig. 13 Stress wave forms in middle section of face width

４   ５