地震動による構造物へのエネルギー入力の統計量予測に関する基礎的考察

【研 究 論 文

I

UDC ：624

．

042

．

7：620

．

1 第日本建築347 学 会 構 造 系 論 文 報告 集号

・

昭 和 60 年 1 月

地

震 動

に

よ

る

_{構 造 物}

へ

の

エ

ネ

_ル

_ギ

ー

_入

_力

_の

　　　　

統 計

量

予 測

に

関

す

る

基

礎 的考察

正 会 員 正 会 員 正 会 員

大

田

高

井

中

梨

謙

晃

＿

＊

尚

＊ ＊

＿

＊ ＊＊ 　 §L 序

．

論

　

地 震 動が構造物に与え る荷 重 効 果 とし て

，

どの よ う な 応 答 量 を選 択すべ きか は

，

構 造 物の地 震に対 す る 抵 抗能 力を どの よ う な 量 と み な す かに まっ た く依存す る。 近 年， 構 造物の弾塑性範囲 に わ た るエ ネル ギ

ー

吸 収 能 力を 構 造 物の抵 抗 能 力 とみ な す考え方が定 着し

，

現行法令の 精 神に も反 映さ れ てい ること は周 知の_事実で あ る。 地 震 時に構造物が吸収す るエ _ネルギ

ー

量 を物理的に解釈する と

，

こ れ と直接 比較さ れ るべ き荷重効果は

，

地震 動が構 造体に_対し て行う仕事量 （エ _ネルギ

ー

入力 ）に帰 結 する。 本論文で は， 次の運 動 方程式に支配さ れ る

1

自由度 構 造 物 系に おい て

，

_有効 外 乱項

．

−

mV が相対 座 標系で行う 仕 事量 をエ _ネルギ

ー

入力と定義す る。

　　　

m 飴 ＋

f

（x

_，

dr

，

　t）

＝−

mV

…・

………・

…・

・

……

_{（1 ）} 　ここで

，

m ：質量 　 　　 　　ヱ ：_相対 加 速 度 応 答 　 　　 　　／：_{広 義}の復 元 力 　 　　 　　x ：相 対変位応 答 　 　 　 　 　th：相 対 速 度 応 答 　 　 　 t：時 間 　　 　　　

g

：地動 加 速 度 で あ る。

　

一

般に_構造物が吸 収するエ _ネル ギ

ー

量 は 時間と と もに 単調 増 加 す る 量である （Fig

，

1）か ら， 荷 重効 果として の エ ネルギ

ー

入力E，は

，

その最 終 値で代表さ せ るこ と が可 能である

。

す な わ ち

，

E・

一

叩

∫

：

雪幽 翩

・

…・

………・

…・

……

（2 ） 　も ち ろ ん， エ ネル ギ

ー

吸収量 だけ で は なく， その時間 的 変 化の_性状を も考慮す る場 合 （例え ば種々 の_累積損傷 度 規 準 を 適 用す る 場合 ）に は

，

（2）式の積 分 範 囲の上 限 を時 刻 τ で置 換え

，

エ ネルギ

ー

入力 過 程

EK

τ）と して の取 扱い が必要と な る が

，

本 論 文で は考 察の範 囲 外と す るQ 　構 造 設 計 者はある設 計 用 地 震 動の も とで， （2 ）式で 与え ら れ るエ_ネル ギ

ー

入 力 を， 構造物が倒 壊などの破 局 6 　 　 　 　 　 　

4

　 　 　 　 　 　 2

（

蟲 ＞

9

丶 Φ の

ぎ

α ω o 」

茜

δ ＝ Φ

（

1

）

　 　 　 （sec ）

freevibration

Energy

　

Responses

Fig

．

1 　 YQQ 0

一Qy

δ（

＝

x

⊃

（

2

）

　

Hysteresis

　

LOOP

Typical　Energy　Responses 　of　an　Elastic

−

plastic　SDOF 　System

本 研 究の

一

部は文 献8）

，

9）において 発 表 し た

。

　＊ 東 京 大 学 生 産 技 術 研 究 所

・

助手

・

工修 1＊ 千葉 大 学

・

教 授

・

工博 率牌 東京大 学 生 産 技 術 研 究 所　教 授

・

工博 　 　〔昭和59年 4 月 13日原 稿 受 理日

，

討 論 期限 昭和60年 4 月 末日）

一 47

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

を生 じるこ と な く散 逸で きる よ うに

，

構 造 物の強 度 や変 形 能 力を確 保 する必 要が あ る

。

こ の よ うなエ _ネル ギ

ー

応 答に基 礎を お く耐 震 設 計 論は古くは Housneri） に よっ て 創 始さ れ

，

我が国では鉄 骨 構 造の分 野で加 藤

・

秋 山らに よっ て確 定 論 的な設計論が展 開さ れて い る2）3）4）

。

将来こ の よ うな設 計 体 系を確 率

・

統 計 的に整 備し_， 信 頼 性 理 論 として発 展させ る必 要があると考え ら れ

，

弾 塑 性 範 囲で の確 率 的エネルギ

ー

応 答につ い て も研 究が進 めら れて い る5 ）6 ］7 ）

。

し か し なが ら

，

こ れ ら の研 究は_， そ の理 論 展 開 が採 用 した地 震 動の確 率モ デル の単純 性

・

特 殊 性に負 う 部 分が多い ため

，

今 後 資 料の蓄 積に伴っ て発 展 するであ ろう地 震 勤 自体の数 学モ デル にどの程 度 追 随で き る かど うか不 明である。 そこ で

，

本 論 文で は

，

構 造 物 を確 定

，

地 震 動 を確 率 的と し た場 合にエ _ネル ギ

ー

入 力の 2次まで の統 計 量に直 接 関 与する地震 動 自体の統 計量は何かを ま ず 明 確に し

，

次に既 往の古 典 的 人工地 震 波による線 形 振 動 系へ のエ ネルギ

ー

入 力の期 待 値

・

分 散の解 を

，

でき る だ け汎用性の ある形 式で提 示する ことを 目標と する

。

ま た得ら れ た解 が， 適 当な等 価 線 形 化 手 法の使 用 を前 提と して

，

弾 塑 性 構 造 物 系へ のエ ネル ギ

ー

入 力にも適 用でき る ことをモ ンテ カ ル ロ

・

シ ミュ レ

ー

ショ ン結 果との比 較 を通し て例 証 する

。

　

§

2．

エネルギ

ー

入 力の周 波 数 領 域 表 示 と統 計 量s）

・

9） 　 地 震 動の性 質は周 波 数 領 域で記 述さ れ る部 分が多い の で， エ ネル ギ

ー

_{入 力 も周 波 数 領 域 表 示して お く と好 都 合} である

。

本 節で は

，

次の よ うなFourier変 換

・

逆 変 換 式 を使用する

。

・〔・）一

∫

：

∫ω ・

一

’Wt ・・

…・

……・

…・

………・

・

（・）

　　

　

ノω一

去∫

：

・（・）・’Wtd ・

t・

・

t・・

…・

……一

（・） 　こ こ で

，

ω ：角 周 波 数 　 　 　 　 　π ：円 周 率 　 　　 　　 ノ：虚 数 単 位 　 　　 　　e ：自然 対 数の底

　

ま た

，

Fourier変 換の対 を

f

（t）

“

F（ω〉の よ うに表 現 する。この と き

，

パ ワ

ー

定 理とし て知 ら れ るPransherel の定 理1°）_は

_，

　

fi

（t）⇔ FI_（ω） ，

．

猷 の⇔ F2（ω）の とき

，

　　

　

∫

ン

ω

孟

ω・・

一

彖

。

f

：

F

， ｛・・）瓦（・）d・

・

…

（・） と表現で き る。 こ こ で

，

f

：，　F，は複 素 関 数

fi

，

凡 の 共 役を意 味す る

。

fi

｛

t

）

＝

X（t）

，

　

ft

_（t_）

＝V

_（t_）

；

_蛍（t）を （5） 式に_代入 し， （2） 式の エ ネル ギ

ー

_入力の定 義を参 照す れば

，

次 式が得られ る

。

　　

・广

疉

∫

：

壇ω

歹

（・）・ω

…・

・

…・

・

……・

…・

（・） こ こ で

，

t（t）⇔ 遠（ω）

，

　

y

（t｝・．

y

／ω｝で ある

。

一 48 一

　次に_{， 雪（}t）を入 力とし て 頭 のを出 力とす る入出 力シ ス テムを考え

，

その シ ス テ ム関 数 をH（ω）とすれ ば

，

　　　激

ω）

＝

H（ω）

V

（ω）

……・

・

……一 ………・

一

（7｝ 　 （7） 式を （6）式に代入 し

，

X（t）お よ び 齢 ）が実 関 数であることに注 意 すれ ば

，

E

・

一

∫

：

w （・）

陶

1

…

…・

…・

・

…・

…・

…・

…・

（・） た だ し， W （・）

一

濃

Real

［

H

（・）］

・

・

…・

…………

_（・｝ 　こ こ で

，

　　　　

l

　

l

：複 素 数の_{絶対 値} 　 　

Real

［ ］：複 素 数の実数部分 である。

　

（

8

）式に おける

IY

（bl｝

12

は地 動 加 速 度の Fourier 自 乗 振 幅であり

，

これ を ω に対し てプロ ッ トしたもの は

，

地 動 加 速 度のエ _ネルギ

ー ・

ス ペ クトル と呼ば れて いる。 1輌 1’ （。mう， 。ゐ 4xlo

‘

2x10 生 0

−

16

π

π

ω（se ♂）

Energy 　

Spectrum

　of　

Ground

　

Acceleratlon

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

s

畿

一

2ω e

一

ω O 0 ω o 跏 O

ω

Energy

　

Admlttance

　of　

Structural

　System

　

　

　

　

　

　

　

　

旦

　 　 　 co

EI

・

∫

w

_〔・ _）

　 　

−

oo

i9

’

（

ω

_）

12d

_ω 　 　Er旧 r口y　lnpu管to　Structural　Systetn Fig

．

2　Frequency

・

doma孟n　Expression 　Qf　Energy　Input

（

8

＞式は

一

般に電 力 な どの アナロ ジ

ー

で 「エ ネルギ

ー

」 と呼 ばれて い る スペ ク トル値が， 重みづ け関 数 W（ω）を 介 在させ るこ とに よっ て_， 構造物系に投入 さ れ る力学 的 エ _ネルギ

ー

に変 換で きる こ と を意 味して い る （Fig

．

2｝

。

　

粘性 減衰弾性系の場 合

，

W（ω｝は次式で与 え ら れる

。

　

　

　

陶

一

硲

瀦

纛

。、

一 ・

・

………

_…1・・ 　 こ こ で

，

dn ：無 減 衰 固 有 角周波 数 　　　 　　

h

：減衰 定数 で ある。

　

こ の重みづ け関 数につ い て は

，

Lyon がホ ワイトノ_イ ズに対する 自乗平均速度応答か ら （10）式 と 同様の式を 導 出して 「線 形 振 動子 の ア ド ミッタン ス」と呼んで い る1n ほ か

，

滝 沢が （9 ）式の 形で考 察し て い る】2 ）13 ）

_。

本 論文 で は（9）式で与え られる

W

（ω）を振 動系のエ _ネルギ

ー ・

ア ドミッタン ス と呼ぶこと に す る。

　

無 減 衰 弾 性 系に対 して

，

（10）式は次の ような_{超 関 数} とな る

。

　　　

嘱

一

誓

［δ（・＋・ ・）＋ δ（・

−

t・・｝｝

・

…・

…一

（1・） 　 こ こ で

，

δ（ω）：

Dirac

の デルタ関 数で あ る

。

　

（ll ）式は無 減 衰 弾 性 系の_{残 留 速 度 応 答}スペ ク トルが

，

地 動 加 速 度の Fourier振 幅スペ _{ク ト}ルに等しい_事実と対 応 して い る。 ま た

，

（10） 式や （

11

）式で与え ら れ る

W

（ω）の面積に関し て次の性 質が ある

。

　　　∠

ン

（・）

d

・

−

T

・

………・

………・

…・

…

（

12

＞ 　以 下

，

構 造物 系を確 定

，

地 震 動 をランダム_{過 程}と し， 確率 変数を太字で表現 する

。

線 形シス テムで は

，

エ ネル ギ

ー ・

ア ド ミッ タン スは振 動 系の パ ラメ

ー

タ

ー

にの み依 存す る が

，

非 線形 システム で は入 力以置）に も依存す る。 　従っ て後者の場 合

，

厳 密に はエ _ネルギ

ー・

ア ド ミッ タ ン ス の_関数 形も確率 的に変動 する が

，

本 論 文では何ら か の等 価 線形 化手法の適用を前 提とし て_，

va

_（ω〕が あ た か も確定的で あ る かの _{よ う}に取 扱 う

。

（

8

）式の期待値お よび分 散 をと れば

，

期待 値 演 算と積 分の順 序 を交 換す る ことによっ て次 式が得られる

。

　

　

　

E

［

E

’］

一

∫

ン

（・）・［

ly

（・）

1

・］

d

・・

一

………

（13）

　

　

　

v

［・・］　

・

　

JC

：

fl

　

w

（軌）晦 ）・Viifi（to1

，

仙 ・・、 　 　 　 　

・

・

・

・

・

…

　

r噛

・

・

・

・

…

　

P呷

・

・

・

・

・

…

　（14） 　こ こ で_， 　 　 　 E［ ］：期 待 値 　 　 　 γ［ ］：分 散 を意味す る。 C玲

r

（ω1

，

ω2）は

Iyl2

の 共 分 散 関 数 を 意 昧し

，

次 式で与 え ら れる

。

cyly

广（ω 1

．

ω ，｝＝

E

［

1

　

V

_（　、。，）

121

セ（ω，）

12

］

　　　　　　一E

［

If

（ω、）

lt

］

E

［

IY

（th）

1

’ ］ 　　 　　　 　　　 　　 　　　

………・

・

・

………

（15 ＞

　

（

13

）

，

（

14

） 式 よ り

，

エ _ネル ギ

ー

入 力の_期待値に は地 動加速度の期 待Fourier自 乗 振 幅が， エ ネル ギ

ー

入力の 分散には 地 動 加 速度の Fourier自乗 振 幅の共分散関 数が 直接関与す ること が分か る。 　 §

3．

古 典的 人工地 震 波に よ る線 形 振 動 系へのエ ネル 　 　 　 　ギ

ー

入力

　

本 節で は

，

地震 動の_{確 率}モデル と して_， 確 定 形状 関数 　 （包絡 線関数 ）に よっ て非 定 常 化 され たガ ウシ アン

・

ホ ワ イ トノイズを

，

地盤 特 性を表 現する_{確 定線 形フ ィ}ル タ

ー

に通し たラ ンダム過 程 （Fig

．

3 ）を採 用す る。 こ の 過 程に対して

，

粘 性 減 衰 弾 性 系へ のエ ネル ギ

ー

入力の期 待値と変動 係 数を求める式 を導 出する

。

　 平 均 値

0

の ガウシア ン

・

ホワイ トノイ ズ をn_（

t

_）と す る

。

ホ ワイトノイ ズの

一

定なパ ワ

ー

スペ _{ク ト}ル 密度

So

は

，

n（t）の 自己相 関 関 数と次の よ う な関係を満足 す る よ うに_定義さ れ るもの とする

。

　　 　 E［n（

t

匚｝n（

ti

）］

置2

π

So

δ（

ti一

置2〕

……・

…・

……・

（16 ） 　n（t）に確 定 形 状 関 数α（t）を乗じ た擬定常過程を が（

t

） と す る。

　　　

n＊（

t

）

＝

α（t）n（

t

）

……・

…………・

…………・

…

（17 ） 　n喰 （t）⇔ N “_（ω｝とし た とき_，

　　　

y

（ω）

＝

F （ω）

M

（ω）

……・

……・

………一 ・

…・

・

（

18

） 　こ こ で

F

（ω）は確 定 線 形_{フ ィ}ル タ

ー

の伝 達関数で あ る

。

　地動 加 速 度の_{期 待} Fourier_{自乗 振 幅}は_，

　　　

E

［

pv

〔ω））t］

＝

IF

（t、）

1

’E［

Ilv

’（ω）

1

’ ］

　　　

−

1

・（・）

1

∬

：

a（・・｝・（t2〕e ’・・lt・

一

・・） 　　 　　

・

E［n（

ti

）泥（

t2

）］

dt

，

dt2・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

一・

・

…

　

r

（19） 　（19 ）式に _（16 ＞式を代入 す る と

，

　　　E

［

lY

（ω）

12

］＝ 2π

SolF

（ω）

iZA

，（0）

……・

……・

・

（20 ）

　こ こ で，

A

，（ω）は 自 乗 形 状 関 数の

Fourier

変 換

Ca

（t）］2_→ ん （ω））を 表_し

．

　 A_，（

0

_）は 形 状 関 数の 全パ ワ

ー

∫

：

［・（t）］・

dt

を意 味す・

．

　

（20 ）式を （

13

）式に代 入 することによ り， エ ネルギ

ー

入力の期 待値は次式で与え ら れ る

。

　　　

・_［E’］

一

・…

A

・（・）

f

：

tu

（・）

1

・（・）

1

・

d

・

…一

（・・）

　

さて （

21

）式におい て

，

フ ィル タ

ー

無 しの場合 （

IF

（ω）

1

』 1 ）を考え

，

（12）式を 用い る と 次 式 が得ら れ る。

　　　E

［

E

‘］＝ π7π

SoA2

（0｝

・

……・

…

　…・

………・

・

（

22

）

　

す な わ ち， ホ ワイト ノイズに形 状 関 数 を 乗じ た擬 定常 波に よる粘 性 減 衰弾性 系へ のエ _ネル ギ

ー

入力の期 待 値 は_， 振 動 系の固有周波数 や減衰定 数に依 存し な い。 こ れ は文 献 14）の洪の記 述 と 相 反す る が， 文 献

14

）で は

，

地震終了時に振 動 系が運 動エ _ネル ギ

ー

および 弾 性 ポテン

一

₄₉

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

0 ω

S

（co⊃：Power 　

Spectral

　Density

↓

　 aω

⊥

　 　 　

O

　　　 　　　　 　　　 　　t ，ω 。ω ＝ ，

汽

t》− N＊（。_）

．

Multiply　Deterministic 　Shape 　Functien

．

r

尚

t）

1

lF

（ω_）

12

．

o

↓

t 0f （t）

r

←

一

伽

一

　F_（o ） 　　 　 y（t⊃

嚠

噂

一レ

Y_（w｝ ジω

ち

∫

箔

＊・・… 卜 ・_… ω Deterministic　Filter

1

V

（・）　・ FC・D）・N＊（ω）

　 　 　

_S 。mpt 。　

Exci

，。，

i

。n

　　　　　　

Fig

．

3

　

NQn

−

stationary 　Filtered　White　Noize　Mode1

シャ ルエ ネル ギ

ー

の形で保 有して いるエ ネルギ

ー

量 が無 視さ れて い る た め で あ り

，

これら のエ ネル ギ

ー

量 も地 震 終 了後い ずれは_散逸さ れ るとい う観点にたて ぱ

，．

本 論 文 の （22 ）式との矛 盾は生じ ない。 　フ ィル タ

ー

を考 慮す る場 合に は

，

（10） 式で与えられ る

W

（ω｝を用い て

，

（21）式 を 評価すれ ば

，

粘 性 減 衰系 へ の期 待エ ネル ギ

ー

入力が求ま る

。

こ の場 合に も

，

凧 ω）の バ ン ド幅が 狭 く

，

．

ωa 近 傍で

IF

（CD）

lt

が ゆ る や か に 変 化し て いる 場 合に は

，

次 式の よう な狭帯域近似が可 能 であ る。 　　　 E画 ］＝ _πm

．

S

。

A

，（0＞

IF

（ω。）

12

………・

……・

…

（23）

　

次に

，

Fig

．

3に示され る地 動 加 速度過 程の

Fourier

自 乗振 幅の共 分 散 関 数を求める

。

　CV

，t

・

，

’

（ω 、．ω、）／

IF

（ω 1）

1

’

IF

_（ ω，）

1

： 　

・

イ

：

∫

証

：

f

：

・（t・）・（t・）・（t・） 　 　

・

α（

t4

）ejbl’（t’

−

t「）

　　・

e岬 ‘

・

一

“

IE

［n（tOn（t，＞n（t、）n（t，）］

　　・

dt，

dt

，

d

診，

dt、

− E

［

1

丿

v

禦 （ω、｝

12

］

　　・

E

［

IN

ホ （ω，）

1

’ ｝

一 …………

（24＞ 　n（

t

）は ガ ウス過程であ る と 仮定 し てい

．

る か ら，　 　 　 　

．

E［n（‘1）n〔t，）n（t3）n（置、）］ 　 　＝

E

［n_（t1_）n_（t2_）］

E

［_蹲（t3_）n_（t

‘

_）］ 　 　 　十

E

［n（

ti

）n（

ts

）］

E

［n（

t2

）n（

t

■）］ 　 　 十

E

_［n（

tOn

（t・）］

E

［n（tz）n（ts）］ 　 　　 　　　 　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（25 ） 　 （

25

）式 を （24）式に代 入し

，

（16＞式

，

（

20

）式 を 考 慮 する と

，

共 分 散 関 数は 次 式で与え られ る

。

　C

　VIVi

’

（ω1

，

ω、）＝

4

π 2S 言

iF

（ω、）

1

’

・

_IF

_（ω，）

12

［

IA

、（ω、＋ω、）

12

　

＋

1

・

A

，（ω、

一

ω，〕

12

］

…・

・

・

……一

（

26

｝ 　 （

14

）式に （26）式 を 代 入し

，W

（ω） お よ び

IF

（ω）

1i

が ω の 偶 関 数で あ る こ とに注 意すれ ば_， エ _ネルギ

ー

入 力の 分散は次 式で与え ら れ る。 嘔

一

…

畷

・（・）

［

・・（・｝

12d

・ 　 　　 　　　

・

…

　

一一・

・

…

　二

・

・

・

・

・

・

・

…

 （27 ） 　た だ し

，

u

（d・）

・

＝

f

：

w （u）・（u＋・）

IF

（u＞

lt

　 　　 　

・

iF

（u

−

←ω））tdu

・

一・

・

…

　（28） 　（27｝

，

（28 ）式に （10）式で与え ら れ る

W

（ω｝を代入 して， 粘 性 減 衰 系へ のエ _ネル ギ

ー

入力の分 散 を算 出 するこ と も可能であるが，

一

_{般に繁 雑と な る} の で

，

関 数

U

（ω）に関し て （23 ）式と同 様な狭 帯 域近似 を行え ば

，

　

U（ω）＝

1F

（e、。）

1

‘

Ui

（ω〉

…・

…一 ………・

…・

一……・

・

（29 ） 　こ こ で_，

u

，（・）一

∫

ン

（u）w ｛u ＋・）dti

．

_・

_………・

_{…一 …・}

_…

（・・〉 　（10）式で与え ら れ る

W

（ω）に対し て

，

U，（ω）は次の よ うな関 数と な る

。

　

　

　

u，… 一

蓋

等

、

’

・

u

・・w ）

一

・

…・

…

・

……一 …

・

31

） 　 こ こ で 

U

・…

「

。

！

≒

綿 譱

。 ・ 、。

暴

‡

。

一

_・32・

　

（29〕

，

（31）式 を

．

（27）式に代入 して平 方 根 をと り

，

（23）

一 50 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

IF(w)1 4-[F(v)1 2r 2 o-2"u 22

)

-wo(A)

o Amin,Ang ole 2Ogw

.7

IF{.M2

'

1 o'''''

-2"e

IFcw)1'

rOe(B)

A

'ttt

_tttt

'20gm.-u."-

-Wn

(c)

oTajlmi O wg 2wa

-ao

o w

Beletin,Barstein

(D)

No

Fig.4 DeteTministicFiltersUsed inTable1

Table1 ExpectedEnergyInputto Viscously _{Damped LinearSystem}

wo 2otow

L

Filter

cow

CODE

iF(w)l2

_{E[Etl/[mTso-JM[a(t)]2dt]}

-m

A

tugg tug3(woh+tughg)

(hlg2-to2)2+4hg2tug2to2hgI(tug2-wo2)2-F4togtoohgh{tue2+t]g2)+4wg2tuo2<hg2+h2)j

B

blg4+4hg?wg2to2' tug2[tug(uleh-Vghg)+laOtihg2(tuOhgh,gh)]

(tug2,-tu2)2+4hg2tug2w2

hg[(alg2HtuO2)2Murgotohgh(wo2+tog2)"tug2we2(hg2+h2)]

c

awg(a2+uagl+bl2) tug[a(wg2+a2-la}o2)+2tuoh(a2-vu)g2)]

(.2+.tug2-tu2)2+4a2ni2

_{(a2`HDg2-tue2)2+4hlo(cr-tboh)[atoe+h(a2-ttlg2)]}

D

1(Nofilter)

₁

Table2Coefficiento

'f

Variationof Energy Input t6Visceusly Damped Linear

System

CODE

a{t) c.o.v.[Er]

(gKvTri;TiEi]/E[Ei])

l

al.te-et c 8c2+9cooh+3tuo2h2

SquarerOOtOfms':ffTah)'

(cr-woh)+

7c5(1-2h2)+c3[a(1-2h2)-toeh](c+2tueh)asoh(3tuo2+8c2+6ehalo)-(2ch-ute)2

<c2+too2+2cbloh')3

II

a2.e-Ct i-;2'e:oh':;lih21i.-t.O:ft

-51-Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

a （

t

｝

a_、

t

　

6ctu

_（t）

　 　 　 　 　U 〔t）：unlt　8tep 　fu冖ction

o _{tto　 　 　2’C} （

1

）

　Bogdanoft

， a ω a2 a212 　 3ic 　　 　4！c 　 　　st¢ 　 　 　 t

Goldberg

，

　

Bernard

　 　 　 0　　　　　 　　　2

，

5’c 　　　　　　51C　　　　 　　7

．

51c 　 　 　

t

　　　

（

ll

）

　　　　　　 BOIotin

Fig

_．

₅Deterministic　Shape　F皿 ctions 　Used　in　

Table

　2

式 との比 をと れ ば

，

粘 性 減 衰 弾 性系へ のエ _ネルギ

ー

入力 の _変動 係 数C

．

₀

．

V

．

_［E‘］（

一雁

｝／E［E，］）は次 式で近 似 で き る

。

c

・

・ … ［・・］

r

痴

。

鬻

菰

醐

ん…

1

・

d

・ 　　　 　　　 　　　 　　 　　

・

一 ………・

・

…・

（33 ） 　た だし，

U

，（ω〕は （

32

）式 を用いるもの とする。 　なお

，

フ ィ ルタ

ー

無し （擬 定 常 波 ）の場 合に は

，

（33 ） 式は粘 性 減 衰 弾 性 系へ のエ _ネル ギ

ー

入力の変 動 係 数の厳 密 解 を 与え る

。

　 古 典 的な人 工 地 震 波 を

Fig．

3に示す確 率モ デル にあ て は め た場 合の_， 粘 性 減 衰 弾 性 系へ のエ ネル ギ

ー

入 力の 期 待 値 と 変 動 係 数 を

，

（21） 式および 〔33）式を用いて 評 価す る こ と がで きる。 3種 類の フ ィ ル タ

ー

］5｝16）17］ （Fig

，

4）に対して（21）式

，

2種 類の _形状_{関 数}18）17｝（

Fig．

5） に対し て （33＞式 を 評 価 し た

結

果が，

Table

　1，

Table

2に示されて い る。 　（21）式お よ び （

33

）式の 中に現れる積 分は通 常 次の 形に な り

，

Hurwitz の_行列 式 を利 用す る ことによっ て， 組 織 的に評 価するこ と がで き るle）

_。

　

　

　

・v

−

f

：

畿 聖

。、

…・

・

………一 ・

………

_{（34 ）} 　ここ で_， L試ω）

，

　

MX

ω）は

，

　　　L

レ（ω）＝aoω v_十altuv

−

1 十

…

十αレ

ー

1 ω十α

レ・

…・

（

35

） 　　 　

MX

ω）

＝b

。ω 2レ

ー

2 ＋

b

、ω 2v

−

’_＋

…

_＋

b

．

．

、w2 ＋

bv．

t 　 　 　 　

………・

一 ・

……

（

36

） の形の複素係数多 項式であ る

。

　この と き

，Hurwitz

の行列式

Da

は次式で定義さ れ，

1

）_a＝

det

α且　α0　

0

　　

0

　　

0

　

・

　

・

0 α3　α2　α1　α 0　

0

　

・

　

・

O α5　 α‘　α3　 α2　 　

’

　

”

　

°

0　　

0

　　

0

　　0　　0

’

　

・

αレ

・

・

・

・

・

・

…

_（37） 　積分の値は次 式で与えられる。

　

　

　

ムー ガ

≒｝

）吽 1

・

舞

・

一 …・

・

………・

………・

・

_（・8） 　ただ し

，D

． は行列 式

Da

の第1列 を

b

。，　

bl

，

…bp−

iで 置 換え た行 列 式で ある_。 　Table　

1

お よび

Table

　

2

に示 し た例 題では_， 行 列 式 Da

，

　D． の各 要素が

，

振 動系

，

フ ィル タ

ー，

形 状 関 数の パ ラメ

ー

タ

ー

のべ _き乗積の_{線 形結合}で表 現さ れ る の で_， これ らの パラ メ

ー

タ

ー

を未定に し た ま ま， 各べ き乗 積の 係 数を用いて最終 的 な 解の分 母

・

分 子の 多項 式の係 数を 電 子計算機に よ り決定し た

。

また_， 各パ ラ メ

ー

タ

ー

が実 際の数鎮で_与え ら れ た場 合に は

，

積 分の評 価はさらに容 易と なり

，

（21）式

，

（

33

）式 は 十 分実用的な公式で ある と考え ら れ る。 　§

4．

シ ミュ レ

ー

ションとの比 較 腿 　振 動 系 ：粘性 減 衰 弾 性系 　 　 　 　 　

h ＝

0

．

02，

0．

2

　　 　　　ω。＝ π

，

2π

，

…，

10

π （sec

−

1 ） 　フ ィ ル タ

ー

：

Type

　

A

　 　 　 　

hg＝0．

3

　　 　　　 　　ω 9； 5_π　（sec

−

1 ） 　 形 状 関 数 ：Type　

I

　　 　　　 　al

＝2

／

3V

雪　（sec

一

_り 　　 　　　 　c

＝

1／3 （sec

一

コ

_） 　　 　　　 　す な わ ち　

A2

（

0

）＝

1

（sec _） 　上記パ ラ メ

ー

タ

ー

に対 し て

，

標 本 数 各400の シミュ レ

ー

ショ ンを行い

，

エ ネル ギ

ー

入力の標 本 平 均

，

標 本 標 準 偏差 を求め，

Table

　1お よび2に示す期 待 値

・

変 動 係 数と比 較したもの をFig

．

6に示し て いる

。

劉 　振 動 系 ：_{完 全 弾 塑 性 型復元力}と粘性 減衰 力を有する 　　 　　　 系。 　 　 　 粘 性 減 衰

h

＝

O，

02

　 　 　 弾 性 固 有 角 周 波 数 　　 　　　 ωo

＝

O

．

5

π，π，1

．

5

π，

…

　，

10

π （sec

−

t_） 　　 　　　 降 伏エ ネルギ

ー

Qvfir

；

O

．

5

（sec _）

・

mS

。

　　 　　　 こ こ で

，

Qv

：降 伏せ ん断 力

一 52 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

亀

。 （e・c）

烏．

〔… ） 15

「

一

皿 一

一 ｝

h・・

．

・ ω_o（sθ♂ ） 　Carloa 霍le冂

瓢 認

　 leT ω_。（se♂〉

Fig

_．

₆

Example エ

ー

EneTgy　Input　to　Viscously　Damped

　 　 　Elastic　SDOF 　System

　　　 　　　 　　 　δ， ：降伏変位 　ブ イ ル タ

ー

：Type 　

A ，

例 題

1

と 同

一

。 　形 状関数 ：

Type

　I

，

_{例 題}

1

_{と 同}

一。

　

例題　

ll

に関して 1よ

，

　 Table　

1

_{お よ び}

2

_{に示す解に含ま} れ る振 動系のパ ラメ

ー

タ

ーh

_， ωD を

，

そ れ ぞ れ等 価 減 衰 定 数

h。

q， 等価固有角 周 波 数 tU

。

q で置 換 して予測 を試み る

。

_本論文で は

，

文 献5＞ や20） を参考に して

，

等 価 線 形パ _ラメ

ー

タ

ーh

。q およびω。窟を以 下の手順で略 算 的に 評 価し た

。

　

（イ） 等価 線 形パ ラ メ

ー

タ

ー

の

i− 1

_{番 目}の仮 定 値

　　　‘

一

・

heq

，　t

−

la ）e4 を用い て

TabEe

　l に よりE ［E∫コを

　　　

求め

，

HE ［

E

，］と表わす

。

た だし

，

初 期 値と して 　 　 　eh。q＝

h

，　oω eg＝ ω。を用いる

。

　

（ロ） 地 震 動の主要部分 （時 刻 t、か ら ち まで と す る）

　　　

で投入 され るエ ネル ギ

ー

入 力の期 待 値 ‘

−

1酵 を次 　 　 　式で求 める。 ・

一

，・

r

… i

．

，

E

［

E

・｝

∬

剛 ・・／

A ・

（・）

’

・

・

…・

…

（・・｝ 時 刻 t、

，

tiは仮に次の よ うに設定し た

。

　　　

∫

1

［・（

t

＞］・

dt − 0・

IA

・（

O

）

，

　

　　

fl

［・嫩

一

・_{脚 ）}

・

…一 …・

…・

……・

…

_（・・）

　

（ハ _{〉 時 刻 t、}

−

t_，の応 答で角 周 波 数　_ta）。e の 成分が卓

　　　

越す る と仮 定し

，

単 位 サ イク ル当た りの_平均エ ネ 　　 　ル ギ

ー

入力を次 式で近 似す る

。

　　　

tel

＝

‘

＿

，

E

ナ

・

（

2

π／sω eσ）／（t2

− ti

）

………・

……・

・

（41 ｝ 　（二 ） 単 位 サ イクル _当たり のエ _ネルギ

ー

の釣 合 式 を 次 　　 　式で与え る。 　　 　‘et

＝

seρ十teh

＝

seeq

・

・

一一・

・

…

　

9・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（42 ） こ こで，

　

‘ep ：単 位サイク ル当た りの 平 均塑性エ ネル 　　 　　　 　　ギ

ー

吸 収の i番 目の仮定値。

　　　　

teh ：単位サイクル当た りの_{， 粘性減衰}に よ る

　　　　　　

平均散逸エ _ネルギ

ー

の

i

_{番 目}の仮 定 値

。

　　 　　ie 。g ：単 位 サ イクル当た り の

，

等 価 粘 性 減 衰に 　　 　　　 　　よ る平 均 散 逸エ ネル ギ

ー

の

i

番 目の仮 定 　 　 　 値

。

　

（ホ）応 答 波 形が正 弦 波に近い と仮 定し

，Fig．

7に示

　　　

す変位 応 答 振 幅 ‘μ＊δr とte。

，

、eh

，

　te。e を次の よ 　 　 　うに関 連づ ける

。

　　

iep

＝

2Qy δ｝｛‘μ ＊

− 2

）

………・

・

……・

・

…

　………

（

43

） 　　 た だ し

，

sμ＊≦2のと き は ttt＊

＝

2と する

。

　　

te べ

＝

（π／2）

h

（iPt＊） 2Qr δ

Kiajeq

／ω o＞

・

…・

……・

…

（44 ＞

　　

ieeq

；

（π／

2

）‘

hee

（iμ＊）tQr δu

………・

・

…

　…

（

45

）

，，

・

 

∠

i

・ 1・

「

／ 1 Q

　　

／ ・

一一

「

／ ／ 　　　　　 Q

．

／ 　 ／ ／ 7 ／ ／ 　 　 　 δ　 ‘ δv 　 　 　 QY 2 ‘冨 x， 　 　 ／

Fig

．

フ_Elastic

・

plastic　Restoring　FQrce　Characteristics

　 　 O

薩

20

ト

　

　

Llo

’

_．

Flg

_．

₈ 君

『

」

’

厂

軈

。

・

・

．

5・、ec

〆

rIII

」

！

／ 冂

　

　

！

　

　

’

「

　　　　　　

1

惣篇 。緇 。

　　　　　

／

鴇

く1・一

・

［・

・

D 　 　 　 （prodicted 〕 ／ ／

献

w

’

　

丶

1

… edb・… 戸

〆

器

・1

一

翻

麟

＼

7

丶

・

、

il

・1

　　　　　　 丶

0_{「　　　 　　　 　　 5}

_．

₁₀

_．

’ 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 　　　 　 ω_。（s9 ♂ ）

　Example ∬

−

Energy

　

Input

　tQ　EIastic

・

p且astic　SDOF

　System

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

　（へ 〉塑性化に よ る周 期の伸びを割 線 剛 性 法で評価 す 　 　 　れば

　　　

tω。。

＝

a・，s！

271ili

・

…………・

…・

…………・

…・

（46）

　

（ト） （41 ）， （42）， （43）

，

（44）

，

（45）

，

（46 ）の各式 　　　を連 立 さ せ れ ば

，

ie 、

，

‘eh

，

　 te 。q

，

　 lll＊

，

　 _tto 。q

，

　　　iheαに関して解く こと がで き る。　

i＝i

十1と して

　　　

（イ〉以降を繰り返 し，

Table

　1に よる

E

［

E

、］の 　　　値が収 斂し た段 階で

，

最 終 的な等 価 線 形パ ラ メ

ー

　　　タ

ー

の_値を 決 定する

。

そ の値を用い て

，

C

．

0

．

V

．

　　　［

E

，］の値を

Table

　2を用い て算 出 する。

　

Fig

．

8

に

，

上_記のよ うに

_レ

て予 測し たエ _ネル ギ

ー

入力 の期 待 値と変動 （期

待

値±_標準偏 差の形で表し て い る） を

，

シ ミュ レ

ー

ショ ン結果と比 較し ているが

，

こ の よ う な略 算 的な方 法で も実用 的に は十 分である こと が分か る。 　§

5．

結　語 　地 震 動に よっ て構造 物 に投入 され るエ _ネルギ

ー

入 力の 統 計 量 を

，

地 震 動自体の_{統 計}量か ら予 測 する手 法につ い て若 干の考 察を試み た。 　結果は以 下の よ うに要 約さ れる

。

　（1） 地 動 加 速 度の

Fourier

_自乗振 幅は_， 構 造 物の動 特 性に依 存 する重みづ け関数 （エ ネルギ

ー ・

ア ドミッ タ ン ス _〉を介在さ せ る ことによっ て

，

そあ構 造 物へ のエ _ネ ルギ

ー

入力に変 換 するこ と がで き る

。

　

し たがっ て， エ ネルギ

ー

_{入 力の}

₂

_{次までの統計量 を明} らかにする に は_， （13） 式と （14 ）式に示さ れ る よ う に

，

地動 加速 度の期 待 Fourier自乗 振 幅お よ び

Fourier

自乗 振幅の共 分 散 関 数 という二 つの統計量 が必要であ る

。

　

（2 ）確 定 形 状 関数 （包 絡線関 数）を乗じ た ガ ウ シア ン

・

ホワイ トノイズ を確 定 線形 フィル タ

ー

に通 した ラ ン ダム過 程による粘 性 減 衰 弾 性系へ _のエ ネルギ

ー

入力に関 して， 期 待 値と変動 係 数が そ れ ぞ れ （

21

）式 と （33）式 で算 出で きる ことを示した。 ま た

，3

種 類の フ ィ ル タ

ー，

2

種 類の 形状関 数 につ い て 具体 的な解を 提 示 し た （Table　1，

Table

　2）

。

　

（

3

） （2 ）で求めた粘 性 減 衰 弾 性系へ の エ ネル ギ

ー

入力の期 待 値 と変 動 係 数の解が

，

何ら かの適当な等 価 線 形化 手 法 を用い る ことに よっ て

，

弾塑性振 動 系の場 合に も応用で き る こと を

，

モ ンテ カル ロ

・

シ ミュ レ

ー

ショ ン との比 較に よっ て例証 し た

。

　

以 上， こ の種のエ ネルギ

ー

_{授 受}に基づ く耐 震 設 計 論を 信頼 性理論とし て発 展さ せる ための

一

資料と し たい

。

謝辞

　

本 研 究の

一

部は

，

昭 和

57

年 度文部 省 科 学 研 究 費補助 金

・

奨 励 研 究

A

（

No ．

　

57750507

，

研 究 代 表 者

・

大井 謙

一

）

一 54 一

お よび昭 和 58年 度 同補 助金

・

奨励研 究

A

（No

．

58750477

，

研究代表者

・

大 井 謙

一

）の助 成 を受け た。 参 考 文献

1＞Housner

，

　G

，

W

．

：

“

Li皿it　Design　of　Struct巳res　to　Resist

　 　

Earthquakes

，

”

IWCEE

，

1956

，

2） 加藤 　勉

，

秋山　宏 ；_「強 震による_構造物へ のエ _ネルギ

ー

　 　入力と構 造 物の損 傷 」

，

日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第235 　 　 号

，

1975

，

9

．

3）加藤　勉ほ か ：鉄骨構 造の耐 震 設 計

，

丸 善

，

1983

．

1

．

4） 秋 山 　宏 ：建 築 物の耐 震 極 限 設 計

，

東 京 大 学 出 版 会

，

　 　1980

．

9

．

5） 洪　起

，

田中　 尚：_「ホ ワイトノイズを受け る 1自由度 系 　 　の履歴吸収エ ネル ギ

ー

」

，

日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第 　 　270号

，

1978

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8

．

6） 松 島　豊 ；「各種復元力特性を もつ

』

1自由度 系の累積塑 性 　 　 変形と耐震安全性」，日本建 築 学 会 論 文 報 告 集，第291号

，

　 　1980

．

5

．

7＞ 小 堀 鐸二

，

南 井 良

一

郎

，

鈴 木 祥之 ：_{「不 規 則 強震 外 乱 を受} 　 　 け る 構 造 物の履 歴 吸収エ ネルギ

ー

」

，

日本 建 築学 会 大 会 学 　 　 術 講 演 梗 概 集

｝

1980

．

9

．

8） 大 井 謙

一，

田 中　尚

，

高梨晃

一

：「地震 動に よ る構造 物へ 　 　のエ _ネルギ

ー

入力の線 形予測」

，

日本建築学 会 関 東 支 部 研 　 　 究 報告集

，

1982

．

・

9＞ 同：「地 震 動によ る構 造 物へ のエ ネルギ

ー

入 力の周波 数 領 　 　域 解析 」

，

日本建築 学会 大会学 術講 演 梗 概 集

，

1982

．

9

．

10） 例え ば

，

近藤 次 郎

，

フ

ー

リエ _{変 換}と その応 用

，

培 風 館

，

　 　 1975

．

11）　Lyon

，

　R

．

　H

．

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　 H

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S

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；

“

Non

・

stationary



Stgchastic 　 　Model　 of　

Earthquake



Motions

，

”

ASCE

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1968

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16）Tajimi

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H

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“

Statistical　 Method　 of　Determining　the

　 　Maximum 　 Responses 　ofBuilding Duringan 　 　Ea曲quake

，

”

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1960

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17）　BelOtin

，

　V

．

V

．

：

’

‘

StatiStiCak　TheOry　O正the　ASeiSrniC

　 　Design　of　Structures

，

”

2WCEE

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1960

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18）Bogdaneff

，

　

J

．

L

．

，

　 Goldberg

，

J．

E

．

，

　 Bernard

，

　 M

．

C

．

： 　　

“

Response　of　a　Single

−

Structure　to　a 　Random 　Earth

・

　 　quake

−

Type 　　DistuTbance

，

’

冒

Bull

．

　　Seismo

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51　No

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，Bolotin

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　V

．

V

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_構造設計の確率論 的 方 法 と信 頼

　　性問 題

1

小 林

・

佐 藤

・

沢 登

・

原

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鈴 木 共 訳 〉

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培 風館

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20）Dean　Karnopp：

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PoweT　Baiance　Method　for　Non

・

linear

　 　Random 　Vibration

，

”

Trans

．

　ASME

，

　Mar

．

1967

，

SYNOPSIS

UDC _{624.042.7:620.1}

A

SIMPLE

METHOD

TO

ESTIMATE

THE

STATISTICAL

PARAMETERS

OF

ENERGY

INPUT

TO

STRUCTURES

DURING

EARTHQUAKES

byKENICHI

OHI,

Dr,HISASHI TANAKA, and

Dr. KOICHI TAKANASHL Members ofA,I,

J.

The

work

done

by

_theseismic

load

acting on a structure, namely theenergy

input,

is

an

important

_quantity, which can

be

directiy

compared to the energy

dissipation

capacity of thestructure.

This

_{paper presents}a simple method to estimate the statistical _parameters of the energy inputfrornthe stochastic model

_parameters

of the ground acceleration.

The

method

is

based

on a

frequency-domain

relationship

between

_theenergy

input

and the

Fourier

square

am-plitudespectrum of the _ground acceleration, eq.

(

8

).

First

the mean and the coefficient of variation

formulas

ef theenergy

input

toviscously

damped

linear

single-degree-of-freedom

system under classical stochastic models of earthquakes are obtained, as shown on

Tables

1 and _2.

Then

itisshown that the

formulas

are also applicable to elastic-plastic system with theavailability of a

simple equivalent-linearization technique.

This

_providesa_practicalmeans toevaluate thereliability of a

hystere-ticstructure, which

has

some

limits

on itsenergy

dissipation

capacity,