相関を持つ性能関数の同時破壊確率(梗概)

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Lan..3t.

,ut,,.g,},,,,., .

RU,',".",i.,Ol,.S.tg".cf`t/S)a"Nd.F3osngftrJu,c.t.to,n,,?n,g,i,n,eering

$rF,if,es\efim#x,mpscffvath,mesfi/

'

'

SIMULTANEOUS

FAILURE

PROBABILITY

OF

' '

CORRELATED

PERFORMANCE

FUNCTIONS

H

by

SADAICHI

TERADA*

and

TOSHIE

TAKAHASHI"",

t t '

Members of A,

I.

J.

･

1.

lntroduction ,

' One oftheprincipalroles of the structure isto support safely thevarious loadson it.But,some structpres may

happen

to

lose

theirfunctionsbythe structura! collapse becauseof the flttctuationof loadintensityand strength of

structure, and of the error intheir estimation. Degree of safety to this structural collapse can beexpressed by

performance functionsZt(i--1-n)such as thestrength of a structure minus itsIifetimemaximum loadseffect In

general,the _performance fu'nctionis expresFed by a function of the supply capacity and the demand requirement.

As an example, consider the structural collapse of a ductilerigid frameby_plasticmechan'ism, Thereare many

possiblemodes of _plasticmechanisms inconsequence of variations of strength and loads,A structure may collapse when one of these _perforrnancefunctionssatisfy acertain condition ;forexarnple ZigO( =F,> which rneans thatthe strength of a'structure is'equaltoor lessthantheloads_.effect.The failure_probabilityP(Fl)of a failureevent F,can beestimated through this performance function.

The global structural system failureF of a structure

is

the union of all basicfailure.events

R;that

is

' F=FiUKUFs'''UFtUIHUEt''-''-'''--'HH''H'''-'''-'''H''''H''H''''''''''''''''''',''''-''''"'''''''"'''''''"''(1)'

To begin･with,two _performance functionsZl=X and Y will beexamined as asimplest instance.De,no.tebasic

failureevents L and

L[E.

;･Xso, F. ;Y$o].Then,theglobalsystem failur6_prob5bilityp(F)can beexpressed

by Eqllation

_(2).

･

t t / t

'

'' P{F}=P(LUFle)=P(E,)+P(Fle)-P{E,nl%)-=P(E.)+P<F.)-P(FleIE.)P(E.)L･･-･･･-･･･-･･1-････-･･･-･･-(2)

Itisclearly indispensabletoestimate the simultaneous failureprobabilityP(E.nFl,)or the conditional failure

probabilityP(E.1

L,)

inorder to'calculate Eqttation

₍

2

).

But, an analytical solution of thi's_problem isnot available except when the correlation coefficient _p'between X and Y equals O or ±1.In reality, there issome 'correlation betweent'wo_performance functionswhen they haveat leastone variable incommon. Tocircumvent thissituation, a widely used followingbound of an answer was _proposed byDitlevseni].Assuming normal' distributions,

max(qr,qg)$P(EtnFl}Sq.+q.--･･･････-･･･--･･-････-･･-･･･--････-･･･-･････････;--････-･･-･t･･･-･･･-･--･･･････-･･･('3)

where,

g:;'$,`I,fiilSi--igi'--1:1,l,`l-':,?.'i.i,]

l-･･･････････-･････-t･･-･-･･････････-･･････････-････i･･･-･････････-･･,-･･････-(4)

,Notatione(.

)

means thedistributionfunction of the standard norrnal variate and

B

isgenerallycalled reliability

index ancl equals mean m dividedby standard deviations.

The globalfailureprobabilityP(F}basedon thisformulawillhaveanarrow boundwhen this_{globalprobability}is

very lowor a _promifiantbasicfailureevent exists. But,when the_globalfailureprobability israther

high

or seyeral

comparable modes of basic･failure'eventsexist, rather wide bound global probabilitywill result. , i,

To overcome the_problem, this_paper dealswith a method toevaluate approximately the simultaneeus failure

probabilityof correlated bivariatenormal distributions.Theglobalfailureprobabilitycan then bereadily evaluated basedon these results obtained above. Error tests will be･followed･tocertify the validity of this methed in

cornparison tothe values byMonte Carlosimulation. Also,the errer inDitlevsen]sboundswill beexamined as an

information. '･･･ ･-- ,,

' _Professorand # Assistant,Departmentof ArcltitecturaLEngineeiing,Tokye MetropolitanUniversity

Manuscriptreceived No+ember 15,'l984 ' tttt

-35-NII-Electronic Library Service

2.Formula Derivation

Inreference to Figure1,letX and Y benorrnal random variables with mutual cerrelation p. The conditional

probabil-itydensityfunction

_(PDF)

_givenX=x iswritten asZ];

Atr(yix)=exp[-S(Y-s.:Yve):]/V2JFs,.･･--･(s)

(XS-In which,mandsare

X

Mvuc==My+P[X-mr)ISx]Sy-''--''-'''-''''"''r''--{6)

ss==s"1-p!)O'S･-････--･-･･････--････---･････-･･-･-･(7)

Then,thePDF of Y_givenXsO can beexpressed as follows.

Auso(Y)=:f:hur(YiX).tleeso(x)dx

=[O(-flx)]'i.L

,.f;,tr(ylx)Vl,(x)dx･･･････････(

s

)

Fig-1

g.edi"tyPDF

of Normal Random variables x

' The mean value of _.fl(y)given XsO is

E[ylx$o]=f: y･Aurso( y)dy =L

f:

_y･

fLme(yl

_{x)JY=.o(x)dydx}

=[di(-a.)]'ili:[m.+ps"x-m.)ls.]A(x)dx

=s,Le,-p[V2JFdi(-xz.}expCt?112)]"i]=s.CBy-pA)･-･･-･･-･･･--･･--･-･･････-･-･････-･･--･･---･･･(g)

where

A"=V2Ie(-ft.)exp<B;/2)-･･-･･--･･-･･･-･･-･･････--'-'''-'"'"''''･'･'-''"''"''r'H''H''"'H''-''-'''"''"''(10) The expected value of Yi_given X$O can bederivedas follows.

E[YilXsO]==f.My:-JY..o(y)dyt=f:f.coy'･A.(ylx)G=so(x)dydx

=[e(-fl.)]-i.L:[[m.+ps"x-m.)ls.]'+sUl-p')]. _£

,(x)dx==sUl+B;+Ap(Ae,-2Bs)]･-･･･(ii)

Therefore, the variance of Y given XsO is

Var[YIXSO]=E[YilXSO]-(E[VIX$O]}'=s:1+piA<fl,-A)]･･･-･･-･･-････-･･--･･･-････････--･--･-･･-･･･(12)

Thesefirstand second moTnents _yieldthe conditional reliability index

B...,.

E[YIXso]

By-pA

fiYuc`O={Var[}rlx$o])O･s=[1+p:A(fl.-A)]o･s''"''-'''H'''''''H'''''''"'''-''HHH-'''"'"''-''-''h'''''''""H''(13>

Finally,the simultaneous failure_probabilityP[{Xso)n(Y$O)]=P[1:l,nFLIcan beevaluated

by

the

following

formula.

p[11neq=p[Fk)n]p[E.]=p[ysolxso]p[xso]#o(-B...,)di(-fl.) =e[-CxY.-Ap>[1+Ap'CsZ,-A)]-O'5]e(-fl.)･-･-･･-･-･･･-･･･-･-･･･--･--･-･-･･････-･･-･･････-･･･-･--･･(14)

Sincethissolution is

based

on theconditional reliability indexfl...,,one may call itconditienal

fi

method. Let

fl.

be largerthen

P.

in order to minimize the error in calculation.

3.

ErrorTests

Simultaneousfailureprobabilities of eorrelated normal variables X and Y will beevaluated bythisconditional

fi

method and compared with the values by Monte Catlosimulatien ina sense of thecalculative error. Also, theerrers

inDitlevsen'sboundswi11beexamined. Namely,

(3a)

Conditional

fi

method using Equations

(13)

and

(14)

(3b)

Ditlevsen'smethod using Eqtiations

(3)

and

(4>

(3c

)

Monte Carlo simulation

Onehundred thousand bivariatenormal random numbers will be_generatedtoestimated each simultaneous

failure

probability.

Next fiveconditions are assumed with correlation coefficients varying from O to 1.That is_;

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Y

fYtx=r(Y

)n(ys.o)

'

X=x

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Casel

fl.=Bs=O

Case2

fl.=fl.=1

･

'

Case3

flt=iBy=2

'' ' Case4

&=1,

fis=O

Case5 xZ,=2,

By=1

Figure2 shows the simultaneous fairureprobabilities P(F.nF.) bythree methods mentloned above. The values bycofiditional

B

method agree well with _thoseby Monte Carlo simulation' and are more accurate _thanthose by

' '

Ditlevsen'smethod, '

When

_fl.

differsfrorn

P.,

the higherthe _p is,the narrower the boundsbyDitlevsen'smbthod become.Whereas

wider Ditleven'sboundswill result as the incre'aseof _pwhen

fl.

equals

fl.

and in_paticular,same bounds are obtained regardless of _p when

fl.=B.=O.

Themeans of Dltlevsen'sbounds are biasedtohigherside incomparison tocorrect

vaiues as the decreaseofpand vice versa. _{. ,}

When variables are the non-normal

tributiorior thereisno informationon the

P(FxnFy)

,

1

1

o

O.5

// ttt

Fig.2 SimultaneousFailure Probabilities

p1.0

probabilitydistribtttibn,eqivalent normal distributionsmay

be

resorte'd to in

approximation. The error incalculation seems to besimilar to thecase of one variable. Thatis;thesmaller thefailure

probabilityis,thelargertheratio oferror to estimated metin

becomes,

since the distribution at fartaildiffers considerably fromnormal distributien.

4.GlobalStructuralSystem Failure

The globalfailureprobabilityof a

duc-tilerigid frameshown inFigure3will be '

evaluated by several methods

and･com-paredina sense of thecalculative error.

Table

1shows basiccollapse mechanisins and 'performancefunctions.Table2_gives

assumed dataof applied loadsand _plastic moments inbeam and columns3), Also, assume that the _plastie' moments along a mernber are _perfectly

correlated;more-over the 'Plasticmoments ef two columns are _perfectlycorrelated _;whereas the

plas-S2

3M=H

Medel-37-NII-Electronic Library Service '

Tabie1BasicCollapseMechanisms andtheir Performance Functions

iMechani$mBi'P(Fi}xlo3Performancefunction z.I 1 2.26li.91 4Ml-HS2 2 2.525.868 3Ml+M2--HS2 3 2.525.868 3Ml+M2-HS2 4 2.634.269 2Ml+2M2-HS2 s 2.743.072 2Ml+4M2-HS2-LSI12 6 2.743.072 4Ml+2M2-HS2-LSI/2 7 4.11O.021 _4M2-LSI/2 8 5.11O.OOO17Ml+3M2-LSI!2 9 S.12O.OOOi7Ml+3M2-LSI/2 10 5.67O.OOOO062Ml+2M2-LSI12 11 5.78O.OOOO034Ml+2M2-HS2+LSI/2 12. 5.78O.OOOO032Ml+4M2-HS2+ISI12 tp{Fv =g(-Bi) Table2 Dataof =g(-rn,Yo,i)

Random Variables _(Ref.3)

randomva:iable mean c.o.v.

Resistance{Ml,M2) load(Sl) Load(S2) 8.3!(t.m) 3.60(t) 5"S2{t} O.l60O.il4O.S08

ticrnoments M,and M,,each _plasticmoments and loadsafe statistically independent. As_theloadS,represents the earthquake loadstatically reduced, ithas_positivecorrelation with

load

S,.A value ofp betweenthem was evaluated

to beO.38 inReference3.

Basic collapse mechanisms 7 and under inTable1 can be neglected because of their small _{probabilities.}

Therefore, the _globai failure_probabilitywill beevaluated by six significant collapse mechanisms.

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First of all, a method to estimate theglobalfailureprobabilityP(F) will be reproduced fromRbference2 as inthe following,

Using complement of F,;F. Equation

(1)

can berewripten as

F=F,U(F,nF,)U(F,nF,nli,)U-･U(F,nF,n･-nF..,AFh)･･･-･･････-･･-･･-･･･-･･-･･-･･-･････････-･･(15)

The events inEquation

(15)

are mutually exclusive;therefore

P(F)=P(F,)+P(F,nn)+･･･+P(F,nF,n･･･nF..,nFn･-･･･-････････:･-･･-･･-･-･･････t･･-･･-･･･-･L･-･-･･(16)

SincetheprobabilityP(Ft)is

p{F,)=p(liF,nli5,n･･･ nli5,-,n F})+p(iF,.n

lP,n-･･

nlii ,.,n

E)=p(jgl

'F,n

fl)+p(j4',

Iii

,n F,) -･･--･･･(i7)

t t

t t

p(j4i,JFinFi) can _be expressed as follows.

'

/ t t

P(jij,

i5,nF})=P{F,)-P[(F,ULU･-･Un-,)nn]=!P(F,)-P[(F,nF,)U(F,C

F,)U･･･U,(F,.,nF,)] _{-･･･(18)}

Therefore,the glQbalfailureprobabilityisboundedby

r

ip(F,)+i max

fp(F,)-

ili

p(F,nL),ol

1

P{F)[ $min

[i;.l,

!P{Fn-L ,;

;,

,}e,. 'P'(Rn F:,),i] J

1

'''''''H '-'-''''''"''-'''-'''''''''''''''-''-''H''''''''(ig) The simultaneous failure_{probabilities}in,Equation

(19)

can

be

calculated

by

conditional

B

method derivedin Chapter2or by Ditlevsen'smethod, ' '

FolLowingfour methods are adapted' hereto' evaluate the _global failure_probability.

(4a)

Genetalbounds

max

P{Fnsp(Msmin

[te.,

_{p(F,), 1]･････-･･-････-･･･････････-･･-････r･････-･･････-･･-･-:--･---･-･--･-･･･[2o)}

tt

(4b)

Conditional

_fi

method

Arrangethefailureevents

_E

indecreasingorder of P(F})

(

F,inTable₁are already aligned as mentioned).

EstimateP(F,nF,) by Equation

(14),

then apply Equation

(19>,

{4c)

Ditlevsen'smethod

/

Arrangethe

failure

events F,as mentioned

{4b

).

EstimateP(Ftn F:,)byEquations

(

3

)

and

(

4

),

then

apply Equation

(19),

Table3 CorrelationCoefficientsbetweenSixSignificantCollapseMechanisms

_{Ref.3)

'

i l 2 3 4 5 6 1 1.0O.97o.97o.S6o.70O.94 2 l.O 1.0O.96o.85O.98 3 l.Oo.96O.85O.98 4 1.0o.95O.95 5 Syrnmetrlc' 1.0O.90 6 _L-a

Table4 SimultaneousFailurePTobabilitiesEstimatedby Conditional_BMethod (×10JS)

,i ₁ 2 3 4 5 6 l ll.915.31005.31002.9217L31662.8193 2 s.8685.04613.32701.67052.8050 3 5.86S3.3270l.67052.8050 4 4.2692.25992.2599 s _3.0721.5360 6 _3.a72 -39-NII-Electronic Mbrary

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Table5 GlobalFailureProbabi]ityEstimates

rnethod bound mean c.o.v.

(4a){4b){4c){4d)

O.O!191-O.02Sl9 O.O1247-O.O1448 O.O1217-O.O1764 O.Ol191 O.02005 O.O134S O.O1491 O.Ol191

{4d)

PNET method

{Probabilistic

Network Evaluation Technique)`)

An approximation basedon the _premisethat those failureevents thatare highlycorrelated, with _p"4th,

may beassumed to be_perfeetlycorrelated, whereas failureevents with lowmutual correlations, _p"<th, may

beassumed tobestatistically independent, inwhich _thisa_prescribeddemarcatingcorrelation. A value of

O.7 as _A was _prescribedhereas suggested by Ma and Ang5),

The correlation coefficients betweenevery _pairof _performancefunctionsare summarized inTable3, Table4

shows the simultaneous failure_{probabilities} P(F,nF,) calculated by conditional

B

method. Table 5compares the globalfailureprobabilltiesbyabove mentioned methods inwhich mean and c,o,v. areestimated fromtheirbounds

a$suming uniform distribution.Itappears thatthe _proposedmethod _givesthe most accurate and sharpe$t failure

bound inthisexample,

5.ConcludingRemarks ,

An approximate measure of simultaneous failure_probabilitywas derivedbasedon conditional firstand second

moments and testedina sense of ¢alculative errers incomparison to thevalues by Monte Carlesimulation. Then,

the global

failure

probabilityof a rigid fTamewas evaluated

by

the method

derived

here

and other usual three

methods. The _proposed method _gave a reasonable result inthisexample. Moreever, thismethod needs much shorter calculative times and efforts than Mente Carlosimulation.

Reterences

1) Ditlevsen, O. :Narrow ReliabilityBounds ferStructural Systems, _Jeur.of Struct. Mechanics, Vol.7, No.4, 1979

2> Ang,A.H･S., Tang,W.H. :ProbabilityConceptsinEngineeringPlanningand )esign,JohnWiley& Sons,Jnc., 1975

3} Terada,S.,TashiTo,T,:ReEiabilityAnalysisof a PortalFTame through CetrelatedCollapseMechanisms,Synopsesof

Papers and Reports Read at Annual Meeting of Kanto･Branch of A.I,J,, 19S4

4} Ang, A. H-S.,Abdelneur,J.and Chaker,A.A. :Analysis of ActivityNetworksUnderUncertainty,JeuT.ef ASCE,

VoLIOI, EM4, Aug. 1975

5) Ma, H-F., Ang, A.H-S. :ReliabilityAnalysis of Redundant Ductile StructuralSystems,StructuralResearchSeTies

No,494, Universityof Illinois,Urbana,₁₉₈₁

-40-Architectural Institute of Japan

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Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

【研 究 論 文

1

UDC ：624．04 ：519．2 日 本 建築 学 会 搆 造 系論 文 報 告 集 第 359 号・昭和 51 年1月

相

関

を

持

つ

性能関数

の 同

時破壊確率 （

梗概 ）

正 会 員 正 会 員 寺 高 田　 　貞 橋 ．　 利 ＿宰 恵＊ ＊ 　1．は じ め に 　構造物の主な役割に は種々 の荷 重 を安 全に支 持する と いう事 が ある。しか し，荷 重 密 度や構 造 物の強 度の変 動， 計 算誤差に よ り崩 壊する こ ともあ る。こ の崩 壊に対する 安 全 性の 度 合 を 性 能 関 数 Zi（‘；1〜η）で表 す。そ の性 能 関 数は，構 造 物の強 度か ら寿 命 中の最 大 荷 重 効 果 を引 いた式で表す。一般 的に は，性 能 関 数は，供 給の能 力と 需 要の要 求との_{関 数 で 表}される。 　例 として剛 節 架 構が塑 性 崩 壊 機 構に より崩 壊 する場 合 を考え る。強 度と荷 重の変 動によ り種々「の崩 壊 形が可 能 で あるが_， それら の性能関 数のう_ち1つ が ある条 件， た とえばZi≦0（＝F‘） を満た し た場 合 構 造 物は崩 壊 する。 Z‘≦0は構 造 物の強 度が荷重効 果よ り小さい事を表す。 破 壊 事 象 F，の破 壊 確 率 P（F，）はこの性 能 関数によ り表 すこと がで き る。　 　 　 ． 　シ ス テ ム の 破 壊 F は F，の和 事 象で表すこと がで き る。こ こで まず始 め に，簡単な例と し て 2つ の性 能関数 X， y につ い て考え る。　FxをX ≦0， 凡 を y≦0とす る と，全 体の破 壊 確 率 P（

E

）は （2＞式に よ り表すこと が で きる。 　 （2）式 を求め る た め に は， 同 時 破 壊 確 率 P（凡 ∩Fy〕 ま た は条件 付確率 P（Fs　1　F 。）を計算す る必 要が あ る。し か し，X と Y の相 関 係 数 ρが0 ま たは 士 ユ の場合を除 い ては解析解は得ら れ てい ない 。現実に は_{， 少}な く と も 1つ の共 通の 確 率 変 数 を もつ 性 能 関 数の間に は，ある相 関 が存 在する。Ditlevsenは，正 規分布 を仮 定し て，（3） 式の よ う な幅 を もっ た解 を 提 案し て い る。 Φ（・）は標 準 正規 分 布 関数であ り，βは一般 に信 頼 性 指標と 呼ばれ て いる もの で，平 均m を標 準偏 差s で除し た もの で あ る。_， 　この_式に よ り求め られ た 全体 系の破壊確率 P （F ）は_， その P（F）が非 常に小さい場 合また は単一の卓 越 し た モードが 存 在す る場 合に は， 狭い範 囲の解が得 られ る． しか し， 全体系の破 壊 確 率が やや高い場 合や同 程 度の破 壊 確率を もつ モードが 複 数 存 在する場 合に はその解の範 囲 は 広 く な る。 　本論文ではそれ らの_{問 題 を解 決}する ため， 相 関の ある 2変量 正 規 分 布の同 時 破 壊 確 率 を近 似 的に求める方 法に つ いて扱う。全 体 系の破 壊 確 率は，こ れ ら の同 時 破 壊 確 率に_基づ き容易に求める こと がで き る。本 方 法の有 効 性 を示 すため，後に モ ンテカル ロ法 との比 較に よ り誤 差の 検 討を行 う。 ま た，Ditlevsenの方 法の誤 差にっ い て も 検討する。 　2．式 の 誘 導 　図一1に関して，X と Y は相 関 係 数p・を もつ正 規 確 　L’ 率 変量 と す る。 X ＝x に お ける条 件 付 確 率 密 度 関 数 （PDF ）は （6＞ 式の平 均と （7） 式の 標 準 偏 差 を も つ （5）式_{に よ り}表_{さ れ る} 。 X ≦0に おける YのPDF ， 平均 値，Y， の 期待値お よ び分散は（8 ），（9），（ll），（12 ） 式と な る。以上よ り （13）式の_{条 件 付 信 頼 性 指 標}

fin

_．s。 を 用い て， 同 時 破 壊 確 率 P［（X ≦O｝∩（y≦0）｝＝P［＆∩ F。］は （14） 式の よ うに求め ら れ る。これ は条件 付信 頼 性 指 標に基づい て い る ため， 条件付 β 法と呼ぽ う。計 算 誤 差 を小さ くする ため，βエが

Bs

よ り大き く なるよ う 選ぶ。 　3．誤 差の検 討 　条 件 付 β 法に よ り相 関の あ る X と Y の同時 破 壊 確 率 を求 め，計 算 誤 差に関して モン テカル ロ法 との比 較 を行 う。また_， Ditlevsenの方 法の誤 差につ い _ても検 討する。 　 す なわち，次の 3つ の方 法に より計 算 を行う。 ．（3a ） （3b ） （3c ） 条 件 付 β法 （13＞，（14）式 を用い る Ditlevsenの方法　（3），（4）式を用い る モ ンテカル ロ 法 100000 個の 2変 量 正 規 乱 数を 発生さ せ，同時 車 東 京 都 立 大 学 　 教 授 ・工 博 綿 _{東 京 都 立 大 学 　 助 手} 　 （昭 和 59 年11月15日原 稿 受 理 ） 　 　 　 破 壊 確 率 を求める。 　 相 関 係 数を0か ら 1とし，次の 5つ の場 合を仮 定し た。 Casel　 flr・・

fi

。＝O Case　2 _βx＝_βy＝1 　Case　3　_βτ＝_βe＝2 　

Case

　4　_β．＝1，_β蟹＝O 　Case　5_β∫＝2，　fiy＝1 　上 記の 3つの 方 法に よる同 時 破 壊 確率 P （Fx∩Fy）を 図一3に示 す。 条 件 付 β 法の結 果は モ ン テ カ ル ロ法の結 一 41 一 N工 工一Eleotronio _Library

NII-Electronic Library Service 果と良く一致し て お り，Ditlevsenの方法より正確で あ る。 　 焼 とβy が異な る場 合，相 関 係 数ρが高いほどDitlevsen の_解の幅は狭く な る。 一方，βエ とβy が等しい場 合 ρが 増え る に_従っ て Ditlevsenの解の 幅は広く な る。 特に β ＃＝βy＝Oの場 合はp に よ らず幅は一定で あ る。 Ditlev− sen ’s　boundの平 均は_， 正 解に比べ _{て ρが低}い ほ ど高い ほ うに偏り_{， ρ が}高い ほど低いほうに_偏る。 　 確 率 変 数が非 正 規 分 布の場 合や確 率 分 布の情 報が ない 場 合に は，等 価正規 分 布に近 似さ せ る。その場 合の誤 差 は確 率 変 数が 1つ の場 合と同様で あると思わ れ る。つ ま り，分 布の_{先 端}が 正規 分 布と大き く違 うた め，破 壊 確 率 が小さい ほど推定 平均値に対す る誤差の割合は増 す。 　4．全 体 系の破壊 　図一2に_示す 剛節架 構の全体 系の_{破 壊 確 率}をい くつ か の方 法で計算し，計算誤差に基づい て 比較を行っ た。表 一1に基本崩壊機構と その_{性 能 関 数}を示す。 表一2は柱 とは りにお け る荷 重と塑 性モーメン _トに用いた データ を 示す （参 考文 献3）。 ま た，塑 性モーメ ン トは，同一部 材内の部 材 方 向に添っ て完全相 関と し，柱どうしもまた 完全相関と し た。 一方，M，とM，，　M と荷 重は独 立 と し た。 S，は静 的にお き か え た地 震 力 を 想定してお り， S、と正の相 関を もつ。そ の相関係数の値は参 考 文 献 3 におい て，O．38と なっ た。 　 表一1の基 本 崩 壊 機 構の 7以 下は，その破 壊 確 率 が 小 さい た め，計算か ら除外し，以 下，全 体 系の破 壊 確 率は 6つの基本崩壊機構に よ り求め る事と す る。 　まず全体系の破 壊確率P（F ｝を求め る方 法 を参 考 文 献 2 ）よ り引用 して （15）〜（19）式に示し た。 〔19 ）式の同 時 破 壊 確 率は2 章で示 し た条 件 付β法 また は Ditievsen の方法に よ り求め ること がで き る。 　本論文では，全 体 系の破 壊 確 率 を求める た めに次の 4 っ の方法を適用し たa 　（4a ） General　bound _（20_）式 　（4b ）　条 件 付 β 法 　 　 　　 基 本 崩 壊機構に よ る破 壊 事 象 F， を破 壊 確 率 　 　 　 の高い もの から並べ ，_（14_）式より P（F，∩F，）を 　 　 　 求 め （19）式に適 用 する。 　（4c ）　 Ditlevsen’s　bound 　 　 　 　

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　b_）と 同_様に F，を 並べ，（3），（4）式 に 　 　 　 よ り P（F‘∩F，｝を求め （19 ）式に適用す る。 　 （4d ） PNET 法 　 　 　 　 こ の近 似法は次の よ う な 前 提 に基づ いて計算 　 　 　する。す な わち， 高い 相 関 をもつ （ρw ≧A ）事 　 　 　象 ど うしは完 全 相 関 とし，低い相 関 を もつ （ρ“ 　 　 　〈_A ）事 象は互い に独 立で ある とする。こ こ に 　 　 　 thは_， 境 界 相 関 係 数で あり_， こ こ で は，　 Ma お 　 　 　 よびAng （参 考 文 献2）にな らい，0．7とした。 　お の お の の性 能 関 数 どう しの相 関 係 数 を表一3に示し た。 表一4 は， 条 件 付β 法に よ り求め た 同時 破 壊確 率 P（F，∩F，）を示す。表一5に，上 述の方 法に よ る全体 系 の破 壊 確 率を示す。表 中の平 均とC．O．V．は一様分布を 仮 定し求めた もの である。本 例 題で は_{， 条 件 付 β 法}に よる推 定 値が最 も正確な破 壊 確 率を与え るもの と思わ れ る。 　5．ま と め 　条件 付1次， 2次モーメ ン トに基づ く 同時破 壊 確 率の 近 似 計 算 法 を導き，モ ン テ カル ロ法の結 果との比 較に よ り誤 差の検 討 を行っ た。また，剛 節 架 構の全 体 系の破 壊 確 率 を， 条 件 付 β 法， 他の 一_{般 的に用い ら れて い る3} つ の 方 法に より求め た。 本 例で は，提 案 し た条件 付β 法は妥 当な結 果を示し た。さ ら に モ ン テカル ロ法に比べ て計 算 時 間お よび 労 力 が 少ない。 一

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