ホワイトノイズを受ける多自由度系の累積塑性変形

(1)

【研究論文

1

UDC ：624

．

〔｝4 ：624

．

042

．

7 ：620

．

1 日本建築学会構造系論文報告集第 352 号

・

昭和 60 _年6 月

ホ

ワ

イ

ト

ン

、

_イ

_ズ

_を受

_け

_る

_{多自由度}

_系

_の

_{累積塑性}

_変

_形

正会員

　洪

起

＊　 §

1

　はじめに

地震波は非再現性を有し

，

時間的に複雑な変化をするため構造物の耐震設計法への確率論手法の導入は不可欠で

あ

るという観点から，著者は，かってホワイトノイズを受ける

1

自由度系の_履歴吸収エ _ネルギ

ー

の統計量の_評価方法について述べ _たことがある_％本報告の主な内容は， 1）の手法を多自由度系に拡張したものである

。

多自由度系の場合の履歴吸収エネルギ

ー

は

，

1 自由度系の場合と異なって

，一

つの大きな問題がある。それは

，

各層へのエ _ネルギ

ー

の_{配分}の_問題である。すなわち

，

構造物に入力される全エネルギ

ー

の期待値は

一

定値として定められるが

，

構造物の_各層の質量分布

，

剛性分布

，

強度分布等に大きく依存するものと思われる入力エネルギ

ー

の配分則が正確には未知であるという問題であり，また_，耐震設計における地震応答の最適化の

一

つとして各層の履歴吸収エルギ

ー

（または_，累積塑性変形）が

一

様になることを規範とすると

．

それがどのような質量分布，剛性分布，強度分布等によって得られるかという問題である

。

耐震設計における最適化手法に関する研究は

，

各層の層間変位応答の分散値から定義される目的函数を最小化することによって最適化をする手法や各層の塑性率を可及的に

一

様化することを規範として最適化剛性分布を求める手法等によって進められてきた2 〕

・

3 ）

。

構造物の損傷に直接関係すると思われる累積塑性変形を耐震安全性の規範とし

，

各層の累積塑性変形率を

一

様にするような最適化に関するすぐれた研究もある41

−

S）

_。

文献

6

）， 7）は

，

ホワイトノイズを受ける弾塑性応答において累積塑性変形が各層

一

様になるような最適強度比に_関する限り

，

インパルスを受ける弾性振動系の無次元層間変位が等しい_条_件からある程度類推できるという仮定に基づいたもので

，

かなりよい解析結果を得ている。しかしながら，この方面の基礎的研究はまだ十分とは云えない

。

本結告は

，

1）の手法を拡張して定常ホワイトノイズを受ける多自由度系の入力エネルギ

ー

の統計量を解析的に求める。さらに，弾塑性振動系が最適降伏せん断力係数分布状態にあるときの累積塑性変形の統計量を簡潔に評価する手法について_考察するものである

。

　§

2

　弾性振動多自由度系の応答値の統計量

本論で取り扱う多自由度振動モデルは

，Fig．

1

に示すようなせん型のモデルであり

，

次の_{振動方程式}で_表現できるものとする。

［m ］

IXI

十［

C

］｛丿ヒ｝十_［

K

］

IXI

＝

i

ン［m ］

11

｝

一・

…

（2

−

1 ）

ここで

，

_［m _］：質量マトリックス

，

［C ］：減衰マトリッ

クス，［

K

］：剛性マトリックス

，セ

：ホワイ

トノ

、

イズ

_，

lxi

_，　

i

_刮

_，　

IX

｝：これらの列べ

7．

ト

ルの要素

Xs，

X

ε

，

盆_s _（8

＝

1

，

2

，…，

　n_）は

s 層の変位，速度，加速度を表し

，

確率変数　　　　である

。

また

，

上記のマトリックスはn ×n 　　　　である

。

（

2−1

）式において，入力セ（t）は

・

一

_定_な_{パワ}

ー

スペクトル

S

。を持つ加速度のホワイトノイズで

，

その自己相関函数恥（t）は次式で表されるものとする

。

R7

ω〒

2

π

So

δω

・

…………・

………

（

2−2

）　ただし，

fi

（

t

）：デルタ函数　（2

−

1）式において

，

ベクトル因がそれぞれ独立な固有ベ _{クト}ル

IXI

_，　

IX21

，…，

IX

_。

1

に分解されるとすれば

，

“ （株）コスモ_構造解析研究所

・

工博　〔昭和59年10月 5日原稿受理日

，

昭和60 年 2月19 日改訂原稿受理　日

，

討論期限昭和 60 年 9 月末日） Fig

．

1

一 22 一

(2)

ベクトル

1

_淵と

_隠

1

は_次_式で表される。　　　 n　　

も

IXI

　・Σ

lx

‘

IQ

‘ 　　　 t

！

1

n

　＿

’

・

…

一・

・

…

tt・

・

…

t−・

・

…

（2

−

3 ）

亅

家

｝

＝

Σ

ix

‘｝

Q

‘ 　　　 ‘

＝

1 　ただし

，

Q

，は固有ベクトル

IXA

に対する成分また

，

（2

−

1）式の右辺の

111

も次のように分解される9）。　　　 n 　　　

マ

ー

t

lll

＝ Σ

IX

‘

1

β‘

…・

・

…・

……・

…・

・

…・

…

　…・

（2

−

4）

1 −’

　　　一

ただし， β‘は

III

を｝

X

‘

1

に分解したときの係数で

，

一

般に刺激係数と云_われている

。

（2

−

1 ）式に

_，

_（

2−3

_）

_，

_（2

−

4_{）式を代入}_{すると} ，次式を得る

。

Q

‘十2hlte‘

Qi

十ω葦

Q

‘

罵

シ

瓦

・

…・

……・

…・

・

…

（

2−5

）　ただし

，

ω‘：

i

次の円振動数，

h

‘：

i

次の減衰定数　（2

−

5）式の変位応答は次式になる

。

婦

・

∬

セ（・）・，（・

一

・｝

d

・

………一

（

2−6

）拙ω

一

蕊

厩

・

一

翩・ε_s_・・翻碗　（2

−

6）式を（

2−3

）式に代入すると

，

それぞれのベクトルが求まるから

，

応答値の統計量は固有モ「ド間の相互連成項を無視すれば

，

近似的に次式になる。

躙

一

巽鸞

・

…・

・

…・

・

…

_，

・

…・

（

2−・

・）

E 囲一

宇

_愈

縹

・

…・

・

……・

…

∴

…

（2

−

・）　ただし

，

E［Xlj ：i層の変位応答の 2乗平均値，　 E

［

Xl

］：i層の速度応答の 2乗平均値，

髪

‘

．

：　　　　　｛

XA

における r 次モ

ー

ドの

i

層の成分さらに

，

層間変位応答と層間速度応答のそれぞれの 2乗平均値は次のようになる。　　　 n　　　

〜

・［・

x

…

一

潮

一

巽

、

驚

享　

・

（

X

詈＋lr

− 2X

‘＋lrXtr 十丿【

ir

）・［（

x

，

＋

1

− XDi

］

一

乎

急

ん

砦

r

_（_丿_【

₁

＋且r

− 2Xt

＋IrXCr 十

X

言r）

・

一

・

…

_（

₂₋₉

_）　§

3

　弾性振動系の入力エネルギ

ー

の統計量　（2

−

1 ）式で表される振動系が

，

定常応答状態での入力継続時間［ti

，

　t_，_］の間に入力されるエ _ネルギ

ー

入力の_期待値は次式で表される

。

E

［

w

・］

一

愈

肌・

∬

E

［

y

（

t

）

A

・，（

t

）］

dt …・

一・

（3

−

1）　ただし_， E ［W，］：入力エネルギ

ー

の期待値

，

　 mt ：‘層

の質量

，

1

‘（t｝：

i

層の速度応答（3

−

1）式に（2

−

3）式と（2

−

6｝式から得られる速度応答を代入すると次のようになる

。

E

［

w

・］

題

飢・

鶏

緬

∬

E 由

直）

Y

（・）］

・

甘

，（

t−

T）

d

τ

dt …・

…・

・

……・

・

……

（

3−

2）上式は_，（2

−

2）式と（

2−

4）式を考慮すると次式になる。　　　 n 　　　 E［明

＝

Σ 筋 π

S

。（t：

−

t、）

・

…一・

・

………・

・

（3

−

3）　　　　i

＝

1 （

3−3

）式は

一

般に知られている式である

。

このように

，

加速度のホワイトノイズが作用したときの入力エネルギ

ー

の_{期待値}は

，

振動系の質量の総和とパワ

ー

スペクトル

S

。の積に比例し

，

各々の振動モ

ー

ドの固有円振動数や減衰定数に依存しないことが分かる

。

一

方

，

入力エ _ネルギ

ー

の 2乗平均値は次式になる。

麟

一

自象

脇

∬∬

・

臨

）文t（・Tl）

・

7

（．，）

家

、（。，｝］

dr

、

d

τ，　

・

………

（

3−4

）（3

−

4）式は次のように展開される

。

・圃

一

齲

隅

∬

融

・

臨

）

1 ・

E

［

セ

（．、｝

1

、（h）］＋

E

［

y

（。、）

輪

）］

・

E

［

ll

　、（q）

k

、（・、）］＋E ［　

v

（　T，）宮、（τ，）］

・

E

［

y

（魂、（τ1）］

ld

。、

d

。，　

’

・

一 ……・

（

3−5

）上式の第 1項は

，

（3

−

1）式から

晶

脇

∬∬

E

［

v

（・・）

x

・（Ti｝］E［

淘編

］

・

贓尸

〔

自

贓（

t

・

− ti

）

12 …………

（3

−

・）となり

_，

_第

2

項は

，

次式

E

［シ（τ1）セω ］

署

2π

S

。δ（T，

一

。、）

…・

一 ……

（

3−7

）を考慮すると

熊

凧

∬∬

・［

y

（τ、）

シ

］・［文舳 Tz）］　　　 n　　n

・

dqdT2

＝

2

　_nS 。Σ　

Z

　m ，m ，

E

［

1

、

X

、］（

t

、

− t，

｝　　　 i

＃

1jrl 　　　　

・

…・

………一・

・

………・

（3

−8

）

ただし

，E

［

名文

」］：定常状態での

i

層とノ層の速度応

答の相互相関函数で，時間に依存しない値　　　　　である

。

になる

。

また，第

3

項は

，

（2

−

3）式と（2

−

6｝式を考慮すると

齲

脇

∬∬

融

・

甑

）｝

E 臨

）

Al

、（・，）］

・

d

・・

d

・・

一

熊

鴫

∬∬

｛

愈

編

・

fM

nk

，

−

a，）

E

［

v

（・・｝

Y

（a・）］dai

・

鶏

鵬

・

_∫

°

’

_fis

_｛ri

−

a2_）

E

［

v

_（T2）

v

（a）］

da2

｝

d

τ・

dT

，

一

熊

臨

∬∬

〆811

舮

’

諏

。

・

（　　　 n 　

ny

＋

Tz

−

rl）

・

Σ

x

、Si？。

Hs

（τ一 τ、　　　　　s

；

1 ）

｝

d

・、

dT2−

・

一

(3)

・

…

一

・

…

　（3

−

9）であるから

，

（

3−5

）式は次式になる

。

・［

Wf

］一

｛

盞

_… s_・（tz_・ ti）

1

’ ＋・・

略角

鴫

　　　　　　　・

E

［

XEXJ

］（

t2− ti

）

・

…・

・

…………

（3

−

10）（

3−3

）式と（3

−

10 ）式とから弾性振動多自由度系の入力エネルギ

ー

の分散 V［W，ユは次式になる

。

　　　 n　　n

V

［略］

ニ2

π

So

ΣコΣ

l

　mtm 丿

E

［文‘

k

∫］（

t2− ti

）　　　 t11 丿

＝

且　　　　

………・

…・

…………・

…

（3

−

11）

結局，入力エネルギ

ー

_の_{分散}_は

_，

_入_力の_強さ

2

πS。と各層の運動量（7π譲∂

．

の和の相互相関函数と入力継続時間の_積で表される

。

（3

−

3）式と

、

（3

−

11）式で表される入力エネルギ

ー

の平均と分散は

，i

層の入力加速度が質量 mt を持つ正負のインパルスが独立に到達するホワイトノ_イズの場合には弾塑性振動系に対しても適用される（

Appendix

A

）

。

§

4　

弾塑性多自由度系の最適化手法と累積塑性変形　　　の統計量　弾塑性多自由度系のエ _ネルギ

ー

入力の _{統計}量は_， Appendix 　

A

でその理由を述べたように

，

i

層での入力加速度が質量 mi を持つ正負のインパルスが独立に到達するホワイトノイズの場合には

，

それぞれ（3

−

3 ）式と（3

−

11 ）式で与えられる

。

結局

，

問題をより簡単にするために振動系の_粘性減衰を0とすれば

，

定常応答状態での各層の_{履歴}吸収エ _ネルギ

ー

の和の期待値は（3

−

3 ）式で表され

，

またその分散は弾塑性振動系の_各_層の速度応答の _相互相関函数を求めることによって

，

（

3−

11）から求められる

。

各層の吸収エネルギ

ー

の和に関する統計量はそれぞれ求めることができたが，はじめに述べたように

，

この吸収エネルギ

ー

の_和が構造物の各層の_{質量分布}

，

_{剛性分}布，強度分布等によってど

’

のように各層に分配されるかという重要な問題もある

。

しかしながら

，

ここでは

，

各層に同程度の損傷を与えることを規範とする最適耐震設計の問題に_{注目}することにする

。

構造物の_損_傷度を表す

一

つの尺度として累積塑性変形率があり，この累積塑性変形率を各層

一

_様にするような最適降伏せん断力係数分布に関するすぐれた研究がある4〕

−

8 ）

_。

特に_，ホワイトノイズ入力を対象にした場合の弾塑性振動の最適降伏せん断力係数分布に関して

，

松島は弾性系の振動から最大せん断力係数分布を求め

，

この係数分布が最適降伏せん断力係数分布に十分近いということを数値解析によって検証し

，

かなり満足できる結果を得ている6 ）

−

S ｝

。

　本報告では，各層の無次元累積塑性変形率が

一

_様_に _なるような最適状態を求める

一

手法とそのときの累積塑性変形率の_{統計}量について述べる

。

一 24 一

　各層の弾塑性復元力特性の第 2分枝上を移動する変形量の _（

1一

α_t）倍を塑性変形と定義し_，そり絶対値の総和を

R

，とすると

，

定常応答状態における系の全吸収エネルギ

ー

Woは次式になる

。

　　　 n 　　　鴎

＝

Σ　

Q

コ

iRi 　　　 i

＝

1　　　　 ∴

・

…・

………・

・

…

（4

−

1＞　　　

Rt＝・

’

riXyゴ　ただし

，

tyt ：i層の降伏変位

，

Qei

：i層の降伏せん　　　　　断力， ri：

i

層の無次元累積塑性変形率各層の無次元累積塑性変形率が等しい状態

，

すなわち

、

最適降伏せん断力係数分布状態においては_， _（4

−

1）式は次式になる

。

　　　 W｝

＝

7

・

oPt Σコ

QytXyi

・

…

　（4

−

2 ）　　　 t

＝

匚　ただし

，

r。。t ：最適降伏せん断力係数分布状態におけ　　　　　る無次元累積塑性変形率結局，（4

−

₂_{｝式}_の _WD_の_{期待値}_E_［_W 。］と分散 γ［監］は次式になる

。

E

［嫣］

＝E

［r

。

m］Σ

QysXyt

　　　 t

＝

1 y ［w・］

−

v ［・r6Pt］

・

（

盞

Q

繭・

）

2 y ［rOPt］

＝

E レさPt］

−

E2 ［γ。Pt］

・

∴

・

r

・

_（4

−

3_）ここで，　

i

層の降伏せん断力係数 qtを次式で定義する

。

q、

一一

、、

．

Q

・ ’_・ T ・

．・

一・

・

……・

………・

…・

……・

・

（4

−

4）　　　 Σ　M 」9 　　　 j

≡

i 　ただし

，

g ：重力加速度　上式で

，

_qiに対する _ql（卜 2

，

3

，…，

　n）の比をβ‘とすれば

，

β、は次式になる。・

一

纏

鴛

・

…………・

………一

（4

−

・・　　　丿

i

‘ ただ・

・

…

箒

β’・1層の降伏せん断力係数・対　　　　　する

i

層の降伏せん断力係数の比　最適降伏せん断力係数分布時の _β。Pti の評価として

，

文献6）はインパルスを受ける線形振動系の最大せん断力係係数分布で十分近似できるとしているが，本報告では

，

弾塑性振動系の非線形性を考慮して等価線形振動系の最大せん断力係数分布で評価されるものと仮定する

。

その時， β。Pti は等価線形振動系の各々の無次元層間変位の標準偏差が等しいという

_条

件

齧

一

E

［（

篭

論

岡

・

………・

・

……・

…・

_（₄

−

_・_）　ただし，

E

［（Xi

−

_Xi

₋

1） t ］：等価線形振動系の層間変位　　　　　の

2

乗平均値と（4

−

5）式から得られる下記の条件から求められる

。

(4)

　　　　　　　君

μ’

E

［（

x

、

− XE−

1） 2 ］

£

。

°

鵬］

’

”… 9

_（₄

−

_{7 ）} 　　　 βOPti ＝

ht・

　　　 ’

＝

‘ 　　　

K

，　　　　　　　　　

K

，：弾性系の

i

層の剛性

，

fl

。Ptt 二　ただし，畠

＝

K

， ’ 　　　各層の_{無次元累積塑性変形率が}_すべ _て_等_し　　　　　い _状態での

1

層の降伏せん断力係数に対す　　　　　る

i

層の降伏せん断力係数の比

，

i

＝

2

，

3

，

四

　n （

4−7

）式を満たす β。Ptt が最適降伏せん断力係数分布になる

。

　次に

，

r。Pt の統計量について述べる

。

問題を簡単にするために減衰係数を0 とすれば

，

吸収エネルギ

ー

の統計量は入力エ _ネルギ

ー

の統計量に等しいから， r。Pt の平均と分散は（4

−

3）式と（4

−

6）式から次のように_求まる

。

E

［，。，，］一

一

E

［

w

・］ n

．

＿．

．

＿

（4

−

8）

鮖

撫

齢

　　　」

＝

1

v［r。pdi

−

m

］ n

…．

．

（、

．

9＞

｛

幅

聾

・

（

Σ μ， Jiin Σμ」

）

t

］

2 　　　丿

昌

1 　また

，

人力エ _ネルギ

ー

の変動係数と r。Ptの変動係数 λp には次のような関係式が成立する

。

佩

訂

　而

酒

m

［

m

］

＝

E

臨

rE

［

w

，］

…

_（

_4“10

_）

λ・

＝

_E

［r。P、］上式から分るように

_，

r。。t の変動係数は入力エネルギ

ー

W

，の変動係数に等しくなる。（

4−10

｝式に（3

−

3）式と（3

−

ll）式を代入すると

，

λρ は次式で表される

。

・

…

9…

9・

・

…

　（

4−ll

）あ

・

一

・だ・

，

− r！

−

rl

−

… 广嘱

需

方

、

藷

So＝SeX

多ia ）

i

，

S

。：無次元パワ

ー

スペクトルもし，振動系が弾性であれば

，

（4

−

11＞式は次式になる

。

ん

＝

…・

・

…・

……・

…・

・

…・

・

（4

−

12）ただしe　・・r

一

籌

福騨性麟系の入力エ _ネ_・レ_ギ

ー

　　　　　の_変動係数（4

−

12）式の

h

は入力レベル

S

。に依存しない

。

（3

−

3）式と（3

−

11 ＞式はそのまま弾塑性振動系に対しても適用されるから

，

（4

−

8）式

，

（4

−

9）式

，

（4

−

11）式 Fig

．

2 を評価するときに

_，

新たに求める必要のあるものは（3

−

11）式に含まめる弾塑性系の速度応答の相互相関函数である

。

ここでは_，この_{函数}をより簡単に求める手法として等価線形化法を用いる

。

以下

，

本報告で用いる等価線形化法の概略は次のようになる3 ）。

応答は定常と見なし，

i

層の復元力特性は

Fig．

2のような

Bi−linear

型で_表されるものとする

。

　i_層の層間変位が slowly 　varying の_{無次}元振幅 ηi＞1のもとに，円振動数瓦で正弦波的に振動しているものとすると

，

等価線形振度系の剛性低下率

k

，と等価粘性減衰係数

Ct

とは次のように表される

。

〜

1−

ai

2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ci（ηt）

　　　　　・

》顧：等価線形振動系における等価剛性

と等価粘性減衰係数

，

石‘＝

一

些， ξ

‘

＝

　　　 σ_龍　　　　　X‘

−

Xi

＿

，　　　

．

，

％

，

σξ「：

e

，と ξ‘の標準偏差　　　　Xyi（Vo ここで

，

定常応答状態の振幅ηtの確率密度函数

p

（η‘）は

，

近似的にレ

ー

リ

ー

分布で表されるものとすれば

，

（4

−

13）式の_{統計的平均値}_は_次のようになる

。

hl

（・・）一。 c・s

一

且

（

1

一

号

）

_…

一

。_，：

・

_（

₁₋

_a ・｝　　　　　（ηi

−

2）

・

v／痢「　　　　　　　

・

…

　ηi＞

1 　　h

‘（η‘）＝

1　　　　　　…

　−J・

ηt≦

1 e

，…，）− 4（’

謐

一

1）

_……

・t＞

1

C

‘（η，）

；

O　　　　　　　

・

…

　η‘≦1 　　　　

・

甲

・

…

p・

・

一・

・

…

　（4

−

13）ただし

，k

‘（η‘）：i層の剛性低下率

，

k

‘（η‘）

・

K‘

，

κ

イ

晦）P（・，）

d

・i

・

イ

c

・（・・）・（・・）

d

・t ・（n・

1 一

鷹

exp

卜

義

｝

§

5

　解析結果の考察

一・

・

一・

・

…

一・

・

_（

₄₋

_{14 ）} 　これまでホワイトノイブを受ける弾塑性多自由度系の入力エ _ネルギ

ー

と最適降伏せん断力係数分布時の累積塑性変形率のそれぞれの統計量を解析的に評価する手法について述べ _た。ここでは

，

解析結果の考察を行う

。

手法の妥当性については

，

すでに 1自由度系を対象にして検証済みであり1 〕

，

等価線形化法の_{精度}については第2 こ

一

(5)

う配を α ‘（

i

＝ 1

，

2

…

_）＝ o

．

3と固定し，層間変位の標準偏差が約

1．

4 （靱性率が約4）までを適用範囲とし3 ）

_，

₂ 層の場合（n＝ 2）の解析を行った

。

　Fig．

3は最適降伏せん断力係数分布（4

−

7）式を図示したもので，（a＞は囑（

ニ

Kz／Ki）をパラメ

ー

_タにしたものであり

，

（

b

）は_μ2（

＝・

m2 ／m ，）をパラメ

ー

タにしたものである

。

図中の実線は

，

粘性減衰を0とし

，

al＝ _α_：

三

_〇

_．

₃

，無次元パワ

ー

_{スペ} _ク _ト_ル

_S

。

＝O．

03

の場合の解析結果である

。

この無次元入力レベルは本解析手法の適用範囲の_{限界}に近い値である

。

破線は

，

文献 6）で示されている最適強度比（23＞式を図示したものである。本解析手法の_{結果}の検討は_，文献 6｝の解析結果と数値実験値との_対比

・

によって行う

。・

　（a_）の_実線は，破線に比べて

k

，の小さいところで少し大きな値になっているが

，

k2

の実用的な範囲ではごくわずか小さな値であり，（

b

）の実線もμeのすべての範囲でごくわずか小さな値である。また

，

入力レベルと第 2こう配の値が異なるが_，文献6）の数値実験値ともかなりよい

一

致を示している

。

これは_，最適降伏せん断力係数分布時においては，入力レベルや第2こう配の値の影響が非常に小さいことを意味するものである

、S

。

＝

₀

_，

₀₁₅

_，

al＝ _a2＝

0．

3

の_場_合と

S

。

＝

O

．

03， α 1

＝

a2

＝

O

．

5 の場合の解析値も

Fig．

3

とまったく同じである

。

文献6）も同様な結論を得ている

。

以上のことか _う_，全体的に見て最適降伏せん断力係数分布状態に_関す_否限り，入力レ

ベルや第

2

こう配の_値の影響は非常に小さいし，最適降伏せん断力係数分布は等価線形振動系の最大せん断力係数分布で近似することも十分可能である

。

Fig，

4の（a_）_， _（

b

_）は，（

4−11

）式で表される変動係数を図示したものである

。

応答時間は単位の無次元時間 Fig

．

3 Fig

_．

₄

Fig．

5 である

。

両図とも入力レベルが大きい

．

場合，すなわち

，

累積塑性変形が大きい場合に_小さな値になっている。これは_，累積塑性変形が大きいと

，

それだけ速度の相互相関函数が小さくなるためである。また

，

λρ は観とμ2 のパ

．

ラメ

ー

タの変動に対してほぼ

一

定な値である

。

図中の破線は

，

粘性減衰

h

‘

・

＝

O

．

02 のときの線形振動系の変動係数（4

−

_{12 ）}式の値である

。

λ

。

はかなり大きな値で

一

_定_{ではない} 。以上のことから

，

変動係数は線形振動状態で最大になり

，

累積塑性変形率の増大とともに減少し

，

島とμ‘の変動に対してほぼ

一

定になる傾向を示す

。

一 26 一

(6)

　 Fig．

5

は

，

最適降伏せん断力係数分布時の無次元累積塑性変形率の平均と標準偏差を図示したものである。応答時間は_， Fig

．

4同様に単位の無次元時間である。実線が（4

−

9）式の値であり

，

破線が（4

−

8）式の値である

。

　 §6 結　　論　定常ホワイトノイズを受ける弾塑性多自由度系の最適降伏せん断力係数分布時の_累積塑性変形率の統計量を解析的に求める手法について論じ

，

2自由度系で

，

k、

＝

1， μ，

・

＝1

のそれぞれの場合の計算を行い

，

累積塑性変形率の統計量に関する考察を行った

。

結論を要約すると次のようになる

。

（1 ）最適降伏せん断力係数分布は等価線形振動系の最大せん断力係数分布で十分近似することができ

，

最適降伏せん断力係数分布時に関する限り

，

入力レベルや非線形性の_度_合を表す第 2こ_う配の_{影響}は非常に小さい

。

　（

2

）最適降伏せん断力係数分布時の累積塑性変形率の_{変動係数}は

，

剛性率 h2と質量比μx の変動に対してほぼ

一

定な値になる。また

，

変動係数は線形振動状態で最大となり

，

累積塑性変形率の増大と共に減少する傾向を示す

。

　Appendix 　A 　（3

−

3）式と（3

−

₁₁_）式は

，

‘層の入力加速度が独立に列達する質量 mt のインパルスの場合には

，

弾塑性振動系にも適用される

。

その理由は次のようになる

。

　Fig

．

1で示される振動系の運動エ _ネ_ルギ

ー

は次式になる

。

・

一

撚

擁言

…………・

一 ……・

……・

……一

（A

−

1）　ただし

，

T ：系全体の運動エ _ネルギ

ー，

文‘；地盤に対するi 　　　　層の相対速度で確率変数全体のエ _ネ_ルギ

ー

増分AT は次式になる

。

・・

一

去

か

_齢 _細 _幻〕

……一・

・

……

（A

−

・）質

Pt

　mt のインパルスが作用したときの速度増分は　　 AX‘

＝

・

1

………・

・

………・

…・

…………・

（A

−

3）であるから

，

（A

−

2）式は次式になる

。

・［AT ］

一

狛

・・

………・

・

………一

〔A

−

・｝単位時間当りに_作_用するインパルス _の_数は₂π

S

。であるから

，

応答時間（t厂 t

］

）での入力エネルギ

ー

の期待値E［W，］は次式になる

。

　　 E［　W

，

_］

＝

_Σ］mp πS。（te

−

ti）

……・

…・

・

……・

・

……・

〔A

−

5〕　　　 i

≡

1 　全体のエネルギ

ー

増分の 2乗値は次式になる。

AT ’

一

去｛

か

似・・

1

・肅言）

r

・

………一

〔A

−

・）（A

−

6）式の両辺の期待値をとり

，

（

A −

3｝式を考慮すると次式になる

。

・［・T・］

一

吉

鵡

購

鉱

才，］＋1レ

…………

（A

−

7）結局

，

エ _ネ_ルギ

ー

増分の分散V［ATi］は

，

（A

−

4｝式を考慮すると次式になる

。

n

n 　　　V［AT2］

＝

ΣΣm 〃m」E［髪1遠丿｝

・

…・

・

…・

・

……』

tt

（A

−

8）　　　 ‘

ilJh1

単位時間当りのインパルスの数は2πS。であるから

，

応答時間（t

，

−

t

，

）におけるエネルギ

ー

入力の分散y［隅］は　　　 n　　n

y［W，］

＝

2πS。

X

Σmtm ，

E

［戈、

X

，］〔t厂 t，）

…・

・

…

（A

−

9）　　　 t

＝

1J

＝

1 になり

，

（A

−

5）式と〔A

−

9｝式はそれぞれ〔3

−

3）式と〔3

−

11）式に

一

致する

。

　参考文献　1＞洪　起

，

田中　尚；「ホワイトノイズを受ける 1自由度　　系の履歴吸収エネルギ

ー

」日本建築学会論文報告集

，

第　　 270号

，

昭和53年8月

2）小堀鐸二

，

南井良

一

郎

，

河野允宏；「建築構造物の地震応

答の適正化の

一

方法」京都大学防災研究所年報第13号　　 A

，

昭和45年3月　3）曽田五月也

，

谷　資信：「多層構造物の統計的耐震設計法　　に関する基礎的研究」日本建築学会論文報告集

，

第288 　　号，昭和55年2月　4｝加藤　勉

，

秋山　宏

，

大井謙

一

：_「強震による損傷を

一

定　　にする最適降伏せん断力係数分布について」建築学会大　　会講演梗概集

，

昭和51年 10月　5）加藤　勉

，

秋山　宏；「地震時における鋼構造せん断型多　　層骨組の損傷分布則」日本建築学会論文報告集

，

第270 　　号，昭和53年8月 6）松島　豊：「ホワイトノイズを受ける2自由度系の塑性エ　　ネルギ

ー

配分」日本建築学会論文報告集

，

第 308号

，

昭　　和56年 IO月 7）松島　豊：「2自由度系の_履歴吸収エ _ネルギ

ー

応答に与え　　る_質量分布の_{影響」日本建築学会論文}_{報告集}

_，

_第321号

，

　　昭和57_年11_月 8）松島　豊：「ホワイトノイズを受ける多自由度系の_{最適降} 　　伏せん断力係数分布」日本建築学会論文報告集

，

第342 　　号

，

昭和59前8月 9）田治見　宏：「建築振動学」建築構造講座

，

コロナ社

(7)

SYNOPSIS

UDC:624.04:624.042.7:620.1

CUMULATIVE

PLASTIC

DEFORMATION

FOR

MULTI-DEGREE

OF

FREEDOM

SYSTEMS

SUBJECTED

TO

WHITE

NOISE

byDr.GI HONG, MernberofA,I.J.

This

paper

describes

an analytical method toestimate the statistical values of cumulative plastic

deformation

ratios under the condition of optimum

distribution

shear coefficients

for

multi-degree of

freedom

systems subjected towhite noise.

ホワイトノイズを受ける多自由度系の累積塑性変形

1

．

．

．

．

・

ホ

ワ

イ

ト

ン

、

イ

ズ

を受

け

る

多 自由度

系

の

累 積 塑 性

変

形

洪

起

1

，

あ

1

ー

。

ー

，

，一

，

ー

，

ー

一

，

，

，

ー

一

ー

一

一

．

。

，

一

・

。

，

一

−

。

6

，

一

，

，

。

，

ー

。

2

，Fig．

1

，

IXI

C

K

IXI

＝

＝

i

11

一・

_イ

_ズ

_を受

_け

_る

_{多自由度}

_系

_の

_{累積塑性}

_変

_形

　洪

_。

_，

_刮

_隠