繰り返し変動荷重を受ける骨組構造物の弾塑性・崩壊解析

(1)

【論　文】 UDG ：624

．

02：624

．

042 ：624

．

042

．

7 ：620

．

1 日本建築学会構造系論文報告集第 371 号

・

昭和 62 年 1月

繰

り

返

し

変

動

荷重

を

受

け

る

_骨

_組構

造

物

の

_弾

_塑性

・

_{崩壊解析}

正会員正会員

近

花

藤

井

正

夫

＊

実

＊＊　

1．

緒　言　繰り返し変動荷重と呼ばれる時間とともに任意に変動する荷重を受ける構造物が

，

荷重の変動領域がある限界（

Shakedown

限界）を越えると，荷重の繰り返しとともに変形が発散してくる漸増塑性崩壊

，

構造要素の

一

部に正負逆の降伏が繰り返し起こる交番塑性崩壊，あるいは最も不利な荷重の組み合わせによる即時塑性崩壊により

，

崩壊に至ることは

，

よく知られたところである

。

　著者等は

，

文献 1）で

，

このような繰り返し変動荷重の下での構造物の弾塑性挙動を，組織的，統

一

的に，また実用的に追跡し得る解析手法の提案を行っている

。

そこでの方法は

，

繰り返し変動荷重の変動領域の大きさを示すパラメ

ー

タ

ー

と残留応力

，

残留変形との関係を，通常の_，荷重が比例的に_載荷される場合にもちいられる弾塑性解析手法と同様に_，増分理論に基づいて step　

by

step に求めようというものである

．

この方法によれば，完全弾塑性材

，

ひずみ硬化材を問わず容易に解析可能であり，また，崩壊荷重に関する情報だけでなく

，

変形に関するそれも，荷重の変動領域の大きさを示すパラメ

ー

タ

ー

の関数として得ることができ

，

実用上

，

非常に有効なものである

．

文献1）では

，

また

，

この方法をもちいて

，

繰り返し変動荷重を受ける平面トラス_{構造物}の_解析を行い

，

その有用性を示している。　本報告では

，

この_手_法を剛接骨組構造に適用し

，

すでに著者等が文献

2

）で提案しているハイブリッド型最小コンプリメンタリ

ー

エネルギ

ー

の原理に基づくはり柱モデルを用いて

，

繰り返し変動荷重を受ける平面骨組構造物の弾塑性解析を

，

組織的

，

実用的に行い得る手法の提案を行うとともに

，

いくつかの数値解析により

，

その精度，および有用性を検討した結果を報告する

。

2．

残留応力

・

残留変形解析　2

．

1 解析方法の概要　解析方法の詳細は

，

文献 1）を参照されたいが

，

ここでは，その概要について要約する。　固定荷重および繰り返し変動荷重を受ける構造物の _任意点の変位（切

，

および応力（σ‘）の応答は，

3

個の成分の和として

，

次式のように表されるe

u、（〆）

＝

ぜ＋駕『 1 （P蔀｝＋uln_〔_{が）}

・

…・

……

_（1

．

a_）

a，（〆）

＝

σ曽＋σ留（〆）＋σ曽（ρ ’ 〕

………

（1

．

b

）ここに　u？

，

σ曽：固定荷重に対する応答変位

，

および応力　ule，

_，

σ留：繰り返し変動荷重に対する弾性応答変位

，

お　　　よび応力　ザ

，

σ曽：残留変位

，

および応力　　 p＊：繰り返し_変動荷重の_変動領域の大きさを示す　　　　　パラメ

ー

タ

ー

であり

，

u籔pつ

，

σ獸ρつは

，

ρ＊の

一

価関数でなく

，

次式で与えられる領域をもつ _。　　　が

・

臨n≦ule，≦〆

・

創點．

・

…一・

…………

（2

．

　a）

9（σ留）_{≦ ρ}＊

・

c

・

…

（2

．

b

）ここに_，

ハ

は _p寧

；

₁_における値の意であり

，

また

，

c は pl

＝1

における弾性応答応力の変動領域の大きさを示す定数である

。

　さて

，

われわれは

，

がの値を0から単調に増加させていった時の

p

＊と（1

．

a

，b

）式で与えられる蝋 p拿）

，

σ_“（が）との関係を求めることを考える。ところで，（1

．

a

_，b

）式において

，

　 u屮

，

σ1∂は

，

〆に無関係な固定荷重に対する応答であり

，

また賜籔pホ）

，

σ獄ρ麟｝は

，

pl の増加につれて

，

（

2．

a

_，

b

）式で与えられるその領域が単に膨張するのみである

。

したがって

，

（1

．

a

_，

b

）式の関係を求めるには

，

_〆と uln（〆｝

，

σ厭_ρホ）との関係を求めれば十分であることがわかる

．

また

，

この駕貿が）， al：｛p’ ）の値は

，

　uド（p＊〉

，

σ胃（ρ串）のようにある領域をもつ _ものではなく

，

0から単調に_{増加}する _がの_関数として，

一

義的に決定される

。

　〆とuT ， σ曽の関係を求めるための増分型基礎式は

，

次式で与えられる

。

　○残留変位

一

残留ひずみ関係寧広島大学　助教授

・

工博＊＊ _{広島大学　教授}

・

_工_博　〔昭和 61 年 7 月 7 日原稿受馴

A

・

i’

y

−

li

（

∂

Auln

＋ ∂△ 曁里 ∂コc，　　 ∂Xi

）

・

…

ここに

，

_昭：残留ひずみ

，

x、：座標であり

，

△ は増分の意である

。

　Q 残留ひずみ

一

残留応力関係

・

…

_（₃_｝

一 14 一

(2)

ム・曽

＝DW

・，

・

ムε鴇

一

ムP 串

・

_R

げ

・

．

…一 ………

（

4

）

DW

・，

− D2s

）．

− DgSi

・

（

菖名磊

ll

α

。

_Q

_：_s

・

譜

11

、

）

・

_・

…・

……・

……

_（_・

_・

a_）・・

− P

・

（

鯖｛

読

ll

。

・

_Q

_凄・

・

黠

ll

、

・

δ

_劉

1

・

）

・

…一 …・

……・

・

…………・

…

（・

．

b

）

［

Q

凄β］

＝

［

Q

αP］

−

1

・

…

凾

・

…

凾

・

…

　一

…

（5

鹽

c_＞

Qaf

・

＝

fi

一

黠

lla

・

：

銑　

ll

β

一

_aa β＋

差

詫

鶚

ll

a

−DLO

．

・

_説

1

。

……・

…・

・

………

_（_・

_．

・_）ここに　　

f

（a“

一

σ

t

）＝ _σ

3

（

一

定）_：降伏条件　　　ae ：単軸降伏応力　　

P

：_弾_性_材_{料定数}

，H

：ひずみ硬化を表す係数　　　σ呂：降伏曲面中央点の応力　　 δep ：クロネッカ

ー

のデルタ

ll

α

，

llp

（α

，

β

＝1，2，…，

N

。）付：降伏曲面上の値　　　

N

。：降伏曲面上の応力状態の数であり

，i，

」

，

k，1

_等については総和規約をもちいている。　また

，

降伏曲面中央点の応力の増分は

，

次式で与えられる

。

・・乞一

鯖

・：・

・

譜

IL

・

贓・・

P

・

∂

跚

’

（σ∬

11

。

一

σ

rs

）

………・

・

一 ……一 …・

・

（

6

）ここに

【・_：_P_］

一

_［

s

_・_P_］

一

・・

Sa

・一

昜

IL

・

（aullfi

−

・

n

）　　　　

・

『

…

t・

・

…

一・

・

…

　（7

．

a

，

b

_》　（4 ）式

一

（7

．

a

_，

b

）_式は

，

移動硬化則に従うひずみ硬化材についてのものであるが

，H

＝O

_と_す_{れば} ，完全弾塑性材のそれとなる

。

O

平衡方程式 ∂

響

一・

・

……・

・

…・

……・

…………・

・

一

_{（8 ）} 　

O

力学的境界条件　　　∠」

Tl

”_{＝＝} ∠

L

σ曽

陰

n_丿

＝

O

・

…

一・

・

…

　（

9

＞ここに

_，

n」：単位外向き法線　○幾何学的境界条件　　　△駕曽

＝0・

………・

…一 ………・

…・

・

…

_（10_）　 2

．

2　平面骨組構造への_{適用}

次に

，

（

3

）式

一

（10）式を

Fig．

1に示す平面はり柱材に適用すると

，

平面骨組構造の残留応力，残留変形解析に関する増分型基礎式は

，

次のようになる

。

なお_， _簡単化のため，ここでは

，

力学的境界条件

，

および幾何学 u x 一

（

翳

）

一

z N

，

M

Axis 　of 　centroid

　　　　 w

Fig

．

1　Sign

−

convention 　for　a　_plane　beam

・

column 　member

的境界条件等は省略している。　○残留変位

一

残留

一

般化ひずみ関係

… −

d

瓢

・…

一一

砦

勃

……

_《₁₁

_．

　a_，・_）ここに　　　ε。：軸ひずみ， x ：曲率　　w _，u ：図心軸上の z，およびx 方向変位　O 残留

一

般化ひずみ

一

残留ひずみ関係　　　AεM

＝

ムε『十x

・

△x（n

・

…………・

・

………・

・

…

（12》　Q 残留ひずみ

一

残留応力関係　　　AσM；

Et・

A

_εM

− Ap

ゆ

・

R ………・

・

……・

_（13_）ここに

E

、

−

E

°

_些

，R −

E

＿．

・

a

・・

ll

、

・

…＿

（

14．

、a

，

．

b

）　　　　　E 十H 　　　　

E

十

H

　　　　（1つの応力状態が降伏曲面上にある場合酬 _）　　　E，

＝

E

，

R ＝0・

・

…

■

a・

…

　（15

．

a

，

b

）　　　　（すべての応力状態が降伏曲面内にある場合）

・・ヤ・グ騰

_免

籖

　　　εt°）：塑性ひずみであり

，

II

，は，前述のように

，

降伏曲面上の値の意である。　また

，

降伏曲面中央点の応力の増分は

Aσ＊

＝A

σ［”十

Ap

‡

・

∂te〕

lll

・

…

_（16 ）となる

。

　○残留応カ

ー

残留合応力関係

ANI の

一

∬

・・c・

・

dA …・

…・

…

_（17

，

　a_）

AMm

−

_∬

・・1・

・

x

’

・

dA

…

…・

・

…………・

一

（17

．

・）ここに

，A

：断面積

，

　N ：軸力，　

M

：曲げモ

ー

メント　Q 平衡方程式　　　

dANM

diAM

エη 　　　　　　　　　　　　

＝

0

………・

……・

（18

．

atb ＞　　　　＝ 0

，

d2

d22

（12 ）式，（

13

）式を（

17．

a

，

b

）式に代入すると

，

次式の残留

一

般化ひずみ

一

残留合応力関係を得る

。

　　　ムハlm

＝D

_客

・

4

ε『り十

D

留

・

△κ〔”

一

ムρ象

・

R

” 注1）単軸応力状態では， 2つ以上の応力状態が降伏曲面上　　に達した場合には

，

交番塑性崩壊となる

。

一

₁₅

一

(3)

・

…

一

一・

・

…

　（

19．

a_）

△盟砌

＝

_D 留

・

Aε

tn

＋

1

）擁

・

ムガη

一

ムガ

・

RN

・

…

　（

19．

b

）ここに

・留一

∬

・・…

一 ……・

……・

（・・

．

a＞

砕

P

盟

一

∬

E

・…

dA …・

・

………

（2・

．

・

b

＞

・蜷

一

∬

・・

跏

…・

……・

…一 ……・

…

（・・

．

c＞

R

・一

∬

R ・

dA

・

R

广

∬

R ・

副

…・

（

21・

a

・

，

b．

）

（11

．

a

_，

b

）式，（18

．

a

，

b

）式

，

および（

19．

a

，

b

）

1

式がここでの増分型基礎式となるe 　

3．

ハイブリッド型応力法による平面はり柱モデル　

F ．E ．M ．

による構造解析では

，

変位法をベ

ー

スにした要素モデルが

一

般的にもちいられる_魁骨組構造のような

一

次元部材の材料非線形問題に対しては，応力法をベ

ー

スにした方がはるかに有効である

。

著者等は

，

文献 2 ）で，ハイブリッド型最小

’

コンプリメンタリ

ー

エ _ネルギ

ー

の_原理に基づく平面はり柱モデルの提案を行い_，その_{材料非線}形問題に対する有効性を明らかにしている

。

このはり柱モデルには

，

弾塑性領域においても，モデルとしての離散化誤差は無く，剛性評価，エネルギ

ー

積分等を厳密に行いさえすれば

，

変位

，

ひずみ

，

応力共厳密解を得ることが可能である

。

本研究では_， 2

．

2節で導いた増分型基礎式に対する離散化毛デルとして，このハイブリッド型最小コンプリメンタリ

ー

エ _{ネ川ギ}

ー

の原理に基づくはり柱モデルを用いる

。

　さて，

Fig．

2に示す代表的平面はり柱要素についての

　　　　　　コ

残留応力

，

残留変形解析に関するハ _イ

ブ

_リ_ッ _ド_犁_最，

J

“一ンプリメンタリ

ー

エ _ネルギ

ー

の原理の増分型汎関数は

，

次式のようになる］）

・

Z）

_。

・・

lm

−

∬［

一

麦

・

・留… 隴

一Clp・

・

Nln・

・〃〔”

一

圭

・

_c

_細 1・

一

・細 ” … 嚀 …

　　　− C

惚

・

ム

N

〔”

・

_ム

P

孝

・

_R 飼

一C

澀

・

△

Mt

” e（

至

）　丶₁

・

_△_〆

・

_・_r _・_黜・

・

・・・ …

］

・

d

・　　　

d

△M ・

［

・

△琶　ム1Vl町

・

_△

edn

_十　　　　

d

之

一

_ム

_M

・

望

］

L

−

［

ム炉

・

△ttirt u （

1

＞ 2 ） r2 （＞ r2 （ U 丶

w（

1

）

一

＼₂

w（_互） Fig

．

2 　　　 E

Aplane　beam

・

column 　element 　for　_residuaL 　deformation ana 且_ysis

一 16 一

ここに・

d

告

髣

1η

・

_A

・

［

”

一

_・_M …

d

書

笋

］

L

；

・

・

…

　P

・

…

一・

・

…

（22 ）

［

：

1 ：

剔

一

［

嬲

．

Bli

_］

一

黜

・

…・

………

_（_… 　　　

t

：_要_素_長さ（22 ＞式における独立関数は

，

ムω゜

L

， Au

［”

1

、

，

望

1

、等・要素境界上残留変位増分 … び要素内残留合応力増分

ANtt

，

AM

〔Pであり

，

また

，

付帯条件は

，

（18La

，

b

）式の_平衡方程式である。　さて，文献

2

）に従い，要素境界上残留変位場，および要素内残留合応力場を

，

次式のようにおく

。

　O 要素境界上残留変位場　　　ttfnl．

一

。

＝

齲 η ，勃

lz

_．

t

＝

醪

u‘”

1

“ 。＝岬， u 【”

1 _．

−

1＝ uLn

讐

L

− ・乳

讐

L

−

eti 　　　　　　　　　

’

”層

’

”呷

’

”鹽

’

”・

・

（24

，

訌

〜f

_）　 Q 要素内残留合応力場

．

　　　ハ

1

団_＝ _sgn

・

…

一

・

…

t・

・

∵

・

一

・

…

　（25

，

a）

MI

…

（

−

21 　　　　

1 ）

・

SiL

・_・

f

・

・！n

・

……・

一

（25

・

b

）ここに，峨斜， ui 「， θ『（‘需

1

，

2

）は，その節点を共有する各要素について共通な残留変位パラメ

ー

_{タ「}であり

，一

方

，

sln （

i

＝ 1

，

2

，

3）_は，各要素で独立に与えられる残留応力パラメ

ー

タ

ー

である

。

なお，（

25．

a，　

b

）式の要素内残留合応力場は_，合応力表示した平衡方程式の完全解であり

，

（18

．

a

_，

b

）式の付帯条件を満足している

_．

ことは，自明であろう

。

　（

24．

a

〜f

_）式

，

および

．

（25

．

　a

，

b

＞式の増分形を（22＞式に代入，積分を行うと

，

次式となる

。

An

・

i 一

_者

・

LAs

・

v

」

・

［

A 。

Si

’

1A

…

1

＋

LA

…」

・

［A・d］　　　　　　

・

｛△

d

’”

1 −

t

△s｛め」

・

∠

L

ρ寧

● IRs

｝

・

…

　（

26

）ここに

1

♂ ｝

＝

口り 1 助 2 噂 3 8S8

，

1

♂幻ド脚醪岬溜即躍［

A

・s］一

．

ft

［

H

・］・｛

c

・Pb ］｛

H ・

］

dz

明

鵬一

(4)

1

・

イ

剛・・

覗

… 團一

［

1

0

之　2

0

01

− 一

_τ

₇

］

・團一

［

1 躯

1 ］

・

…

一・

・

…

　（

27．

a

〜

₉_）（26 ＞式の変分を取ると　　

aAllm＝LaAs

（” 亅

・

（

一

し

4

詞

・

1

△s_例十_［

As

，

t］

・

IAd

‘

Pt

　　　　　 −

Ap ’

・

1R

_討）十

L

δAd ‘” 亅

゜

［ASd］T

°

IAs

’”

1

・

………一・

………

（28＞　

Is

叫は_，前述のように

，

各要素独立なパラメ

ー

タ

ー

であるから

，

（28 ）式の _巨8_叫に関する_停留条件として

，

次式を得る

。

1

△ s叫

＝

［A 講

一

1

・

［

ASd

］

・

IAdtn

ト

Ap

’

・

し

4sdl

曹

i

・

IR

』　　　　　　　　　

・

…

一

・

…

s■

・

（29 ）　（29＞式を（28）式に代入すると　　　

SAnm ＝

LaAd

（n 亅

・

CA

ε“］ T

・

［

Ass

］

幽

1

・

［

ASd

］

・

IAdCl

− 4

〆

・

［

ASd

］T

・

［

A8

』

一

訌

・

IR

議）　　　　　＝

LiAdMl

・

（［

hM

］

・

IAdt

「i｝

− Ap

．

・

1rm

｝）　　　　　　　　　

………・

…・

・

………

（

30

）ここに　　　［

hn

］＝［

A

。a］ ’

・

［

A

。。］

”

’

・

［

A

。d］

……・

・

………・

・

（

31．

a）　　　｛rm｝≡ ［

Asd

］「

・

［

A8

』

−

1

・

IR9

・

…・

………一・

・

（

31．

b

）であり，最終的な未知数は，

1

節点当たり

3

個の残留変位パラメ

ー

タ

ー

のみとなる。なお

，

（30 ＞式は

，

局所

座

標系表示になっており

，

通常の方法に従って

，

全体座標系表示に変換する必要がある。　ところで

，

文献2）では

，

ハ _{イブリ}_ッ _{ド型最小}コンプリメンタリ

ー

エ _ネルギ

ー

の原理に基づき

，

要素内合応力場として平衡方程式の

一

般解

，

および特解をもちいれぱ

，

弾塑性，崩壊状態についても，離散化誤差のない平面はり柱モデルが得られることが示されているが

，

このモデルを残留応力，残留変形解析に適用した場合についても，離散化誤差がないことを示すのは

，

容易である

。

　すなわち，（22｝式の汎関数からも明らかなように

，

（28）式の残留変位パ _ラメ

ー

タ

ー

に関する停留条件は_，各節点における残留合応力の平衡条件であり

，

これを厳密に満足する

。

したがって

，

（25

．

a

，

b

）式の残留合応力場が要素内平衡方程式の完全解であることを考えれば

，

平衡条件は

，

完全に満足されている。

一

方

，

残留合応力パラメ

ー

タ

ー

に関する停留条件である（29 ）式

，

および（19

．

a

，

b

＞式

，

（23）式

，

（25

．

　a

_，b

_）式

_，

_（

27．

a

〜

_g_）式をもちいると

，

次式を得る。

f

。 tA ・

r

…

−

A・・

ip−

△

dil

・

……・

…………

（32

・

a）

JC

’・・

t

・

dz − −

APtn・AOf， …

…・

……・

…

（・2

・

b

）ここに_，

齢 △・

9

・

−

1 ・

（雌

一

ム・

r

ト

・

一・

・

…

（

33．

・）

・醐・

1

・

−

i

・

（

A

・

S

・

− A

・

t

・）

・

……・

…・

（・

3．

b

）（32

．

a

_，b

_）式は_，残留

一

般化ひずみ増分を要素長さにわたって積分すれば

，

要素両端の残留変位増分の差となること

，

すなわち

，

残留変位パラメ

ー

タ

ー

と

，

残留合応力分布から得られる残留

一

般化ひずみ分布とは_，完全に適合していることを表している。したがって

，

このモデルには

，

離散化誤差はないことがわかる

。

4．

ヒンジ法の適用　断面全体の合応力で降伏関数を構成するヒンジ法は，煩雑なエネルギ

ー

積分から解放されるため

，

その適用範囲の限界を認識さえしておけば_，数値解析上，非常に有用な方法である。次に

，

このヒンジ法を残留応力，残留変形解析に適用する方法について述べる

。

まず

，

ヒンジ法を適用した場合の残留

一

般化ひずみ_増分

一

残留合応力増分関係を導びく。　平面はり_柱の降伏条件を　　　

f

（

N ，

M ）

≡

O

・

…

−4…

4・

・

■

4・

・

…

■

・

…

t…

　（

34

）とし

，

古典的塑性解析理論に従い_，ひずみ硬化はないものとする

。

　さて_，降伏曲面上の_合応力の_増_分は_， _次_式で与えられる。

∠LNIia

＝Alvm

十

Api ．

N

〔

”

PIIa

・

…

_一

・

…

（

35．

a_）

AMIIa

‘

AM 桝_→

一

∠S_ρ串

゜

M

‘qH．

’

…’

’

”°

（

35．

b

｝　　　　　（α

二1，2

_ヂ

四

_，ハ

is

）　（

35．

a_，　

b

_）式で与えられる合応力の_{増分}は，次式の塑性条件を満足しなければならない

。

嘉

ll

。

・

酬

1

・＋

嘉

1L

・

AM11・

一

・　　　　（a

＝

1

，

2s

…

，

Ns

）

・

…

■

・

…

■

E■

・

一

■

・

（

36

）　（

35．

a

_，

b

_）式を（36）式に代入すると

9t

11

。

・

_（

_AN

・・＋A_ρ・

・

舶

1

・）・

St

11

。

・

_（

_AM

・”

　　　　　　　へ

十 △_p＊

・

_M エet11 α）；

0　　

（a＝

1

，

2

，

…

　，

Ns

）　　　　　　　　　

・

…・

一 …一・

………

（37 ）　

一

方

，

残留

一

般化ひずみ増分，および塑性ヒンジ点における残留相対変形増分は_，塑性ヒンジ点以外塑性変形は生じないという古典的塑性解析理論，および塑性流れ則に従えば

，

それぞれ

，

次式で与えられる ξ 　　　△εぽ1

；

C轡

・

AN エ”十

C

留

・

4Ml

η

・

…・

……・

…

（

38．

　a_）　　　△罵国

＝

C

罧

゜

ム亅

V

桝十

C

鴇

゜

AMtn ’

’

”

11t

’

1’

”

（

38．

b

）

A

・・；一

毒

・

II

・

器

ll

ガ

……・

…

；

・

：

…・

・

…

（39

・

a）

A

・

un

一

蠶

・

lla

・

譱

11

。

……・

…

・

………・

（・9

・

・）ここに

，

・轡

一

古

_，・霧

一

・

P

，　

＝o．

・鴇

一

毒

（・・

．

・a

−

・）

一

₁₇

一

(5)

1

：断面

2

次モ

ー

メントであり

，

城召

，

θ_汐

，

およびλ

lta

は_，軸ひずみ

，

曲率に対応する塑性ヒンジ点における 2つの残留相対変形，および塑性ヒンジ点における塑性変形の大きさを示すスカラ

ー

である

。

（

37

）式

〜

（

39．

a

，b

）式が残留

一

般化ひずみ増分

一

残留合応力増分関係であり_，これらの_諸式と 2

．

2節での（11

．

a_，

b

）式，および（18

．

a，

b

）式がここでの基礎式となる

。

　さて_，ヒンジ法を適用した場合のハ _イブリ_ッ _ド_型_最小コンプリメンタリ

ー

エ _ネルギ

ー

の原理の増分型汎関数は

，

次式のようになる1 ）

・

2）

_。

一

去

・

_Ct

・？

・

ANIm − Cl

・ …

ANIn・

AM

・” …

イ［

一

弖

・

_c

・

△〃・m

］

d

・＋

［

△

Nm ・

A

・・

f

・

＋

d

響

・

甜・

− AM

・”

・

d

農

”

］

L

、　　　

dAMm

−

［

　　　　 △

1V

【”

・

△滋” 十　　　

・

AutSt

　　　 d2

−

_・・…

娶

”

］

L

一

善［

・

1 _』

・

_睇

ll

。

・

_（

_AN

・＋ △…

舮

ll

・）＋

昜

ll

α

・

_（△M 叫 △_…

副

_・

川

炉

ベ

ー …

_（・

i

_）ここに

，1

，は塑性ヒンジ点の z 座標であり，塑性ヒンジ点における塑性変形の大きさを示す λ

ll

α が

，

新たな独立変数として導入されて

b

る。　前節と同様，要素境界上残留変位場

，

要素内残留合応力場として

，

（24

，

a

〜f

）式

，

および〔25

．

a

_，

b

_）式_{をも} ちいると，（41 ）式は，次のようになる

。

Ail・

一

S

・

LAsl

・」

・

［A_・_s］

・

1A

・・｝＋

LAsln

」

・

［A・d］

・

IAdm

｝

−

L

λ

1 ・

［

AAS

］

’

IAsm

｝

− Ap

ホ

・

L

_λ

亅

・

｝

R

λ｝　　　　　　　　　

・

…

nyt

・

…

　（42 ）ここに

λ

11

、

因

一

…

，

［

A

・・］一

∫

犀［・・］ 7

・

［σ

・

・］

・

［跏・

）LII，_，

疇

　器

IR

．｝

＝

af

Il

，

（

1

， 1

−

t

）

・

_嘉

IL

ll

晦

（

₋

th1

T

）

・

8t

11

晦

11

，

・

_ab

・

lll

＋

嘉

ll

、

・

_副

・　　　 ∂

N

・

cen

・

一

［

ll

Il

。

・

_舶

_獄

_嘉

ー

　 L 　　囎

譱

…

諾

翫了哉ア

ll

A

　・

M 〔e’

11

”s Ns

1 捌

………一 …・

…・

…

_（₄₃

_．

a

〜

e）

一

₁₈

一

であり，他の諸量は（

27．

a，　

b

，　

d

，　

f

）式に示している

。

　以後は

，

3節と同様

，

｛As （nl

_，

₁

_λ_｝_は_{各要素独立}_で _あ_ることから

，

これらのパラメ

ー

タ

ー

を縮約により消去すれば

，

残留変位パ _ラメ

ー

タ

ー

のみを未知数とする要素剛性方程式が得られる

。

　ここで_，（42＞式の各パラメ

ー

タ

ー

に関する停留条件を調べてみると

，

園については（37＞式の塑性条件が

，

また

，

IAdt

” 「については

，

3節と同様

，

各節点における平衡条件が_得られ_，これ_{等の}条件を厳密に満足することは_，容易に知れる。さらに，

IAsC

” ｝にっいての停留条件として得られる次式　　　

lAs

［n

｝

．

・

［Ase］

−

1

・

［Asd］

・

1Adtnl

−

［

Asli

］

馳

・

［

Ax

園｝TIλ｝

・

…

t・

・

…

　（44）および（25

．

a

_，

b

）_式

，

_（27

．

　a

_，

b，

d，

f

）_式

，

（

38．

　a

_，

b

）_式

，

（43

．

a

〜

c

，

e＞式をもちいて残留

一

般化ひずみ増分を要素長さにわたって積分すると

ズ

・融

一

・醪

一

・岬

一

糞

・

_｝

1

・

_｛

9tl

11

　　　 α

・

一…

甲

・

…

一・

・

一…

_（

_45．

a_）

f

。 ’

A

・M

．

d

・

一一AOtn

・・嬋

一

菖

・

1

・

昜

11

。　　　

”

一

”−t’

’

”t’

”鹽

’

”鹽

’

”

（45

．

b

）となる

。

ここに_， A　_eplt ， △謬は，（33

．

　a，　b ）式で定義される量である

。

（45

．

a_，

b

）式より，適合条件も

．

また

，

厳密に満足されること

，

したがって_，ヒンジ法を適用した場合にも離散化誤差がないことは

，

容易にわかる。　

5．

数値解析例　本節では_，本報告で提案している手法の有効性とその精度確認のため

，

3つの簡単な解析モデルについて_，数値解析を行った結果を報告する

。

ここで取り扱かうのは

、

すべて矩形断面部材より構成された_骨組構造であり，最初の

2

つの解析モデルについては，塑性域の広がりを考慮した解析を

，

また

，

最後の解析モデルについては

，

ヒンジ法を適用している

。

なお_，塑性域の広がりを考慮した場合の降伏判定

，

エ _ネルギ

ー

積分は

，

Fig

．

3に示すように各要素を（nz × nx）個の segment に分割し

，

各 segment _内における応力

，

ひずみは

一

定であると仮定し

，

各 segment に 1個設けたstress

_，

　strain 　point‘こおける

値により算定しており

，

n。

，

　nx の値は

，

共に 40として

工

2h 　

，

h 5h

　 h

Sしress 　8nd　5tTa 工n　

卩

oiロ

t　　　　　　　So

即拿

ロ

し ooooooo ooooooo ooo0ooo ooo0ooD ／2

『

・

°

’

“

’

φ

　 v2

57

σ

，

，

・

●

　　　 9 　　　乳 3

9 9

翌

，

sヨ

s

．

1 （n

。

．

1 〕

．

　 hs

囗

h ’ （nK

−

1 〕

Fig

_．

₃Aplane　beam

−

column 　element 　partitiened　into（nt ×nx ）　　　segments

(6)

いる。

一

方

，

ヒンジ法を適用した場合の降伏判定は

，

要素両端を含めて等間隔に設けた n

。

個の降伏判定点で行っており_， nz の値は_，分布荷重を受ける要素については40，受けない要素については

2

としている。また

，

p＊_の増分は

，

いずれの場合についても

，

新たな降伏を生じる最小の_値として決定している。　

．

　5

．

1　交番等曲げを受ける

一

定軸圧下の柱断面の解析　最初の解析モデルは

，Fig．

4および次式に示すような

一

_{定軸圧下}_で_{等曲げを受}_{ける}_{矩形断面}_柱_{である} 。　　　n

＝一

定，

一

ρ＊≦m ≦P＊

……・

・

…・

（46

．

a

ロb

）ここに　　　 n

＝NINo

，　m

＝M

／

Mo ・

・

…

t・

・

…

　（47

．

a

，

b

）　　　

N

。：全塑性軸力

，Me

：全塑性曲げモ

ー

メント　このような荷重の_下での_柱は

，

軸力が小さい場合には

，

断面の_{上下}_端における交番塑性崩壊により

，

また，軸力が大きくなってくると

，

軸ひずみの蓄積による漸増塑性崩壊により崩壊することが知られており

，

n≧0における各種限界値の厳密解は

，

それぞれ

，

次式で与えられる3｝

_。

n＋

9 ・

m

− 1

騨欟界）

一・

・

一 ……

（・8

．

・）

　婦　

（蟠塑黼齦界）

一

（

48．

・_）

n＋

i

・

m ・・

1

（漸軆黼壊_{限界}）

…・

・

一

（_・

8．

・）　　　n2＋飢＝ 1　　（_即時_{塑性}崩_{壊限界）}

……

_（48

．

d

）また

，

漸増

，

および交番塑性崩壊時における軸ひずみの厳密解は

，

それぞれ　　　（ε留十ε：n）

・

一

；

1・

・

…

一

・

4−・

・

■

＋

…

E■

一

・

…

　_（49

．

a_）　　　 σ0

（，紹＋，

r

）

．

E

− 1

−

Vi

’

＝

2ii

＿＿．

．

＿＿．

_（₄₉

_．

_・b_）　　　 ao である。

そ

ロ

_チ

_野

四

，

MN 　

■

　Const

．

H

　 B B

冨

LO （cm ）

，

　H

鄲

4

．

0 （cm ） E

・

2

．

1・106 _（kg_〆。m2 ） σ₀

・

2

．

5x 　le3 （k窮！・皿 2 ＞

（ldeal 　elas ヒ。

−

Plas 匸五c　material ）

N 。

・

1

．

o

・

1。 4 （kg ）

M 。

−

1

．

0

・

　₁₀₄_（_kg ・m ）

Fig

．

4　Rectangular　beam

．

column 　under 　constant 　axial　force 　　　and 　symmetrically 　variab 止e　bending　moment

　解析は

，

1要素をもちいて n を0

，

0から

O．1

刻みで

1．

0

まで増加させた計 11ケ

ー

スについて行っており_，その代表的結果を

Fig．

5

〜8

に_， _（48

．

　a

〜d

_｝式

，

（

49．

　a

_，

b

_）式で与えられる厳密解とともに示している。

Fig．

5

は

，

n

−

m _平面上に_各_{限界}を表したものであり

，

図中

，一，

1

．

o 0

、

9 o

，

8 0

，

7 o

，

6 0

．

5 o

．

4 o

．

3 o

．

2 o

，

1 m ゜

・

％．

一

丶

　　　＼

＿

．

．．

＿

．一

＿

＼

一一

　　Ultimste

一

_Shakedewn

一一

　　Ela8亡工c 　　　（EXaeヒ） O　　口　　　Shakedown

＼

十　　　　　Elasしtc 　　（Present ）

＼

ミ

＼

n O　O

．

L　O

．

2　0

．

3　0

，

4　0

．

5　0

．

6　0

．

7　0

．

8　0

．

9　

鹽

1

．

O

Fig

．

5

　Characteristic　load　domains　for　the　rectangular 　

beam．

　　　colurnn 0

．

7 o

．

6 e5 o

、

4 0

．

1 0　2 0　1 D

☆

n

■

O　L0 ₀₆₆₆₇

7 _．

も 0　50

．

6 0　7

轡

’

ヒ

　　　　　　　　　　　　　苛

　　 00 　　 0

．

O　O

．

1　0　2　0ヨ　　OG　O　5　e

．

6　07　　08　0

、

9　10 Fig

，

_{6　Re1ations}　between　_p拿_and

　axial　st【ain　for　the　rectangular

　　　beam

．

column

(7)

1

．

o e

．

9 o

．

墨 o

．

7 e

．

6 0

．

5 0

．

6 D

，

3 o

．

2 o

、

1 z

／

’

！ ’ ！ Emct O　　口　　？reetnt 　！！／　　／　！　！！

！

，

’

一

一一

，

”

　’

_！

ノ（E｛

f

）＋e（r））』

＿

0

0 　　　　

σ

o o

、

2　（t σo ，｝ O

．

O 　Oら　　 Upper　fSt●

n．

0

2 teVtT　feee

一

匿

r膊

　　P

倉

圃

O

．

S333

一ロ

　　　061L6

−

　　　　0

．

6661 0

．

20

．

6 （

胃

σ

0 ，　　 0

．

10

．

6L

．

0 （

置

σ

O レ　0

．

ZO61

．

e （

畩

゜

0， F

■

一

　　　　 ve 　　　 − 00 　04 　　　 000

、

も　08 　　　　00 　0も06 o

侮

o

．

8 ＝ pt

’

：

囂

＝

P

＋

r

：

1 ：

二

＝

’tt

：

1 ：

：

＝

　：

、

：

1 ：

1 ＝

1

：

＝

　：

Fig

．

8　Variation　of　stress　distributions　at　m

＝

・

O

．

Owith 　_pl　for

the　rectangular 　bea皿

・

column

｝

霧

｝

O

．

O

、

0　　　　　 0　2 　　　　　 0

．

ら　　　　　 O

．

6 　　　　　 0

．

8 　　　　　 1

．

O Fig

．

_{7　Relations}　

between

　n　and 　axial 　strainat 　collapse

　　　state　foTtherectangular bea皿

・

column

○は漸増塑性崩壊限界を，また

，一一

一

_，

_口_は_{交番塑性崩} 壊限界を表している

。Fig．

6， 7は，がと軸ひずみとの関係，および崩壊時における n と軸ひずみとの関係を示したものであり

，Fig．

5

と同様，　

Fig．

7における

一

t

O

は漸増塑性崩壊を，

一

，口は交番塑性崩壊を表している。また

，Fig．

8

には，　 n＝　

O．

2

，

0．

4

，

0．6

，

0．

8

の 4 つのケ

ー

スについて

，

〆と軸力に対する応答応力を含めた m ＝・

O．

0

_{における}応力分布との_関係を示している

。

なお，この柱は， n＝

O．2

，

0．4

の場合には，交番塑性崩壊により

，

また

，

n＝ O

．

6

，0．

8

の場合には，漸増塑性崩壊により崩壊に至る。　これらの結果から，本解析手法によれば，初期降伏から崩壊に至るまでの柱の挙動を

，

繰り返し変動荷重の変動領域の大きさを示すパラメ

ー

タ

ー

p＊_の関数として，十分把握できること

，

また

，

その弾性限界， shakedown 限界

，

および崩壊時における残留ひずみは

，

数値積分等に関する若干の誤差を除いて

，

厳密解のそれと完全に

一

致することがわかる。　 5

．

22 組の繰り返し集中荷重を受ける 2スパン連続　　　ばりの_解析

解析モデル

2

は， shakgdown 現象の解説によく利用される 2組の繰り返し集中荷重を受ける

2

スパンの連続ばりでありo

，

5）

，

（Fig

．

9参照〉

，

荷重の_変動領域は

，

　　　0

≦_Pi≦

p

＊

（

Pi＝

O）

・

…

■

E・

・

…

4■

・

（50

．

　a）　　　0≦_p；≦p 拿　（Pi＝

O

）

・

一・

・

…

鱒・

・

…

　（50

．

b

＞としている

。

ここに

，

　　　Pl

＝

Pl

_〆

PiV

’ Pt＝

P2

／

PiU’

………’

”…

（51

．

a

，

b

）であり，

Ptu

，　

P

：u は

，

それぞれP，

，

P

，が単独に載荷さ 1　　　　　　 2　　　　　　 3　　　　　　 4　　　　　　　5 −

−

　　 L　　　　L　　　　L　　　　L 　　 PI_P2P2 ＿

L

。

＿

一

．

」

＿

一

」

＿ B

．

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薗

，

、

　H

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皇

．

0（cm ） L

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　20

．

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一

21 ・

10fi （kg1。・

。

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・

2

・

5

・

103 （kgノ

巳_ノE

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0

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0

・

0

・

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・

O

・

01

・

D

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e

【

⊥

邑

L ，　　　

・

、

．・・

，

。・・

5

…

3 （

・

E）

Fig

_．

　g　Two

−

span 　continuous 　bea皿 under 　repeated 　variable

　　　loads れた時の_完全弾塑性材に対する即時塑性崩壊荷重である。この解析モデルは，ひずみ硬化の影響を見るために選んだものであり，材の応カ

ー

_ひ_ず_み_{関係}_は_{移動硬化則} に従う

bilinear

型とし，　E，

IE

＝

O

．

O

，

0

，

001，0．

01

，

0．

1 の

4

ケ

ー

スについて解析を行っている。要素数は4，全自由度数は

7

である

。

解析結果は

，

Fig

．

10〜12

に示している。なお，完全弾塑性を仮定した場合

，

この連続ばりは，節点

2

および3で折れ曲がる崩壊モ

ー

_ドによる漸増塑性崩壊で崩壊し

，

その崩壊荷重の厳密解はp＊

＝

0

．

8421である。　 Fig

．

10は

，

　_p＊と節点 2の垂直方向変位の関係を

，

比較のために行ったヒンジ法による解と共に示したものであり

，

また。

Fig．

　1

・

1には

，

p

＊_と節点 2および

3

における曲率との _関係を示している。さらに

，E

，

IE

＝

O．0，

0

．

Olの 2つのケ

ー

スにおけるpl と代表的断面における残留応力分布との_関係を

Fig．

12（a

，

b

＞に示している

。

E

，

IE

＝

0

．

0の完全弾塑性材の場合

，

本解析解は，　p “

＝

₀

_．

₈₃_（_{崩壊荷重}の

99

％）を過ぎたあたりから残留変形

，

一

₂₀

一

(8)

P＋ 1

．

0

．

o

．

0

．

e o

，

O

、

1 o

） d

帚

δ o

．

o 　 O

．

O 　　　 O

．

2 　　　 0ら_O

、

_{6　　 0}

，

5

广

　　 1

．

0　　　工

，

2　　　 1

．

4 Fig

．

10　Relations　between　_po　and 　lateτal　displacement　for止 e

　　　 two

・

span 　contiuuous 　beam

P

肴

呂にノE

’

0

・

1E ヒ！E

日

O

．

1

ll

o

．

01 LO 「

ツ

，

9

／

0

、

0肌， 0

．

001 　　

＿一

一

’

O

．

0 _O

_、

₈ ら2工 o

．

8

｝

（r ）隲₂ ； 0

、

7

■

一一

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〔r ） 3

一卩

一

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温

… の霍 1

一．

鹽

一

・

塩

（・

瑠

。

・

。

．

。） o

，

6

皿

・ 0

．

1

齶

残留ひずみが急激に_増加しはじめ

，

漸増塑性崩壊するが，

3．

1

の柱断面の場合と同様

，

数値積分等に関する若干の誤差を除けば

，

崩壊荷重，崩壊モ

ー

ドとも，厳密解のそれと完全に

一

致する

。

一

方

，

ひずみ硬化を考慮した場合

，

完全弾塑性材に_対 Sect

．

　 2 　fateSeCt

．

3

、

_』

一

〇

．

巳

一

〇

、

4

．

尸

／ ’z 乃

_’

00　0

．

4　　0

．

a

「

卩

〔

冨

00 ）

篭

、

s

■

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6

一

20

．

_O

−

₁₅₀

−

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．

0 　　

幽

5

，

0 　　 0

．

0 　　 5

．

0 　　 10

．

O　　 IS

．

O

Fig

．

₁₁

Relations　between　p拿 and　curvatures 　

for

　the　two

−

span 　　　 continueus 　beam する崩壊荷重付近から

，

残留変形，残留ひずみの増加が急になりはじめるが

，

荷重の繰り返しとともに残留変形が無限に_増加していくという漸増塑性崩壊の定義に従えば

，Nea16

；

，

Loid

と

Grundy

η_等_が_{指摘}_し_{てい} _{るよ} うに_，漸増塑性崩壊は起こらず

繰り返し変動荷重を受ける骨組構造物の弾塑性・崩壊解析

．

．

．

．

．

・

繰

り

返

し

変

動

荷 重

を

受

け

る

骨

組構

造

物

の

弾

塑性

・

崩 壊 解 析

近

花

藤

井

夫

実

1．

，

Shakedown

，

一

，

，

。

，

，

一

。

，

ー

ー

，

by

．

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，

ー

ー

，

，

．

，

，

，

，

，

，

2

ー

ー

，

，

，

，

，

。

2．

・

．

，

，

，

3

荷重

_骨

_組構

_弾

_塑性

_{崩壊解析}

_，

…一・