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応用数学３−複素関数論
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資料２：
1.3
導関数，解析関数，
1.4.
コーシー・リーマン
(pp.14-27)”
微分可能な関数、すなわち、解析的な複素 関数とそのラプラス方程式との関係を学ぶ
1
複素関数
:
複素平面から複素平面への写像
f (z = reiθ) = u(r, θ) + iv(r, θ). (reiθ)2 = r2e2iθ = r2cos 2θ + ir2sin 2θ
円に沿って動かす： r を固定
f (z = x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). (x + iy)2 = x2 − y2 + i2xy
x = 1と固定．yは自由に動かす： (1 + iy)2 = 1− y2 + 2iy u = 1− y2, v = 2y, yを消去し て，u = 1− ( v 2 )2 放物線
2
解析的
vs
非解析的
複素平面から複素平面への写像 w = f (z), f (z = x + iy) = u(x, y) 実部 + i v(x, y) 虚部 (1)f1(z = x + iy) = z2 = x2 − y2 + 2ixy ... z だけでかける(2)f2(z = x + iy) = zz = (x + iy)(x− iy) = x2 + y2 ... 共役複素数も使う
(3)f3(z = x + iy) = 2iz + 6z = −2y + 2ix + 6x − 6iy = (6x − 2y) + i(2x − 6y)
複素関数論では 解析関数（微分可能な複素関数）を扱う f (z) = z は解析的でなく、 基本的にzだけでかける関数を扱う (1) はOK，(2), (3) はNG （ｚの多項式、有理関数， 指数関数 ez = cos z + i sin z， 三角関数 cos z = e iz + ie−iz 2 など） 解析関数か否かは，後述する コーシー・リーマンの関係式 で判定する
3
用語： 近傍，領域
3.1 近傍 複素数 a に近い点の集まり 開円板(境界を含まない) {z | |z − a| < ρ} 「近傍」 境界（円） {z | |z − a| = ρ} 閉円板(境界を含む) {z | |z − a| ≤ ρ} Note: １点集合は閉集合．近傍はａ以外の点を含む |z|2 = zz = reiθre−iθ = r2= r(cos θ + i sin θ)r(cos θ− i sin θ) = (x + iy)(x − iy) = x2+ y2 |z|： 原点からの距離
3.2 領域： 折れ線で結べる開集合
特に，近傍は領域
4
極限と連続性
実数の場合，微分可能なものは連続だった． まず，連続性の話から .... 考え方は多変数関数のときと同じ f は z = z0 で連続 ⇔ def zlim→z0 f (z) = f (z0) どのような近づけ方をしても、ｚ をz0に近づければ、 f (z)はf (z0)に 限りなく（いくらでも）近くなる 誤差 |f(z) − f(z0)|を限りなく小さくできる 任意の要求精度ϵ > 0 に対して、 その精度でf (z0)を近似できる |f(z) − f(z0)| < ϵ z0 に近い点（近傍） |z − z0| < δ をとれる ∀ϵ > 0 ∃δ > 0 s.t. |z − z0| < δ ⇒ |f(z) − f(z0)| < ϵ4.1 連続性の例 f (z) = z2 は z = 0 で連続．つまり，lim z→0z 2 = 0 . 自明？ （後述： z2 は任意の z で微分可能で特に z で連続） （f (z + ∆z)−f(z) = f′(z)∆z + O(∆z) → 0 as ∆z → 0） 下記は直接的な「説明と形式的証明」 lim z→0z 2 = 0 は，複素平面において 原点 0 = 0 + i0 に近い領域 （近傍）における話． 実軸に限定したときの lim x→0x 2 = 0 とは異なる． 検証１： z2 = r2e2iθ. z = reiθ → 0 ⇔ r → 0. 特に，r2 → 0 だから，z2 → 0. 検証２（連続性の定義に忠実な検証） |z| < δ とする．Then, |z2| = |z|2 < δ2. So, 所与の ϵ > 0 に対し，0 < δ < √ϵ なるδ をとれば， |z| < δ なる z に対し，|z2| < δ2 < ϵ を保証できる． 結局 |z|2 < ϵ のための一つの十分条件 |z| < δ =√ϵ
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微分
f′(z) = lim ∆z→0 f (z + ∆z)− f(z) ∆z f (z + ∆z)− f(z) ∆z = f ′(z) + ϵ(∆z) 上記で ϵ(∆) を定義 lim ∆z→0ϵ(∆z) = 0 ∆w = f (z + ∆z)− f(z) = f′(z)∆z 主要項 + ϵ(∆z)∆z 誤差項 ϵ(∆z)∆z : 高位の無限小 f (z + ∆z) の予測は， ∆z の方向に依存 誤差が無視できないとき，もっと精度が欲しいときはテイラーのベキ級数 ２階，３階微分，... f (z) = f (z0) + f′(z0)(z − z0) + ∞ ∑ n=2 f(n)(z0) n! (z − z0) n 微分可能 ⇒ 連続 ： f (z + ∆z)− f(z) = f′(z)∆z + ϵ(∆z)∆z→0 as ∆z → 0 １変数実関数の場合も同じ：単なる接線の傾きではなく，近似の話 ∆y = f′(x)∆x + o(∆x) 高位の無限小 o(∆x) → 0, o(∆x) ∆x → 0 dy = f′(x)dx dy: 変位の主要項（２階以上の微分を無視）5.1 微分例１（多項式） (zn)′ = nzn−1 n k = n! k!(n− k)! (z + ∆z)n − zn ∆z = n ∑ k=0 n k zn−k(∆z)k − zn ∆z ... n 0 = 1 = n ∑ k=1 n k zn−k(∆z)k ∆z = n ∑ k=1 n k zn−k(∆z)k−1 ∆z → 0 として k = 1 の項のみが非零 → n 1 zn−1 = nzn−1 z が属する領域に依存しない． ⇒ 全複素平面（これも領域）で微分可能 多項式 as 3z4− z2+ 6z − (i + 2) の微分は，実数値関数 の ときと同じで 12z3 − 2z + 6 (cf )′ = cf′, (f + g)′ = f′ + g′, (f g)′ = f′g + f g′, (1/g)′ = −g′/g2 証明は高校のときと同じ． 教科書にも載っているので各自確認せよ．
5.2 微分例２（有理関数） 演習問題 1-4-8：f (z) = 1/(1− z4) の微分可能性をチェック f (z) = 1 (1− z2)(1 + z2) = 1 (1− z)(1 + z)(z − i)(z + i) z = 1,−1, i, −i で微分できない．（lim z→af (z) は存在しない）. 領域（連結開集合） D = 複素平面− {1, −1, i, −i} (有限個の点集合(全て境界点)を除いた集合は 連結開集合)) f′(z) = 4z 3 (1− z4)2. ( 1 g )′ = −g ′ g2 f は領域 D で解析的 ⇔ def f は領域 D の各点（Dの内点）で微分できる ⇔ f は領域 D の各点の（ある）近傍で微分できる 解析関数： ある領域で解析的な関数
5.3 微分に関する計算規則（合成関数の微分） f, g が解析的 ⇒ 合成関数 f (g(z))も解析的で (f (g(z)))′ = f′(g(z))g′(z) 入力が ∆z だけ変化すると，g が変化し（∆ω），さらに f が変化 f (g(z + ∆z)) − f(g(z)) ∆z = f (g(z + ∆z))− f(g(z)) ∆w = g(z + ∆z)− g(z) ∆w = g(z + ∆z)− g(z) ∆z = f (g(z) + ∆w)− f(g(z)) ∆w g(z + ∆z)− g(z) ∆z → f′(g(z))g′(z) as ∆z → 0 g(z) は微分可能で，特に連続 so, ∆w = g(z + ∆z)− g(z) → 0 (z2)3 = z6. LHS： g(z) = z2, f (z) = z3 の合成関数． LHS の（合成関数としての）微分： 3(z2)2(2z) = 6z5 RHS の微分と確かに一致
5.4 媒介変数表示： 複素平面上の曲線に沿った微分 f (z = z(t)) のように，z を媒介変数表示した曲線上で動かすことも多い この場合，媒介変数（実数）による微分： d dtf (z(t)) = lim∆t→0 f (z(t + ∆t))− f(z(t)) ∆t = f ′(z(t))z′(t) , ただし z(t) = x(t) + iy(t) z′(t) = lim ∆t→0 z(t + ∆t)− z(t) ∆t = lim∆t→0 x(t + ∆t) + iy(t + ∆t)− (x(t) + iy(t)) ∆t = lim ∆t→0 x(t + ∆t)− x(t) + i(y(t + ∆t) − y(t)) ∆t = x ′(t) + iy′(t) 増分は複素数ではなく 実数 ∆t ！ (ez)′ = ez（後述） d dtit = i だから， d dte it = ieit ( 検証： d dte it = d
dt(cos t + i sin t) = − sin t + i cos t = ie
it ) θ(t) = t とする. d dtz(t) = d dte it = ieit= iz(t) 結局，単位円上の等速円運動の微分 は，大きさ１を変えずに， ただし，方向性が接線方向のベ クトルを表す複素数になる
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解析関数： 微分可能な複素関数
形式的には実数のときと同じだが、変位もΔz もともに複素数でΔz は原点の 近傍で原点への様々な近づき方をゆるされる。このことから、多くの関数 が微分可能でなくなるほどの強い定義 f (z) = z. 共役複素数をとる関数は微分不能 z + ∆z − z ∆z = z + ∆z − z ∆z = ∆z ∆z = ∆x− i∆y ∆x + i∆y = 1 if ∆y = 0 実部のみの変動 −1 if ∆x = 0 虚部のみの変動 近づけ方により，微分値が異なる 領域内の点z0で微分可能： z0 へどのような近づけ方をしても，微分値が一意的に定まる 領域Ｄで f は解析的 ⇔ def Ｄの各点で微分可能 点ｚでf は解析的 ⇔ def ｚのある近傍でｆは微分可能 f は解析的か？ ⇒ コーシー・リーマンの関係式へ6.1 合成関数の微分からコーシー・リーマンを導く 教科書の直接証明も各自参考にせよ
f (z = x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) が微分可能とする （f′(z) が存在）
左辺は x で微分可で f′(x + iy)
右辺の微分 lim
h→0
u(x + h, y) + iv(x + h, y)− u(x, y) − iv(x, y)
h は存在し = lim h→0 u(x + h, y)− u(x, y) h + i limh→0 v(x + h, y)− v(x, y) h つまり u, v は x で偏微分可で，f′(z) = ux+ ivx と書ける 同様に d dy(f (z = x + iy)) = f ′(z)i = u y + ivy f′(z) = ux+ ivx = uy + ivy i = vy − iuy
複素関数 f (z = x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) が微分可能
⇒ u, v は偏微分可能で， コーシー・リーマンの関係式
ux = vy, vx = −uy
6.2 コーシー・リーマンの関係式： 例１ 例： f (z = x + iy) = z2 = (x2 − y2) + 2xyi f′(z) = 2z. u(x, y) = x2 − y2, v(x, y) = 2xy ux = 2x = vy, uy = −2y = −vx ２変数の実数値関数として連続 解析的複素関数 f = u + iv ⇔ u, v はコーシー・リーマンを満たす 連続な偏導関数 ux, uy, vx, vy を持つ 偏導関数の連続性もチェックすること． ⇒ : f = u + iv が解析的 ⇒ u, v は C∞級 （グルサの定理） ⇐ : 教科書定理２ 下記は，「解析的 ⇒ 実部・虚部の偏導関数は連続」をラフに理解するためもの（厳密でない） f は微分可能ならば連続なことに注意 実は，複素解析関数は，１階微分可能ならば，何回でも連続微分可能．特に，偏導関数は連続 f が解析的となる領域内の任意のz0 を考える f (z0+ ∆z)= f (z∼ 0) + f′(z0)∆z ... 等式近似 =∼ の誤差は 高位の無限小 f (z0+ h + ∆z)= f (z∼ 0+ h) + f′(z0+ h)∆z （ただしh は実数） h→ 0. fの連続性から 上記２式のLHSは同じ等式に，RHS の第1項も同じ等式に． f′(z0)∆z= lim∼ h→0f ′(z 0+ h)∆z ∼
6.3 コーシー・リーマンの関係式：例２（指数関数）問 1.4.3
指数関数（の定義） ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y) = exeiy eiy = cos y + i sin y
ez1ez2 = ex1(cos y
1 + i sin y1)ex2(cos y2 + i sin y2)
= ex1+x2
(
(cos y1cos y2 − sin y1sin y2) + i(sin y1cos y2 + cos y1sin y2) ) = ex1+x2(cos(y 1 + y2) + i sin(y1 + y2)) = ez1+z2 (z 1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)) 特に(ez)n = enz, z−1 は wz = 1 なる w．つまり w = 1/z (ez)−1 = 1 ez = 1 exeiy = e−x cos y + i sin y = e −x(cos y− i sin y) = e−xe−iy = e−z (ez)−n = 1/(ez)n = 1/enz = e−nz (ez1)z2 ．．．一般ベキ．後述 . ？？？ ei, (e1+i)i とか 全複素平面で解析的
u(x, y) = excos y, v(x, y) = exsin y
ux = excos y, vy = excos y, uy = −exsin y, vx = exsin y
コーシー・リーマン ux = vy, uy = −vx が成立
偏導関数も連続
微分可能性がわかったので，特に x もしくは y で微分して
6.4 連続微分可能性と調和関数 グルサの定理：f = u + iv が 解析的 ⇒ u, v は C∞級 特に、偏微分の順序は自由に交換可能 f が微分可能ならば f′ も微分可能 （任意の n に対する導関数 f(n)） f = u + iv, f′ = ux+ ivx = vy − iu（y = n + im とおく） nx = uxx = vyx = vxy = my, ny = uxy = uyx = −vxx = −mx. つまり，f′ に対するコーシー・リーマン： nx = my, ny = −mx Note: n, m の偏微分可能性は u, v が C∞なことより w が調和関数 ⇔ def ∇2w = w xx+ wyy = 0 の解で， ２階偏導関数が連続（uxy = uyx等が成り立つ） 解析的な複素関数 の実部 u と虚部 v は調和関数 ux = vy, uy = −vx (vx = −uy) uxx = vyx, uyy = −vxy. 仮定から vyx = vxy したがって，∇2u = u xx + uyy = 0 結局，複素解析関数の実部と虚部は，コーシー・リーマンの 関係式を満たす（共役）調和関数の組 「高階の積分公式」を用いて，調和関数の名前の由来，つま り「調和性」を解説できる．一言で言えば，
6.4.1 調和関数： 中央の値は周辺の値の平均 ２階微分の働き 「f′′(t) = 0 on (x0 − h, x0 + h)」 とする．Ｔの定理から f (x0 + t) = f (x0) + f′(x0)t + f′′(c+) 2 t 2 x 0 < c+ < x0 + t f (x0 − t) = f(x0)− f′(x0)t + f′′(c−) 2 t 2 x 0 − t < c− < x0 f (x0 − t) + f(x0 + t) = 2f (x0) ∫ x0+h x0−h f (t)dt = ∫ x0+h x0 2f (x0)dt = 2hf (x0) f (x0) = 1 2h ∫ x0+h x0−h f (t)dt ... 平均値 調和関数 ∇2u = u xx+ uyy = 0 に対し，u(x, y) = 1 πr2 ∫∫ U(x,y)(r) u(x, y) dxdy 点における u の値 ＝ その回りの点（小円盤）における値の平均 (*1) (*1) 187 page 定理２．「積分公式」を用いても示せる（後述）. 演習問題：a = (a1, a2) を通る長さ2rの十分小な線分(x, y) = (a1 + rt, a2 + rt) where −1 ≤ t ≤ 1 を考える．この線分上で１変数のときの「調和性」が言えれば，線分に対する 積分値の和を考えて「積分公式」を用いない直接証明が可能かを各自調べよ． ヒント： ここでも２変数関数に対するテイラーの定理を用いる．２変数なので，線分上の ２階微分は２階偏微分行列（ヘッセ行列）∇2f (a, b) = ( fxx(a, b) f (a, b) fxy(a, b) f (a, b) ) を用いて表
6.4.2 「勾配ベクトル」の直交性
解析関数
f (z = x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
実部 u の等高線： x + iy s.t. u(x, y) = d 虚部 v の等高線： x + iy s.t. v(x, y) = c コーシー・リーマン： ux = vy, vx = −uy 勾配ベクトル ux uy , vx vy の複素数表現 ∇u = ux+ iuy, ∇v = vx + ivy
i∇u = i(ux+ iuy) = −uy + iux = vx+ ivy = ∇v
結局，微分可能な複素関数では，
実部 u と 虚部 v の勾配ベクトルは
（解析的となる領域内の）任意の点で直交する 等高線の接線と勾配ベクトルは直交する
6.5 大きさが定数な解析関数は定数である |f(z)| = c の円周上で，図のように 直交する近くの点 f (z + i∆h), f (z + ∆h) はとりえない 右図から f′(z) = 0 が予想できる 例え小さな円であったとしても，直 交する円周上の２点と中心の３点の 大きさが同じになることはない． f′(z) = 0 ⇒ f は定数関数 テイラーのベキ級数を学習した後は，下記でＯＫ f (z) = f (z0) + f′(z0)(z − z0) + f(2)(z0) 2 (z − z0) 2 +· · · f′(z0) = f(2)(z0) =· · · = 0 f (z) = f (z0) 教科書の証明：k を定数として，|f(z)| = k とする
|f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)|2= u(x, y)2+ v(x, y)2= k2
6.6 極座標形式に対する Cauchy-Riemann
解析的な f (z = reiθ) = u(r, θ) + iv(r, θ). Then ur =
vθ r , vr = − uθ r r で両辺を微分: d drf (re
iθ) = eiθf′(reiθ) = u
r+ ivr
θ で両辺を微分: d
dθf (re
iθ
) = rieiθf′(reiθ) = uθ + ivθ
eiθf′(reiθ) = ur + ivr = −r−1i(uθ + ivθ) = r−1vθ − r−1iuθ
媒介変数表示された 直線と曲線（円周）
z(t) = teiθ, z(t) = reit
parameter t で微分
定義から直接導くと下記になるが，結局は上記と同じ計算を行うことになる
θ を固定：∆z = (r + ∆r)eiθ− reiθ = ∆reiθ
∆f = f (z + ∆z)− f(z) = u(r + ∆r, θ) + iv(r + ∆r, θ) − (u(r, θ) + iv(r, θ)) ∆f
∆z =
u(r + ∆r, θ)− u(r, θ) + i(v(r + ∆r, θ) + iv(r, θ))
∆z = ∆reiθ
→ ur+ ivr
eiθ = e −iθ(u
r+ ivr) = f′(z)
r を固定：∆z = reiθ+i∆θ − reiθ = reiθ(ei∆θ− 1)
∆f
= ∆f ∆θ
6.6.1 例
問 1.4.10 f (z) = Arg z は，解析的でないことを示せ．
f (z = reiθ) = Arg z = (u(r, θ) = θ) + i(v(r, θ) = 0)， ただし，−π < θ ≤ π とする また，u, v は C1 級 （ow f は微分可能でない） 明らかに，ur = vθ r , vr = − uθ r を満たさない． 別解１ ： 実部だけ，または虚部だけの複素関数は定数関数 を除いて解析的でない．この例題の場合は，実部だけの 複素関数
f (z = x + iy) = u(x, y). (v(x, y) = 0) vx = −uy = 0 から u(x, y) = h(x)
ux = vy = 0 から u(x, y) = h(x) = c （c は実定数）
結局，f (z = x + iy) = c
別解２ f (z = x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) で表現した場合
f (z = x+iy) = Arg z = arctan y x x ̸= 0 ... case 1 π/2 x = 0, y > 0 ... case 2 −π/2 x = 0, y < 0 ... case 3 未定義 x = y = 0
