電磁気学 A 練習問題 ( 改 ) 計 5 ページ ( 以下の問題およびその類題から 3 題程度を定期試験の問題として出題します ) 以下の設問で特に断らない限り真空中であることが仮定されているものとする 1. 以下の量を 3 次元極座標 r,, ベクトル e, e, e r 用いて表せ (1) g

電磁気学A練習問題(改) 計５ページ (以下の問題およびその類題から３題程度を定期試験の問題として出題します) 以下の設問で特に断らない限り真空中であることが仮定されているものとする。 1. 以下の量を、3次元極座標



r,,



での成分とそれぞれの座標軸の方向の単位 ベクトルe_r,e_,e_用いて表せ。 (1) grad (2) rot A (3)  2. 以下の量を、3次元円柱座標



,,z



での成分とそれぞれの座標軸の方向の単 位ベクトルe_,e_,e_z用いて表せ。 (1) grad (2) rot A (3)  3. (1) 電場 E に対して、Egradとなるような静電ポテンシャルが存在する 為の必要十分条件はrotE0であることを示せ。 (2) 以下のようなベクトル場 E が与えられたとき、Egradとなるが存在 するか判定し、存在する場合にはそのようなを求めよ。 (a) E yxex x ey 2 2    (b) E x2e_x 



x2 y2



e_y (c) E 3 e 3e sin cos 2 r r r   (ただし、r,は一般的な3次元極座標



r,,



のものとする) 4. 半径 a の円盤に面密度で電荷が一様に分布しているとき、円盤の中心軸上、 中心から距離 x の点での電場を求めよ。 5. 真空中の半径 a の球内に電荷 Q が一様密度に分布しているとき、電場を球の 中心から距離 r の関数として表し図示せよ。 6. 電荷のない空間ではポテンシャルの極大点、極小点が存在しないことを証明 せよ。 7. 図のように導体1を導体2が囲み、それぞれの電位が₁,₂のとき、両者の間

にある点P での電位はであった。点P に電荷 q を置 き両方の導体を接地した場合に、それぞれの導体に誘導 される電荷をGreenの相反定理    

_

   



 k k k k k k Q V Q V 1 2 2 1 を用いて求めよ。 8. 孤立したときの静電容量がC₁,C₂の導体を十分に長い距離 d だけ離しておい た際に、静電誘導係数がいくらになるか求めよ。 9. 半径 a の導体球1を、共通の中心を持つ内半径 b、外半径 c の導体球殻2 が 囲っている。 (1) 内球にQ 、外球殻に₁ Q の電荷を与えた際の静電ポテンシャルを求めよ。₂ (2) このときの電位係数を求めよ。 (3) このときの静電容量係数と静電誘導係数を求めよ。 10. (1) 3次元極座標



r,,



をもちいたとき、電荷分布が r のみの関数で与え られるとき、静電ポテンシャルの満たすべき方程式を書き下せ。 (2) 電荷分布が       c c r r r r for 0 for 0   で与えられるとき、無限遠の電位を0とし てを求めよ。また、電場 E を求めよ。 11. x0面上に無限に広がった導体平面盤上の原点Oから垂直に距離 a だけ離 れた点P に点電荷 q をおく。このとき、導体内部の適当な位置に一つの点電 荷を仮想的に置くことにより、導体表面での電位が一定となる電場が得られ る。 (1) 無限遠方での電位が0となる場合の静電ポテンシャルを求めよ。 (2) 前問の場合に導体表面に現れる電荷面密度を求めよ。 (3) 無限遠方で一様な電場E E e0 xとなる場合の静電ポテンシャルを求め よ。 (4) 前問の場合に導体表面に現れる電荷面密度を求めよ。

12. 半径 a の導体球の中心Oから x 方向に距離 l だけ離れた点Pに点電荷 q を おく。このとき、導体内部の適当な位置に一つの点電荷を仮想的に置くこと により、導体表面での電位が一定となる電場が得られる。 (1) 仮想的に置く一つの点電荷の電荷と位置を求めよ。 (2) 前問の場合に導体表面に現れる電荷面密度を求めよ。 (3) 導体球が帯電していない場合に、導体表面に現れる電荷面密度を求めよ。 (4) 導体球が接地されており、無限遠方で一様な電場E E e0 xとなる場合の静 電ポテンシャルを求めよ。 (5) 前問の場合に導体表面に現れる電荷面密度を求めよ。 13. 図のように、x0面上に無限導体平面盤に 半径 a の導体半球が接着して突起物のように なっている。この導体が設置された状態で、半 球の中心Oから x 方向に距離 l だけ離れた点P に点電荷 q をおく。このとき、導体内部の適当 な位置に３つの点電荷を仮想的に置くことに より、導体表面での電位が一定となる電場が得 られる。 (1) これらの３つの点電荷の電荷と位置を決めよ。 (2) 前問の場合に点Pにおかれた点電荷にはたらく力を求めよ。 14. 図のように半径 a、半径 b の球の中心A,Bを 距離 2 2 b a c  だけ離しておいた形をした導 体がある。x 軸をA,Bを通るように選び、Aの位 置をx0とする。 (1) 導体表面の電位が一定になるように、この 導体内部に3つの点電荷を仮想的に置くとき、 その電荷の位置と電荷の大きさの比を求めよ。 (2) この導体の静電容量を求めよ。 15. 真空中の有限の範囲に真の電荷が分布

 

r で分布し、そのときの静電ポテ ンシャル

 

r が与えられているとき、 (1) 静電場のエネルギーが

   



 d x U 3 2 1 x x  

で与えられることを示せ。 (2) 上で与えた静電場のエネルギーを電場E

 

r で書き表せ。 16. z 方向を向いた一様電場E



0,0,E₀



のかかった真空中に、その中心が原点に 一致するように半径 a、一様な誘電率の誘電体球をおく。 (1) 極座標



r,,



を用いてラプラス方程式を書き下せ。 (2) 原点での境界条件を満たすラプラス方程式の誘電体球の内側での一般解 を四重極成分以上は存在しないとして書き下せ。 (3) 無限遠方で一様電場となる境界条件を満たす誘電体球の外側でのラプラ ス方程式の一般解を四重極成分以上は存在しないとして書き下せ。 (4) 誘電体は帯電していないとし、誘電体球表面における電場に対する接続条 件を、divD0とrotE0より導け。 (5) 誘電体内部の誘電分極 P と、表面に現れる分極電荷分布

 

 を求めよ。 17. w Alogzの変換を用いて、2枚の帯電した半無限平面導体が直線状のわず かの距離の隙間をあけて、同一平面上に並べられているときの等電位面、電気 力線を図示せよ。 18. 図のように接地された間隔 2b の2枚の無限平 行導体板の中央に、半無限導体板を平行に挿入し、 0  に帯電させる。 (1) z=x+iy 複素平面上の n 個の頂点を持つ矩形 領域を、=+i平面の上半面に移す変換が、 , 2 1 , 2 1, n , , n    を適当な実数に選び、



 







n n k d dz _{ }  _{ }  _{ }     1 1  2 2  を解くことによって得られる。今考えている問題では、対称性から₁ 1, 0 2   ,₃ 1と選んでも一般性を失わない。このとき、₁,₂,₃および k を定 め、z をの関数として表せ。 (2) 上で求めた を用いてwk₁log



 1

 

 1



k₂という関数を考え、w の 虚部が導体上での境界条件を満たすように選べ。 (3) 電場の強さ|E|が, dz dw  E で与えられることを示し。今の場合に|E|を x, y の関数として求めよ。

19. 真の電荷密度が

 

r と与えられた、いくつかの誘電体からなる系を考える。 誘電率₁をもつ誘電体の内部にE₁

 

r の電場が生じている。この誘電体の一部の 体積Gをくり抜き、誘電率₂をもつ誘電体に置き換えたところ、その内部の電 場はE₂

 

r となった。 (1) 静電エネルギーの変化は、



  

 

d x U G 3 2 1 2 1 2 1



     E x E x  で与えられることを示せ。 (2) 前問の結果を用い、真空中の非常になだらかに変化する電場E

 

r 中に誘電 率をもつ半径 a の誘電体を入れたときに生じるエネルギーの変化を求めよ。 ただし、一様電場E 中に誘電率₀ をもつ誘電体を入れたときに誘電体内に生 じる電場は一様電場で、E 

 

 E₀で与えられるとせよ。 (3) この誘電体を移動させる際に必要な仕事を考えることにより、電場E

 

r の 強さの勾配によって誘電体にはたらく力の大きさを求めよ。 20. いくつかの帯電し静止した導体からなる系を考える。最初、この系はつり合 いの状態にあるとする。この系に、帯電していない導体を外部から持ち込む と、系のエネルギーは必ず減少することをトムソンの定理を用いて説明せよ。 21 強磁性体では磁化の強さJmは、磁性体内部の磁場の強さHに比例しない。 磁場の強さHをH

 

t のようにゆっくりと変化させたとき、J_mはJ_m

 

t のよう に変化した。無限小の時間tの間に磁性体に磁場が及ぼす仕事はいくらにな るか。 22 (1) 電流 I が流れる無限小の線素dlが作るベクトルポテンシャル A を与えよ。 (2) 上記の状況で無限小の線素dlが作る磁場の強さ H を与えよ。 (3) 長さ l の線分ABに流れる直線電流が点Pにつくる磁場 H を、Pから直 線電流までの距離を r、1=∠PAB, 2=∠PBAとして与えよ。 23 次のような形の磁性体の消磁係数を求めよ。 (1) 外部磁場に対して垂直に無限に延びる平面板 (2) 球