GENERAL EXISTENCE CONDITION FOR BALANCED ARRAYS OF STRENGTH t, m CONSTRAINTS AND s SYMBOLS

GENERAL EXI STENC正i CONDITION FOR BALANCED ARRAYS

   oF sTRENGIH t， m coNsTRAINTs AND s sYMBol・s

Shi皿j i KURIKI （Received J皿e 6， 1984） 1． _{Introduction．}      Anηxm matrix T whose e1㎝ents are fr㎝aset｛0，1，＿，s−1｝of s s）mbols is said to be an 3−s）mbol balanced array of strengthカ， sizeη， m constraints 孤・血dex set・・（・。・・、・・・… 、）1・≦・」≦ち・；二；・ゴ・…飢d d・・…d輌＠・・・…） ｛P（兄0・兄1・．…・兄。−1）｝・if・v・ry・xt・・bmat・i・TO・f T i・ ・u・力th・t・v・ry・vect・r c°ntaining見00’・・兄1「・・…・兄。．1（s−1）’・・°cc皿・exactly P （￡ O・兄1・…・兄．．1） t血es as a「°w°f ．TO・It、can be easily‘血ecked that 〔…〕・㍉。，・、，．F．，・。．、≧・（・。，・、∴㌔一、）・（・・・………一・）・       兄0＋兄1＋…＋兄。−1＝力 廠e「e（・、・・∴・・，〕den°tes the m”1t’n°m’al c°eff’dent・ A助〔n，ちs，t）｛μ〔兄0・兄1・・…兄．−1〕｝can・b・ alway・c。n・tm・t・d飢d it i・ca11・d as畑Ple ar「ay・ABA〔・…8・カ〕｛・〔㌔・￡1・…・鳥。．1）｝with・〉ち加鳩ve「・may n・t exist fbr an arbitrary set of parameter values．      Necessary and sufficient conditions for the existence of a B・4（n，m，2，t）  − 1｛・（兄0・兄1）｝are・bt・in・d fO・・≦．カ＋2 by S・iv・・t鋼・［3］・nd f・r・・カ・3 by Shirakura［2］． Srivastava and Wij etunga［4］ investigated a necessary and ・証fi・i・nt・・nditi・n f・・the exi・t・nce。f・BA〔n，t＋1，3，t）｛・〔兄0・兄1・兄2）｝・ Recently， necessary and sufficient conditions for the existence of a B）4〔n，m，ε，カ） ｛y（兄0・兄1・…・兄。．1〕｝have been°btain・d f°「〃＝カ＋1 by Y−t。・Ku・iki飢d Yu・n ［5】 and for m ＝ ヵ＋2 by Kuri］（i［1］．      In this paper， a necessary and sufficient condition foT the existence of a 助（・・・…t）｛・〔兄0・兄1・・…兄。．1）｝岨th gene「a1・c°nst「ai”ts will be given・ 2． Anecessary and sufficient condition．      Consider an n×mmatrix T whose elements are from the set ｛0，1，．．．，s−1｝． 191

L・tΩbeaset｛1・2・…・m｝・fth・nu・b・…f・・1ロm・・fT・血d1・tヱ0・エ1・…・

・。，2b・・−1㎜t皿11y di・」・血t’・・b・et・・f・㎡・h cardin・1ity l1ゴ1＝兄〆＝°・1・…・ ・−2・L・t・（τ0・τ1・一・エ。．2〕b・the numbe・gf・dw・・f㌘・u・；h・tl・at i” each「㎝ th・ ・ymb・10・ccur・at every・・1um in IO・the s）輌11°cω「・at eve「y c°1um inτ1・…・the s｝mb・1・−2・ccu・・at ev・ry・・1・m inエ．．2・and the s）mb°1 s’1

i竃i）諮鶯藤il欝：：ll嶽㌔：il竺

：。㌫’，iler：蒜1。1−＝芸eス・；？’罵。：，τ：モ2二。：d。：1罐1；；｝

any symbol from l to 8−1 0ccurs．      L・tTO b・飢・x古・u㎞・t・iX・fT・bt・iP・dbyd・1・ti・g．・c°11㎜s・．緬d let エbe a・et。f th・nmber・。f th・・e・c・1㎜・・If T i・a斑〔・・m…t〕｛u（兄0・￡1・ …・兄。．1〕｝・th・n・・y・tem・f・quati・n・       e （2’1） E…・・61・［パ（！・uZδ’ヱ・’’’”∫・−211％）＝P〔兄・’兄・’’’”兄・一・〕      Letλ・、・、…・m be the n皿be「°f t’mes the「°w（α・α・1・・α・〕°ccu「s’n the

：tll㌶：1：．蕊1’蕊：蒜・？・IZニニi三；：hll∵．：1’le

明・・1t卯（・0・・1・…・㌔，1〕f・・th・seβた＝0・1・…・・−1；k＝1・2・…・ちif・1・肥・t・・f （β1β2…βt）・・n・i・t・f兄00’・・鳥11’・・…・and ￡。．1（8−1〕’s・     A「「孤9血gtheseλ・、・、…・m and ”β、β2…・，1exic°g「aph’cally・we can eXP「ess altematively the system of equations（2．1〕as （2．2）     Aλ ＝ ゴ       ⑧n，        一一（膓）一

GENERAL EXISTENCB CONDITICN FOR BALANCED ARRAYS where A＝ π叉E｛ρ・」⑧EO鋼）」’e… θ」’

互爵E3⑧…o単Eρ％e…◎4

… 4㍗。Φ…⑧E。e E。⑧単…θ｛己 EsθEβ…⑧」’＆學1『ρ… ⑧」’ ■ ● ■

型繧⑧…⑧學撃撃…⑧E．

，1＝ ・  ●  ■ ・  ■  ■

000

012

．．  ．  ●

000

000

1∧λλ

． ■ ． λ  8−ls−1．．．s−1s−1 ， n一 _η0．．．

nO＿．

n o ．．． ■  ・  ・ ns−1．

12

0∩V

．．s−ls−1 もi・th… 1・・1um vect・r wh・se・’・nt・ies ar・all mity・E。 i・th・mit mat「ix of order s， and P＠Q denotes the Kronecker product of two matrices P and（2．      Since we have， after some calculation， 〔2．3）

_{A，A＝E⑧E⑧＿Q亙⑧G⑧G⑧＿《9G＋E⑧E⑧＿θσ⑧E⑧G⑧＿⑧G＋．．．}

      ss 

8SS  SSs  ss8 

s     ＋G。⑧ E9⑧…⑧E．＆ E。⑧G？…翻。＋E。鋤P…Q G．Q G。⑧E。＆一②σ。＋…     ＋G⑧GO．．．θσ◎E⑧E⑧」．．⑧E       8   s        θ   s   3       s ・・θAi。〔m：ゴ）。、，。2，．P．，em＝・，・・1鰹・叫        ロ       ε1＋ε2＋…  ＋εm＝」        ． we can show that        e−1        ． （2．4） ・ank〔A）・rank（A・A）−sm一Σ（q〕〔・−1）m’U，        ゴ＝0 9

曲ereる・瓢。，4・E。一払。， a…％i・th・ma・・…f・rder…wh・・e e・・・…ar・

all unity． Thus， the dimension of the solution of 〔2．2〕 with respect to λ 〔 or ・〔エ0・エ1・…・τ。．2）・f〔2・1））…tneces・arily・vect。・・f・・nn・gative intege「s・ …；二；〔mJ）〔・一・恒…v・d・d（…〕isc・n・i・t・n・・      In order to obtain the required’so1Ution， it is convenient to treat the system of equations （2．1） instead of （2．2）． The above cons ideration about the ・・…f・・h…th・t if・…e・a・・1・・…；二；〔竺〕（s−19〕 」…・g・・i・・・…ger・ ・（♂o・♂1・…・♂。．2）・with 1♂o l≦・−1・are gi・…th・n th…1・ti・n・・f…ai・i・g ・m一ΣG二；〔；〕（・一・〕 ゴ・…ger・・〔・。・・、・…・・。．2）…th・1・。1・…f・h・・y・t…f equations〔2．1）can be obtained as will be given in the following le㎜a． Though， these solutions are not necessarily nomegative．      ・一・…A…t・τ・m一Σ1・二；（mひ∂）〔・一・〕 ゴ・・□…（・。・・、・…・・。．2）・

㌘毘lil，ll㌘雷㌫i㌶竃㌶霊1賜7㌶θi晴穿；㌘隠・㍑゜c

鋤・9・…〔」o・♂1・…・♂。−2）・吻川♂ol≦・−1・i・・g勿・吻

〔…）恥…

ﾇll；。、llil∴llil1〕C・）2・’28e〕

、1｝）鰺！ヨ、。（、1｝〕ぷlllll蜘、1引1．，，！il、。〔認i；ll：l！ll）…

・｛1）・2S）・…・・！ヨ・・。一・11） ・12）・212〕・＿・・！il・・81〕一・82〕 、｛1）鰺！…1、。（、｛；［；：：ll：ill・…8e）射・｛・…∴＋2 ｛e）・…・・。粛…＋・！el〕 ・le）・・le）・…・・辞1・28e“1）−28e〕 ・〔一・〕兄♂1 _{P11（兄゜∵1〕．δ1。｛バ〔・6・……・㌔一21・・−i6）・} 』・1エ。1＝・＋㌔・1・ゴト・ゴ・ゴ＝1・2・…・・−2・・吻。．、＋・。一・、一…−2。．2・ P「°°f’Let@Z・＝エuZ’・whe「e Z＝｛’・・’・・…・‘・｝andτ’＝｛㌔…’・……・ち・・。｝・ We shal1 P・・v・〔2・5〕by i・血・ti・n・n兄0；F・・m（2・1〕w・・h・v・       e−1       ． （2°6‥（Z・Z1・…・ヱ。．2）＝・〔0・兄1・…・兄。．1）−v三・・61・［調’ヱ・’’’”Z・−21Z一工6” 皿is坤1ies that（2・5）h・1d・f・r兄0＝0・ S”pP°se that〔2・5）h°1d・f・r見0＝0・1・…・鋤d・−1・th・・we sh・11 P・。・・th・t （2・5〕h°1d・f・r兄0＝・（1≦・≦・−1〕・ApPlying the ass㎝pti・n t・（2・1〕・nd using colnbinatorial identities， we have the following：        ●−1 （2’7い（ヱ・’τ・’’’”ヱ・−2）＝

_{ﾄパ・一・）−}

v−i・・61・［ゴ（∫6uτ㌧ヱ・’’’”z・−2巨一z6〕        θ一u−1        ＝μ〔u’2・’’’”2・一・）一・三・・61・［・］“★〔f6u’’”・’’’’”s−21」’f6〕        θ一1        議・6i・［ゴ〔τ6uτ㌧z・”‘”エ・−2P−」6’ 魯

       GENERAL EXISTENCE CONDITION FOR BALANCED ARRAYS        θ一u−1 ＝μ〔u・￡1・・… ￡s−1〕一 E三・・61・・］v★（Z6u∫㌧ヱ・’”◆’τ・−21H6）  ．       （・） 〔。．・）’

。−1       。−1。−1 。−1九一。兄0 20

一Σ    Σ    ［Σ Σ・．．Σ  Σ 

Σ … Σ

〔・”a・’’’’”ち｝／；：豆；δ弾㌧ヂパ1） 82’一゜ ￡8e〕＝°

c・〕 

j、｛｝〕1．，、！ll、。〔  ゴ切一・一・∼1〕弔〕・；P・・，2811〕       ・｛1〕・・；1〕・…・2！11・ゴ切一・一・8’） 理〕．1。￡i、。㌦｛1；鞍i：l！ll）・・’、le）、1ξ煽、。〔28e−1）一￡8e）2｛ξ〕垣〕・・，2！el） ・｛2〕・・！2〕・…・・￡i・・11〕一・82） ・｛θ〕・・le〕・…・閲⇒1θ一’）一・1θ〕 ・（・1・）・・、・・｛1〕・…・・｛・〕・…・・、、・・！l〕・…・〔・ll1〕・・〕・…・・！l）・・・…、、＋2！；）・… ・（・；2）＋・）・…鴨！l）・…・ピ！ll；…・（・筆ノ）・……・・！ll〆…・・一・段￡｝… ・・！el） ・〔一・）ゴ ﾎ1〔耀・r6E〔．；旺，）田・・〔r6・………−2｜（〔・6の一fb）・ロ6））］ ＝μ（u・￡1・・… ￡s−1）

。一・   ・旬一。・11）・1θ一1㌦切一・一・！・…

＋Σ 

_{｛’a・’㌔・’’’’”α・irl；：；6兄11〕 82）＝° 21e〕＝°}

Σ  ΣΣ．．．Σ〔−1）

、｛｝〕謝、。（ゴ切一・一・81）

Q｛｝〕・lp”，・！ll〕、｛…〕、緯ll、。〔、墨：｛：1￡！・… ・｛1〕・・11〕・…・・！l｝輌一・一・81〕 ・｛2）・・！2）・…・・￡｝・・8’〕一・82〕

ぽ顯〔・；α・−1）−2 8αP・・〔・1）〔・1）（・1島1・見2・…・兄。．1〕）∴；ち轟（li：籔：：ill）〕… ・｛α・）・・；α・’・＿・穏）・・；α・−1〕一・ 8αi）…｛α・）’・la・）・…・・lll）・・；α2−’）㍊α・）・・       ．−1） （α ．）        （α        ・。e’9一ペー∂・・ 、1：・づ〕、緩・z；ll㍗1。〔〔α．）〔a．〕〔α．2i・e’9’・1・e：｛・・。．1−∂〕〕’” ・；α・づ〕・・；α・一・’・＿・291f−」〕一・；α・づ一1’一・；％づ’・・． 21g・嬬、。〔魂i：：1竃え・・〔・8e〕・・…1・〕・…＋・le〕・…・2s−・雅（｝｝…＋・！el〕 ・le）＋2 le）・…・墨・・8e’1〕一・！θ）』 e−u−1 ・…・・6：・［ゴ〔エ6uヱ”ヱ・’’’”∫・−21｝Z6’ ㍍．6：．［・］〔一・〕」三ll（ゴ繧1）砲）［・エ・・〔・6占・…・㌔一21・・−16） ＝・（u・21・…・㌔．1〕 ．e

刀E Σ ・k−・Sl〕…兄｛θ一11．、、・−！θ〕・・

〔・’

Fllili：：ギ6兄11）＝° 282’＝° 28e）＝°

、｛｝、蜘、。（  画一・パ1〕

EF〕・lp”，・豊〕、ll）、謝、。〔、墨；蕊1

・｛1〕・21’〕・…・・！ll・ゴ切一・一・11〕 ・｛2〕・212〕・…・・［il・・81〕一㌦2〕       ・二α・−1）一・；αP・・ 、｛：・）、鰺負1。（（α121・・）墨！．，ぐ｝〕〕’” ・iα・’・・Sa・）・＿・ξ圭≧・；α・−1〕一・；α・〕・士 〕＿       ・；α2−1）一・；α・）・・ 21：・ぽ，、IZi・1。（、i：・〕、膓！．，、k〕 ・｛α・〕報；α・）・．∴・ξ∼・㌦α2−1）㍊α・）・・ 〕．．．

GENERAL EXISTENCE CONDITION FOR BAlANCED ARRAYS       〔α ．−1〕（α ．〕

、躍，∼1累。〔：！：：；〕、；鶯lil；1、）〕…

・『・づ）・・；α・づ〕・＿・・91f−」）・・；α・一・−1）一・；α・づ〕・・ 縫ll．墨、。㌦1；ll；：：‖li望！）・〔・8e〕吐・｛・）・，・＋2！e）…針・￡｝…刊！：1・ ・！θ〕・・le）・…・・！望1・・1θ一1〕−21e） −  一 一Σθ θ  ＝   ．∂  十 21｝） ・11〕       Σ ｛㌔・’

_{Fllll；：llゼ〔Z6u｛”｝）}

、；pF．唱、。〔ゴ切一・一・11）・・ E壬｝）・1｝⊇・・，・Ell〕、｛ζ）、｛ζll．墨 ・・11）・…・・！ll・画一・−i81〕… 12〕・212〕・＿・・ ・ピ11〕…兄1θ一’1．、、・九一1θ〕・・

・11）…12）…1￠）・・

      ・1’）一・82） 、・〔・ll・・1…1．．，・！ll）’” ￡｛・・8’〕一・12）       〔α1−1）       （α1〕 、；e・〕、 i！l，、llll。〔￡O‥〔α121・）鴎．凶ll）・…，ll・）、 ∼㌦二ll。〔1° ・；α・〕・・；α・〕・．．．・・lil）・㌦α・−1〕」α・）・一｛α・〕・・；α・）・＿・・：〆       ・；α・づ一・−1〕一・；％ナ・）・・ 、is・づ一・〕、leg・4；・〕鷺宝づ一舜・ナ・）、緩・e；・〕、￡宝づ一・〕）’” ・｛α・づ一・）・・；α・づ一・〕・．．．・鐵一・〕一・；α・ナゴ1〕一・8ae−・一・〕・・ 縫ll．墨、。〔魂；：：li：］（ei）・（・辞）村・｛・）・…覗 ・｛θ）・・le〕・…・・！㍗1召一1〕一・1θ〕 e−u−1 ・三・・61・［・］“★〔Z6uエ㌧Z・’’’”Z・−21f”6） 〔α2−1）         〔α2〕        ＋1       −￡0 〔・2）〔・2〕        （α2） 1， 兄2，°°°，兄s−1 〔・2’1）〔・2〕

＝兄0 ’兄0＋1

｛e），…，2。．、・・！ll… 〕＿    〔e）      ） ．＋2   s−1

蕊、二iい門鵜㌧鯉守。レ）［・］・’（柵…垣榊

      lr6・τ’國 ＝μ（u・21・…・2s−1〕 ．e

d・ 、 ・ゼ『〕…㌔）一ξ〕杜

〔麟：：露碑」許瑠司

鴎輕蕊｛1ヨ纏輕蕊1劉〕…

・｛1）’・1’）・…＋・！ll・」・u−e−・8’〕 ・！2）’・12）・…＋・！il・28’〕一・82〕

、繋，、9Eii。（ li；1；；｛i㌻も糎！ぷ‡欝：：ll，））・・’

、la・〕戒『・）・…嘉）弍『ゴ1〕鴫『・〕吐ξ・〕覗『・）・…・・；1i）⇒『・−1）一・8a・〕柱       ・許担概ゐ 、｛夙；：；・∼；累。（〔α ．〕（α ．）〔α ・）・、・θ一∂・2・e：q・・。．1−∂〕’”

・讐古野・＿嘉方ピ孔留吐   ．

鴎螂蕊：ll』）・ c・ 8・） ・・ ・・￡ ！・） ・・…2｛・）・・・・…．一…s・！ll・・…2！el） ・｛θ）’・le）・…唱・28e−1〕−28e）

．； 、  ・切〆『）…鐘㌔一r）

͡㌦蓄運詑脚特兄許枠

纏躍蕊18纏輕蕊：l！il〕…

・｛1〕＋・ 1’）・＿規！｝1・』鴫11〕 ・12）・・12〕・…規鮮・11〕一・ 82〕

GENERAL EXISTEN〔泥 CONDITION FOR BALANCED ARRAYS        〔・1−1〕（・1〕 、｛：・〕、鰺：｝1。〔20’E｛9・〕、曇 ，ll｝））・・’，le・）、瓢認。（：° ・『・）・・；α・）・＿＋・鰍1〕・・；α・’1〕一・；α・）…｛α・）・・1α・）・＿・・豊。        〔α ．−1〕（α ．〕        ペー3−・。θ∼∂・・ 、1：・づ〕、緩・∼1鐵。〔〔α．21，e−9〕、；ee・鐵〕）’” ・｛α・づ〕・・；αe一ゴ）・＿・・1：1−・）・￡；α・づ”）㍊％一・）・・        ・8e−1〕一・le） ・le）・；？？㌦！望i、・（・le）・lgl．．，・！：1 ・｛θ）・・le〕・…・・辞1・・le’1）一・le〕 θ一u−1 ・…・・61・［・］“★〔エ6uτ㌧∫・’’’”z・−21H6） θ一1 u  θ一1  ． ＋・三・ぽ噺（−1〕」 〔ゴ物一た一1 サ」＋u一θ〕綴：）．61．1・］・★〔エ6・・・…’・       1ヱ6・エ’已 〔α2−1〕        （α2〕        ＋1      一兄0 （・2）〔・2〕 1・兄2・…・兄．．1          〔α2〕   〔α2−1）       ＋1        一兄          0     ）．．． 〔α2） ）・（・；θ〕，・、・・｛1）・…・・｛θ〕，…，・。．、・・！ll・・．．・・！el） ・τ。．21エo一ヱ6） ＝・（u・21・…・2。−1） ．・

G・見

奄P）…兄｛θ一1）（一、〕u−・le）

・1・）…1・）…1・〕… ｛｝〕

      見 ・｛…螂。・！ll、・（・｛…） ・｛2）・・12〕・…・・［il・・11〕 ・（・le〕，・、・・｛1〕・…・・1θ〕，＿，・．．、・・！ヨ・       〔1）        u一兄        、lpF．，、！ヨ、。（、｛｝）、；｝ig．，、￡｛）       …1’〕・…・・：ヨ之一・11） 1翼l！）・・’、｛e）弓《ll瑠、。（、｛；1：；：：li：； 一・12〕 ・｛司・21e〕・＿・・！el・・1θ≡1〕−28e） ︶ ︶− θ一

︹8

兄  十  ・  ・  ． ︶

．・

G・ Σ ピ｛2）…兄｛ 1．、〕・旬一1・）・・

一’a・

1；：冨H6見12） 13）＝°兄1θ）＝°

槻疏鐘1｛：1￡趨ぷ鐵1￡1

・｛2〕… 12）・＿・・！il輌悟鳴12） ・13〕＋”13〕・…規劉・・82）一￡83〕       （α1）        （α1−1） i？・〕鰺＠・〕（・｛：・〕墨！．，・IEI）ノ’”・1：・） ）＿       （α2）       〔α2−1）

、、s−i、。 s．、〕・・’、蹴1ゴ転；嬉・…

、、鴨、・…唱⇒。一・。・且・、鴨『・）・…nlEi）＝・8a・㍗・〕吐

      ．−1〕 〔α ．）        〔α

躍蕊蕊：㌶：4；18ン〕…

ピゐ㍗・＿嘉ゐ許孔怜且

鴎輕澱｛：；岬鍵七・”・！・）・・・・…一…！il・・・…！el）

・｛θ〕・・le）・…・・！望1−・8e−1）一￡8e）

．   Σ       Σ      1   〕

｛i ，i ，＿，i ｝＝z−z1

環内㌧6ピ、・二 s−1

機惣〔謬；！．顯

・『・）’・la・）・＿戒￡∼＝・        （α1）  （α〕 μ〔0・兄1＋兄1＋…＋兄1 e−u−1 一 Σ  Σ

。、鵠漂・！。（斜膓！．，、la・〕

       ）〕’一’、；躍∼ぷ        （α〕〔α）       ￡1   ＋12  ＋…  ＋9

㌦．忠ぷ｝）・＿嘉）〕

o〔 （αu〕    ＝1 s−1         ［ゴ］v★〔τ6uz’，エ1，…  ，z8＿2｜エー」6〕 ゴ＝oτ6・工

蕊；ll頑㌣〕〔e＃’〕J61，s・］・’（・6・・・・…土1碑

      1エ6・叶k’ ＝μ〔u・21・…・2。−1〕 ︶

GENERAL EXISTENCE CONDITION FOR BALANCED ARRAYS

㌫㌫・竃討欝：璽欝；罵ヨ〕

、｛ξ〕、1…ll．墨、。〔認i翼l！）・・㌃謬1．，、！el、。（魂；：：1｛：1（el〕 ・｛2）・・12）・…・・￡1−・11）一・82） ・｛θ〕・・le〕・…・鳴・据θ一1〕一・1司 μ〔・1θ），・、・・｛1）・一・兄｛θ），…，兄。．1鴫ヨ・…・兄劉〕 ．・

G・ Σ ・㌣兄12）…￡iθ一1〕（．、〕・−1θ〕杜

〔・’

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GENERAL EXISTEN（氾C（NDITION FOR BAIANCED ARRAYS

ACKN㎝LED〔Mans

     Tthe author wouユd like to express his hearty thanks to Professor Sumiyasu Yamamoto， Scien◎e Uhiversity of Tokyo， fbr his encouragement and his valuable suggestions．

REFERENCES

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