’
oN A QuEuEING sYsTEM M7G／m（m）HAvlNG THE
PRIORITY ORDER AMONG SERVICE STATIONS
BYYoslRo TUMURA
1．Consider the many servers system where the arrival is M， and in every servi㏄ station a customer is served according to the same distribution function B（∫）． It is assumed， moreover， that a customer丘nding at his anival all stations being busy must leave the system， and a customer finding some stations idle enters one of them 。at random with equal probabilitγ． Let us call such system‘‘random case’， in brief． B．A． Sevastyanov［1］has proved： If 3（s）has a五nite mean 1／μ， then the systemルηG／m（m）has the fbllowing sta− ’tionary distribution： MI ・ 1｝1／Σ6（一・・1・……） ツ＝0 −whereρ＝2／μ，λbeing an arrival rate・ That is：the equilibrium probabiHtiesρ。 depend only onρand m， but not on the ”distribution B（s）． In some practical problems（e．g． telephone exchange）aIl stations are not symmetric 『but ordered so that a customer who arrives at a system is decided（in deterministic） ・to enter the station having the smallest number among idle stations． Or， to every モ盾高b奄獅≠狽奄盾氏iξ1，…，ξ．；1≦ξ《≦〃，〃≦〃1）correspond the probabilit▲es， such that：a ．customer who丘nds at his arriva1ξ‘−th stations（i＝1，…， n）being idle and all others ’busy enters one of idle stations at random with the above de丘ned probabiHty． Let us consider， i皿this note， the fbrmer case， which we shall call ip brief‘‘priority ．ease．，，@It is in question to find not only equi且brium probabihtiesρπthat n stat三〇ns are．busy， but also probab狙tiesπヵthat n−th station is busy． This last problem is ’usefUI in practice， fbr example， to deal with the reliability of a machine system． We have proved in the previous paper the genera1 theorems of queueing theory［2］， −which we shall apply to our system． Let n（レ1，… ，レヵ）（〃≦〃z）be a state thatソ1， ソ2， …， レバth stations are busy and ．all others idle（assumingレ1＜レ2＜…＜レ。）． B（s）is assumed to be absolutely contin． uous ex㏄pt at most｛sy｝where lim sv ＝ oo． The equilibrium equations fbr such sys一 託em are aS f（）llOWS；（1）・p・一
ｰ1…（・・）S．iglizlBSsfl．）・ ［60］（2） （3）
where
and（2）and（3）hold except atぷ5＝・ぶ夕． 1・… ツカare not placed in ascendhlg ord （4） （5） 互fthe sequence｛ぷγ｝is not empty， We add the conditions： 孔（〃、，…，〃。）（ぷ・、， Our general theorem shows that if（1）∼（5）have『non−negative solution po＞0， then the system has the equinbrium． state， 血e state η（Vl，’”， Vn）ON A QUEUEING SYSTEM M／G／m（m）HAvlNG 61
fi ［Σ（、書。、＋・（・））＋・］Pn・……・・。・一Σ！Pn・・［一〃．・コ（・〃・・…・・㌦…）1竺麗i） 1 ξキyi （n＝11，2，「… ，〃z−1； 1≦ッ1＜．V2＜’… ＜〃外≦〃1）， th Σ（￡＋・（・・））Pm（……・・鋤）一・・ 1 ・（・）一際ぷ）／［1一β（・）コ， The notationπ［〃1）…，〃ヵ］shows that〃1， er． Thgs6 equations have boundaτy conditions： P1（1）（0）＝ Zpo， P1｛i）（0）＝0． ．（i＝2，・．・・，〃1）， P・・………（・〃・・…・・〃・一・・・…’……・s・P−｛；孔捲穿一・・ ’’”・・）’f”’＝i （n ＝2， 3， … ，〃2； 1≦び1＜〃2… ＜〃”≦〃1； Z＝1， … ，n）． …・s・・一…＋・・s・1・ピ…s・2−｝三』瓢恥・…（1・・1 s・−d，…） （〃−1，…．，〃1；i＝1，…，〃）． such that and the eqUilibrium probability of is defined by ． ・ ． ． ・ ． ・ ・ 〃・・一・一！・…、・…艶・・ Hence， we have to prove， at first，ρo＞0．．．．．． 2．It is not easy to solve（1）∼（5）directly， therefbre we shall prove some prop− ￠rti・・indi・㏄tly；．狽?Et i・，・・mp・ri・g wlth㎞・㎜・e・ult・． Let ． が ρ1ω一ΣP1ωω， ‘＝1 ・then（1’） ・p・−1・・ω1竺甥，）
rls satis耳ed丘om（1）， and from（4）we have （4’） （∼1（0）＝＝ZPo．』 Next， fbr（’1，τ2，…，’ヵ；η≦m）， there eXist n！permlltations（’ξ1，…，’e．）． Consider 芭he mean： ，、 、 ・・… ・（’・・…・’・）r：，ΣPn・。・一・（’・・・・…t・・、）（剛・＠・（’・・…・t・・）−i，ΣPm（’……・・⊇・．・ ’
・ ．62
Y．TUMURA
and the辻s㎜
ρ・（’・・’”・t・）言、，顯・・……・…（’・・’”・t・）ぴくt”）w・・忙・h・・一・i・…ad・・d・ve・a・（m）・・m・・na・i・n・・・……・・・・…−
have from（2）and（3）respectively ＃（・’） ［Σ（sl、＋・ω）＋・］ρ・一・
’＝1and
Pt（・’） Σ（募、＋・ω）ρ・一・・
1 ’ ’As boundary conditiOns we have also from（5） （・’）0。（’・，…，tt’・一・，・，’ ，…，・・）一÷ρ・一・（’・，…，’・一・，’…，…， t・） （π＝2，… ，〃1； i＝1， ・・．・，π）． These equations（1’）∼（5’）are equ丑iblium equations fbr a random case． From defini− tions of〈2π， it is dear that ，．、頁墨…，一・−1・・（’・・…・輌・ ’Hen㏄， from Sevastyanov’s theolem， or solving（1’）∼（5’）directly we have THEOREM 1． For the』ツぷ’θ〃1ルr／G／m（m）with prioritγぷtatio〃， the eguilibliu〃1 Plrob− ability吻’ノus’nぷta’ions oアe busy is equal’o Pt（・） ・・≡Σ蜘 ・一￡／r／Σ葺｛（・一・・1・…・m）・
（〃1，…，Pes） 〃＝o and the〃lea〃queueぷize is given∂y が m ぐ（・） ・≡Σ・・ ・一篇1／Σel・
兄＝1 0 Clearly po＞0， so that allτesults are ensured by our general theorem． 3． SupPose〃1＜〃2＜… ＜〃外く〃2， and let us write（・） P…一・・−Pn・・。・・…＋！・・・…一轟
ぴ一1．…，m−1；1≦v、＜v，、＜…＜〃。≦〃1−1）・ For n≦n卜2， i皿tegrating byぷ”the equation that is inserted Pn＋1（夕1，＿， v4，伽｝in（2）， wehave
＃ （・L）…hand・・d・一∫［Σ（、隻、＋・（…））＋、i。＋・（spt）＋・］Pn…〃… 轟 ；”1 −［Σ（、竃、＋・（…）＋・）！？”＋・……・一・d・・ 1ON A QUEUEING SYSTEM』胡G1〃1（m）HAVING 63 ＋！・・・・…．…。・・1蒜；）・ because of Pn．、、。、，…，㌦，。，（・“、，…，・“。，0）−0， ’ ・
and
（・R） R・gh・hand・・d・一Σ1［1・・・・…．・・ 嗣1雲曇）・
ξキ〃∠，餌 Inserting P鈴（〃1，…，〃扮）in（2）we have （1・）［Σ（、i。、＋・（…））＋・］…〃。−P 一Σ∫Pn・・［ ばβ（ぷξ）”・ジ”・”孤・ξコ1一β（ぷξ）＋∼Pn… ・ 一・1≦鵬㍑）・ ξキ〃i，術 Adding（9）and（10）， and considering the de丘nitio11（8）』 り （・〃）［Σ（、皇、＋・（…））†・］pX・，…，・・一Σ1嚥・［・、，・・＿・・1弩農） ’＝1 ξキ〃’ 馳 ξ≦伽一1 （〃＝1，… ，〃1−2； 1≦ジ1＜〃2＜・二・＜γヵ≦〃1−1）． Forπ＝7η一1， integrating（3）byぷ邪， and from（5）we have also m Σ（￡、＋μω）！Pmd・．＋∼・㌦1≦至裂：…）一・・ 1 Adding（2）inserted Pm−1（1，＿，が一1｝to this equation we have づ （3〃） Σ（￡、＋μ（ぷ・））P‡一・一・・ i＝1 1nserting P1ωin（2）and hltegratillg．1）yぷ傷we have， as P1（邪）（0）＝0， m ・！…−1盈ω1霊）一Σ！［P・⑭d・・コ1弩農）・ 1 Adding（1）t・thi、 equ。ti。亘w。 hav。 mロ（1”） ・・9一Σ1・f（・1弩｛曇）・
’＝1where
・ぎ一・・＋！P・・轟 （1”），（2”）and（3”）ar6 the eqUilibrium equations for M／G／m−1（m−1）with priority stations． As boundary c皿ditions we hav？easily from（4）and’（5）， P数・・（・）一｛『ま：1≡；， ・f・ ・（ぷ〃、，…，5〃，．、，0，s・i．、，…，＆。）一｛；Pエ1（ ’・ ”㌔弓1：；： Thus， we have砧
Y．TUMURA
LEMMA． Letク。（。1，＿，レ孤）and p＃tv1，＿，“”｝be eqpilibrium．probabilities fbr the systems． M／G／m（m）andハイ／G／m−1（m−1）with priority Stations・ respectively・ Then， the prob− abiity that i−th station is busy is， fbr such systems， ’ 楊 ’ 溺一1 πi一Σ Σ ρ。［・、，…．・。一、，i］＝Σ Σ P‡［〃、，…，〃。．、，‘］・ 外＝1（〃1，．・・，レ外一1 レξ≦m） カ＝1（〃峯梁了1） Now we shall prove THEOREM 2． For theのノぷ’θ〃1 M∫G／m（m）with prioriリノぷtationぷ，．the equilibriu〃i prob− 4b助γπ．吻’左イ乃ぷtation is busy is equal to k＿1 ．k（11） …（芸1），／Σ芸一瑞1／Σ芸（k−1……・m）・
” ．． 0 0 whereρ＝λ／μ． PRooF． For k＝1， from the Lemnia and Sevastyanov’s theorem伽〒1）， π1＝ρ／（1十ρ） is evident． Co皿sider the systems M／（｝／n（n）and M／G／n−1（n−1）． For the fbrmer， the mean queue size is given by・一 一 ・− n L一Σπ5． ‘＝1 From（7）， n れ Σ・i−・一芸三／Σei・ 1 0 π克 ．7 6 ．5 4 ， 3 ． 2 ． 1 ． ユ eぶ ＆ ざ 烏⇔ 急
2 3 4 5 6 7 0rder of station ’ Figure． Values ofπk 8 ・㌧ 9 1 10ON A QUEUEING SYSTEM 1吻（7／m（〃i） HAVING ’ iFor the later system ”−エ n
