正則曲線と直線分が混在した平面閉曲線の２重接線について
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(2) 正則閉曲線 図１. 区分正則・直線分閉曲線 正則閉曲線と区分正則・直線分閉曲線の例. ２．従来の研究成果――区分正則閉曲線に対する２重接線の数に関する関係式 可微分写像 u（ｓ）＝（ｘ（ｓ） ，ｙ（ｓ） ） ， （０≦ｓ≦ａ，ｓ∈R， （ｘ，ｙ） ∈R２）で ｄu（ｓ）／ｄｓ≠０である写像 C を正則曲線と呼ぶ．０≦∃ ｔ≦ａ, u(ｓ＋t)＝u（ｓ）の時， Ｃを正則閉曲線と呼ぶ．２重点は正則閉曲線Ｃが自分自身と交わる点Ｄ（Ｃ）を指し，その数 を＃Ｄ（Ｃ）とする．Ｃの２重接線のうち，Ｃの２つの接点の近傍がともに２重接線が二分す る半平面の一方だけに属する２重接線をＴⅠ（Ｃ）と呼び，その数を＃ＴⅠ（Ｃ）とし，そう ではない２重接線をＴⅡ（Ｃ）と呼び，その数を＃ＴⅡ（Ｃ）とする．Ｃの変曲点Ｆ（Ｃ）の 数を＃Ｆ（Ｃ）とする． 〔Fabricius と Bjerre の定理〕 正則閉曲線Ｃが一般の位置にあるとき，次の関係式が成り立つ． ＃ＴⅠ（Ｃ）−＃ＴⅡ（Ｃ）＝＃Ｄ（Ｃ）＋０．５＃Ｆ（Ｃ） ・・・・ （１） 図２の例では，３−１＝２＋０．５×２の等式が成り立つ． タイプⅡの２重接線. タイプⅠの２重接線. 変曲点 ２重点. 図２. 正則閉曲線の２重接線. ３．区分正則・直線分閉曲線に対する２重接線の数に関する関係式 まず，用語の定義を行う． ・区分正則・直線分閉曲線Ｃ：正則曲線及び直線分の集合｛ｃｉ ｝ （ｉ＝１，２， ・・・，ｎ， ｎ＞１）であり，ｃｉの終点は隣のｃｉ＋１ の始点とだけ非接線連続で互いに繋がっているとす る（ｉはｎを法とする） ． ・結合点ＤⅠ，Ⅱ，Ⅲ：ｃｉ の終点（ｓ＝ai）とｃｉ＋１の始点（ｓ＝０）が一致する点を結合点 と呼ぶ．ｃｉ のｓ＝ｔにおける曲率をκ（ｃｉ ，ｔ） ，接線ベクトルをｖ（ｃｉ，ｔ）とする． −26− −2−.
(3) ｖ（ｃｉ，ai）からｖ（ｃｉ＋１，０）への角度増分をθ（ｃｉ，ｃｉ＋１）とする（−π＜θ＜π） ． ｃｉ とｃｉ＋１ の結合点をκ（ｃｉ ，ai）＊κ（ｃｉ＋１ ，０）およびκ（ｃｉ ，ai）＊ θ（ｃｉ ，ｃｉ＋１ ）の値の正負により，表１のように分類する．ＤⅠの数を＃ＤⅠ，ＤⅡの数 を＃ＤⅡ，ＤⅢの数を＃ＤⅢとする．ＤⅠ，ＤⅡ，ＤⅢの例を図３に示す．なお，Ｃに直線分 のｃｉが含まれるときは，もしｃｉ−１の終点においてｃｉが左側に折れる場合は正を，そうでな い場合は負の符号を与え，Ｃのすべての直線分に共通の，かつ下記の条件を満たすように決定 された充分小さな正の実数ｗをその絶対値とする曲率を持たせた正則曲線でもある円弧ｃｉ’ をｃｉ の代わりに置きなおして以下の議論を進める． ｗを設定する際は，ｃｉ ’を，ｃｉ’の曲率の絶対値ｗをｗ≧∀ε＞０であるεに変更した円 弧ｃｉ ’’に変更しても，下記の３つの条件を満たすようにする． （ａ）κ（ｃｉ−１，１）＊κ（ｃｉ’ ’ ，０） ，κ（ｃｉ ’ ’ ，１）＊κ（ｃｉ＋１，０） ，κ（ｃｉ−１， １）＊θ（ｃｉ−１，ｃｉ ’ ’ ） ，κ（ｃｉ ’’ ，１）＊θ（ｃｉ ’ ’ ，ｃｉ＋１）の符号は変化させない． （ｂ）ｃｉ ’ ’の始点と終点以外では，ｃｊ（ｉ≠ｊ） ，ｃｊ ’ ’ （ｉ≠ｊ）とは２重接線を持たせ ない． （ｃ）ｃｉ ’ ’は，ｃｊ （ｉ≠ｊ） ，ｃｊ’’ （ｉ≠ｊ）とは本来のＣの持つ２重点の総数を増減さ せない． 以上のようなｗを設定できるのは，ｗを小さくすることによりｃｉ’をｃｉに限りなく高精度 に近似できるからである．なお，このように，Ｃのすべての直線分を円弧に置きなおした直線 分を含まない区分正則閉曲線Ｃ’の変曲点の総数は，円弧には変曲点がないのでＣの変曲点の 総数に等しい． 表１．ｃｉ とｃｉ＋１ の結合点の分類方法 κ（ｃｉ ，１）＊θ（ｃｉ，ｃｉ＋１） κ（ｃｉ ，１）＊κ（ｃｉ＋１ ，０）. ＋. −. ＋. ＤⅢ. ＤⅠ. −. ＤⅡ. ＤⅡ. ・ ループＬⅠ，ＬⅡ，ＬⅢ：ｃｉ とｃｉ＋１ を連結する結合点ＤⅠを始点，終点とし，ｃｉと ｃｉ＋１とはＣ∞ 接続する正則曲線のうち，自分自身あるいはｃｉあるいはｃｉ＋１との間に２重点 を持たず，自分自身上の２点間に２重接線を持たず，また変曲点を持たないループをＬⅠと呼 び，その数を＃ＬⅠと呼ぶ．同様に，ＤⅡの位置に，自分自身あるいはｃｉ あるいはｃｉ＋１と の間に２重点を持たず，自分自身上の２点間に２重接線を持たず，変曲点を１つだけ持つルー プをＬⅡと呼び，その数を＃ＬⅡと呼ぶ．同様に，ＤⅢの代わりに，自分自身あるいはｃｉあ るいはｃｉ＋１との間に２重点を持たず，自分自身上の２点間に２重接線を持たず，変曲点を２ つだけ持つループをＬⅢと呼び，その数を＃ＬⅢと呼ぶ．なお，各ループはその始点，終点と して結合点を含むものとする．ＬⅠ，ＬⅡ，ＬⅢを付加されたｃｉとｃｉ＋１ とループは一本の 正則曲線を新しく生成する(図３) ．. −27− −3−.
(4) ＬⅠ. ＤⅡ. ＬⅡ. ＬⅢ. ＤⅠ. 変曲点. 変曲点 変曲点 ｃｉ＋１. ｃｉ 図３. ＤⅢ. ＤⅠ，Ⅱ，Ⅲの代わりにＬⅠ，Ⅱ，Ⅲを加えた例の例. ・スコープ：ｃｉの終点における接線の右半平面とｃｉ＋１の始点における接線の右半平面との 共通集合，およびｃｉの終点における接線の左半平面とｃｉ＋１の始点における接線の左半平面 との共通集合の和集合をその結合点のスコープと呼ぶ（図４） ・ TⅠ（＊，＊） ，TⅡ（＊，＊） ：＊はＣ，ループ、結合点である。前者は＊と＊の間のタイ プⅠの、後者はタイプⅡの２重接線と呼び，その数を＃TⅠ（＊，＊） ，＃TⅡ（＊，＊） と呼ぶ．例えば TⅠ（Ｃ，Ｃ）は２章で述べたＴⅠ（Ｃ）に一致する。ただし、２つの接 点の一方が結合点ではなく，他方が結合点の場合，２重接線のＣ側の接点がＤｊのスコー プに含まれる場合はこれを数えないとする（図４） ．. スコープ. TⅠ（Ｃ，Ｄｊ） カウント対象 図４. TⅠ（Ｃ，Ｄｊ） カウント非対象. TⅠ（Ｄｊ，Ｄｋ） TⅠ（Ｄｊ，Ｄｋ） カウント対象. カウント非対象. 結合点のスコープと TⅠ（Ｃ，Ｄｊ） ，TⅠ（Ｄｊ，Ｄｋ）のカウント対象の例. ・ＤⅠ（＊） ，ＤⅡ（＊） ，ＤⅢ（＊） ：＊の中の結合点ＤⅠ，ＤⅡ，ＤⅢの数を指す．＊は区 分正則閉曲線，ループである． ・Ｄ（＊、＊） ：＊と＊の間の２重点の数を指す．＊は区分正則閉曲線，ループである。例え ばＤ（Ｃ，Ｃ）は２章で述べたＤ（Ｃ）に一致する。 ・Ｆ（＊）：＊（区分正則閉曲線，ループ）の変曲点の数の合計である．例えばＦ（Ｃ）は２ 章で述べたＦ（Ｃ）に一致する。ＬⅠ，ＬⅢの定義によりＦ（ＬⅠ）＝０、Ｆ（ＬⅢ）＝０で ある。 〔定理〕 区分正則・直線分平面閉曲線Ｃが一般の位置にあるとき，下記の関係式が成り立つ． −28− −4−.
(5) ＃ＴⅠ（Ｃ）−＃ＴⅡ（Ｃ） ＝＃Ｄ（Ｃ）＋＃ＤⅠ（Ｃ）＋０．５＃ＤⅡ（Ｃ）＋０．５＃Ｆ（Ｃ） ・・・・・・ （２） 〔証明〕 区分正則・直線分平面閉曲線Ｃは正則曲線｛ｃｋ ｝ （ｋ＝１，２， ・・・，ｎ）がｋの順序に従 って繋がっているとする．以降，Ｃに含まれている直線分は，上で述べたような絶対値ｗと符号 を持った曲率の円弧に置き換えた区分正則閉曲線を再びＣとして議論を進める．ここで，Ｃ’’ をＣから結合点を除いたＣの部分集合と定める．まず，Ｃ’ ’に対して，すべてのＤｉ（ｉ＝Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ）のあった場所には，任意に定めた一定値ｒ（＞０）よりも小さな最大径を持つＬｉをｃ の終点と，およびｃｋ＋１の始点と接線接続となるように挿入する．この結果，Ｃ’ ’が一つの正. ｋ. 則閉曲線Ｃ’になるので， Fabricius と Bjerre の定理により，下記の式が成立する．なお，以 降は，式表示の簡素化のため，式中の＃は省略する． （ＴⅠ（Ｃ’ ’ ，Ｃ’ ’ ）＋Σｉ ＴⅠ（Ｃ’’ ，Ｌｉ）＋Σｉ，ｊ ＴⅠ（Ｌｉ，Ｌｊ） ） −（ＴⅡ（Ｃ’ ’ ，Ｃ’ ’ ）＋Σｉ ＴⅡ（Ｃ’ ’，Ｌｉ）＋Σｉ，ｊ ＴⅡ（Ｌｉ，Ｌｊ） ） ＝（Ｄ（Ｃ’ ’ ，Ｃ’ ’ ）＋Σｉ Ｄ（Ｃ’ ’ ，Ｌｉ）＋Σｉ，ｊ Ｄ（Ｌｉ，Ｌｊ） ） ＋０．５（Ｆ（Ｃ’ ’ ）＋ＤⅡ（Ｃ’ ）＋２ＤⅢ（Ｃ’ ） ） ・・・・・・・・・・・・・・・・・（３） 以下に，ｒを十分小さくしたときに下記の（３）から（８）式が成立することを示す． なお， ｒを小さくするときは，円弧とループとの間に円弧の始点，終点以外の点で新たな２重接線や２ 重点が発生する場合は，その発生を避けるように各円弧の曲率の絶対値ｗを再度充分に小さくす ることとする．なお，ＴⅠ（Ｃ’ ’ ，Ｃ’ ’）とＤ（Ｃ’ ）はｒの変化には不変である． Σｉ Ｄ（Ｃ’’ ，Ｌｉ）＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （４） Σｉ，ｊＤ（Ｌｉ，Ｌｊ）＝ＤⅠ（Ｃ’ ）＋ＤⅡ（Ｃ’ ）＋ＤⅢ（Ｃ’ ） ・・・・・・・・・・・（５） TⅠ（Ｃ’’ ，ＬⅠ）−TⅡ（Ｃ’ ’ ，ＬⅠ）＝TⅠ（Ｃ’ ’ ，ＤⅠ）−TⅡ（Ｃ’ ’ ，ＤⅠ） ・・・・ （６） TⅠ（Ｃ’’ ，ＬⅡ）−TⅡ（Ｃ’ ’ ，ＬⅡ）＝TⅠ（Ｃ’ ’，ＤⅡ）−TⅡ（Ｃ’ ’，ＤⅡ）＋ＤⅡ（Ｃ’） ・・・・・・・（７） TⅠ（Ｃ’’ ，ＬⅢ）−TⅡ（Ｃ’ ’ ，ＬⅢ） ＝（TⅠ（Ｃ’ ’ ，ＤⅢ）−TⅡ（Ｃ’ ’ ，ＤⅢ） ）＋２ＤⅢ（Ｃ’ ） ・・・・・・ （８） Σｉ，ｊ TⅠ（Ｌｉ，Ｌｊ）−Σｉ，ｊ TⅡ（Ｌｉ，Ｌｊ） ＝Σｉ，ｊTⅠ（Ｄｉ，Ｄｊ）−Σｉ，ｊ TⅡ（Ｄｉ，Ｄｊ） ・・・ （９） （４）式：∃δ＞∀ｒ＞０の時は，ループとＣ’ ’の間の交差がなくなる事は自明である． （５）式：∃δ＞∀ｒ＞０の時は，ループと他のループの間の交差もなくなるのは自明である が，自分自身のループの交差（結合点のこと）は残る． （６）式：ある一つのＤⅠのＬⅠに着目しよう．ｒが大きな値をとる範囲ではＬⅠとＣ’ ’の ＃ＴⅠと＃ＴⅡは増減をする可能性があるが， ∃δ＞∀ｒ＞０の時は増減はしなくなり， しかも， −29− −5−.
(6) Ｃ’’側の接点がＤⅠのスコープ内に入る２重接線と入らない２重接線とのグループに分かれ， そのグループ内の数も一定の値を保つようにすることができることは自明である．今，Ｃ’ ’側 の接点がＤⅠのスコープ内に入るタイプⅠの２重接線の数をｓ，Ｃ’ ’側の接点がＤⅠのスコー プ内に入るＴⅡの数をｔとすれば， ｓ＝ｔであることを説明する． ｒが十分小さければ， ＴⅠ （Ⅱ） のスコープ内にあるＣ’ ’側の接点ｕから，ｕが属しているスコープ内のＣ’ ’の近傍内のｕ’か らループＬⅠへのＴⅡ（Ⅰ）を描くことは可能である．したがって，このような状態ではＴⅠと ＴⅡの２重接線は常にペアになって，相殺するので（図５） ，ｓ＝ｔであり， TⅠ（Ｃ’ ’ ，ＬⅠ） −TⅡ（Ｃ’’ ，ＬⅠ）の数の中には，Ｃ’ ’側の接点がスコープ内にあるような２重接線は含ま れない．一方， TⅠ（Ｃ’ ’ ，ＤⅠ）−TⅡ（Ｃ’ ’ ，ＤⅠ）の数の数え方は，結合点を通りスコー プ内を通る２重接線は数えないことと定められている．. 図５. スコープ内のタイプⅠとタイプ２の２重接線のペア. したがって，(６)式の左辺には，結合点とその結合点のスコープ外のＣ’ ’間の２重接線のみが 残るので，（６）式が成立する． （７）式：ある一つのＤⅡのループⅡに着目しよう．∃δ＞∀ｒ＞０の時は，Ｃ’ ’側の接点 がスコープ内に存在するＴⅠとＴⅡは常にペアになっていることは，上記の議論と同様である． それでも，ｒ＞０である限り， TⅠ（Ｃ’ ’ ，ＬⅡ）−TⅡ（Ｃ’ ’ ，ＬⅡ）＝TⅠ（Ｃ’ ’ ，ＤⅡ） −TⅡ（Ｃ’’ ，ＤⅡ）とはならない．なぜなら，ＤⅡの両側の正則曲線のどちらか一方に，その 結合点の近傍の曲率の符号が正の正則曲線ａが存在するが， ａとループとの間に存在する一本の ＴⅠはｒ＞０である限り残る（図６） ．その総数はＤⅠにつき１本であるから（７）式を得る． （８）式：ある一つのＤⅢのループⅢに着目しよう． （７）の議論とほとんど同じであるが， 異なるのはｒ＞０である限り，ＤⅢの両側の正則曲線の両方に，ループからＣ’ ’へのＴⅠが必 ずそれぞれ１本ずつ残ることである（図６） ．そのすべてのＴⅠの数はＤⅢにつき２本であるか ら（８）式を得る．. 変曲点 変曲点 ループⅡ 図６. 変曲点 ループⅢ. ｒ＝０の時に初めて消滅するループⅡ，ⅢのタイプⅠの２重接線. （９）式：ｉ≠ｊとし，ある一つの結合点ｐのループｌに着目しよう．∃δ＞∀ｒ＞０の時は， 相手のループ側の結合点をｐのスコープ内に入れることができるかどうかを定常的に判定でき −30− −6−.
(7) るようになり，相手のループ側の結合点をｐのスコープ内に入れることができる相手側のループ に対しては， 相手側のループの接点がスコープ内に存在するＴⅠとＴⅡは常にペアになっている ことは，上記の議論と同様である．したがって（９）式の左辺は，結合点同士を結ぶ線分が相手 側の結合点のスコープに入っている場合はカウントされないので， （９）式が成立するようにな る． ｉ＝ｊの場合，ループ自身がその中に２重接線を持たない．以上から（９）式は成立する． 結局， （３）式の左辺に（６）から（９）を，右辺に（４）と（５）式を代入し，左辺と右辺の 共通項を整理すると（２）式を得る．■ ４．結果の検討 本定理は，当然のことながら，直線分を含まない区分正則閉曲線に対して成立する．同様に， 直線分のみよりなるいわゆる多角形についても本定理は成立する． 図７の（ａ）の正則曲線が３つの図形では，Ｄは１つ，ＤⅠ，Ⅱはそれぞれ一つ，Ｆは１つ， ＴⅠ(実線)は５つ，ＴⅡ(点線)は２つである．正則曲線が２つ，直線分が２つの（ｂ）では，線 分番号を図中の矢印のようにつけた場合，Ｄは１つ，ＤⅠはなく，ＤⅡは３つ，Ｆは１つ，Ｔ Ⅰ，ＴⅡはそれぞれ５つと２つを持っている．したがって，２図形とも（２）式が成立する． ループＬⅢとして，変曲点を持たない代わりに，自分自身に２重接線ＴⅠを１つだけ持つル ープ（図８）を用いた場合でも， （２）が同様に得られる．この場合，Ｆが２つ減る代わりに， ループとＣ’ ’とのＤが２つ増え，それに呼応してＴⅠが１つ増えている．ループとＣ’ ’の間 のＴⅠが２本であるのは不変である．. 円弧近似により 固有のＤⅠ. 直線（正の曲率の円弧近似）. 固有のＤⅡ. 固有のＤⅢ. 直線（負の曲率の円弧近似）. 発生するＤⅡ. 固有の ＤⅡ. 円弧近似 により 円弧近似に 発生するＤⅢ より発生す 変曲点 変曲点. （ａ）区分正則閉曲線の例. るＤⅡ. （ｂ）２本の直線分を含む区分正則・直線分閉曲線の例 図７. 本定理の検証例. 直線分に対する曲率の正負を一定のルールに従って決定するとしたが，この目的は(２)式の 計算を簡便にするために設けたものであり，本来曲率の正負を直線分ごとに自由に設定しても かまわない．また，線分に番号をつける際，時計回り方向につけるかどうかは任意でかまわな い． −31− −7−.
(8) (２)式は(Ⅰ)式の素直な拡張である．今回得た定理と Fabricius と Bjerre の定理とを見比べ ると，ＤとＤⅠは２重点として見なし，ＦとＤⅡは変曲点と解釈し，結合点Ⅲの数は無視する という数え方をすれば，(２)式の右辺の計算方法は Fabricius と Bjerre の定理と同様になるこ とを２つの定理は示唆している．Fabricius と Bjerre の定理は本定理の正則曲線あるいは直線 分の集合｛ｃｉ ｝ （ｉ＝１，２， ・・・，ｎ，ｎ＞１）において，ｎ＝１で，ｃｉが正則閉曲線で あ る場 合に相 当す る． 直線分 で構 成される多角形 において， (１ ) 式が成 立するという T.B.Banchoff の定理〔６〕は，本定理のｎ＞１で，すべてのｃｉが直線分である場合に相当す る． ループＬⅢ自身の２重接線. 結合点Ⅲ. 図８. ループＬⅢ. ループⅢとして自分自身の２重接線を１本持ったループを用いた場合. ５．終わりに 正則曲線と直線分が混在した平面閉曲線に対して，２重接線，２重点，変曲点，ならびに結 合点の数の間に一定の規則があることを示した．この関係式は正則平面閉曲線の数に関する Fabricius と Bjerre の定理の拡張になっている． [1] Fr.Fabricius-Bjerre: On the double tangents of plane closed curves, Math. Scand 11, pp113-116 (1962). [2] B.Halpern : Global theorem for plane closed curves, Bull. Amer. Math. Soc.. 76,. pp96-100(1970). [3] T.Ozawa: On Halpern’s conjecture for plane closed curves, Proc. Amer. Math. Soc. 92, pp554-560 (1984). [4] 小沢哲也:平面図形の位相幾何，培風館,（1997）. [5] T.B.Banchoff: Global Geometry of Polygons, Proceedings of Amer. Math. Soc. Vol.45, Number 2, August, pp96-100（1974）. [6] B.Halpern: Double normals and tangent normals for Polygons, Proceedings of Amer. Math. Soc. Vol.51, Number 2, pp434-437, September, (1975).. −32− −8−.
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