組み合わせ微分形式を用いたベクトル束の接続と曲率の理論

(1)

1.

研究背景

滑らかな対象を扱う多様体論において

,

多様体（高次元の図形）の構造を調べるための重要な道具に微分形式がある。これに対し

, 1990

年代に

Robin Forman

氏は離散的な対象である

CW

複体に対して組み合わせ的に微分形式の定式化を与えた。この理論において滑らかな微分形式における外微分等と同等の重要な性質を持つ演算がうまく定められている。この

Forman

氏によって整備された組み合わせ微分形式を用いて

,

多様体上で成立した微分形式に関わる定理の離散類似の研究が現在行われている。

Forman

氏自身は［

1

］において

de Rham

の定理や

Novikov-Morse

理論の再現を行っている。また

, 2018

年に東北大学の渡邊一義氏は［

2

］において組み合わせ

Ricci

曲率を適切に定義し

, Gauss-Bonnet

の定理の再現を行っている。本研究ではこれらの離散類似の一環として

,

組み合わせ微分形式を用いた

Chern-Weil

理論の構成に向け単体複体上のベクトル束の接続と曲率の定義を与え

,

その性質を調べた。参考文献に挙げた先行研究では一般の

CW

複体を扱っているが

,

本論文においては主に

CW

複体として単体複体（高次元の多面体）を扱う。単体複体は一般の

CW

複体よりコンピュータ上でのアルゴリズム的な計算に適しているという利点がある。

2.

研究結果

主結果

1.

組み合わせ微分形式の二項演算として二種類の外積∧1

,

∧2の定義を与えた。いずれの外積も双線形性を持ち

Leibniz rule

を満たす。また

,

∧1は結合律を満たさないが符号付き可換性を満たし

,

∧2は結合律を満たすが符号付き可換性を満たさない。

主結果

2.

二つの単体複体とその間の単体写像が与えられたとき

,

値域上の組み合わせ微分形式から定義域上の組み合わせ微分形式を与える引き戻し写像を定めた。この引き戻しは

,

外微分及び二つの外積との可換性

,

合成に関する反変関手性を満たす。

主結果

3.

単体複体上のベクトルバンドルを

,

最高次数の単体上の

cocycle

条件を満たす行列値関数の族として定義した。またこのベクトルバンドルに対して共変外微分

,

接続形式及び曲率形式を滑らかな場合の類似により定めた。接続形式の定義に外積を用いているため

,

その定義は二種類ある。曲率形式は接続形式から定めているため

,

同様に定義が二種類ある。どちらの外積を用いて定めているかによって異なった性質を持つ。

参考文献

［

1

］

Robin Forman, Combinatorial Novikov-Morse theory, Internat. J. Math. 13

（

2002

）

, no. 4, pp. 333-368, DOI 10.1142/S0129167X02001265. MR1911862

［

2

］

Kazuyoshi Watanabe, Combinatorial Ricci curvature on cell-complex and Gauss-Bonnet theorem, Tohoku Math.

J.

（

2

）

71

（

2019

）

, no. 4, pp. 533-547. MR4043924