(1) Z x5dx (2) Z dx x3 (3) Z x13dx (4) Z x−13dx (5) Z x√ xdx (6) Z dx √x 練習２ 次の不定積分を求めよ

３年普通科 数学III  不定積分演習プリント１

練習１ 次の不定積分を求めよ。

(1) Z

x⁵dx

(2) Z dx

x³

(3) Z

x¹³dx

(4) Z

x⁻¹³dx

(5) Z

x√ xdx

(6) Z dx

√x

練習２ 次の不定積分を求めよ。

(1)

Z x²−4x+ 1 x³ dx

(2)

Z (x²−2)(x²−3) x⁴ dx

(3)

Z x+ 2

√x dx

(4) Z (√

x−1)² x dx

(5)

Z 1−y−y² y² dy

(6) Z

3t²−1 t

dt

３年普通科 数学III  不定積分演習プリント１ 解答例

練習１ 次の不定積分を求めよ。

(1) Z

x⁵dx= 1

5 + 1x⁵⁺¹+C=1 6x⁶+C

（Cは積分定数）

(2) Z dx

x³ = Z

x⁻³dx= 1

−3 + 1x⁻³⁺¹+C= 1

−2x⁻²+C=− 1 2x² +C

（Cは積分定数）

(3) Z

x¹³dx= 1

1

3+ 1x¹³⁺¹+C= 3

4x⁴³ +C= 3 4x√⁴

x+C

（Cは積分定数）

(4) Z

x⁻¹³dx= 1

−¹₃+ 1x⁻¹³⁺¹+C= 3

2x²³ +C= 3 2

√3

x²+C

（Cは積分定数）

(5) Z

x√ xdx=

Z

x³²dx= 1

3

2+ 1x³²⁺¹+C= 2

5x⁵²+C= 2 5x²√

x+C

（Cは積分定数）

(6) Z dx

√x = Z

x⁻¹²dx= 1

−¹₂+ 1x⁻¹²⁺¹+C= 2x¹² +C= 2√ x+C

（Cは積分定数）

練習２ 次の不定積分を求めよ。

(1)

Z x²−4x+ 1 x³ dx=

Z 1 x− 4

x²+ 1 x³

dx

= Z 1

x−4x⁻²+x⁻³

dx

= log|x| −4· 1

−1x⁻¹+ 1

−2x⁻²+C

= log|x|+4 x− 1

2x² +C

（Cは積分定数）

(2)

Z (x²−2)(x²−3) x⁴ dx=

Z x⁴−5x²+ 6 x⁴ dx

= Z

1− 5 x² + 6

x⁴

dx

= Z

(1−5x⁻²+ 6x⁻⁴)dx

=x−5· 1

−1x⁻¹+ 6· 1

−3x⁻³+C

=x+5 x− 2

x³+C

（Cは積分定数）

(3)

Z x+ 2

√x dx= Z √

x+ 2

√x

dx= Z

(x¹² + 2x⁻¹²)dx

=2

3x³² + 2·2 1x¹² +C

=2 3x√

x+ 4√ x+C

（Cは積分定数）

(4) Z (√

x−1)² x dx=

Z x−2√ x+ 1

x dx

= Z

1− 2

√x+ 1 x

dx

= Z

1−2x⁻¹² +1 x

dx

=x−2· 2

1x¹² + log|x|+C

=x−4√

x+ log|x|+C

（Cは積分定数）

(5)

Z 1−y−y² y² dy=

Z 1 y²−1

y −1

dy

= Z

(y⁻²−1 y −1)dy

= 1

−1y⁻¹−log|y| −y+C

=−1

y −log|y| −y+C

（Cは積分定数）

(6) Z

3t²−1 t

dt=

Z

9t⁴−6t+ 1 t²

dt

= Z

(9t⁴−6t+t⁻²)dt

= 9·1

5t⁵−6·1 2t²+ 1

−1t⁻¹+C

=9

5t⁵−3t²−1 t +C

（Cは積分定数）