数理物理及び演習I( 解析) 2004.6.28
6 直交曲線座標系への変数変換
1 円柱座標系(r z) は, x =rcos y= rsinz = z で定義される。以下の問に答 えよ。
(1)
@x
@r
@x
@
@x
@z
@y
@r
@y
@
@y
@z
@z
@r
@z
@
をr で表せ。
(2)
@r
@x
@r
@y
@r
@z
@
@x
@
@y
@
@z
@z
@x
@z
@y
をr で表せ。
(3)円柱座標系は直交曲線座標系をなしている,すなわち
dx 2
+dy 2
+dz 2
=c
r 2
dr 2
+c
2
d 2
+c
z 2
dz 2
(c
r c
c
z
>0)
をみたすことを示せ。また,このときのcr c czを求めよ。
2 直交座標系 (xyz)における微分演算
r=i
@
@x +j
@
@y +k
@
@z
i =(1 00) j =(01 0)k=(0 01)
は,円柱座標系 (r z)では
r=e
r
@
@r +e
1
r
@
@ +e
z
@
@z e
r e
e
zはr z方向の単位ベクトル
となることを示し ,er e ezをを用いて表せ。また,円柱座標系におけるラプラ シアンは
4= 1
r
@
@r
r
@
@r
!
+ 1
r 2
@ 2
@ 2
+
@ 2
@z 2
で与えられることを示せ。
3 内半径a,外半径bの無限に長い同心円筒があり,ab間には電荷はなく,一様な誘電 体が詰まっている。このとき,ar bにおけるポテンシャルを'(r)とすると,ラ プラス方程式 4'(r)=0が成り立つ。内側と外側の円筒のポテンシャルがそれぞれ
'
a '
bであるとき,ab間のポテンシャル'(r)および電場E =;r'(r)を求めよ。