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また,円柱座標系におけるラプラ シアンは 4= 1 r @ @r r @ @r

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Academic year: 2021

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(1)

数理物理及び演習I( 解析) 2004.6.28

6 直交曲線座標系への変数変換

1 円柱座標系(r z) , x =rcos y= rsinz = z で定義される。以下の問に答 えよ。

(1)

@x

@r

@x

@

@x

@z

@y

@r

@y

@

@y

@z

@z

@r

@z

@

r で表せ。

(2)

@r

@x

@r

@y

@r

@z

@

@x

@

@y

@

@z

@z

@x

@z

@y

r で表せ。

(3)円柱座標系は直交曲線座標系をなしている,すなわち

dx 2

+dy 2

+dz 2

=c

r 2

dr 2

+c

2

d 2

+c

z 2

dz 2

(c

r c

c

z

>0)

をみたすことを示せ。また,このときのcr c czを求めよ。

2 直交座標系 (xyz)における微分演算

r=i

@

@x +j

@

@y +k

@

@z

i =(1 00) j =(01 0)k=(0 01)

は,円柱座標系 (r z)では

r=e

r

@

@r +e

1

r

@

@ +e

z

@

@z e

r e

e

zr z方向の単位ベクトル

となることを示し ,er e ezを用いて表せ。また,円柱座標系におけるラプラ シアンは

4= 1

r

@

@r

r

@

@r

!

+ 1

r 2

@ 2

@ 2

+

@ 2

@z 2

で与えられることを示せ。

3 内半径a,外半径bの無限に長い同心円筒があり,ab間には電荷はなく,一様な誘電 体が詰まっている。このとき,ar bにおけるポテンシャルを'(r)とすると,ラ プラス方程式 4'(r)=0が成り立つ。内側と外側の円筒のポテンシャルがそれぞれ

'

a '

bであるとき,ab間のポテンシャル'(r)および電場E =;r'(r)を求めよ。

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