PA,PB yx = 12

(1)

[ 東京工業大学 2009 年前期１ ]

点Pから放物線 1 ²

y= 2 x へ2本の接線が引けるとき，2つの接点をA, Bとし，線分PA, PBおよびこの放物線で囲まれる図形の面積をS^とする。PA, PB^{が直交するときの}Sの最小値を求めよ。

(2)

[ 東京工業大学 2009 年前期２ ]

実数a^{に対し，次の}1次変換

( , ) ( ( 2) , ( 2) )

f x y = ax+ −a y a− x+ay

を考える。以下の2条件をみたす直線Lが存在するようなaを求めよ。

(1) Lは点(0, 1)を通る。

(2) 点Q^がL上にあれば，その f による像 f( )Q もL上にある。

(3)

[ 東京工業大学 2009 年前期３ ]

N を正の整数とする。2N以下の正の整数m n, からなる組( , )m n で，方程式 x²−nx+ =m 0 が N 以上の実数解をもつようなものは何組あるか。

(4)

[ 東京工業大学 2009 年前期４ ]

xyz空間の原点と点(1, 1, 1)を通る直線をAとする。

(1) A上の点 , ,

3 3 3

t t t

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠^を通り，Aと垂直な平面が，xy平面と交わってできる直線の方程式を求めよ。

(2) 不等式 0≦ ≦y x(1−x) の表すxy平面内の領域をDとする。Aを軸としてDを回転させて得られる回転体の体積を求めよ。