0≦θ <2π のとき,次の方程式を解け。
(1) 3 sinθ+cosθ =0 ⇔ 2 sin 3 cos 1 0
2 2
θ θ
⋅ + ⋅ =
⇔ sin 0
6 θ π
+ =
…① 0≦θ <2π のとき 13
6 6 6
π ≦θ + π < π より
① ⇔ , 2
6
θ+ π =π π
したがって 5 11
6 , 6
θ = π π
〔別解〕
両辺をcosθで割って, sin tan cos
θ θ
θ = とおくと 3 sinθ+cosθ =0 ⇔ 3 tanθ + =1 0
⇔ 1 tan
θ = − 3
よって 5 11
6 , 6
θ = π π
(2) 2(sinθ−cos )θ = 6 ⇔ 1 1
2 2 sin cos 6
2 2
θ θ
⋅ ⋅ + ⋅ − =
⇔ 3
sin 4 2
θ π
− =
…①
0≦θ <2π のとき 7
4 4 4
π θ π π
− ≦ − < より
① ⇔ 2
4 3 , 3
π π
θ− = π
したがって 7 11
12 , 12
θ = π π
87.三角関数を含む方程式④
(1) 5 11 6 , 6
θ = π π (2) 7 11 12 , 12
θ = π π
(3) 5 3
, , ,
4 2 4 2
π π
θ = π π (4) 4
0, , ,
3 3
θ = π π π
(3) sin 2θ −cos 2θ =1 ⇔ 2 sin 2 1 cos 2 1 1
2 2
θ θ
⋅ + ⋅ − =
⇔ 1
sin 2
4 2
θ π
− =
…①
0≦θ <2π のとき 15
4 2 4 4
π θ π π
− ≦ − < より
① ⇔ 3 9 11
2 , , ,
4 4 4 4 4
π π
θ − = π π π
したがって 5 3
, , ,
4 2 4 2
π π
θ = π π
〔別解〕
2 sin cosθ θ−(2 cos2θ− =1) 1
cos (sinθ θ−cos )θ =0
よって cosθ =0 または sinθ =cosθ
したがって 5 3
, , ,
4 2 4 2
π π
θ = π π
(4) cos2θ + 3 sin cosθ θ =1 ⇔ 1 cos 2 1
3 sin 2 1
2 2
θ θ
+ + ⋅ =
⇔ 3 1 1
sin 2 cos 2
2 θ+ 2 θ = 2
⇔ 1
sin 2
6 2
θ π
+ =
…①
0≦θ <2π のとき 25
6 2 6 6
π ≦ θ+ π < π より
① ⇔ 5 13 17
2 , , ,
6 6 6 6 6
π π
θ + = π π π
したがって 4
0, , ,
3 3
θ = π π π
sinθ =cosθは,sin sin 2 θ = π −θ
と変形して解いてもよいですし,
単位円周上で,x座標とy座標が等しくなるところ(2つある)を考えてもよいです。