安定群 の上 の位相 につ いて

岡大医短紀要, 4:27‑29,1993 Bull.Sch.HealthS°iOkayamaUniv.

安定群 の上 の位相 につ いて

田 中 克 己

Sometopologiesonstablegroups

KatsumiTANAKA

lnthetheoryofLirlearalgebraicgroups,Zariskitopo】ogyplaysacrucia一role.Weintroducesome topologiesongeneralabstractgroupsgeneralizingZariskitopologyinsomesense. Especiallywefocus onstablegroups,becausenotonlythesimilarityofthenlWithrespecttosomestructuretheoremsbut alsoweareinterestedinstablegroupsfortheirownright.

InLinearalgebraicgroups,theyhaveadescendingchainconditiononclosedsebsets. Hencewemay introducesometopologiesonstablegroupsinordertosatisfythedescendingchainconditionsonclosed subsetswhateverthetopologyis. Accordingtothis畠uidelineweintroducesometopologiestostable groupsandomega‑stablegroups.

KeyWords:stablegroups,Z‑groups,descendingchainconditions

安定群の重要 な例 である,代数的閉体上 の代数 群 の理論 では,ザ 1)スキー位相が重要 な役割 を果 たす｡ これはモデル理論の言葉で言えば,基礎 に ある体 の言語における論理式による定義可能 な集 合 を閉集合 としている｡ しか し,一般 に群 の構造 について議論す るときには,やは り, その群 の性 質 を記述す る言語 を使 って考 えるのが 自然であろ

う｡

Ⅰ.Kaplanskyは,一般 の群の上 にザ リスキー位 相 を一般化 した次の ような位相 を定義 した1)｡群 G に Tl一位相が入 り,閉集合 につ いて極小条件 を みた し,かつ,つ ぎの3種類のGか らG‑の写像 :

g‑ g 1,g‑ ga,g→ ag

がGの各元

a

にたい して連続 とな る とき,群G を

Z

群 とい う｡

また,群

G

に

T

l一位相が入 り,上の

3

種類の写 像 に加 え,写像g一 g 1agがGの各元aにたい し 連続 となるとき,群

G

を

C

群 と言 う｡さらに,同 り位相の もとで

,G

が

C

群か

つ Z

群 となるとき,

岡山大学 医療 技術短期大学部一般教 育

G を

C

Z群 と言 うo

R.M .Bryantは,群

G

の上に次のように閉集合 を定めてや るこ とに よ り

,G

にverbaltopology と呼ばれ る位相 を定義 した2)0 atomicformulaに よ りGで定義可能 な集合 をこの位相 の閉部分 基 とす る｡この時,任意の閉集合 はatomicformula のfinite disjunctionに よ り定義 され る集合 の無 限個 のintersectionとなる｡

一点か らなる集合 〈a)は

G

の閉集合 になる｡ こ れはⅩ‑aなるatomicformulaで定義 され る

｡G

の任意の部分集合Aにたい し,Aの中心化群 は閉 集合 になる｡実際

, A

の各元aにたいL Xa‑axと い うatomic formulaに よ り定義 され る集合 の intersectionとして表 され る｡この場合,任意の閉 集合が定義可能になるとは限 らない｡ なぜ な ら, このintersectionの数 は無限個 になるか もしれな い｡

tをterm,少 をatomicformulaとす るとき, 少(t(g))もatomicformulaになるか ら,Gか らG

‑ 27‑

田中 克己

‑の写像

g

‑ t

( g)

は連続 となる｡G の任意の元

a

にたい し,写像

g‑ g1 ,g‑ ga ,g‑ a g,g一 gl a g

は連続 とな り

,G

は

C

群 となる｡

例 . 代数群 はザ リスキー位相 について

,CZ

群 に なる｡

定 理

( Br ya nt ) 2 ) .

群

G

は その

ve r ba lt opo l o gy

において閉部分集合について極小条件 をみたせ ば

CZ

群 になる｡

例 . 線形群3),局所有限な

a be l i a n‑ by‑ ni l po t e nt ‑ by‑ f i ni t egr oups , a be l i a n‑ by‑ f i ni t egr oups

は

ve r ‑ balt o pol o gy

において閉部分集合 について極小条 件 をみたすので,みな

CZ

群 になる2)0

Fac t 1

4,5). 60安定群 は定義可能 な部分群 につ いての極小条件 をみたす｡

Fact2

5･6). 安定群 は

uni f or m

に定義可能 な部 分群 の

i nt e r s e c t i on

についての極小条件 をみたす｡

定義. 集合

F‑〈 aHb:H

‑

(1〉o rC｡( C ) ,a , b,C∈G

)を閉集合 についての部分基 として与えら れ る位相 を

M

｡一位相 とい う｡

定理. 安定群 は

M

｡一位相 につ いて

Z

群 になる｡

M

｡一位相が

T

1‑位相 になるこ とは明 らか｡ また

F

の定義 よ り

,3

種類の写像が連続になるこ とも 明 らか｡ この定理の証明の残 りは,閉集合 につい ての極小条件だが, そのためには,部分基につ い て極小条件が成 り立つ ことを示せば十分｡ このこ

とは,次の2つの補題か ら導かれ る｡

補

遺 1.

集合

F

の任 意 の元

aHb

は あ る

H

串の

c o s e t

に等 しい｡

証明.

H‑CG( C )

の とき,

aHb‑a bbl Hb‑a b( bl Hb)

‑a bC｡( bl c b)

H

‑ く1)の とき

,aHb‑a b(1

)0 輔題

2.

集合

F

は極小条件 をみたす｡

証明.

〈 H :H‑ (1)orC｡( C ) ,C∈G

)を

J

と お くと

,Fa

ctよ り

,J

は極小条件 をみたす｡

また,補題1よ り,Fの各元は

cH

とい う形 をし ている｡いま仮 に,Fが極小条件 をみたさない とす る｡す ると,無限下降列

cI H l jc 2 H2 3. . . 3c n Hn 3. . .

が存在す る｡ この とき,

Hl >H2 >. . . >H

n

> . . .

とな り

,uni f or m

に定義可能 を部分群 の無限下降 列がで きて しまい

Fa c t2

に矛盾す る｡よって

,F

は極小条件 をみたす｡

W安定群 については,もっと強い位相 について Z群 になる｡

定義.

S‑( aHb:H

は定義可能 な群

,a,b∈G)

を閉集合 の部分基 として与 え られ る位相 を

S

位 相 とい う｡

定理. 60安定群 は

S

位相 につ いて

Z

群 になる｡

証 明は,前の定理 と同様 で

Fac t 2

の代 わ りに

Fac t

lを使 えばよい｡

Z

群 の 一 般 論 か ら

,

u安 定 群 に お け る

c o n‑

ne c t e d

とい う概念が,本来の トポロジーの意味の

c onne c t e d

と一致す ることが確認 され る｡以下,証 明はZ群 につ いて知 られてはいるが,自己完結の 意味でここに繰 り返 してお く｡

命 題 1. 安定群Gの

M

｡一位相 におけ る任 意 の

ope nde ns es u bs e tU

について

,G‑UU

となる｡

証明.

G

の任意の元 Ⅹにたい し

, U

と

U l X

は空 でない開集合 である｡Gは既約 であるから

UnU1 Ⅹ

は空でない｡ よって

,Ⅹ∈UU

｡

命題

2. G

を安定群 とす ると,その

M

｡一位相 に

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安定群 の上の位相 につ いて

つ いて

, 1

を含むGのcomponent

C

は,Gの正 規部分群 とな り,Gのなか で指数有 限 とな る｡ こ の とき

,C

をGoであ らわす｡

証 明. Gの既約分解 をG‑SIU･･･USnとす るo

主張 1. 各

S

たちは交 わ らない｡

いまⅩ∈S.nS2とす る｡Gの任意の同相写像 は各 Sの置換 になる｡Gの任意の元yにたい し,Ⅹをy に うつす同相写像が存在す る｡つ ま り, Slの任 意 の元は SZか らSnの少 な くともどれか

1

つ に含 ま れてい る｡ したが って,

Sl‑ (SlnS2)U".U (SlnSn).

各SlnS乙は閉集合 で しか もS.よ りた しか に小 さ い｡ これはS.の既約性 に矛盾す る｡

主張

2.

Slは群 である｡

Slの任意の元 Xにつ いて,S.x とS.とは確 かに交 わる｡共通部分 は

S

たちの どれか でなければ な ら ない｡ よって, SIX‑Sl. 同様 に, SIJ l‑Slとな り,S.は群 にな る｡ もちろんSlは連結 で もあ る｡

主張

3.

Slは

G

の正規部分群 である｡

S2か らSnはS.のcosetと交わ るので,実 際,あ る cosetと一致す る｡Gの任 意の元 Xにたい し,Ⅹ l SIXも連結 で

1

を含 む｡ゆえに,Ⅹ 1SIXはSlに包 含 され る｡

以上 に よ り

,G

にお け るSlの指数 は有 限 とな

る｡

命題

3. G

を案定群 とす る と,その

M

｡一位相 に つ いてGの既約 成分 はGOのcosetへ の分 解 ただ

1とお りとな る｡

以上 の命題 は,a)安定群 につ いて も位相 を

S

位 相 に してや るこ とに よ り成立す る｡

最後 に まだ未解決 の問題 を

1

つ あげてお く｡

問題 . 任意の GD安定群 を

CZ

群 とす るような位 相 の入れ方が あるか｡

文 献

1)KaplanskyL AnIntroductiontoDifferentialAlge‑

bra.Hermann,Paris,1957.

2)BryantR.M.:TheVerbalTopologyofaGroup.J. Alg.48:340‑346.1977.

3)Wehrfritz B. A. F∴ Ⅰnfinite Linear Groups. Springer‑Verlag, Berlin/Heidelberg/New York, 1973.

4)Cherlin G∴GroupsofsmallMorley rank.Ann.

Math.Logic17:1‑28,1979.

5)BaldwinJ.T∴Fundamentalsofstabilitytheory.

Springer‑Verlag,BerlinandNew York,1987. 6)BaldwinJ.T.,Saxけ :Logicalstabilityingroups.J.

Austral.Math.Soc.Ser.A 21:267‑276,1976.

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