TOP URL 1

あもんノート

ユークリッド幾何学、ニュートン力学から、相対論、量子論、素粒子 論、宇宙論、そして超ひも理論まで、理論物理学を簡潔にかつ幅広く網 羅したノートです。TOP へは下の URL をクリックして行けます。専用 の画像掲示板で、ご意見、ご質問等も受け付けております。 http://amonphys.web.fc2.com/

目 次

第30章 量子重力の基礎 3 30.1 アインシュタイン・ヒルベルト作用の展開 . . . . 3 30.2 重力子の伝播関数 . . . . 4 30.3 スカラー場の重力相互作用 . . . . 5 30.4 スカラー粒子の重力散乱 . . . . 6 30.5 四脚場 . . . . 8 30.6 スピン接続 . . . . 9 30.7 ディラック場の重力相互作用 . . . 10 30.8 ディラック粒子の重力散乱 . . . 11

第

30

章 量子重力の基礎

もし無矛盾で観測的に正しい量子重力理論があれば、少なくとも摂動の最低次 においては量子化された一般相対論と等価になると考えられます。一般相対論は 古典領域(ツリーレベル)において良く検証されているからです。特に重力赤方偏 移に関する一般相対論の正しさは高い精度で検証されていて、正しい量子重力理 論はこれを再現できるものでなくてはいけません。ここでは量子化された一般相 対論を、特に摂動の最低次に限って見てみることにします。

30.1

アインシュタイン・ヒルベルト作用の展開

一般相対論における重力場の作用汎関数は、いわゆるアインシュタイン・ヒル ベルト作用 : Sg = − 1 16πG Z d4x√R で与えられます。G は万有引力定数、R は時空のスカラー曲率です。また、計量 gµν に対し、 √ ₌ p_{−det g} です。R には計量の2階微分を含む項がありますが、これを部分積分すると、 Sg = 1 16πG Z d4x√B, B = ΓρρµΓµσσ − ΓλµνΓµνλ となります(一般相対論の章参照)。ここで、 Γλµν = 1 2(−∂λgµν + ∂νgλµ+ ∂µgνλ) は接続係数です。 計量 gµν のローレンツ計量 ηµν = diag(1, −1, −1, −1)µν からのずれを hµν とし ましょう : gµν = ηµν + hµν. gµν は対称テンソルなので、hµν は2つの添字に対して対称です。また、hµν は十 分小さいと考え、その高次項を無視するとすれば、時空の添字はローレンツ計量 で上げ下げされると考えることができます。

そうすると B の式は、丁寧に計算して、 B = 1 4∂λhµν∂ λ_hµν ₋ 1 4∂µh∂ µ_{h +} 1 2∂µh∂νh µν ₋ 1 2∂µh λ ν∂λhµν となるでしょう。ここで h = hµ_µ です。さらに、 fµν = hµν − 1 2ηµνh により重力ポテンシャル fµν を導入すれば、f = fµµ = −h がわかるので、逆に解 いた式は、 hµν = fµν − 1 2ηµνf です。そうすると B の式は、 B = 1 4∂λfµν∂ λ_fµν ₋ 1 8∂µf ∂ µ_{f −} 1 2∂µf λ ν∂λfµν となります。一方、√ = 1 + (場の1次以上) ですから、アインシュタイン・ヒル ベルト作用は、 Sg = 1 16πG Z d4x µ 1 4∂λfµν∂ λ_fµν ₋ 1 8∂µf ∂ µ_{f −} 1 2∂µf λ ν∂λfµν ¶ と表されることになります。 ただし上式は場の高次項を全て無視したときのものでした。高次項の存在をちゃ んと考慮するなら、 Sg = 1 128πG Z d4x (2ηµρηνσ − ηµνηρσ) ηαβ∂αfµν∂βfρσ − 1 32πG Z d4x ηρσ∂µfµρ∂νfνσ + SI のように表した方が良いでしょう。SI は fµν の3次以上の項で、重力の自己相互 作用項を意味します。

30.2

重力子の伝播関数

一般相対論は一般座標不変性というローカル対称性を持つため、量子化の際に はこの対称性を殺す必要があります。古典論では座標条件として ∂µfµν = 0 と置 くのが普通です。そこで量子論ではこのことを作用に反映させ、 Sf = 1 32πG Z d4x ηρσ∂µfµρ∂νfνσ

というゲージ固定項、およびゴースト項 Sc を加えた理論を考えます : ˜ Sg = Sg + Sf + Sc = 1 128πG Z d4x (2ηµρηνσ − ηµνηρσ) ηαβ∂αfµν∂βfρσ + SI + Sc. ˜ Sg はもはや一般座標不変性を持ちません。ただしグローバルなローレンツ対称性 は残っていて、それゆえこのゲージ固定は共変ゲージの一種です。 上の作用汎関数は、 ˜ Sg = i 2 Z d4xd4y fµν(x)Kµν,ρσ(x, y)fρσ(y) + SI + Sc, Kµν,ρσ(x, y) = i 64πG(ηµρηνσ + ηµσηνρ− ηµνηρσ) ¤xδ 4_(x−y) のように表すこともできますが、このとき Kµν,ρσ(x, y) は自由項演算子を意味し ます(経路積分の章参照)。伝播関数 ∆µν,ρσ(x, y) はその逆で、 Z d4y Kµν,ρσ(x, y)∆ρσ,αβ(y, z) = δµναβδ4(x−z), δµνρσ = 1 2 ¡ δρ_µδ_νσ+ δσ_µδρ_ν¢ を満たすものです。記号 δ_µνρσ は、性質 : Aµν = Aνµ ⇒ δµνρσAρσ = Aµν, δµνρσ = δµνσρ = δνµρσ = δρσµν を持つことに注意。すなわちこれは対称な添字対を一つの添字とみなしたときの 単位行列を意味しています。 結果、重力子の伝播関数は、−i² 処方のもとで、 ∆µν,ρσ(x, y) = 16πG¡ηµρηνσ+ηµσηνρ−ηµνηρσ¢ Z d4_k (2π)4 i k2 _{+ i²}e −ik·(x−y) と表されます。

30.3

スカラー場の重力相互作用

物質場として、まずは簡単なスカラー場 φ(x) を考えましょう。その作用汎関数 は、スカラー場の粒子の質量を m として、 Sφ = Z d4x√ µ 1 2g µν_∂ µφ∂νφ − m2 2 φ 2 ¶ です。これは座標不変な汎関数になっています。

ここで、²µνρσ を4元レビ・チビタとして、 det g = ²µνρσ(ηµ0 + hµ0)(ην1+ hν1)(ηρ2 + hρ2)(ησ3+ hσ3) = −1 − h00+ h11 + h22 + h33+ (場の2次以上) = −1 − h + (場の2次以上) ∴ √ = p−det g = 1 + 1 2h + (場の2次以上) および、 gµν = ηµν − hµν + (場の2次以上) に注意すると、 Sφ = Z d4x µ 1 2η µν_∂ µφ∂νφ − m 2 2 φ 2 ¶ + Sgφ, Sgφ = Z d4x µ −1 2h µν_∂ µφ∂νφ + 1 4η µν_h∂ µφ∂νφ − m2 4 hφ 2 ¶ + (4次以上) を得るでしょう。あるいは fµν を用いるなら、 Sgφ = Z d4x fµν µ −1 2∂µφ∂νφ + m2 4 ηµνφ 2 ¶ + (4次以上) となります。これがスカラー場の重力相互作用項です。

30.4

スカラー粒子の重力散乱

質量がそれぞれ m1, m2 の異なるスカラー粒子の、重力による散乱を考えてみま しょう。ファインマングラフは摂動の最低次で図30.1だけです。実線はスカラー 粒子、点線は重力子を意味します。 図 30.1: スカラー粒子の重力散乱

よって散乱振幅は、重力子の伝播関数、および Sgφ の式に注意して、 M = 22 × 16πG (ηµρηνσ+ηµσηνρ−ηµνηρσ) i (p1−p3)2 × i µ − 1 2p1µp3ν + m2₁ 4 ηµν ¶ i µ −1 2p2ρp4σ + m2₂ 4 ηρσ ¶ = −i16πG (p1−p3)2 ¡ p1·p2p3·p4 + p1·p4p2·p3 − p1·p3p2·p4 + m2₂p1·p3 + m2₁p2·p4 − 2m2₁m2₂ ¢ となるでしょう。統計因子は2つの頂点でそれぞれ 2 であることに注意。 重心系で考え、 pµ₁ = (E1, p)µ, pµ2 = (E2, −p)µ, pµ₃ = (E1, p0)µ, pµ₄ = (E2, −p0)µ, Ei = q |p|2 _{+ m}2 i とおくと、散乱角を θ として、 M = i4πG |p|2_sin2_(θ/2) ¡ m2₁m2₂ + 2(m2₁+m2₂)|p|2 + 4(E1E2+|p|2) |p|2cos2(θ/2) ¢ を得るでしょう。よって微分断面積は、 dσ dΩ = 1 64π2_(E 1+E2)2 |M|2 = G 2¡_m2 1m22 + 2(m21+m22)|p|2 + 4(E1E2+|p|2) |p|2cos2(θ/2) ¢₂ 4(E1+E2)2|p|4sin4(θ/2) となります。 特に低エネルギー極限 |p| ¿ mi では、 dσ dΩ = G2_m2 1m22m2∗ 4|p|4_sin4_(θ/2), m∗ = m1m2 m1+m2 となることに注意。これはスピン 0 におけるラザフォード散乱の微分断面積 : q₁2q₂2m2_∗ 64π2_|p|4_sin4_(θ/2) において、q1q2/(4π) → Gm1m2 と置き換えた式になっています(散乱問題の章参 照)。非相対論的近似では重力は静電気力と同様な逆2乗力とみなされるので、こ れはもっともらしい結果です。

一方、高エネルギー極限 |p| À mi では、 dσ dΩ = 4G2_|p|2 tan4_(θ/2) となります。粒子を加速するとそのエネルギーが増加するため、エネルギー運動 量を感知する重力においては、微分断面積は増加する一方になります。このこと は G の質量次元が −2 であることからも容易に予想される事柄です。

30.5

四脚場

次にディラック場において重力相互作用を考えていきたいのですが、そのため には多少の数学的準備が必要です。スピノル場やディラック場はローレンツ群の 表現であるため、これらを曲がった時空上で扱う場合、時空の各点に接空間とし て局所ミンコフスキー空間を想定してやります。スピノル場やディラック場はこ の局所ミンコフスキー空間に “住んでいる” と考えるわけです。 局所ミンコフスキー空間のローレンツ座標を局所ローレンツ座標といいます。こ こではそれを Xi (i = 0, 1, 2, 3)と表します。i はラテン文字ですが、空間添字で はなく、局所ローレンツ座標の添字と考えます。時空の座標の添字には引き続き ギリシャ文字を用います。 時空の座標と局所ローレンツ座標を結びつける場として、 biµ = ∂Xi ∂xµ を用意します。これを四脚場(vierbein)といいます。“四” は時空が4次元だから で、一般次元の場合は多脚場(vielbein)といいます。線素の式 : dτ2 = gµνdxµdxν = ηijdXidXj に注意すると、 gµν = ηijbiµbjν を得るでしょう。よって計量は四脚場が定まれば定まります。この意味で四脚場 は計量よりも基本的な場と考えることができ、特に計量の平方根のようなものに なっています。 また、四脚場は、局所ローレンツ変換と一般座標変換に対し、 b0iµ(x0) = ∂X0i ∂Xj ∂xν ∂x0µ b j ν(x) のように振る舞うので、例えば、局所ミンコフスキー空間におけるベクトル場Ai(x) に対し、A˜µ = biµAi は時空上のベクトル場になります。四脚場はこのように局所

ミンコフスキー空間と時空の橋渡しの役割を担います。以下、ラテン文字の添字 はローレンツ計量 ηij, ηij で、ギリシャ文字の添字は時空の計量 gµν, gµν で上げ下 げされるものとします。

30.6

スピン接続

局所ローレンツ変換の表現の場 Φ = Φ(x) があるとき、その無限小変換は、 δΦ = Φ0 − Φ = 1 2²ijS ij_{Φ ( ²} ji = −²ij, Sji = −Sij ) で与えられます。²ij は局所ローレンツ変換の無限小パラメータで、一般に時空点 に依存します。また、Sij はローレンツ群のリー代数で、スカラー場の場合Sij = 0, ディラック場の場合 Sij = γij, ベクトル場の場合 Sij = Mij. ここで、 γij = 1 4[ γ i_{, γ}j_{], (M}ij₎ kl = ηikδ_lj − ηjkδli, γi _{はガンマ行列です(量子電磁力学の章参照)。} このとき場の時空座標微分 ∂µΦ の無限小ローレンツ変換は、 δ∂µΦ = ∂µδΦ = 1 2²ijS ij_∂ µΦ + 1 2(∂µ²ij)S ij_Φ となり、∂µ²ij を含む項が付きます。そこでこれを相殺するよう、共変微分を定義 します : DµΦ = ∂µΦ + 1 2ωijµS ij_{Φ, ω} jiµ = −ωijµ. 接続場 ωijµ はスピン接続と呼ばれます。スピン接続がしかるべき変換をすること で、DµΦ は Φ と同じ表現になると考えます : δDµΦ = 1 2²ijS ij_D µΦ. 共変微分がライプニッツ則を持つとすれば、次の公式を示せるでしょう : Dµφ = ∂µφ ( φはスカラー場), Dµψ = ∂µψ + 1 2ωijµγ ij_{ψ ( ψはディラック場),} DµAi = ∂µAi + ωijµAj ( Aiは反変ベクトル場), DµAi = ∂µAi − ωjiµAj ( Aiは共変ベクトル場), Dµηij = Dµηij = Dµδji = 0.

また、計量条件 : Dµgρσ = Dµ(biρbiσ) = 0 を実現させるために、 Dµbiν = 0 を仮定します。これを四脚場仮説といいます。四脚場仮説と、 Dµbiν = ∂µbiν + ωijµbjν − Γλνµbiλ に注意すると、 ωijλ = biµbjνΓµνλ− bjµ∂λbiµ を得るでしょう。これがスピン接続を求める式になります。ちなみにこの式の右 辺は一見 i, j について反対称に見えませんが、計量条件 : ∂λgµν = Γµνλ+ Γνµλ に 注意すると反対称であることが確かめられます。 (余談) 一般相対論は本義ローレンツ群 SO(3, 1) をゲージ群とする非可換ゲージ理論の一種と みなすことができます (内山 1956)。実際、スピン接続 ωijµ は非可換ゲージ理論のゲージ場 Aaµ と (ij) ↔ a において対応し、リー代数 Sij _{は非可換ゲージ理論の igT}a _{に対応していることがわかる} でしょう。一般相対論が普通の非可換ゲージ理論と異なるのは、ゲージ空間が時空と独立でなく、 四脚場による写像が存在するところで、この構造が時空の曲がりを生み出す、と考えることもで きます。

30.7

ディラック場の重力相互作用

四脚場と共変微分の導入により、一般座標変換および局所ローレンツ変換に対 して不変となるディラック場 ψ(x) の作用汎関数を書き下すことができます : Sψ = Z d4x√ µ i 2bi µ_ψγ¯ i_D µψ + c.c. − m ¯ψψ ¶ . c.c. は前の項の複素共役、m は場の粒子の質量、また、Dµ = ∂µ+ (1/2) ωijµγij は 共変微分です。 四脚場とスピン接続の展開が、それぞれ、 biµ = δiµ − 1 2h µ i + (2次以上), ωijµ = 1 2(−∂ihjµ + ∂jhiµ) + (2次以上) となることに注意すると、 Sψ = Z d4x¡i ¯ψγµ∂µψ − m ¯ψψ ¢ + Sgψ, Sgψ = Z d4x h µ i 4ψ∂¯ λ_∂ λψ − i 4∂λψγ¯ λ_{ψ −} m 2 ψψ¯ ¶ + Z d4x hµν µ − i 4ψγ¯ ν∂µψ + i 4∂µψγ¯ νψ ¶ + (4次以上)

を得るでしょう。スピン接続から来る項は、{γµ, γνλ} + {γν, γµλ} = 0 という恒等 式により消えました。重力ポテンシャル fµν で表せば、 Sgψ = Z d4x fµν³− i 4ψγ¯ ν∂µψ + i 4∂µψγ¯ νψ − i 8ηµνψγ¯ λ_∂ λψ + i 8ηµν∂λψγ¯ λ_{ψ +} m 2 ηµνψψ¯ ´ + (4次以上) となり、これがディラック場の重力相互作用項です。

30.8

ディラック粒子の重力散乱

例として、質量がそれぞれ m1, m2 の異なるディラック正粒子の重力による散乱 を考えましょう。ファインマングラフは摂動の最低次で図30.2だけです。 図 30.2: ディラック粒子の重力散乱 よって散乱振幅は、重力子の伝播関数とディラック場の重力相互作用項の式に 注意して、 M = 16πG (ηµρηνσ+ηµσηνρ−ηµνηρσ) i (p1−p3)2 × i µ −1 4p1µu¯3γνu1 − 1 4p3µu¯3γνu1 + m1 4 ηµνu¯3u1 ¶ × i µ −1 4p2ρu¯4γσu2 − 1 4p4ρu¯4γσu2 + m2 4 ηρσu¯4u2 ¶ = −iπG (p1−p3)2 ³ (p1+p3)·(p2+p4) ¯u3γµu1u¯4γµu2 + ¯u3(/p2+/p4)u1u¯4(/p1+/p3)u2 − 4m1m2u¯3u1u¯4u2 ´

となります。ただし ui = usi(pi), /pi = γ µ_p iµ という略記を用いています。また、 (/p − m)us(p) = 0 という平面波振幅の性質を用いました。簡単のため、ここでは 低エネルギー極限と高エネルギー極限において微分断面積を求めてみましょう。 まず低エネルギー極限では、 (p1 + p3)µ = (2m1, 0)µ, (p2 + p4)µ = (2m2, 0)µ, ¯ u3γµu1 = (2m1, 0)µδss13, u¯4γ µ_u 2 = (2m2, 0)µδss24, ¯ u3u1 = 2m1δss13, u¯4u2 = 2m2δ s4 s2 と評価できることに注意して、重心系をとり、入射粒子の運動量をそれぞれp, −p, 散乱角を θ として、 M = i4πGm 2 1m22 |p|2_sin2_(θ/2)δss13δ s4 s2 ∴ dσ dΩ = |M|2 64π2_(m 1+m2)2 = G2_m2 1m22m2∗ 4|p|4_sin4_(θ/2) δss13δ s4 s2 となります。これはもっともらしい結果です。 一方、高エネルギー極限では、微分断面積は方位角に依存しないはずなので、 pµ₁ = |p| (1, 0, 0, 1)µ, pµ2 = |p| (1, 0, 0, −1)µ,

pµ₃ = |p| (1, sin θ, 0, cos θ)µ, pµ4 = |p| (1, − sin θ, 0, − cos θ)µ

と置き、このとき平面波振幅が、それぞれ、 u1 = (p 2|p| (1, 0, 0, 0)T p 2|p| (0, 0, 0, i)T, u2 = (p 2|p| (0, i, 0, 0)T p 2|p| (0, 0, 1, 0)T, u3 = (p 2|p| (c, s, 0, 0)T p 2|p| (0, 0, −is, ic)T_, u4 = (p 2|p| (−is, ic, 0, 0)T p 2|p| (0, 0, c, s)T_, と書けることに注意します。ここで c = cos(θ/2), s = sin(θ/2). また、場合分 けは、上がヘリシティプラスのとき、下がマイナスのときです。位相の不定性は us(−p) = γ0u−s(p) が成り立つように一部定めました。そうすると、 ¯ u3γµu1 =        2|p| (c, s, is, c)µ (s1 = s3 = +1) 2|p| (c, s, −is, c)µ (s1 = s3 = −1) 0 (s1 6= s3), ¯ u4γµu2 =        2|p| (c, −s, is, −c)µ (s2 = s4 = +1) 2|p| (c, −s, −is, −c)µ (s2 = s4 = −1) 0 (s2 6= s4)

また、 (p1+p3)µ = 2|p| (1, sc, 0, c2)µ, (p2+p4)µ = 2|p| (1, −sc, 0, −c2)µ と書けることに注意して、散乱振幅の式は、 M =                i8πG|p|2 1 + 3 cos 2_(θ/2) sin2(θ/2) (s1 = s3 = s2 = s4) i8πG|p|2 3 + cos 2_(θ/2) tan2_(θ/2) (s1 = s3 6= s2 = s4) 0 (s1 6= s3 ∨ s2 6= s4) と計算されます。よって微分断面積は、 dσ dΩ = |M|2 64π2_(2|p|)2 =                G2_|p|2 4 µ 1 + 3 cos2_(θ/2) sin2(θ/2) ¶2 (s1 = s3 = s2 = s4) G2_|p|2 4 µ 3 + cos2_(θ/2) tan2_(θ/2) ¶2 (s1 = s3 6= s2 = s4) 0 (s1 6= s3 ∨ s2 6= s4) となります。

索 引

か 局所ミンコフスキー空間 . . . 8 局所ローレンツ座標 . . . 8 さ 重力子 . . . 5 重力子の伝播関数 . . . 5 重力ポテンシャル . . . 4 スピン接続 . . . 9 た 多脚場 . . . 8 や 四脚場 . . . 8 四脚場仮説 . . . 10