電磁気学第 3 章の問題解答 3-1 ドリル問題 1. ( 答 ) 導体は等電位面となるから, 電位は 10 V 2. ( 答 ) 導体内部の電界は零であるから, 電界 E = 0 V/m 3. 式 (3-4) に代入して, F Q 2 = = pe ( 2 ) 4p

(1)

「電磁気学」第 3 章の問題解答３－１ドリル問題１． (答) 導体は等電位面となるから，電位は 10 V ２． (答) 導体内部の電界は零であるから，電界 E = 0 V/m ３．式(3-4)に代入して，

( )

4 8

(

.854 10

)

2 2.25 10 N 10 1 2 4 3 2 12 2 3 2 0 2 ´ = ´ ´ ´ ´ = = -

-p

pe

a Q F (答) 働く力 F = 2.2´103_{N で，方向は平板へ向かう} ４．孤立した導体球の静電容量の式(3-6)に代入して， F 110 F 10 1 . 1 1 10 854 . 8 4 4 12 10 0 = ´ ´ ´ = ´ = ｐ =

_pe

_a

_p

- -C (答) 110 pF ５．平行板コンデンサの静電容量の式(3-9)に代入して， e - -´ ´ ´ = = = ´ ´ 12 4 11 0 3 8.854 10 100 10 _{8.9 10 F} 1 10 S C d (答) 8.9×10 －11_F ６． - -= =_{8.9 10}´ 11´_{100 8.9 10 C}= ´ 9 Q CV (答) ７．同心球コンデンサの静電容量の式(3-12)に代入して， pe æ ö p - æ ´ ö -= _ç _÷= ´ ´ ´_ç _÷= ´ -è ø è ø 12 10 0 0.1 0.11 4 4 8.854 10 1.2 10 F 0.01 ab C a b

(2)

８． - -= =_{1.2 10}´ 10´_{100 1.2 10 C}= ´ 8 Q CV (答) 1.2´10－8 C = 12 nC ９．同軸円筒コンデンサの静電容量の式(3-15)に代入して， pe p -´ ´ = 2 0 =2 8.854 1012 =_{5.8 10 F}´ 10 log log11 10 C b a (答) 5.8´10 －10_{F = 580 pF} 10． - -= =_{5.8 10}´ 10´_{100 5.8 10 C}= ´ 8 Q CV (答) 5.8´10－8_{C = 58 nC} ３－２ドリル問題１． e =r C C₀=5 (答) 比誘電率 er = 5 ２． (答) 4´10－4_C ３． (答) 25 V ４． (答) E = 0 V/m ５． (答) E ¹ 0 であるから，電界は有限で存在する。６． e -´ ´ = = = ´ ´ 12 8 0 0 3 8.854 10 1 _{1.8 10 F} 0.5 10 S C d e - -= = ´ ´ 8= ´ 8 0 4 1.77 10 7.1 10 F r C C (答) 真空の場合 C = 1.8´10－8_{F，誘電体の場合 C = 7.1´10}－8_F

(3)

７．真空： = = ´ -8´ ´ 3= ´ -5 0 0 1.8 10 1 10 1.8 10 C Q C V 誘電体： = = ´ -8´ ´ 3= ´ -5 0 0 7.1 10 1 10 7.1 10 C Q C V (答) 真空コンデンサではQ = 1.8´10－5_{C，誘電体コンデンサでは}_Q_{= 7.1´10}－5_C ８．真空： 56V 10 8 . 1 10 1 8 6 = ´ ´ = = - -C Q V 誘電体： 14V 10 1 . 7 10 1 8 6 = ´ ´ = = - -C Q V (答) 真空コンデンサではV = 56 V，誘電体コンデンサではV = 14 V ９． (答) D1n = D2n 10． (答) E1t = E2t ３－３ドリル問題１． m = 1+ 2=5 F C C C (答) ２． m ´ = = = + + 1 2 1 2 2 3 _{1.2 F} 2 3 C C C C C (答) ３． m ´ = = = + + 1 2 12 1 2 2 3 _{1.2 F} 2 3 C C C C C m ´ = = + 34 4 6 _{2.4 F} 4 6 C m = ₁₂+ ₃₄ =1.2 2.4 3.6 F+ = C C C (答) ４． m ´ = = = + + 13 24 6 9 _{3.6 F} C C C C C (答)

(4)

５． - -= = ´ 6´ = ´ 3 1 1 2 10 1000 2 10 C Q C V - -= = ´ 6´ = ´ 3 2 2 3 10 1000 3 10 C Q C V (答) Q1 = 2´10-3 C，Q2 = 3´10-3 C ６． = 1 1= 2 2 Q C V C V ，V V1+ 2=1000より + 1 = = 1 1 1 2 5 ₁₀₀₀ 3 C V V V C (答) V1 = 600 V，V2 = 400 V ７． e e - -´ ´ ´ ´ = = = ´ 12 4 0 3 8.854 10 5 100 10 _0.44nF 1 10 rS C d (答) ８．空気中： e - -´ ´ ´ = = ´ 12 4 0 1 3 8.854 10 50 10 1 10 S C d 誘電体： e e - -´ ´ ´ ´ = = ´ 12 4 0 2 3 8.854 10 5 50 10 1 10 rS C d -= + = ´ 10 1 2 2.7 10 F C C C ＝0.27nF (答) ９． pF 110 10 8 . 0 10 100 10 854 . 8 3 4 12 = ´ ´ ´ ´ = - _- -C (答) 10．空気中：C1=0.11pF 誘電体： - -´ ´ ´ ´ = = ´ 12 4 2 3 8.854 10 5 100 10 _2.2pF 0.2 10 C pF 100 31 . 2 11 . 0 2 . 2 2 1 2 1 ₌ ´ ₌ + = C C C C C (答)

(5)

３－４ドリル問題１．

(

)

-=1 2= ´ ´1 _{1 10}6´ ₁₀₀₀2=_0.5J 2 2 U CV (答) ２．

( )

-=1 2= ´ ´1 _{1 10}6´ ₁₀4 2= ´_{5 10 J}3 2 2 U CV (答) ３．

(

)

-= = = ´ ´ 2 2 6 0.01 50J 2 2 1 10 Q U C (答) ４．

( )

-= = = ´ = ´ ´ 2 2 3 6 0.1 5 10 J 5kJ 2 2 1 10 Q U C (答) ５． =1 2 2 U CV より -´ æ ö =_ç _÷ = = = ´ è ø 1 2 ₄ 6 2 2 1000 _{10 V 10kV} 20 10 U V C (答) ６． ´ ´ = = = ´ = ´ 3 4 6 2 2 1000 10 _{4.5 10 V 45kV} 100 10 U V C (答) ７． e - -´ ´ ´ = = = ´ ´ 12 4 11 0 3 8.854 10 100 10 _{8.9 10 F} 1 10 S C d

(

)

- -=1 2 = ´1 _{8.85 10}´ 11´ ₁₀₀₀ 2 =_{4.4 10 J}´ 5 2 2 U CV 3 J/m 4 . 4 = = Sd U u (答) コンデンサの静電エネルギーは4.4´10－5_{J で，静電エネルギー密度は 4.4 J/m}3

(6)

８．式 3-67より， N 10 4 . 4 10 2 1000 10 100 10 854 . 8 2 2 2 2 1 2 6 2 4 12 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 - -´ = ´ ´ ´ ´ ´ = = = = = d SV S V C S Q S E F

e

(答) 導体板全体に働く静電力は4.4´10－2_{N で，方向は導体板が引き合う方向。} ９．式 3-67より， N 10 2 . 2 2 1 2 2 -´ = = d SV F e (答) 導体板全体に働く静電力は 2.2´10－1_{N で，方向は導体板が引き合う方向。} 10．式3-72より，

(

)

₅_.₆ ₁₀ _N 10 100 10 854 . 8 2 10 100 2 2 4 12 2 9 0 2 -´ = ´ ´ ´ ´ ´ = = S Q F e (答) 導体板全体に働く静電力は 5.6´10－2_{N で，方向は導体板が引き合う方向。} 第 3 章演習問題１．電荷は導体の表面にのみ存在できるから，導体球の表面に一様に分布する。面電荷密度σは 2 7 2 3 2 ₄ ₁₀ 7.96 10 C/m 10 1 4 -´ = ´ ´ = =

p

s

a Q 電界は式3-2から， s e -´ = = = ´ ´ 7 4 2 12 7.96 10 _{9.00 10 V m} 8.854 10 E (答) s = 8.0´10－3_C/m2 _{E = 9.0}_´104_V/m ２．平行板コンデンサの静電容量の式(3-9)から，静電容量 C は e - -´ ´ ´ = = = ´ ´ 12 4 10 0 3 8.854 10 500 10 _{8.85 10 F} 0.5 10 S C d 削除: 65 削除: 65 削除: 70

(7)

電界は V/m 10 0 0 . 2 10 5 . 0 1000 6 3 = ´ ´ = = -d V E 電荷は - -= =_{8.85 10}´ 12´_{1000 8.85 10 C}= ´ 7 Q CV (答) 静電容量は C = 8.9´10－10_{F 電界は E = 2.0´10}6_{V/m，電荷は Q = 8.9´10}－7_C ３．平行板コンデンサの静電容量の式(3-9)から，導体板の面積は S =1.13 m2_である。 e = 0S C d より， e - -´ ´ ´ = = = ´ 9 3 2 12 0 100 10 0.1 10 _1.13m 8.854 10 cd S また，電圧と電荷の関係式から， V 10 10 100 10 3 9 4 = ´ = = - -C Q V -= = = ´ 3 7 3 10 _{10 V m} 0.1 10 V E d (答) 電位差は V = 1 kV，電界は E = 107_V/m ４． 2 9 0 = =1´10- C/m S Q

s

V/m 10 13 . 1 10 854 . 8 10 1 2 12 9 0 0 0 = ´ ´ ´ = = -

-e

s

E V/m 2 . 28 4 10 854 . 8 10 1 12 9 0 0 ₌ ´ ´ ´ = = - -r E

e

s

(答) 真電荷密度は s0 = 1´10-9 C/m2，真空の場合の電界はE0 = 1.1´102 V/m，誘電体の場合の電界はE = 28 V/m ５． 2 9 9 0 ₁ 1 10 C/m 10 1´ ₌ _´ = = -S Q

s

s e s s = -0 0 r p より 9 10 2 0 10 7.5 10 C/m 4 3 1 ₌ _´ - ₌ _´ -=

s

e

s

r r p 2 10 10 9 0 1 10 7.5 10 2.5 10 C/m -- _- _´ ₌ _´ ´ = -sp s

(8)

６． e e = ₀ r D Eより， e e = 0 At At rA D E また，E_At =E_Btより 2 9 9 0 0 ₃ 10 1.7 10 C/m 5_´ - ₌ _´ -= = = _At rA rB rA At rB Bt D D D

e

(答) DB = DA´eB/eA = 1.7´10-9 C/m2 ７． = + + = + + = 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 13 2 3 4 12 C C C C = = m 12 _{0.92 F} 13 C - -= =_{0.92 10}´ 6´_{1000 0.92 10 C}= ´ 3 Q CV = _{1 1}= _{2 2}= _{3 3} Q C V C V C V より， = = ´ 3= 1 1 6 ₁₀ _462V 13 Q V C 2= ´ 3= 4 ₁₀ _308V 13 V ₃= 3 =231V 13 V (答) 合成静電容量は C = 0.92 mF，全体の電荷は Q = 0.92´10－3_C，それぞれが分担する電位差はV1 = 462 V，V2 = 308 V，V3 = 231 V ８．挿入した導体の電界は零であるから， e - -´ ´ ´ = = = ´ = ´ 12 4 10 0 3 8.854 10 100 10 _{1.77 10 F 177pF} 0.5 10 S C d - -= =_{1.77 10}´ 10´_{1000 1.77 10 C}= ´ 7 Q CV (答) 静電容量は C = 177 pF，電荷は Q = 177 nC ９． - -= = ´_{1 10}6´_{1000 1 10 C}= ´ 3 Q CV -=1 2= ´ ´1 _{1 10}6´₁₀₀₀2=_0.5J 2 2 U CV (答) 電荷は Q = 1 mC，静電エネルギーは U = 0.5 J 10． e -´ ´ = = = ´ ´ 12 7 0 3 8.854 10 5 _{4.43 10 F} 0.1 10 S C d

(

)

-=1 2 = ´1 _{4.43 10}´ 7´ _{10 10}´ 3 2=_22.1J 2 2 U CV

(9)

-= = = ´ = ´ ´ ´ 3 4 3 3 22.1 _{44.3 10} _{4.43 10 J m} 5 0.1 10 U u Sd

( )

(

₃

)

2 4 2 2 4 12 2 2 0 2 0 4.42 10 N/m 10 1 . 0 2 10 10 854 . 8 2 2 1 ₌ _´ ´ ´ ´ ´ = = = - -d V E f

e

N 10 21 . 2 5 10 42 . 4 _´ 4_´ ₌ _´ 5 = = fs F (答) 静電容量は C = 4.4´10－7_{F，静電エネルギーU = 22 J，} 静電エネルギー密度u = 4.4´104_J/m3_，導体板に働く単位面積あたりの力f = 4.4´104_N/m2_{，方向は導体板を引きあう方向，} 全体の静電力F = 2.2´105_N 第 3 章ワークシート１．＜解答例＞ (1) 電界は零。電界があると電荷が移動することになるが，静電界では電荷が移動できないので，電界は零になっていなければならない。 (2) 等電位面である。導体全体が同じ電位であるから。 (3) 導体の表面のみに存在できる。導体内部の電界は零であるから，ガウスの法則より導体内部の電荷も零である。したがって，電荷が存在できるのは表面のみである。 (4) 電界の方向は導体表面に垂直である。導体の表面は等電位面であるから，電界は電位の変化の最も大きくなる方となる。電界の大きさは E = s/e0 [V/m] ２．＜解答＞ (1) 比誘電率 er = 5 (2) 5´10-4 C (3) 200 V ３．＜解答＞ (1) 図 1 の合成容量（ 8 mF ） (2) 図 2 の合成容量（ 1.9 mF ） (3) 図 3 の合成容量（ 4 mF ） (4) 図 4 の合成容量（ 4 mF ） (5) 図 5 の合成容量（ 1.2 mF ）４．＜解答＞

(10)

５．＜解答＞ (1) C = 35 nF (2) Q = 3.5´10－5_{C (3) V = 28 kV} ６．＜解答＞ (1) 真電荷密度 s0 = 1´10－8 C/m2 (2) 分極電荷密度 sp = s0 (1 – 1/er) = 8.0´10－9 C/m2 (3) 自由電荷密度 s0 - sp = 2.0´10－9 C/m2 (4) 電束密度 D = s0 = 1´10－8 C/m2，電界 E = D/(ere0) = 226 V/m (5) 分極 P = sp = D(1－1/er) = 8.0´10－9 C/m2 ７．＜解答＞ (1) 8.9´10－10_F， (2) 1.3´10－9_F， (3) 1.1 nF ８．＜解答＞ (1) 35 nF (2) 1.8 J (3) 1.8´103_J/m3 (4) 1.8´103_N/m2_{，導体板を引き合う方向} _{(5) 1.8´10}3_N

電磁気学 第 3 章の問題解答 3-1 ドリル問題 1. ( 答 ) 導体は等電位面となるから, 電位は 10 V 2. ( 答 ) 導体内部の電界は零であるから, 電界 E = 0 V/m 3. 式 (3-4) に代入して, F Q 2 = = pe ( 2 ) 4p

( )

(

)

-p

pe

pe

p

(

)

( )

(

)

( )

(

)

e

e

e

e

(

)

p

p

s

s

-e

s

e

e

s

s

s

e

e

s

e

e

e

e

e

e

(

)

( )

(

)

e

e

電磁気学第 3 章の問題解答 3-1 ドリル問題 1. ( 答 ) 導体は等電位面となるから, 電位は 10 V 2. ( 答 ) 導体内部の電界は零であるから, 電界 E = 0 V/m 3. 式 (3-4) に代入して, F Q 2 = = pe ( 2 ) 4p

_pe

_p