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ADMM ⊇ Projective Dynamics: Fast Simulation of Hyperelastic Models with Dynamic Constraintsの実装報告

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Academic year: 2021

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(1)Vol.2018-CG-171 No.10 2018/9/30. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. ADMM ⊇ Projective Dynamics : Fast Simulation of Hyperelastic Models with Dynamic Constraints の実装報告 金田 綾乃 ,a). 概要::本稿は TVCG 2017 にて Matthes らによって発表された ADMM Projective Dynamics: Fast. Simulation of Hyperelastic Models with Dynamic Constraints の実装報告である. 近年弾性体シミュレー ションを高速化する手法が提案されてきたが, 線形弾性体にしか適応できず, 単純な変形しか扱えなかった. そこで, Matthes らは目的関数の最適化に, 拘束かつ頑健な非線形最適化の手法である ADMM を適応する ことで非線形弾性での弾性体シミュレーションを可能にした. さらに, 目的関数を非線形の形のまま最適化 することによって, 硬い拘束条件化で最適化を行うことも可能である.. のへの適応が困難である. そこで Narain[2] らはこの目的. 1. 手法の概要. 関数を ADMM を用いて非線形のまま最適化することで,. 肌や布, ゴムなど多くの物体の運動を記述するモデルで ある弾性体シミュレーションは CG において欠かせない.. 高速性を保ったまま非線形物質に適応可能な手法を提案し た. ADMM は以下のような最適化問題を扱う. 有限要素法を基盤とする弾性体シミュレーションでは, 目 的関数の最小化問題を解くことで時系列変形を扱う. し. min f (x) + g(z). (2). かし, ここで定義される弾性エネルギーが非線形であり,. s.t.Ax + Bz = c. (3). x,z. 大きな計算コストを要するため, この最小化に関して高速 化の研究がなされてきた. Bouaziz[1] らはこの非線形な弾. このときこのとき, 第一項を f (x) , 第二項の拘束条件を. 性エネルギーを距離関数として定義し直し,Local/Global. g(z) として非線形のまま最適化することで既存研究では線. optimaization を適応することで高速かつ頑健な弾性体シ. 形弾性体のみが可能だったが, 非線形の弾性体に対しても. ミュレーションを提案した.. 可能となった. さらに, 第二項で扱える関数の形が増えたこ とによって, 既存研究では不可能とされていた硬い拘束条. 1 min ||x − x ˜||2M + U (Dx) x 2△t2. (1). 件下でのシミュレーションも可能となった. ADMM 最適 化は関数が凸関数のときの収束性は保障されているが, ら. ここで x ˜ は慣性力, 外力のみを考慮した次ステップの位置、. の手法では第二項の拘束条件が非凸関数である. そこで効. 第二項は局所座標系における拘束条件下でのエネルギーで. 果的に重み係数を設定することが求められる.. あり, 例えばバネモデルにおいては局所バネ各々が持つ弾 性エネルギーが定義される. このように目的関数を変形す. 参考文献. ることで, 局所領域での最適化と, 系全体に対して交互に最. [1]. 適化することで目的関数の最小化を行う手法である. この 手法では最終的に, 目的関数を二次形式に近似し, 逆行列が 事前計算可能な一次の連立方程式として解くため, 高速な 計算が可能だった. しかし, 第二項が二次形式である必要 があるため, 非線形弾性体など構成式が非線形な性質なも †1 a). 現在,早稲田大学 Presently with Waseda Uniersity [email protected]. c 2018 Information Processing Society of Japan ⃝. [2]. S. Bouaziz S. Martin T. Liu L. Kavan M. Pauly: Projective dynamics: fusing constraint projections for fast simulation, ACM Trans. Graph. vol. 33 no. 4 pp. 154:1154:11 Jul. 2014. R. Narain M. Overby G. E. Brown: ADMM ⊇ Projective Dynamics: Fast Simulation of Hyperelastic Models with Dynamic Constraints, IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics ( Volume: 23, Issue: 10, Oct. 1 2017. 本文は実際には論文誌ジャーナル編集委員会で作成したものであ る.. 1.

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