素粒子物理学における多倍長計算

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Kyushu University Institutional Repository

素粒子物理学における多倍長計算

湯浅, 富久子

高エネルギー加速器研究機構

石川, 正

高エネルギー加速器研究機構

濱口, 信行

株式会社日立製作所ソフトウェア事業部

https://doi.org/10.15017/1470175

出版情報：九州大学情報基盤研究開発センター全国共同利用システム広報. 2 (3), pp.97-101, 2009-03.

九州大学情報統括本部広報委員会 バージョン：

権利関係：

素粒子物理学に お け る 多倍長計算

湯浅 富久 子

, 石川正

高エネル ギー 加速器 研究 機 構（ KEK ） 濱口 信行

（ 株） 日立製作所 ソフ トウ ェア 事業部

1 _{は じ め に}

本稿は 、 2008年8月8日に 九州大学情報 基 盤研究 開発セン ター で 開催さ れ た 「 先駆 的 科学計算に 関 す る フ ォー ラ ム 2008」 で 発表 した 内容を 記 事に ま と め た も の で あ る 。 本題 に 入る 前に 、 最近出会っ た 多倍長計算に ま つ わ る こ と を 少し紹介した い 。

先日、 筆者は 高エネル ギー 物理学の コン ピ ュ ー ティ ン グ分野で 長年開催さ れ て い る 国際ワ ー クショ ップ （ ACAT2008） に 参加し た 。 開催場所は イ タリ ア の シシリ ー 島、 エ リ ー チェと い う 街で あ る 。 エリ ー チェは 、 シ シリ ー 島の 最大都市で あ る パ レ ル モ か ら 車 で お よ そ 2時間 程の 古い 街で あ る 。 街は 750 メ ー トル の 山頂に あ り 城壁で か こ ま れ て い る 。 そ こ に 、 世界中か ら 約140名の 高エネル ギー 物理学の 研究 者が 集ま っ た 。 こ の 国際ワ ー ク ショ ップ で は 、 こ れ ま で も 多倍長計算に つ い て の 講演 が ぽ つ ぽ つ と あ っ た が 、 今回は 初日に 米国の LBNL（ Lowrence Berkley National Laboratory） の 計算機 科学者の D.H.Bailey 氏が 講演 し、 多倍長計算の 具 体的な事例を 数 多く 紹介した 。 事例は 、 幅広い 科学技術計算 の 分野に わ た る も の で あ っ た 。 ワ ー クショ ッ プ の 中日に は イ ギリ スの エジン バ ラ 大学の 理論物理学者T.Binoth氏が 講演 し、 素粒子 物理学に お け る 現象論計算に お い て 多倍長計 算が 取り 入れ ら れ て い る こ と が 複数紹介さ れ

∗email: [email protected]

た 。 筆者は こ の 国際ワ ー クショ ップ に 1996年

（ 第4回目） か ら 参加し今回で 8回目の 参加 と なる が 、 多倍長計算が 複数の 講演 で 話題と なっ た こ と は 初め て で あ る 。 講演 の スラ イ ド は http://acat2008.cern.chか ら 取得で き る 。

2 素粒子反応自動計算システ ム

物理学に お い て は 、 理論予測と 実験結果の 比較 に よ り 理論と 実験の 有効性を 相互に 確 認し進展して き て い る 。 近年の 実験技術の 進 歩に よ り 測定精度が 向上して お り 、 こ れ に 追 随す る よ う に 理論計算も 計算精度を 向上さ せ て い く こ と が 要求 さ れ て い る 。 こ の 精度向上 の 要求 が 多倍長計算を 利用す る 動機 の 一 つ に なっ て い る 。 筆者ら の グル ー プ ¹ は 、 素粒子 衝突反応の 散乱断面積を 理論的か つ 数値的に 求 め る こ と を 行っ て い る 。 素粒子物理学の 分 野で は 、 散乱断面積の 導出に フ ァ イ ン マ ン 図 を 使う こ と が 標準的な方法と なっ て い る 。 こ の 方法は 、 従来は 人手で 行わ れ て い た が 、 衝 突す る 素粒子の エネル ギー が 増加し、 反応で 生成さ れ る 素粒子が 複雑化す る た め 、 一 連の 過程を 人手で や り 遂げ る 事は 困難に なっ て い る 。 代わ り に 近似を 用い た 計算を 行う こ と も 多く さ れ て い る が 、 近年の 情報科学の 発展を 考え れ ば 、 過程の 全て を 自動的に 計算機 で 行

1http://minami-home.kek.jp/

なう と い う 発想は 極め て 自然で あ る 。 こ の 発 想の も と に 世界で 複数の 自動計算システム が 開発さ れ 、 実験デー タ解析の 現場で 日常的に 使用さ れ て い る 。 と り わ け 高エネル ギー 加速 器 研究 機 構（ KEK） で 開発さ れ た 自動計算 システム GRACE[1, 2, 3]（ 筆者も GRACE開発 グル ー プ の 一 員 で あ る ） は 、 欧州素粒子原子 核 研究 所（ CERN） で の LEP加速器 ² の 実 験デー タ解析で 重要な役割 を 果た した 。

自動計算システム は 次の 主要な四つ の ス テップ か ら なる ：

1. 反応の 始・ 終状態と 摂動の 次数を 指定し、

フ ァ イ ン マ ン 図の 集合を 生成す る 。

2. 個々 の フ ァ イ ン マ ン 図に 対応す る 散乱振 幅を 求 め る 。

3. 散乱振幅の 和の 絶対値の ２ 乗を 位 相空 間 内で 多次元数値積分し散乱断面積を 得る 。

4. 物理実験シミ ュ レ ー ショ ン の た め の 物理 イ ベ ン トを 疑 似的に 発生し、 実際の 実験 デー タと 比較 す る 。

数値計算に お い て は 、 当然なが ら 数値の 信 頼性が 最も 重要と なる 。 GRACEで は 、「 あ る 物理パ ラ メ ー タを 変え た 時に 個々 の フ ァ イ ン マ ン 図に 対応す る 数値は 変わ る が 、 散乱振 幅全体と して 不変で あ る 」 と い う 物理の 性質

（ ゲー ジ不変性と い う ） を 取り 入れ 、 自ら 数値 を 検証す る 機 能を 有して い る 。 自動計算シス テム は 散乱断面積計算の た め の ソー スコー ド を 自動的に 生成す る が 、 そ の 自動的に 生成さ れ た コー ド等に 誤り が ない か ど う か は 、 こ の パ ラ メ ー タを 変え て 数値的に 検証して い る 。 選択した パ ラ メ ー タに よ っ て は 、 物理的な理 由か ら 大き な量の 引 き 算が 発生す る こ と も あ り 、 こ の 時に は ４倍精度演 算が 欠か せ ない 。

2 Large Electron-Position Collider

3 _{散乱断面積の 計算}

90年代は 素粒子実験で の 衝突エネル ギー が ま だ そ れ ほ ど 高く なく 、 当時の 自動計算シ ステム は 摂動展開の 最低次か ら の 寄 与の みを 取り 入れ て い た 。 こ れ は 、 フ ァ イ ン マ ン 図で い う と トリ ー 図³ を 取り 扱 う こ と に なる 。 素 粒子物理学の 標準模型で は 、 あ る 反応に 関 与 す る トリ ー 図の 数は 、 反応の 終状態の 素粒子 の 数に も よ る が 、 数十か ら 数百、 多く て 数千 ぐ ら い で あ っ た 。 自動計算の 第2ステップ で は 、 こ れ ら の す べ て の フ ァ イ ン マ ン 図か ら 散 乱振幅を 求 め 、 続い て 第3ステップ で モ ン テ カル ロ 積分を 実施して い た 。 本節で は 、 散乱 断面積の 導出に お い て 、 筆者ら が こ れ ま で に 経験した 多倍長計算が 必要と さ れ た 事例を 紹 介す る 。

最初に 、 トリ ー 図の みを 取り 扱 っ て い て も 多倍長計算を 必要と す る 散乱断面積の 計算 の 事例（ e⁺e⁻→e⁺e⁻ff¯反応、 図1） に つ い て 述べ る 。 こ の 反応で は 、 散乱断面積の 計 算で 大き な引 き 算が 発生し、 終状態に 現れ る フ ェル ミ 粒子（ fお よ び f¯） の 質量が 衝突エ ネル ギー に 比べ て 小さ い 時に は 、 倍精度演 算 で は 正しい 計算結果を 得ら れ ない （ 表1） 。 こ の た め 、 4倍精度計算を 用い た が 、 演 算速 度は 倍精度計算と 比較 して 20倍程度遅か っ た 。 今振り 返っ て みる と 、 筆者ら は こ の 頃か ら 高速な多倍長計算ラ イ ブ ラ リ の 出現を ま っ て い た と い え る 。

2008年9月に CERNの LHC加速器 ⁴ が 稼働を 開始した （ 残念なが ら 故障の た め 本 格 的な実験開始は 来年の 秋に 延 期 さ れ た ） 。 LHC加速器 に 続く も の と して 国際リ ニア コ ラ イ ダー （ ILC） 計画も 検討さ れ て い る 。 こ れ ら の 次世代型の 加速器 で は 、 こ れ ま で よ り も 高い エネル ギー で 素粒子が 衝突す る た め 、 さ ら に 良い 精度で の 理論計算が 要求 さ れ る 。 す なわ ち 、 高次項か ら の 寄 与（ 高次補正） を

3ル ー プ を 含 ま ない フ ァ イ ン マ ン 図の こ と

4Large Hadron Collider

e^-

e⁺

e^-

e⁺ f

f γ

t γ

produced by GRACEFIG

図1: e⁺e⁻→e⁺e⁻ff¯反応の フ ァ イ ン マ ン 図、 e⁻は 電子、 e⁺は 陽電子、 f お よ び f¯は フ ェル ミ 粒子

表 1: e⁺e⁻ →e⁺e⁻ff¯反応の 散乱断面積、

√s= 1000GeV

mf 倍精度計算に よ る (GeV) 散乱断面積(pb) 0.10566 (6.6538 ±0.5541)×10⁵

1.0 (2.9527 ±0.0350)×10³ 5.0 (8.7012 ±0.0185)×10¹ 10.0 (1.7372 ±0.0034)×10¹

mf 4倍精度計算に よ る (GeV) 散乱断面積(pb) 0.10566 (4.2900 ±0.0236)×10⁵

1.0 (3.4108 ±0.0094)×10³ 5.0 (9.0786 ±0.0042)×10¹ 10.0 (1.7657 ±0.0042)×10¹

含 め る よ う に 自動計算システム の 機 能強化を して い か なけ れ ば なら ない 。 こ れ は 、 フ ァ イ ン マ ン 図で い う と ル ー プ 図⁵ ま で 取り 込ん で 散乱断面積の 計算を 行なう こ と に なる 。 ル ー プ 図の 取り 扱 い は 、 トリ ー 図の 場合と 比較 す る と 数値計算が 一 段と 複雑に なる 。 ル ー プ 図 の 場合は 、 散乱断面積の 計算（ 自動計算の 第 3ステップ ） に 進む 前の 散乱振幅の 評価（ 自 動計算の 第2ステップ ） で 、 式( 1)で 与え ら れ る 多次元複素積分（ ル ー プ 積分と い う ） が 現れ る 。

In() = (−1)⁻ⁿΓ(n−2L) (4π)^2L

× Z 1

0

Yn

i=1

dxi

δ(1−x1· · · −xn)

(D(x)−i)^n−2L (1)

こ こ で 、 Lは ル ー プ の 多重度、 nは ル ー プ 内の 素粒子の 数で あ る 。 式( 1) は 、 分母の D(x)の 振る 舞い に よ っ て は 数値的な不安 定 性を 生み出し評価が 困難に なる 。

ル ー プ 積分の 取り 扱 い に は 、 様々 な優れ た 方法が 提案 さ れ て い る が 、 多重ル ー プ ま で 含 ん で 統一 的に 取り 扱 う こ と は で き て い ない 。 現状で は 、 世界の 自動計算システム に お い て ル ー プ 積分へ の 対応は ま だ 十分と は い え な い 。 筆者ら は 、 ル ー プ 積分を 可能な限り 数値 的に 取り 扱 う 直接計算法[4, 5, 6]を 提案 して い る 。

3.1 直接計算法

直接計算法で は 次の 三つ の 手順を 経る 。 1. 被積分関 数の 分母の 解析性を 指定す る 微

少量を 有限化し発散を 回避す る 。 2. を 減少さ せ 、 対応す る 積分値の そ れ ぞ

れ を 数値積分法で 求 め 、 積分値の 数列を

5ル ー プ を 含 む フ ァ イ ン マ ン 図の こ と

得る 。

3. 数列の 加速法を 用い →0の 極限の 値 を 得れ ば 、 そ れ が 目的と す る 積分値In

と なる 。

直接計算法の 利点は ル ー プ 積分を 完 全に 数 値的に 取り 扱 え る こ と で あ る 。 一 方で 手順2 の 多次元数値積分を 良い 計算品質で 現実的な 時間 内に 遂行しなけ れ ば なら ず 、 高い 数値計 算技術が 必要に なる 。 筆者ら は 、 こ れ に 対し て 多倍長計算と 並列計算と い う 二つ の 方法で 取り 組も う と して い る 。

3.2 ル ー プ 図の 計算事例

事例と して 、 図 2に 示した vertex型一 重 ル ー プ の ル ー プ 積分の 計算を 紹介す る 。 図2 か ら も 明ら か だ が 、 こ の 事例は ル ー プ 図と し て は 簡 単なも の で 、 解析式が 得ら れ る 。

m

m λ

produced by GRACEFIG

図2: vertex型一 重ル ー プ の フ ァ イ ン マ ン 図

ル ー プ 積分は 、 式（ 1） で L= 1, n= 3で あ り 、 D(x) =D(x, y)の 具 体的な表式は 次 の よ う に 与え ら れ る ：

D(x, y) =−sxy+(x+y)²m²+(1−x−y)λ².(2)

こ こ で 、 sは 衝突エネル ギー 、 mは 生成さ れ る 素粒子の 質量で あ る 。 図2は 赤外発散を

表2: 赤外発散を も つ ル ー プ 積分の 必要精度

λ ロ ストビ ット ロ ストビ ット

(GeV) 【 平均】 【 最大】

10⁻²⁰ 88 92

10⁻²¹ 98 102

10⁻²² 108 112

表3: 赤外発散を も つ ル ー プ 積分の 計算結果 と 計算精度

λ ル ー プ 積分の 計算結果 精度

10⁻³⁰ -0.150899286980769753D-01 ±0.771D-26 8 10⁻⁶⁰ -0.303593952562854951D-01 ±0.178D-16 16 10⁻⁸⁰ -0.405390396284235075D-01 ±0.580D-15 16 10⁻¹²⁰ -0.608983283726997427D-01 ±0.556D-15 32 10⁻¹⁵⁰ -0.761677949309069452D-01 ±0.931D-15 32 10⁻¹⁶⁰ -0.812576170752810666D-01 ±0.549D-10 32

も つ が 、 光子の 仮想的な微小質量λを 導入し こ の 発散を 回避す る 。 物理的に は λ= 10⁻³⁰ 程度で ル ー プ 積分を 遂行で き れ ば 有効で あ る が 、 実際に は 、 表2に 示す よ う に 4倍精 度計算で は 信頼で き る 結果を 得る こ と は で き ない 。

そ こ で 多倍長計算ラ イ ブ ラ リ HMLib[8, 9]

を 用い て 、 表3に 示す 結果を 得た 。 こ の 計算 で は 、 数値積分法と して QUADPACK[10]積分 ル ー チン と 二重指数関 数型積分法[11, 12]、 加速法と して 算法[13]を 用い て い る 。

こ の 事例で は 赤外発散に よ る 困難性が 現れ る も の の 、 ル ー プ 数が 一 重で あ り ル ー プ 積分 と して は 容易 なも の で あ る 。 ま た 、 一 重ル ー プ 積分に 対して は 、 オラ ン ダで 開発さ れ た 解 析式を ベ ー スと す る ソフ トウ ェア パ ッケー ジ も 利用で き る た め 、 結果を 比較 す る こ と も で き る 。 筆者ら は こ れ ら の 事例で 得た 経験を も と に 、 解析式を 求 め る こ と が 困難なル ー プ 内 の 素粒子数が よ り 多い 反応や 二重ル ー プ 積分 が 現れ る 反応に つ い て 直接計算法で 取り 組む 計画を た て て お り 、 今後ま す ま す 多倍長計算 が 必要に なる だ ろ う 。

4 電子の 異 常磁気 能率の 精密 理論計算

こ の 理論計算は 理研の 仁尾真紀 子氏ら が 進 め て い る も の で 、 今回の フ ォー ラ ム で 事例と して 紹介した 。 こ れ ら の 計算は 、 量子電気 力 学⁶ の 厳密な検証を 目的と して い る 。 最近の 彼女ら の 計算[14]で は 、 891個の フ ァ イ ン マ ン 図を 取り 扱 っ て い る 。 散乱断面積の 導出の た め の 積分の 次元は 7か ら 10次元で あ る 。 積 分で は 桁落ち が 発生す る 危 険が あ り 、4倍精度 計算や 必要に 応じ て 8倍精度計算を 行なっ て い る 。 こ れ ら の 多倍長計算で は 、 D.H.Bailey 氏ら の グル ー プ が 開発す る QDパ ッケー ジ[15]

を 用い て い る 。 得ら れ た 理論予測を 米国ハ ー バ ー ド大学の G.Gabrielse氏ら の 実験結果と 比較 し、 QEDに お け る 微細構造定数αを さ ら に 精度良く 決定す る こ と に 成功した 。 今後 は 、 総数12,672個の フ ァ イ ン マ ン 図の 計算

（ 約1億行の ソー スコー ド） に 取り 組ん で い く と 聞い て い る 。

5 _{お わ り に}

今ま で 述べ て き た よ う に 、 素粒子物理学に お け る 多倍長計算は 今後ま す ま す 欠か せ な い も の に なっ て く る と 予想さ れ る 。 しか し、

情報科学の 分野で の 多倍長ラ イ ブ ラ リ 開発 が 進ん で い る の に 比して 、 ア プ リ ケー ショ ン 側の 多倍長計算へ の 試みは ま だ 少なく 、 こ れ か ら ノ ウ ハ ウ を 積み重ね て い か なけ れ ば なら ない 。

本稿を ま と め る に あ た っ て 、KEK・ 南建屋 グル ー プ の 諸氏に お 世話に なり ま した こ と を 感 謝しま す 。 理研の 仁尾真紀 子氏に は 資料を 提供して い た だ き ま した こ と を 感 謝しま す 。 最後に なり ま す が 、 フ ォー ラ ム へ の 参加を 呼 び か け て く だ さ っ た 九州大学情報基 盤研究 開 発セン ター の 渡部善隆氏に 感 謝しま す 。

6 Quantum Electrodynamics、QEDと 略す

参考文献

[1] 栗原良将 他： “素粒子反応計算の 自動化 - GRACEシステム の 現状-”, 日本物理学会 誌Vol. 62, No. 5, 2007.

[2] F.Yuasa et al.: “Status of GRACE Sys- tem”, Prog.Theor.Phys.Suppl. 138: 18- 23, 2000.

[3] 湯浅富久 子： “高エネル ギー 加速器 研究 機 構   自動計算システム 開発グル ー プ ”,応用数 理  10巻   4号  pp. 84 - 87 (2000).

[4] E. de Doncker et al.: “Computation of Loop Integrals using Extrapolation”, Comput. Phys. Commun. 159 (2004), 145-156.

[5] E. de Doncker et al.: “Loop Integration Results using Numerical Extrapolation for a Non-Scalar Integral”, Nucl. Instrum.

Meth.A534(2004) 269-273.

[6] F.Yuasa et al.: “Precise Numerical Eval- uation of the Scalar One-Loop Integrals with the Infrared Divergences”, hep-ph arXiv:0709.0777v2.

[7] 湯浅富久 子,濱口信行： “二重指数関 数型積 分法の 素粒子物理学へ の 応用”,情報処理学 会研究 報告2008-ARC-177 (6)/2008-HPC- 114 (6).

[8] 濱口信行：“多倍長ラ イ ブ ラ リ に よ る 精度評価 と 改善に 関 す る 考察”,情報処理学会研究 報告 2007-ARC-172 (22)/2007-HPC-109 (22).

[9] 濱口信行： “配列整数演 算の 精度、 性能評 価”,情報処理学会研究 報告2007-ARC-172 (23)/2007-HPC-109 (23).

[10] R.Piessens et al.: “QUADPACK, A sub- routine package for automatic integra- tion”, Springer Verlag, 1983.

[11] 森正武： 共立数学講座12数値解析 第2版, 共立出版.

[12] M.Mori: “Discovery of the Double Expo- nential Transformation and Its Develop- ments”, Kokyuroku, RIMS,Vol.41No.4, 2005.

[13] P.Wynn: “On the convergence and sta- bility of the epsilon algorithm”, SIAM J.

Numer. Anal.3(1966) 91-122.

[14] T.Aoyama, M.Hayakawa, T.Kinoshita and M.Nio: “Revised value of the eighth- order electron g-2”, Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 110406.

[15] Y.Hida, X.S.Li and D.H.Bailey: http://

crd.lbl.gov/˜dhbailey/mpdist/