F o r c i n g 入門

(1)

F o r c i n g _{入門}

2015

年

10

月

17

日

(05:33)

版渕野昌

⁽

^{神戸大学，}

[email protected])

本稿は，

2007

年

9

月

4

日〜

9

月

6

日静岡大学にて開催された

2007

年数学基礎論サマースクールでの講義の講義録の拡張版である．

著者は

2010

年度後期に神戸大学で集合論の（自主）講義を行なっているが，

本稿はこの講義の講義録の作成に向けての中間バージョンのようなものになっている．

このテキストの最新版（

201?

年中に最終的な講義録を（

L

^A

TEX

^{ファイルを新} しく書きおこして）作成するまでの期間，何度も補足拡張する可能性がある）は，

//http://fuchino.ddo.jp/shizuoka/forcing2010.pdf

としてダウンロードできる^*1．

*1本文中の図式や絵などは主にWinTpic Ver.3.08により作成した．

(2)

At the same time, always, overhead, there is the eternal, negative radiance of snows. Beneath is life, the hot jet of the blood playing elaborately.

But above is the radiance of changeless not-being.

And life passes away into this changeless radi- ance. · · ·

D.H.Lawrence:

Twilight in Italy (1930)

M

On

^M

= On

^M^[G]

P G

M [G]

(3)

前提知識の復習

. . . . 4

Posets

と

generic

フィルター

. . . . 6

generic

拡大を用いた相対的無矛盾性証明のアウトライン

. . . . 12

強制関係

. . . . 14

M [G]

は

ZFC

のモデルである

. . . . 22

M [G]

での基数

. . . . 24

Posets

の典型的な例のうちのいくつか

. . . . 28

連続体仮説

. . . . 30

ω

₁

-

スケールの存在

. . . . 31

参考文献

. . . . 34

ここのテキストは，2015年10月17日(05:33)の時点での不完全なバージョンである．特に，「強制関係」以降の節ではアウトラインしか書かれていない部分が多い．更に拡張されたヴァージョンは，講義を行う時点には用意されていて，前ページに記したwebページからダウンロードできる予˙定である．˙

(4)

前提知識の復習 ^*2

集合論の公理系

ZFC. ZFC

は要素記号

∈

を唯一の非論理記号とする１階の論理（

L

∈）の（無限個の）論理式（公理）の集まり（公理系）として導入される．

ZFC

の公理系は，外延性の公理，空集合の公理，対の公理，和集合の公理，

冪集合の公理，無限公理，分離公理，置換公理，基礎の公理，選択公理からなる．

—

このうち，分離公理と置換公理が無限個の論理式の集まりとして表現されている．

以下，

ZFC

の十分に大きな有限部分というときには，分離公理と置換公理の論理式うちの（十分に沢山の）有限個と残りの有限個の公理全部を集めたものとする．

“

十分に大きな

”

は，後で必要となる公理はすべて含まれているというほどの意味である．

集合

X

が推移的

(transitive)

とは，任意の

x ∈ X

と

y ∈ x

に対し，

y ∈ X

が成り立つことである．

定理

1 T

を

ZFC

の十分に大きな有限部分とするとき，可算で推移的な集合

M

で

M | = T

となるものが存在する^*3．

*2必要な前提知識は，例えば，渕野 [4]に細説した内容でカヴァーできるはずである．自分で書いたものを引用するのも気がひけるが，[4]は，まさにこの講義のような，ほんの少しアドバンストな講義のベースとして使える，ということも視野に入れて書いたものなので，以下の脚注の補足では，この本との対応がつくようにしている．

*3集合X を構造としてとらえるときには，ここでは，何も言わないときには，構造hX,∈i=hX,∈ ∩X²iを考えている．構造 Aとその言語上の論理式 ϕに対し，A|=ϕは「Aでϕが成り立つ．」をあらわす．“A|=ϕ”は論理式 ϕの複雑さに関する帰納法によって導入できる．A|=ϕ0, . . . , ϕn−1 のとき，Aは，ϕ0, . . . , ϕn−1 のモデルである，という．（一般には有限個とは限らない個数の）閉論理式からなる公理系 T に対する“A|=T” “AはT のモデルである” 等も同様に定義する．

定理 1での“ZFCの十分に大きな有限部分” は，meta-mathematicsでの，この公理系の本当の有限部分のことである．つまり，この定理は，“ZFCの十分に大きな有限部分”の各々に対してformulateされた定理を束ねたmetha theoremである．

“ZFCの十分に大きな有限部分” を ZFCの中で言っているものだとすると，このことからZFC の無矛盾性がZFC の中で証明されてしまうことになり，不完全性定理に抵触する．一方，この定理で“ZFCの有限部分”を “ZFCから冪集合公理を除いたもの” で置き換えたものは正しい（たとえば，H(ℵ2)から出発して定理1の証明の後半のように議論すればよい）．

(5)

証明

. T = { ϕ

₀

, . . . , ϕ

_n₋₁

}

^{とする．論理式}

ϕ

_T

≡ ϕ

₀

∧ · · · ∧ ϕ

_n₋₁ は

T

と同値になることに注意する．

反映の原理^*4により，

α ∈ On

で

(V

_α

| = ϕ

_T

) ↔ ϕ

_T の成り立つようなものが存在する．

ZFC ` ϕ

_T だから，

V

_α

| = ϕ

_T である．

L¨ owenheim-Skolem

の定理^*5 を使うと，

V

_α の可算な初等部分構造

M

₀ がと

れる．特に

M

₀

| = ϕ

_T である．

上の約束から

T

は外延性の公理を含む．したがって，

M

₀

= (M

₀

, ∈ )

は外延的で，基礎の公理から

∈ ∩ (M

₀

)

² は整順的だから，

Mostowski

の崩壊補

題

(Collapsing Lemma)

^*6により，

M

₀ と同型で推移的な

M

がとれる．特に

M | = ϕ

_T だから，

M

は

T

のモデルである．

(

定理

1) L

∈ 論理式が

∆

₀

-

論理式である，ということを以下のように再帰的に定義する

:

( _ℵ 1) ‘x ∈ y’, ‘x = y ’

は

∆

₀

-

論理式である

;

( _ℵ 2) ϕ, ψ

が

∆

₀

-

論理式なら，

¬ ϕ, ϕ ∧ ψ,

も

∆

₀

-

論理式である

; ( _ℵ 3) ϕ

が

∆

₀

-

論理式なら，

( ∃ x ∈ y)ϕ

も

∆

₀

-

論理式である^*7．

ある

L

∈

-

論理式

ϕ

が

∆

^ZF₀

-

論理式であるとは，ある

∆

₀

-

論理式

ψ

が存在し

*4反映の原理（[4] の定理 3.7）ϕをL∈-論理式として，ϕ0,. . . , ϕn−1 をϕの部分論理式の全体（ϕ自身も含む）とする．このとき，順序数のクラス Cϕ をCϕ={α∈On : すべてのi < nに対しϕi はVα上で絶対的となる}と定義すると，Cϕは閉非有界な部分クラスを含む．

*5L¨owenheim-Skolemの定理（のある程度一般化されたヴァージョン）A=hA,· · · iを可算な言語Lを持つ構造とする．任意の無限集合 X⊆Aに対し，X と濃度の等しいAの初等部分構造B が存在する．

B=hB,· · · iがAの初等部分構造である (記法: B≺A)とは，B はAの部分構造で，任意の L-論理式ϕ(x0, x1, . . .)と B の要素b₀,b₁, . . . に対し，B|=ϕ(b₀, b₁, . . .)⇔A|=ϕ(b₀, b₁, . . .)が成り立つことである．

*6Mostowski の崩壊補題([4]の定理 2.29)E を集合X 上の外延的で整順的な関係とする．このとき，推移的な集合 M と写像π:X →M で，π:hX, Ei→ h^∼⁼ M,∈iとなるものが一意に存在する．

ここで，X 上の二項関係E が整順的とは，X の任意の部分集合にE に関して極小元となるような要素が存在すること．X 上の二項関係E が外延的とは，{u∈X : uEx}={u∈X : uEy} →x=y がすべてのx,y ∈X に対し成り立つことである．ここでの主張は，Mostowskiの崩壊補題を(M0,∈)に適用することで得られる．M0 |=“外延性公理” により，∈は M0 上外延的であることに注意する．

*7(∃x∈y)ϕは∃x(x∈y∧ϕ)の略記である．

(6)

て，

ZF ` ϕ ↔ ψ

が成り立つこと，とする．

ϕ

が

∆

^ZF₀

-

論理式で，上のような

∆

₀

-

論理式

ψ

に対し，

ZF

の有限部分

ZF

⁰ に対し，

ZF

⁰

` ϕ ↔ ψ

が成り立つとき，

ZF

⁰ を

ϕ

が

∆

^ZF₀ であることの

witness

とよぶことにする．

ある

L

∈

-

論理式

ϕ

が

∆

^ZF₁

-

論理式であるとは，ある

∆

^ZF₀

-

論理式

ψ

と

η

が存在して，

ZF ` ϕ ↔ ∃ x

₀

· · · ∃ x

_m₋₁

ψ

と

ZF ` ϕ ↔ ∀ x

₀

· · · ∀ x

_n₋₁

η

が成り立つこととする．

ϕ

が

∆

^ZF₁

-

論理式であることの

witness

も上と同様に定義する．ただし，

ϕ

が

∆

^ZF₁

-

witness

は上のような

ψ

と

η

が

∆

^ZF₀

-

witness

を部分集合として含んでいるものとする．

M

を集合として，

L

∈

-

論理式

ϕ = ϕ(x

₀

, ..., x

_n₋₁

)

が

M

上

absolute

であるとは，すべての

a

₀

,..., a

_n₋₁

∈ M

に対し，

M | = ϕ(a

₀

, ..., a

_n₋₁

) ↔ ϕ(a

₀

, ..., a

_n₋₁

)

が成り立つこととする．

補題

ℵ 1 M

を推移的な集合とするとき，

(a) ϕ

が

∆

₀

-

論理式なら，

ϕ

は

M

上

absolute

である．

(b) ϕ

が

∆

^ZF₀

-

論理式で，

ϕ

が

∆

^ZF₀

-

witness

を

M

が満たすなら，

ϕ

は

M

上

absolute

である．

(c) ϕ

が

∆

^ZF₁

-

論理式で，

ϕ

が

∆

^ZF₁

-

witness

を

M

が満たすなら，

ϕ

は

M

上

absolute

である．

以下では，「

M

は十分に大きな

ZFC

の有限な部分体系のモデルである」というステートメントを，

M |≈ ZFC

であらわすことにする．

Posets _と generic _{フィルター} ^*8

*8強制法の細部は，主に Kunen [9]に従っている．P-名称にドットをつける記法は（多分） Baumgartner [1]で導入されたものである．

(7)

最大元を持つ擬順序集合^*9を

poset

とよぶ．

P = ( P , ≤

P

)

が

poset

のとき，

P

^{の最大元を}

1l

_P であらわす．

poset P

^{に対し，クラス}

V

^P を次のような再帰により定義する．

(1) x ∈ V

^P

⇔

^すべての

y ∈ x

に対し，

z ∈ V

^P と

p ∈ P

^で，

y = h z, p i

となるものがとれる^*10．

M

を

ZFC

の（十分に大きな有限部分の）推移的なモデルとする．

P ∈ M

で

M | = “ P

^は

poset

である

”

とする^*11．特に，ここでの「

ZFC

の十分に大

きな有限部分」は上のような

V

^P の再帰的定義に必要な

ZFC

の公理をすべて含んでいるとする．このとき，

(V

^P

)

^M を^*13，

M

^P とあらわす．

x ∈ V

^P が

∆

^ZF₁

-

論理式であることから，

M

^P

= V

^P

∩ M

である．

V

^P （

M

^P）の要素を

P -

名称（

P -name

）とよぶ．

P -

名称はドットつきの記号

a, ˙ ˙ b, ˙ x

などであらわすことにする^*14．

P

^を

poset

とするとき，

p, q ∈ P

^が ^共存可能

(compatible)

とは，

r ∈ P

で

r ≤

P

p, q

となるものが存在すること．共存可能でないとき共存不可能

(incompatible)

であるという．

G ⊆ P

^が

P

^{（上の）フィルター}

(filter)

であるとは，次の

(2), (3)

が成り立つこととする

:

*9P = (P,≤_P) が擬順序(preorder or quasi-order)とは， ≤_P が反射律と推移律を満たすことである．つまり，すべての p, q, r∈Pに対し，p≤Pp,p≤Pq∧q≤Pr→p≤Pr が成立することである．

*10このような V^P を構成するには，たとえば，α∈Onに対する帰納法で，V^P∩Vα を定義してゆけばよい．On 上の（超限）

帰納的構成については，[4]の定理2.23とその前後を参照されたい．このような再帰的定義で導入されたクラスS について，その定義に現れる性質が∆^ZF₁ -論理式で書けるなら，x∈S も∆^ZF₁ -論理式となる．

*11実は，“P= (P,≤_P)は poset”は∆0-論理式で表現できるので^*12，この条件は，Pが（V で本当に）posetである，ということと同値である.

*12∆0-論理式と，その推移的なモデルでの絶対性については，[4]の補題3.3の前後を参照．

*13クラスS が（パラメタを含む）∆^ZF₁ -論理式ϕ(x)により，S={x : ϕ(x)}として導入されている，とする．このときM を，

ϕ(x)のパラメタを含んでいる，（ϕが∆^ZF₁ -論理式であることのwitness を部分集合として含むようなZFCの有限部分の）推移的なデルとする．このとき補題1 により，S^M ={x∈M : M |=ϕ(x)} である．

*14下つきティルデのついた記号 a

∼, b

∼, x

∼ などをP-名称に用いる（S. Shelahの）流儀もある．

(8)

(2) 1l

_P

∈ G

で，

G

は上方向に閉じている^*15．

(3) p, q ∈ G

なら，

p

と

q

は共存可能で，

r ∈ G

で，

r ≤

P

p, q

となるものが存在する．

P G 1l

_P

p q

r

P

^を

poset

とするとき，

D ⊆ P

^が（

P

^{で）稠密（}

dense

）とは，すべての

p ∈ P

^に対し，

q ∈ D

で

q ≤

P

p

となるものが存在することとする．

P 1l

_P

D p q

M

を

ZFC

の（十分に大きな有限部分の）推移的なモデルとして^*16，

P ∈ M ,

M | = “ P

^は

poset ”

とする．このとき

G

が

(M, P )-generic

集合とは，

(4) G

の任意の

2

つの元は共存可能である．

(5) D ∈ M

で

M | = “ D

は

P

^で稠密

”

なら，

D ∩ G 6 = ∅

^である．

G

が，

(M, P )-generic

集合で，

P

で上方向に閉じているとき^*17，

G

は

(M, P )-

*15つまり，q∈Gで q≤_Ppなら，常にp∈Gとなる．

*16以下の議論ではM と書いたときには，M は，常にZFCの（十分に大きな有限部分の）推移的なモデルとなっているとする．

“十分に” は，文脈によって異なる意味を持つが，それについては，毎回は注意しない．

*17つまり，すべての p∈ Gに対し，q ∈ P∩M で p≤_P q なら，q ∈G である，ということであるが，M は推移的なので，

“q∈P∩M” という条件は，ここではq∈Pと同値である．

(9)

generic

_{フィルター} であるという^*18．

補題

2 G

が

(M, P )-generic

フィルターなら

G

はフィルターである．

証明

. G

を

(M, P )-generic

フィルターとする．

G

が

(2)

を満たすことは，

generic

フィルターの定義によりよい．したがって，

G

が

(3)

を満たすこと

を確かめればよい．

x, y ∈ G

として，

M

の中で，

D = { r ∈ P : r ≤

P

x, y

であるか，または，

r

は

x

か

y

のうちの少なくとも

1

つと共存不可能

}

とすると，

D ∈ M

で，

M | = “ D

は

P

^{の稠密部分集合である}

”

が成り立つ^*19．

したがって，

G

が

(M, P )-generic

フィルターであることから，

G ∩ D 6 = ∅

となる．

r ∈ G ∩ D

とすると，

(4)

により，

r

は

x

とも

y

とも共存可能だから，

D

の定義から

r ≤

P

x, y

である．

(

補題

2)

補題

3 M

が可算なら，任意の

p ∈ P

^に対し，

p

を含む

(M, P )-generic

フィルターが存在する．

証明

. M

を外からながめて議論する．

D = { D ∈ M : M | = “ D

は稠密

” }

^{とすると，}

D ⊆ M

だから（

M

の外から見たとき）

D

^{は可算である．そこで}

D = { D

_n

: n ∈ ω }

^{と枚挙する}^*20^．各

D

_n が

P

で稠密であることから，

P

^{の要素の下降列}

*18定義から，Gが (M,P)-generic setなら，G⁰={p∈P : あるq∈Gに対し，q≤P p} は(M,P)-generic フィルターになることがわかる．

*19M の中で議論する．u∈P を任意にとる，もしr≤P uで，xかy のうちの少なくとも1つと共存不可能なものがとれるなら，r∈D である．そのようなものがなければ，特にuは xと共存可能だから，r⁰ ≤P uでr⁰ ≤P xとなるものがとれる．仮定からr⁰ はy と共存可能だから，r≤_Pr⁰ でr≤_Py となるものがとれる．このとき，r≤_Px, yだから，r∈D である．

*20もちろん，この枚挙は，一般にはM の外で行われている．

(10)

· · · ≤

P

p

_n+1

≤

P

p

_n

≤

P

· · · ≤

P

p

₂

≤

P

p

₁

≤

P

p

₀

= p

で，すべての

n ∈ ω

に対し，

p

_n+1

∈ D

_n となるようなものがとれる．このとき

G = { p

_n

: n ∈ ω }

^は

(M, P )-generic

集合である．

したがって，

G

⁰

= { p :

ある

q ∈ G

に対し

q ≤

P

p }

^は

(M, P )-generic

フィル

ターとなる．

(

_補題

3)

後に出てくる具体的な

P

^に対する

(M, P )-generic

集合

G

の構成では，常に

G 6∈ M

となる．これは，以下の補題による

:

補題

4 P

^が

(6)

すべての

p ∈ P

に対し，互いに共存不可能な

q , q

⁰

≤

P

p

が存在する．

を満たすとき，任意の

(M, P )-generic

集合

G

は

M

の要素でない．

証明

. G ∈ M

と仮定して矛盾を示す．

G ∈ M

とすると，

D = P \ G

も

M

の要素である^*21．

(6)

により

D

は

P

の稠密な部分集合になる^*22．

したがって，

G

の

generic

性から，

D ∩ G 6 = ∅

とならなくてはならない．

これは矛盾である．

(

補題

4)

P ∈ M

を

poset

として，

G

を

P

上のフィルターとする．

P -name ˙ x ∈ V

^P に

対し，

x ˙

の

G

による解釈

x ˙

^G を次のようにして再帰的に定義する^*23

:

*21これは，M がZFCの十分に大きな有限部分のモデルになっていること，と，M での意味のP\Gが（もし存在すれば）M の外で見たときのP\Gと一致することによる．

*22p∈Pとすると，(6)により互いに共存不可能なq,q⁰ ≤Ppが存在する．qと q⁰ の両方がGに入ることはありえないから，

たとえばq6∈Gとすれば，q≤Ppで，q∈D である．

*23rank(x) =µα(x∈V_α+1)に関する（超限）帰納的定義により構成すればよい．このような帰納的構成法やrankに関する帰納法を，以降 “∈-induction”, “∈に関する帰納法” などとよぶことにする．

(11)

(7) x ˙

^G

= { u ˙

^G

:

ある

p ∈ G

に対し，

h u, p ˙ i ∈ x ˙ } .

M

を

ZFC

の十分に大きな有限部分の推移的なモデルとして，

P ∈ M

を

poset

とし，

G

を

(M, P )-generic

フィルターとする．このとき，

M[G] = { x ˙

^G

: ˙ x ∈ M

^P

}

とする．

M [G]

は

M

の

G

による

generic-

_{拡大とよばれる．}

以下の補題

5,

補題

6,

補題

7

で示される

M [G]

の基本性質は，

p.2

にあるようなポンチ絵に表現できる．

補題

5 M ⊆ M [G]

で，

G ∈ M [G]

である．

証明

.

各集合

x

に対し，

x

の標準的な

P -

名称

x ˇ

を次のように再帰的に定義する^*24

: x ˇ = {h u, ˇ 1l

_P

i : u ∈ x } .

このとき，

P

^{上の任意のフィルター}

G

に対し，

1l

_P

∈ G

だから，

(8)

すべての

P

^{上のフィルター}

G

とすべての集合

x

に対し，

x ˇ

^G

= x

が成り立つ．

が，

∈

に関する帰納法により示せる．

x ∈ M

なら，

x ˇ ∈ M

だから^*25，

x = ˇ x

^G

∈ M [G]

である．

P

^上の

generic-

フィルターの標準的な

P -

名称

Γ

を，

Γ = {h p, p ˇ i : p ∈ P}

^と定義する^*26と，

P ∈ M

だから，

Γ ∈ M

である^*26．

*24∈-induction による．

*26このようなΓ をG˙ と表すことも多い．“(M,P)-genericな G”が，たくさんあるそのようなGの1つ，であるのに対し，Γ

（あるいはG˙ ）はPごとに1つに固定されたP-名称であることに注意する．

*26ここでもM がZFC の（十分に大きな有限部分の）推移的なモデルである，という仮定が用いられている．

(12)

(8)

と

P -

名称の解釈の定義から，

Γ

^G

= G

となることがわかるので，

G =

Γ

^G

∈ M [G]

である^*26．

(

補題

5)

補題

6 M [G]

は推移的で，

On

^M

= On

^M[G] である．

証明

. M [G]

が推移的であることを示すために，

x ∈ M [G], y ∈ x

とする．

x = ˙ x

^G となる

x ˙ ∈ M

があるが，

x ˙

^G の定義から，ある，

h y, p ˙ i ∈ x ˙

で

p ∈ G

となるものに対し，

y = ˙ y

^G となる．

M

は推移的だから，

y ˙ ∈ M

である．したがって，

y = ˙ y

^G

∈ M [G]

である．

M [G]

が推移的で，補題

5

により

M ⊆ M [G]

であることから，

On

^M

⊆ On

^M^[G] がわかる．

すべての

x ˙ ∈ M

^P に対し，

rank( ˙ x

^G

) ≤ rank( ˙ x)

となることが，

∈

^に関する帰納法により示せる．

x = rank(y)

は

∆

^ZF₁ だから，

rank( ˙ x

^G

) ≤ rank( ˙ x) = rank( ˙ x)

^M

∈ M

となる．したがって，

On

^M

⊇ On

^M^[G] である．

(

補題

6)

補題

7 N

を

M ⊆ N

で

G ∈ N

となるような，

ZFC

の（十分に大きな有限部分の）推移的なモデルとするとき，

M [G] ⊆ N

である．

証明

. x ˙ ∈ M

なら，

x ˙

^G

= ( ˙ x

^G

)

^N

∈ N

である．

(

_補題

7)

generic 拡大を用いた相対的無矛盾性証明のアウトライン

ある数学的命題

ϕ

が

ZFC

上で相対的無矛盾^*27であることを示すためには，

が確立できれば十分である

:

*27ある主張 ϕが体系ZFC上で相対的無矛盾であるとは，“ZFCが無矛盾ならZFC +ϕも無矛盾である”という主張が（有限の立場で）証明できることである．ただし，ZFC +ϕは体系ZFCの公理の全体にϕ(に対応する閉論理式）を付け加えて得られる体系のことである．

(13)

(9) ∆

を任意の

ZFC

の有限部分とするとき，十分に大きな，有限な

Γ ⊆ ZFC

をとれば，

Γ

の可算な推移的モデル

M

の（任意の

poset P ∈ M

による）

generic

拡大

M [G]

は

∆

のモデルとなる^*28．

(10)

ある定義によって規定される

poset P

^を

(9)

でのような

M

でとるとき，任意の

(M, P )-generic

フィルター

G

に対し，

M [G] | = ϕ

が常に成り立つ．

(9)

と

(10)

から

ZFC + ϕ

の

ZFC

上の相対的無矛盾性が得られることは，次

のようにして見ることができる

:

ZFC + ϕ

が矛盾するとすると，

ZFC

の有限部分

∆

で，

∆ + ϕ

が矛盾するよ

うなものがとれる．つまり，

∆ ` ¬ ϕ

である．

一方，この

∆

に対して，

(9)

でのような

Γ

をとり，

Γ

のモデルになっているような推移的な可算モデル

M

をとって，

(10)

でのような

P ∈ M

を用いて

generic

拡大

M [G]

をとれば，

M [G] | = ϕ

となるが，

(9)

により，

M [G] | = ∆

なので，

M [G] | = ¬ ϕ

である．これは矛盾である．

ここでの議論により，「

ZFC + ϕ

が矛盾するとすると，そのことを示す証明

P

^から，

ZFC

の矛盾を示す証明

P

⁰ が作れる」ことがわかる．つまり，「

ZFC

が矛盾しなければ

ZFC + ϕ

も矛盾しない」ことが示せたことになる^*29．

(9)

と

(10)

の確立のためには，これらより若干すっきりとした形をしてい

る，次の

(9’)

と

(10’)

の証明が得られれば十分である^*31

:

*28(9)はϕに依存しない強制法の一般的な事実である．

*29ここで，(9)と(10)の証明が具体的に得られれば，P からP⁰ への変形も（原理的には^*30）具体的な手続きとして与えることができる，したがって，ここでの相対的無矛盾性の証明は純粋に有限の立場でのそれである．

*30つまり，証明を実際に形式的な体系で(machine-readableな形で)書きだすことをしたとすれば．

*31(9’)と (10’)から(9)と(10)が導けることは，次の事実を思い出せば明らかである: ある理論T から命題ϕが証明されてい

(14)

(9 ’ )

任意の

ZFC

M

の（任意の

poset P ∈ M

によ

る）

generic

拡大

M [G]

は

ZFC

のモデルとなる^*32．

(10 ’ )

ある定義によって規定される

poset P

^を，

ZFC

M

でとるとき，任意の

(M, P )-generic

フィルター

G

に対し，

M [G] | = ϕ

が常に成り立つ^*33．

(9’)

と

(10’)

の証明には，強制関係（

forcing relation;

記号

: k – “ · · · ”

）とよばれる，以下で導入される

ZFC

で定義可能な関係（の族）が用いられる．

強制関係

L

∈

-

論理式

ϕ = ϕ(x

₀

, ..., x

_n₋₁

)

ごとに，

poset P , p ∈ P

^と

P -

名称

a ˙

₀

,. . . , ˙ a

_n₋₁ に対し，

p k –

_P

“ ϕ( ˙ a

₀

, ..., ˙ a

_n₋₁

) ”

（が成り立つ^*34）という述語 ――

強制関係

(forcing relation)

を（

ϕ

の構成に関する帰納法により^*35）以下

のようにして定義する．

ここで目標としているのは，

· k – · “ ϕ( · , ..., · ) ”

が各

ϕ

ごとに実際に定義でき，

以下の定理

9,

定理

10

が成り立つことである^*36．

まず，

ϕ

が

x

₀

= x

₁ の形をしている場合について，強制関係を再帰的に定

るとには，ϕのT からの証明P が具体的に与えられているわけだが，Pは記号列の有限の集まりなので，T の公理のうちP にあらわれるものは有限個しかない．それらを集めたものをT⁰ とすればP は ϕのT⁰ からの証明でもある．

*32(9’) は，ZFCの一つ一つの公理 ψ に対して“· · · M[G] はψ のモデルとなる” を主張している定理を集めたmeta theorem である．

*33ここでも，(10’)では，ϕが与えられるごとに，「ある定義」をうまく設定して，それを満たすP に対する対応する主張の証明を，個別に見つける必要がある．

*34“pforcesϕ( ˙a0,..., ˙an−1)”あるいは，“pは（が）ϕ( ˙a0,..., ˙an−1)を forceする” などと読み下される．

*35ここでのϕの構成に関する帰納法は集合論の体系の外側の（超数学(meta-mathematics)の）レベルで行われていることに注意する．

*36ここではV^P や V[G]の定義や· k–·“ϕ(·,...,·) ”の定義はKunen [9] に従っているが，定理9などの基本性質が成り立つ限りにおいては，別の定義を採用してもかまわない．むしろ，V^P や· k–·“ϕ(·,...,·) ”の構成法は隠しておき，これらの満たすべき

性質から axiomaticに強制法を導入した方がエレガントとも言える．しかし，実際には，これらのか˙ ら˙く˙りを˙ 1つ固定しておき，

それも活用して議論する，という“泥臭い”やり方の方が，小回りのきく議論ができる場合も多いように思える．

(15)

義する．

(11) p k –

_P

“ ˙ a

₀

= ˙ a

₁

” ⇔

(α)

すべての

h b ˙

₀

, p

₀

i ∈ a ˙

₀ に対し，

{ q ≤

P

p : q 6≤

P

p

₀

∨ ∃h b ˙

₁

, p

₁

i ∈ a ˙

₁

(q ≤

P

p

₁

∧ q k –

_P

“ ˙ b

₀

= ˙ b

₁

”) }

は

p

以下で稠密となり，かつ，

(β )

すべての

h b ˙

₁

, p

₁

i ∈ a ˙

₁ に対し，

{ q ≤

P

p : q 6≤

P

p

₁

∨ ∃h b ˙

₀

, p

₀

i ∈ a ˙

₀

(q ≤

P

p

₀

∧ q k –

_P

“ ˙ b

₀

= ˙ b

₁

”) }

も

p

以下で稠密となる．

(11)

は，（

P

^{をパラメタとした）}

V

^P

× V

^P 上の整順的な関係

( _ℵ 4) h b ˙

₀

, b ˙

₁

i R h a ˙

₀

, a ˙

₁

i ⇔

ある

r ∈ P

^に対し

h b ˙

₀

, r i ∈ a ˙

₀ かつ，ある

s ∈ P

^に対し

h b ˙

₁

, s i ∈ a ˙

₁ に関する超限帰納法により定義できる．

(11)

の

( _ℵ 4)

による帰納的定義のはじめは

p k –

_P

“ ∅ = ∅ ”

に対するものであるが，

∅

が要素を持たないことから，これに対しては

(α)

も

(β)

も無内容的

(vacuously)

に成り立つことに注意する．

D ⊆ P

^が

p ∈ P

以下で稠密とは，すべての

q ≤

P

p

に対し，

r ∈ D

で

r ≤

P

q

となるものが存在することである．

P ↓ p = { s ∈ P : s ≤

P

p }

とすると，

D ⊆ P

^が

p ∈ P

^{以下で稠密とは，}

D ∩ ( P ↓ p)

が

P ↓ p

で（

p.8

の意味で）稠密であること，ということもできる．

P 1l

_P

p q r

P ↓ p

(16)

また，

D

が（

p.8

の意味で）

P

^{で稠密とは，}

D

が

1l

_P 以下で稠密と言いなおすこともできる．

“D

が

p

以下で稠密

”

という概念の，ここの文脈での意義は，次の補題が成り立つことである

:

補題

ℵ 2 M

を

ZFC

の推移的モデルとして，

P ∈ M

を

poset

とする．

G

を

(M, P )-generic

フィルターとして，

p ∈ G

で

D ∈ M , D ⊆ P

^は

p

以下で稠

密とする．このとき，

G ∩ D 6 = ∅

^{である．特に，}

q ≤

P

p

で

q ∈ G ∩ D

となるものがとれる．

証明

. M

で，

D ˜ = (D ∩ P ↓ p) ∪ { q ∈ P : q

は

p

と共存不可能

}

とすると，

D ˜

は

P

で稠密となる．したがって，

G

の

(M, P )-generic

性から，

q ∈ G ∩ D ˜

がとれる．このとき

p

も

q

も

G

の元だから，これらは共存可能となるので

D ˜

の定義から，

q ∈ D ∩ P ↓ p

となることがわかる．特に

q ≤

P

p

で

q ∈ G ∩ D

である．

(

補題

ℵ 2)

強制関係の

ϕ

の構成に関する帰納法による定義にもどる

:

(12) p k –

_P

“ ˙ a

₀

∈ a ˙

₁

” ⇔

{ q ∈ P : ∃h b, r ˙ i ∈ a ˙

₁

(q ≤

P

r ∧ q k –

_P

“ ˙ b = ˙ a

₀

”) }

^は

p

以下で稠密．

(13) p k –

_P

“ ϕ( ˙ a

₀

, ..., ˙ a

_n₋₁

) ∧ ψ( ˙ a

₀

, ..., ˙ a

_n₋₁

) ” ⇔

p k –

_P

“ ϕ( ˙ a

₀

, ..., ˙ a

_n₋₁

) ”

かつ

p k –

_P

“ ψ( ˙ a

₀

, ..., ˙ a

_n₋₁

) ” (14) p k –

_P

“ ¬ ϕ( ˙ a

₀

, ..., ˙ a

_n₋₁

) ” ⇔

どの

q ≤

P

p

に対しても

q k –

_P

“ ϕ( ˙ a

₀

, ..., ˙ a

_n₋₁

) ”

とならない

F o r c i n g 入門

F o r c i n g 入 門

2015

10

17

(05:33)

(

[email protected])

2007

9

4

9

6

2007

2010

201?

L

TEX

//http://fuchino.ddo.jp/shizuoka/forcing2010.pdf

M

On

= On

P G

M [G]

. . . . 4

Posets

generic

. . . . 6

generic

. . . . 12

. . . . 14

M [G]

ZFC

. . . . 22

M [G]

. . . . 24

Posets

. . . . 28

. . . . 30

ω

-

. . . . 31

. . . . 34

前提知識の復習 *2

ZFC. ZFC

∈

L

ZFC

—

ZFC

“

”

X

(transitive)

x ∈ X

y ∈ x

y ∈ X

1 T

ZFC

M

M | = T

. T = { ϕ

, . . . , ϕ

}

ϕ

≡ ϕ

∧ · · · ∧ ϕ

T

α ∈ On

(V

| = ϕ

) ↔ ϕ

ZFC ` ϕ

V

| = ϕ

L¨ owenheim-Skolem

V

M

M

| = ϕ

F o r c i n g _{入門}

⁽

前提知識の復習 ^*2

( _ℵ 1) ‘x ∈ y’, ‘x = y ’

( _ℵ 2) ϕ, ψ

; ( _ℵ 3) ϕ