微積： 極限値，逆三角関数

数学演習第一 （演習第

^回）

微積： 極限値，逆三角関数

1 ^{演習書 問題} 2.2.1 (1), (6), (7), (8), (9), (11), (12), (13): ^{次の極限値を求めよ}. (1) lim

x→0

sinax−sinbx

x (ab̸= 0) (6) lim

x→^π3

sin( x+^π₆)

−1 x−^π₃ (7) lim

x→0

1−cosx

xtanx (9) lim

x→0

x

3^x−2^x (11) lim

x→^π2−0

(π 2 −x

) tanx

(12) lim

x→1x^1−1x (13) lim

x→0(cosx)^x12 (14) lim

x→+0

log(tan 2x) log(tanx) Hint:

• ^{次の極限値が基本}: lim

x→0

sinx

x = 1, lim

x→0

e^x−1

x = 1, lim

x→0

log(1 +x) x = 1.

• (12), (13)については, まず対数をとった関数の極限値を求める.

2 ^問題 2.3.1^【改題】: ^{次の値を求めよ}. (1) Sin⁻¹

(−1 2

)

(2) Tan⁻¹ 1

√3 (3) Sin⁻¹

( sin3π

5 )

(4) Tan⁻¹ (

tan4π 7

)

(5) sin(

Tan⁻¹(−2))

(6) tan (

Cos⁻¹ (−1

3 ))

3 ^問題 2.3.3 (1), (2), (3) : ^{次の方程式を解け}.

(1) Cos⁻¹x= Tan⁻¹2 (2) Sin⁻¹x+ 2 Sin⁻¹1 4 = π

2 (3) Tan⁻¹x+ 2 Tan⁻¹1

3 = π 4

4 ^問題 2.3.4^【改題】: ^{次の関係式を示せ}. (1) Sin⁻¹x+ Cos⁻¹x= π

2 (2) Tan⁻¹x+ Tan⁻¹1 x = π

2 (x >0)

5 ^{双曲線関数} sinhx:= e^x−e^−x

2 , coshx:= e^x+e^−x

2 , tanhx:= sinhx

coshx = e^x−e^−x e^x+e^{−x に} ついて次の問いに答えよ.

(1) cosh²x−sinh²x= 1 ^を示せ.

(2) y= sinhx ^および y= tanhx の逆関数をそれぞれ求めよ.

(3) y= coshx(x≥0)^および y= coshx(x≤0)の逆関数をそれぞれ求めよ.

【注】 5 は時間が余ったら解いて下さい.