進 Riemann-Roch 公式（加藤和也氏との共同研究）

^進 Riemann-Roch 公式（加藤和也氏との共同研究）

By

斎藤 毅^∗

Abstract

局所体上の多様体上の進層に対し、その暴分岐の不変量として、Swan類が還元上の0輪体 類として定義される．このSwan類の変種に対して，Riemann-Roch型の公式が示される．これは，

進層の導手公式の相対化である．

§1. 進Riemann-Roch公式

はじめに進Riemann-Roch公式の枠組みを考える．kを体とし，をkの標数とは

異なる素数とする．k 上の有限型分離スキームU に対し，U 上の構成可能Q¯ 層の圏の Grothendieck群をK0(U,Q¯) で表す．K0(U,Q¯)はU 上の構成可能Q¯層F の類[F]で 生成され，完全列0→ F → F → F →0 に対し[F] = [F] + [F] である．

f: U → V を，k 上の有限型分離スキームの射とする．U 上の構成可能Q¯ 層F に 対し，f!([F]) =

q(−1)^q[R^qf_!F]とおくことで，可換群の射f_!: K₀(U,Q¯)→K₀(V,Q¯) が定義される．進Riemann-Roch公式の問題とは，k上の有限型分離スキームの圏から 可換群の圏への共変関手F と，関手の射K0(−,Q¯)→F をみつける問題と考えられる．

つまり，次の可換図式を構成せよという問題である：

K₀(U,Q¯) −−−−→^f! K₀(V,Q¯)

⏐⏐

⏐⏐

F(U) −−−−→^f! F(V).

kが複素数体Cの場合には，関手F として特異ホモロジーをとり，関手の射をChern 類を使って定義することで，MacPhersonにより，この問題は解決されている[6]．

Received April 20, 200x. Revised September 11, 200x.

2000 Mathematics Subject Classification(s): Primary 14F20; Secondary 11G25, 11S15.

Key Words: etale cohomology, local fields, Galois representations

Partly supported by JSPS Grants-in-aid for Scientific Research B-18340002 and S-19104001

∗東京大学数理科学研究科153-8914,東京都目黒区駒場3-8-1 e-mail: [email protected]

c 200x Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University. All rights reserved.

k を正標数の代数閉体とする．この場合は一般には未解決だが，V = Spec k とす れば次のようになる．K0(Spec k,Q¯) はZであり，f: U → Spec k を構造射とすると，

f!: K0(U,Q¯)→K0(Spec k,Q¯) =Zは，F の類をEuler数 χ_c(U,F) =

2 dimU

q=0

(−1)^qdimH_c^q(U,F)

にうつす射である．したがって，この場合にはRiemann-Rochの問題は，Euler数の公式 を与える問題である．構成可能層の定義と，次元に関する帰納法により，この問題はU がスムーズかつF もスムーズな場合に帰着される．この場合には，次の公式が証明され ている．

定理 1 ([4, Theorem 4.2.9]). X をU のコンパクト化とする．F の暴分岐の不変 量として，Swan類Sw_UF ∈CH0(X \U)_Qが定義され，

χ_c(U,F) = rank F ·χ_c(U,F)−deg Sw_UF (1)

がなりたつ．

ここで，CH0(X\U) は，0輪体の群の有理同値による商であり，添字_Q は⊗ZQを 表す．degは0輪体類の次数を表す．Swan類Sw_UF の定義は，その概要を後述する．公 式(1)は，U が曲線の場合にはGrothendieck-Ogg-Shafarevich の公式とよばれ，SGA5 で証明されている．

この報告では，体kがp進体の場合を扱う．以下，体Kがp進体であるとは，K が 離散付値に関して完備な標数0の体であり，剰余体F が標数p >0の完全体であることと する．V = Spec K のときを考える．G_K = Gal( ¯K/K) をK の絶対Galois群とすると，

K₀(Spec K,Q¯)は，G_K の連続Q¯表現の圏のGrothendieck群であり，既約連続表現の 同形類を基底とする自由Abel群である．G_K の進表現の暴分岐の不変量であるSwan 導手は，可換群の射Sw_K: K0(Spec K,Q¯)→Zを定める．Swan導手の定義も後述する．

K上の有限型分離スキームU に対し，構造射f: U →Kが定める射f!: K0(U,Q¯)→ K0(Spec K,Q¯)とSw_K: K0(Spec K,Q¯)→Zの合成は，U 上の進層Fの類を，Swan 導手の交代和

Sw_KH^∗(UK¯,F) =

2 dimU

q=0

(−1)^qSw_KH^∗(UK¯,F)

にうつす射である．この場合にはRiemann-Rochの問題は，Swan導手の交代和を与える 問題である．このときも，構成可能層の定義と，次元に関する帰納法により，U がスムー ズかつF もスムーズな場合に帰着される．定理1の類似として，次の導手公式が証明さ れている．

定理 2 ([5, Corollary 7.5.3]). XをU のSpec OK 上のコンパクト化とする．Fの 暴分岐の不変量として，Swan類Sw_UF ∈F₀G(X_F)_Qが定義され，

Sw_KH_c^∗(U,F) = rank F ·Sw_KH_c^∗(U,Q) + deg Sw_UF (2)

がなりたつ．

ここで，F0G(X_F) は，閉ファイバーX_F 上の連接層のGrothendieck群の0次元部 分であり，添字_Q は⊗ZQを表す．degは標準射F0G(X_F)→ G(Spec F) =Z による像 を表す．Swan類Sw_UF の定義は後述する．

定理2は，次のように相対化される．K上の有限型分離スキームUに対し，F0G( ¯U_F) を，順像による逆極限lim←−^XF0G(X_F)として定義する．ここでX はU のSpec OK 上の コンパクト化を走る．進層F の類をそのSwan類にうつすことで射Sw_U: K0(U,Q¯)→ F0G( ¯U_F)_Qが定義される．詳細は後述する．これの変種 Sw_U: K0(U,Q¯) → F0G( ¯U_F)_Q の定義も後述する．

定理 3 ([5, Theorem 7.5.1]). f: U → V をK 上の有限型分離スキームの射とす る．fのコンパクト化による連接層の高次順像の交代和は群の射f!: F0G( ¯U_F)→F0G( ¯V_F) を定め，図式

K0(U,Q¯) −−−−→^f! K0(V,Q¯)

Sw_U

⏐⏐

⏐⏐^SwV

F₀G( ¯U_F)_Q −−−−→^f! F₀G( ¯V_F)_Q (3)

は可換である．

定理は，U 上の構成可能進層F に対し，Riemann-Roch型の公式 Sw_VRf!F =f!Sw_UF

(4)

がなりたつということである．V = Spec K の場合には，Sw_V = Sw_V であり，公式(4) は，導手公式(2)と，定数層に対するSw_KH_c^∗(U,Q) についての公式をあわせたものに なる．後者は，[3]で証明された次の公式の，開多様体への一般化である．

定理 4 ([3, Theorem 6.2.3]). X をOK 上の固有平坦正則スキームとし，閉ファ イバーの被約化 X_F,red は X の正規交叉因子であるとする．n = dimX_K + 1 とし，

c_n^X_X

F(Ω¹_X/O

K)∈CH₀(X_F)を連接層Ω¹_X/O

K の局所化されたChern類とすると，

χ(XK¯)−χ(XF¯) + Sw_KH_c^∗(XK¯,Q) =−deg(−1)ⁿc_n^X_XF(Ω¹_X/OK) (5)

である．

公式(5)は，BlochがK 上の代数曲線に対して証明し，高次元について予想したも のである[1]．

定理3の証明の主な要素には次の2つがある．

1. Swan類の定義．

2. 公式(4)の証明．

それぞれを次の節から解説する．ここではその概要を記す．

Swan類の定義には，U がスムーズかつF もスムーズな場合の定義と，それを一般 化する部分の2つがある．スムーズな場合には，K 理論的局所化交点理論を用いる．ス ムーズな場合に切除公式を証明することで，定義が一般の場合に拡張される．

Riemann-Roch公式の枠組み(3)はd´evissageに適しているので，公式(4)の証明は 次元に関する帰納法により，U がスムーズかつF もスムーズな場合に帰着される．さら に，f が有限エタール射の場合と，f がスムーズな相対曲線の場合に帰着される．前者の 場合は，古典的な導手の誘導公式[7, Chap. VI §2 Proposition 4 Corollaire]の直接の一 般化である．曲線の場合には，de Jongによるalteration の証明と同様に，安定曲線のモ ジュライのコンパクト性を使って準安定なコンパクト化を構成する．それに対しLefschetz 跡公式のlog化を証明し，それから導く．ここで，log化は，開多様体への一般化と，離 散付値環上の退化を扱うため基礎スキームとしてlog点を扱うことの2重の意味である．

§2. Swan類の定義

U = Spec K の場合には，F0G( ¯U_F) =G(Spec F) =Z であり，G_K の連続Q¯表現 M が定めるU 上の 進層F に対し，Swan類Sw_UF はSwan導手Sw_KM である．まず，

Swan導手の定義を復習する．話を簡単にするため，M が完全分岐有限次Galois拡大L に対応する商G= Gal(L/K)の表現で定まる場合の定義を記す．

ord_L をLの正規離散付値，π_Lを Lの素元とし，σ ∈ G, σ = 1 に対し，s_G(σ) =

−ord_L(σ(π_L)/π_L−1) とおく．Swan導手は，

Sw_KM = 1

|G|

σ∈G,σ=1

s_G(σ)(Tr(σ :M)−dimM) (6)

で定義される．

Swan導手が0以上の有理数であることは容易にわかるが，自然数であることはHasse- Arfの定理とよばれている．Sw_KM = 0は，暴分岐群P のM への作用が自明なことと 同値であり，Swan導手はM の暴分岐の激しさを表す不変量と考えられる．

このSwan導手の定義を一般化する．U をK 上スムーズな有限型分離スキームとし，

F をU 上のスムーズなQ¯層とする．上と同様に話を簡単にするため，U 上の有限エター ルGalois被覆V でF を自明化するものがあり，F は Galois群 G = Gal(V /U) の表現 M が定めるものであるとする．このとき，F のSwan類は，s_G(σ)∈ F₀G( ¯V_F)_Q を定義 すれば，その順像f_!s_G(σ)∈F₀G( ¯U_F)_Q を使って，(6)と同様の式

Sw_UF = 1

|G|

σ∈G,σ=1

f_!(s_G(σ))(Tr(σ :M)−dimM) (7)

で定義される．したがって，Swan類の定義の要点は，s_G(σ)∈F0G( ¯V_F)_Q の定義である．

これには，局所化されたK 理論的交点積を用いる．この定義はたいへんこみいっている ので，はじめにもっと簡単なものを定義し，それをどのように修正していくか説明する．

幾何的な場合の類似を考える．F を標数p >0の完全体とし，U をF 上のスムーズ な有限型分離スキームとする．V をU の有限エタールGalois被覆とし，GをそのGalois 群とする．V のスムーズなコンパクト化Y で，Gの作用が延長されているものがあると する．σ ∈G, σ = 1とする．このときs_G(σ)の最初の近似は，σのグラフΓ_σ と対角Δ_Y のY ×F Y での交点積

−(Γ_σ,Δ_Y)_Y×FY ∈CH0(Y \V)

である．V →U がエタールと仮定しているので，共通部分Δ_Y ∩Γ_σは，σ = 1ならV ×V と交わらない．したがって，交点積(Γ_σ,Δ_Y)_Y×FY はCH0(Y \V) の元として定義され る[2]．

これを次の段階を踏んで修正していく．

1. log化する．

2. コンパクト化をalterationでおきかえる．

3. コンパクト化の極限をとる．

4. S = Spec OK 上考える．

各段階を簡単に解説する．詳細は後述する．定理1でのSwan類は，第2段階で定義 される幾何的な場合のs_G(σ) を使って定義される．

コンパクト化Y 上で考えると，V だけでなく境界の情報もはいってくるので，これ を切り落とすことが必要になる．これが1.のlog化である．体F 上の固有スムーズ多様 体XのEuler数χ(XF¯,Q)は微分形式の層Ω¹_X/F のChern類として求められるが，単純 正規交叉因子Dの補開部分スキームU =X\D のEuler数χ_c(UF¯,Q)はDで対数極を もつ微分形式の層Ω¹_X/F(logD)のChern類として求められる．このようにlog化するこ とで，開多様体を扱えるようになる．実際のlog化の操作は，logブローアップをするこ とである．

正標数や混標数では，特異点の解消が知られていないので，コンパクト化のかわり に，2.のalterationを考える必要がある．alterationからコンパクト化にもどってこなく てはならないが，それには順像を被覆の次数でわればよい．

代数曲線や整数環という1次元のものを扱う古典的な場合には，非特異な完備化は 一意的である．しかし，高次元ではそのような特別のものはないので，3.ではコンパクト 化をすべて考え，その逆系に関する逆極限を導入する．このほうがかえって柔軟性が大き く，スキームの射に対する関手性が得られる．

実際に扱うのは，正標数の体上のスキームではなく，p進体の整数環上のスキームで ある．そこでは，整数環上のスキームとしてのファイバー積を考えても，対角射は正則埋 め込みではなく，次元もあわないため，通常の交点積を考えることはできない．4.では，

代数的0輪体の群CH0 を連接層のK 群F0Gでおきかえて，通常の交点積のかわりに，

局所化されたK 理論的交点積を導入する．これには，対角の自己交点積が閉ファイバー に台をもつ類として定義され，定数層に関する導手公式も定式化できるという利点もあ る．以下，各段階をもう少しくわしく解説する．

F を標数p > 0の完全体とし，U をF 上の有限型分離d次元スムーズ・スキーム，

f: V → U 上の有限エタールGalois被覆とし，GをそのGalois群とする．Y をF 上の 有限型分離スムーズ・スキームで，V を単純正規交叉因子D=

iD_i の補開部分スキー ムとして含むものとし，GのV への作用がY への作用に延長されているとする．さらに σ ∈G とDの各既約成分D_i に対し，σ(D_i) =D_iかσ(D_i)∩D_i =∅のどちらかがなり たつとする．

Y の自己log積を，次のように通常の積Y ×Y を加工することで定義する．単純正規 交叉因子Dのすべての既約成分D_iについてD_i×D_iでY ×Y をブローアップし，さらに (Y ×D)∪(D×Y)の固有変換を除いたものをY ∗Y で表し，Y の自己log積とよぶ．log 積Y ∗Y はF 上のスムーズ・スキームであり，V ×V を開部分スキームとして含む．対角

r r Y

r ? r Y Δ_Y

Γ_σ

Y ×Y

$

&

Δ^log_Y

Γ_σ Y ∗Y

Figure 1. log積

射δ: Y →Y ×Y は，log対角射δ^log: Y →Y ∗Y をひきおこす．σ ∈Gについての上の 仮定より，σのグラフγ_σ: Y → Y ×Y も，閉うめこみγ_σ^log: Y \

Di=σ(Di)D_i →Y ∗Y をひきおこす．δ^log の像をΔ^log_Y ，γ_σ^log の像をΓ˜_σ で表す．被覆V →U のDに沿った分岐 が，馴分岐なら右図の右上のように共通部分Δ^log_Y ∩Γ˜_σは空であり，暴分岐なら右下のよ うに空でない．

例 n ≥ 1を pと素な自然数とし，V = G_m = Spec F[t^±1] → U = G_m を n乗射，

Y = A¹ = Spec F[t]とする．このとき，Y ∗ Y = Spec F[t, u^±1]であり，標準写像 Y ∗Y → Y ×Y = Spec F[s, t]は，s →utで定まる．Δ^log_Y ⊂ Y ∗Y はu = 1で定義さ れる．

ζ ∈F を1の原始n乗根とし，σ ∈Gをσ(t) =ζtで定める．このとき，σのグラフ

Γ_σ ⊂Y ×Y はs=ζtで定まり，その固有変換Γ˜_σ ⊂Y ∗Y はu=ζで定まる．仮定pn より，ζ = 1だから，Δ^log_Y ∩Γ˜_σ =∅である．

上の記号のもとで，さらにY はF 上固有とする．このとき，交点積(Δ_Y,Γ_σ)_Y×Y のlog化は，交点積(Δ^log_Y ,Γ˜_σ)_Y∗Y として定義される．以上が第1段階である．

正標数では特異点解消の存在が証明されていないので，上のようなY の存在は仮定 できない．そこで，Y としてはV を開部分スキームとして含むF 上の任意の固有スキー ムを考える．このとき，de Jongのalterationにより，F 上の固有スムーズ・スキームZ とF 上の射g¯: Z →Y で，逆像W = ¯g⁻¹(V)がZ の単純正規交叉因子Dの補開部分ス キームであり，¯gは全射でY の密開部分スキーム上では有限被覆であるものが存在する．

Z のDに関するlog積Z ∗Z を上のように定義する．g:W →V をg¯: Z →Y の制限と する．

Xを，U を開部分スキームとして含むF 上の固有スキームとし，U はXのCartier 因子Bの補開部分スキームであるとする．合成射f ◦g:W →U がf¯:Z →Xに延長さ れ，さらにf¯⁻¹(U) =W であるとする．X のBに関するlog積X∗Xを上と同様に定義 すると，対角射X →X×X はlog対角射X →X∗Xをひきおこす．f¯がひきおこす射 f¯∗f¯: Z∗Z →X∗X による，log対角射の像の逆像( ¯f∗f¯)⁻¹(Δ^log_X ) をZ ∗XZ で表す．

d= dimY とする．g×g:W×W →V ×V によるΓ_σの交点理論の意味でのひきもど しを(g×g)^!(Γ_σ)∈CH_d((W×UW)\(W×V W))とする．f: V →U はエタールだから，

W×V W はW×UW の開部分スキームである．Z∗XZはW×UW を開部分スキームと して含むから，W×V W も開部分スキームとして含む．Γ¯ ∈CH_d((Z∗XZ)\(W×V W)) を，(g ×g)^!(Γ_σ) の延長とすると，交点積(¯Γ,Δ^log_Z )_Z∗XZ ∈ CH0(Z \ W) は Γ¯ のとり 方によらない．さらに，順像g¯_∗(¯Γ,Δ^log_Z )_Z∗XZ ∈ CH0(Y \V) の被覆次数[W : V]によ る商は，Z のとり方にもよらない．そこで，log交点積(Γ_σ,Δ^log_Y ) ∈ CH0(Y \V)_Qを，

1

[W:V]g¯_∗(¯Γ,Δ^log_Z )_Z∗XZ として定義する．これが第 2段階である．定理 1 のSwan 類は，

s_G(σ) =−(Γ_σ,Δ^log_Y ) とおくことで，式(7)で定義される．

Y とYをV を開部分スキームとして含むF上の固有スキームとし，h: Y →Y を，

V 上では恒等射であるF 上の射とすると，順像h_∗: CH0(Y\V)_Q→CH0(Y \V)_Qは，

log交点積(Γ_σ,Δ^log_Y) をlog交点積(Γ_σ,Δ^log_Y ) にうつす．そこで，CH0( ¯V \V)_Q を逆極 限lim←−^YCH₀(Y \V)_Qとして定義し，log交点積(Γ_σ,Δ^log_V )∈ CH₀( ¯V \V)_Q を，これら の逆系として定義する．これが第3段階である．

ここまでの段階はすべて正標数の完全体F 上での幾何的な類似だった．最後の第4 段階では，ここまでの幾何的な構成のS = Spec OK 上での類似を定義する．第2段階の 類似は形式的に同様に定義できるのでその部分は省略し，第1段階の類似と，第3段階で の群の定義のみ解説する．

第3段階の類似からはじめる．Y を，V を開部分スキームとして含むS上の固有ス キームとする．代数的サイクル類の群CH₀(Y_F) のK 理論的類似を定義する．閉ファイ バーY_F 上の連接層のGrothendieck群をG(Y_F)とし，台の次元が0である連接層の類で 生成される部分群をF0G(Y_F)とする．逆極限lim←−^YF0G(Y_F)_QをF0G( ¯U_F)_Q で表す．

第1段階の類似を解説する．V がY の単純正規交叉因子Dの補開部分スキームであ るとする．このとき，log積Y ∗SY が幾何的な場合と同様に定義される．XをS上の固 有スキームで，U をCartier因子の補開部分スキームとして含むものとし，f: V →U が S上の射f¯:Y →Xに延長されるとする．Y ∗XY をΔ^log_X のY ∗SY →X∗SXによる逆 像として定義し，Γ¯ ⊂Y ∗XY を，Γ¯∩(V ×S V) = Γ_σ をみたす閉部分スキームとする．

d= dimY とし，K 理論的交点積((¯Γ,Δ^log_Y ))_Y∗SY ∈F₀G(Y_F) を，

(−1)^d

[Tor^O_d^{Y∗S Y}(OΓ^¯,O_Δ^log

Y )]−[Tor^O_d+1^Y∗SY(OΓ^¯,O_Δ^log

Y )]

として定義する．log対角射Y →Y ∗SY は余次元d−1の正則うめこみなので，OY 加群 層Tor^O_q^{Y∗S Y}(OΓ^¯,O_Δ^log

Y )はq ≥dなら台が閉ファイバーに含まれる．よって，その類が G(Y_F)の元として定義される．さらに，類[Tor_q^{OY∗S Y}(OΓ^¯,O_Δ^log

Y )]∈G(Y_F)は，q≥dなら qの偶奇にしかよらないという周期性をもつことが示される．よって，((¯Γ,Δ^log_Y ))_Y∗SY ∈ G(Y_F) は，偶数次の項と奇数次の項の差として定義される．((¯Γ,Δ^log_Y ))_Y∗SY ∈ G(Y_F) は，F0G(Y_F)にはいり，Γ¯ のとり方によらないことも示される．上の定義を，実際には 第2段階のようにalteration上で行い，さらにコンパクト化に関する極限をとることで，

s_G(σ) =−((Γ_σ,Δ_V))^log ∈F0G( ¯V_F)_Qを定義する．

これを式(7)に代入し，U もF もスムーズな場合にSwan類Sw_UF が定義される．

K理論的交点積の長所として，σ = 1に対しても，s_G(1) =−((Δ_V,Δ_V))^log ∈F₀G( ¯V_F)_Q が定義される．そこで式(7)を修正し，Swan類Sw_UFの変種である全Swan類Sw_UFを

Sw_UF = 1

|G|

σ∈G

f_!(s_G(σ))Tr(σ :M) (8)

で定義する．

Swan類Sw_UF と全Swan類Sw_UF については，次の切除公式がなりたつ．

定理 5 ([5, Theorem 6.2.2]). U をK上の有限型分離スムーズ・スキームとし，U1

をそのスムーズ閉部分スキーム，U0 = U \U1 とする．i: U1 → U, j: U0 →U をうめこ みとし，i!: F0G( ¯U1,F)→F0G( ¯U_F), j!: F0G( ¯U0,F)→F0G( ¯U_F)をそれぞれがひきおこす 射とする．U 上のスムーズQ¯ 層F に対し，

Sw_UF =j_!Sw_U0F|U0 +i_!Sw_U1F|U1, (9)

Sw_UF =j!Sw_U0F|U0 +i!Sw_U1F|U1

(10)

がなりたつ．

切除公式の帰結として，構成可能層に対しSwan類と全Swan類が定義できる．

系 6 ([5, Proposition 7.4.2, Corollary 7.4.5]). 群の射

Sw_U: K0(U,Q¯)→F0G( ¯U_F), Sw_U: K0(U,Q¯)→F0G( ¯U_F)

で，次の性質(i), (ii)をみたすものがそれぞれただ1つずつ存在する．

(i)UがスムーズかつFもスムーズなら，Sw_U[F] = Sw_UFであり，Sw_U[F] = Sw_UF である．

(ii) うめこみf: U →V に対し，図式(3)とそこでSw をSwでおきかえたものは可 換である．

以上が，Swan類とその変種の定義である．

§3. log Lefschetz跡公式

Riemann-Roch型の公式(4)の証明の方針をごく簡単に紹介する．切除公式が使える

ので，通常の議論により，U とV がK 上スムーズかつF もスムーズで，次のどちらか の場合に帰着される．

(i) f: U →V が有限エタールのとき．

(ii) 固有スムーズ代数曲線f¯: X →V で，U をV 上有限エタールな因子D ⊂Xの補開 部分スキームとして含むものがある．さらに，Xの種数をg,Dの次数をdとすると，

2g−2 +d >0である．

(i)の場合には，Swan類の定義より，古典的な導手と同様な誘導公式がなりたつ．この場 合，公式(4)はこの誘導公式そのものである．

(ii)の場合を考える．スムーズ層R¹f_!Q のSwan類の計算が要点である．条件2g− 2 +d >0は，安定曲線のモジュライがDeligne-Mumfordスタックであるための条件であ り，このコンパクト化によって，alterationが得られることを使う．Swan類の定義によ り，V の有限エタールGalois被覆V →V でR¹f!F のVへのひきもどしが定数層とな るものをとる．GをGalois群Gal(V/V)とする．

Swan類の定義より，σ ∈Gに対し，その基本群へのもちあげのR¹f_!Q のストーク への作用の跡の計算が要点である．この計算は，特殊化との整合性を使って，V がK の 有限次拡大KのSpecの場合に，次のlog Lefschetz公式を示すことに帰着される．記号 を変えて，K =K とする．

定理 7 ([5, Theorem 1.4.6]). LをK の有限次完全分岐Galois拡大とし，σ を暴 分岐群P ⊂Gal(L/K)の元とする．T = Spec OLとし，t ∈T を閉点とする．

XをT 上の準安定スキームとし，D ⊂XをT 上平坦な単純正規交叉因子，U =X\D を補開部分スキームとする．X, D, UをσによるX, D, Uの共役とする．Dのすべての 既約因子D_i に対しX×T XをD_i×T D_i でブローアップしたものを(X×T X)とし，

その生成ファイバーを(X_L×LX_L )とする．(D_L×LX_L),(X_L×LD_L) ⊂(X_L×LX_L) を，D_L×LX_L, X_L×LD_L ⊂X_L×LX_L の固有変換とする．

d= dimX_Lとし，Γ を(X_L×LX_L )のd次元閉部分スキームとする．(Δ_Xt,Γ_t)∈ CH0(X_t)を，正則うめこみX_t →(X ×T X)_t によるΓ の閉ファイバーΓ_t の交点理論

の意味でのひきもどしとし，deg(Δ_Xt,Γ_t) をその次数とする．

Γ ∩(D_L×LX_L) ⊂Γ∩(X_L×LD_L ) であるとし，Γ = Γ∩(U_L×LU_L) とおく．

このとき，第2射影pr₂: Γ → U_L は固有であり，Γ^∗ = pr_1!◦pr^∗₂: H_c^∗(U_L¯,Q) → H_c^∗(UL¯,Q) が定義される．さらにσ の作用σ^∗: H_c^∗(UL¯,Q) →H_c^∗(U_¯

L,Q) との合成に ついて，跡公式

Tr(Γ^∗◦σ^∗ :H_c^∗(UL¯,Q)) = deg(Δ_Xt,Γ_t) (11)

がなりたつ．

log Lefschetz跡公式(11)は，通常のLefschetz跡公式のように，Poincar´e双対性と K¨unneth公式がlog ´etale cohomologyについてなりたつことから証明される．(11)では，

開多様体U を考えていることと，証明にlog点t上のlogスキームのlog ´etale cohomology を使うという2重の意味で，log化がなされている．U =Xの場合には[3, Theorem 6.5.1]

であり，正標数の完全体上の幾何的な場合には[4, Theorem 2.3.4]である．

以上が，Riemann-Roch型の公式 (4) の定式化とその証明の概要である．詳細は，

http://arxiv.org/abs/1007.0310にある．

References

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