ファイナンスのための確率解析
I
練習問題第１章
練習問題1 (1.1.2)式の条件(0 < d < 1 + r < u)が満たされていれば市場は無裁定であることを示す． 初期資本をX0,期末資本をX1とすると X1 = ∆0S1+ (1 + r)(X0− ∆0S0) (1) が成り立つ．無裁定とはX0 = 0, P (X1 ≥ 0) = 1, P (X1 > 0) > 0を満たす∆0が存在しない ということである．期末に生じうる状態H, T についてそれぞれ(1) 式を書くとX0 = 0な ので, X1(H) = ∆0uS0− (1 + r)∆0S0 = ∆0S0(u − 1 − r) X1(T ) = ∆0dS0− (1 + r)∆0S0 = ∆0S0(d − 1 − r) 仮定よりu − 1 − r > 0, d − 1 − r < 0なので, ∆0 > 0 ⇒ X1(H) > 0, X1(T ) < 0 ∆0 = 0 ⇒ X1(H) = 0, X1(T ) = 0 ∆0 < 0 ⇒ X1(H) < 0, X1(T ) > 0 となり,裁定機会は存在しない． 練習問題２ 例題1.1.1でオプション価格が1.20の時,無裁定であることを示す． X0 = 0,株式∆0,オプションΓ0単位保有するとマネーマーケットの保有量は−(4∆0+1.20Γ0) なので, X1 = ∆0S1+ Γ0(S1− 5)+− 1.25(4∆0+ 1.20Γ0) 状態H, T についてそれぞれ書くと, X1(H) = 8∆0+ 3Γ0− (5∆0+ 1.5Γ0) = 3∆0 + 1.5Γ0 X1(T ) = 2∆0 + 0 − (5∆0+ 1.5Γ0) = −3∆0− 1.5Γ0 となり,X1(H) = −X1(T )が成りたつ． よって，X1(T ) ≥ 0, X1(H) > 0またはX1(H) ≥ 0, X1(T ) > 0となることはない．練習問題３ V0 = 1 1 + r[˜pV1(H) + ˜qV1(T )] = 1 1 + r[˜pS1(H) + ˜qS1(T )] = S0 練習問題４ Xn+1(T ) = ∆nSn+1(T ) + (1 + r)(Xn− ∆nSn) = (1 + r)Xn+ ∆n(d − 1 − r)Sn = (1 + r)Vn+ Vn+1(H) − Vn+1(T ) u − d (d − 1 − r) = (1 + r)Vn− ˜pVn+1(H) + ˜pVn+1(T ) = ˜pVn+1(H) + ˜qVn+1(T ) − ˜pVn+1(H) + ˜pVn+1(T ) = Vn+1(T ) 練習問題５ まず定義にしたがい∆1(H) = 151 となるので、富の等式(1.2.14)に従い計算すると X2(HH) = 3.2, X2(HT ) = 2.4 となり確かにヘッジできている.また、∆2(HT ) = −1となるので同じく富の等式(1.2.14) に従い計算すると X3(HT H) = 0, X3(HT T ) = 6 となりこの場合も確かにヘッジできている. 練習問題６ 株式を∆単位保有する(マネーマーケットに−4∆ 投資).そのとき満期におけるポート フォリオのペイオフV1は V1(H) = 3 + 8∆ + 1.25 × (−4∆) = 3 + 3∆ V1(T ) = 0 + 2∆ + 1.25 × (−4∆) = −3∆ となる.これらが共に1.5になるには∆ = −0.5とおけばよい.
練習問題７ 時刻３に確実に 2.6875 を得るにはルックバックオプションとは別に、V3(HHH) = 2.6875, V3(HHT ) = −5.3125, V3(HT H) = 2.6875, V3(HT T ) = −3.3125, V3(T HH) = 2.6875, V3(T HT ) = 0.6875, V3(T T H) = 0.6875, V3(T T T ) = −0.8125 というペイオフを発 生させるポートフォリオを株式とマネーマーケットから初期資金0で作り出せばよい.その ためには(1.2.16),(1.2.17)を後ろ向きに繰り返し用いれば、 ∆2(HH) = 1 3, ∆2(HT ) = 1, ∆2(T H) = 1 3, ∆2(T T ) = 1, ∆1(H) = − 1 15, ∆1(T ) = 13 30, ∆0 = − 13 75 と株式を取引すればよいことが分かる. 練習問題８ (i) vn(s, y) = 2 5(vn+1(2s, y + 2s) + vn+1(0.5s, y + 0.5s)) (ii) (i)の式に従い計算すると次のようになる. v3(32, 60) = 11, v3(8, 36) = 5, v3(8, 24) = 2, v3(2, 18) = 0.5, v3(8, 18) = 0.5, v3(2, 12) = v3(2, 9) = v3(0.5, 7.5) = 0, v2(16, 28) = 6.4, v2(4, 16) = 1, v2(4, 10) = 0.2, v2(1, 7) = 0, v1(8, 12) = 2.96, v1(2, 6) = 0.08, v0 = 1.216 結果アジアンオプションの価格は1.216 (iii) δn(s, y) = vn+1(2s, y + 2s) − vn+1(2s, y + s2) 2s − 1 2s 練習問題９ (i) Vn(ω1ω2. . . ωn) = 1 1 + rn(ω1ω2. . . ωn) [˜pn(ω1ω2. . . ωn)Vn+1(ω1ω2. . . ωnH) + ˜qn(ω1ω2. . . ωn)Vn+1(ω1ω2. . . ωnT )] ˜ pn(ω1ω2. . . ωn) = 1 + rn(ω1ω2. . . ωn) − dn(ω1ω2. . . ωn) un(ω1ω2. . . ωn) − dn(ω1ω2. . . ωn) ˜ qn(ω1ω2. . . ωn) = un(ω1ω2. . . ωn) − 1 − rn(ω1ω2. . . ωn) un(ω1ω2. . . ωn) − dn(ω1ω2. . . ωn) というアルゴリズムに従い後ろ向きに計算すれば最終的に時刻０での価格が求まることが, 定理1.2.2と同じ方法で示される.
(ii) (1.2.17)式と同じ. (iii) 上のツリーの各格子上の数値は株価を表し,カッコ内はオプション価格を表す.また ˜ pn = 1 − Sn−10 Sn Sn+10 Sn − Sn−10 Sn = 1 2 となることから各格子に対応するリスク中立確率は上下ともに0.5で一定であることを計算 に用いた.よって時刻０におけるオプション価格は9.375
ファイナンスのための確率解析
I
第２章
練習問題１ (i) Ω = A ∪ Ac, A ∩ Ac = φ ⇒ 1 = P (Ω) = P (A) + P (Ac) よってP (Ac) = 1 − P (A)が成り立つ. (ii) P (∪mn=1) ≤ m X n=1 P (An) が成り立つと仮定する.このとき P (∪m+1 n=1) = P (∪mn=1An) + P (Am+1) − P ((∪mn=1An) ∩ Am+1) ≤ P (∪m n=1An) + P (Am+1) ≤ m X n=1 P (An) + P (Am+1) = m+1 X n=1 P (An) となるので帰納的に題意が示された. 練習問題２ (i) ˜ P (S3 = 32) = 18, ˜P (S3 = 8) = 38, ˜P (S3 = 2) = 38, ˜P (S3 = 0.5) = 18 (ii) ˜ E[S1] = 8 × 1 2 + 2 × 1 2 = 5 ˜ E[S2] = 16 × 1 4 + 4 × 2 4+ 1 × 1 4 = 25 4 ˜ E[S3] = 32 × 1 8 + 8 × 3 8+ 2 × 3 8 + 0.5 × 1 8 = 125 16 平均成長率は25％. (iii)P (S3 = 32) = 278, P (S3 = 8) = 1227, P (S3 = 2) = 276, P (S3 = 0.5) = 271 E[S1] = 8 × 2 3 + 2 × 1 3 = 6 E[S2] = 16 × 4 9 + 4 × 4 9+ 1 × 1 9 = 9 E[S3] = 32 × 8 27+ 8 × 12 27 + 2 × 6 27+ 0.5 × 1 27 = 27 2 平均成長率は50％. 練習問題３ En[ϕ(Mn+1)] ≥ ϕ(En[Mn+1]) = ϕ(Mn) １つ目の不等号は条件付Jensen不等式,２つ目の等号は(Mn)がマルチンゲールであるこ とによる. 練習問題４ (i) En[Mn+1] = En hXn+1 j=1 Xj i = Mn+ En[Xn+1] = Mn+ E[Xn+1] = Mn となり(Mn)はマルチンゲール. (ii) En[Sn+1] = En h eσMn+1 ³ 2 eσ+ e−σ ´n+1i = eσMn ³ 2 eσ + e−σ ´n+1 En[eσXn+1] = eσMn ³ 2 eσ+ e−σ ´n+1 E[eσXn+1] = eσMn ³ 2 eσ + e−σ ´n+1³eσ+ e−σ 2 ´ = Sn となり(Sn)はマルチンゲール. 練習問題５
(i) n 2 = 1 2 n−1 X j=0 (Mj+1− Mj)2 = 1 2 n−1 X j=0 M2 j+1− n−1 X j=0 Mj+1Mj+ 1 2 n−1 X j=0 M2 j = M 2 n 2 + n−1 X j=0 Mj2− n−1 X j=0 Mj+1Mj+ n−1 X j=0 Mj2 = Mn2 2 + n−1 X j=0 Mj(Mj − Mj+1) = M2 n 2 − In よってIn= 12Mn2−n2 が成り立つ. (ii) En[f (In+1)] = En[f (In+ Mn(Mn+1− Mn))] = En[f (In+ MnXn+1)] ここでh(x, y) = E[f (x + yXn+1)]と定義すると,補題2.5.3により En[f (In+ MnXn+1)] = h(In, Mn)
と表せる.また(i)の結果よりh(In, Mn) = g(In)と表せる.
練習問題６ En[In+1] = In+ En[∆n(Mn+1− Mn)] = In+ ∆nEn[Mn+1− Mn] = In+ ∆nE[Xn+1] = In となり(In)はマルチンゲール. 練習問題７ 上昇確率p = 0.5とする.
上図のような二項モデルを考える.これがマルコフ過程になるにはE1[f (X2)] = g(X1)が任 意の関数f について成り立つ必要があるが時点１を条件として計算すると, 1 2(f (2) + f (0)) = f (1) = g(1) とならなければならない.例えばf (x) = x2 とおくと,これは成り立たないのでこの確率過 程はマルコフ過程ではない. しかしマルチンゲールにはなる(計算は省略). 練習問題８ (i) Mn = ˜En[MN] = ˜En[MN0 = Mn0] (ii) ˜ En h V n+1 (1 + r)n+1 i = 1 (1 + r)n+1E˜n[Vn+1] = 1 (1 + r)n+1[˜pVn+1(H) + ˜qVn+1(T )] = Vn (1 + r)n よって{ Vn (1+r)n}はマルチンゲール. (iii) ˜ En h V0 n+1 (1 + r)n+1 i = ˜En h ˜ En+1 h V N (1 + r)N ii = ˜En h V N (1 + r)N i = 1 (1 + r)nE˜n h V N (1 + r)N −n i = Vn0 (1 + r)n よって{ Vn0 (1+r)n}はマルチンゲール. (iv) 定義より、 VN0 (1+r)N = (1+r)VNNとなるので(i)(ii)(iii)の結果を用いると Vn (1 + r)n = V0 n (1 + r)n, ∀n ⇐⇒ Vn = V 0 n, ∀n が成り立つ.
練習問題９ (i) リスク中立確率は ˜ p(ω1ω2) = 1 + r(ω1ω2) − d(ω1ω2) u(ω1ω2) − d(ω1ω2) という式で上昇確率が求まるので各事象について計算すると, ˜ PH(HH) = 1 2, ˜PH(HT ) = 1 2, ˜PT(T H) = 1 6, ˜PT(T T ) = 5 6 ただしp˜H(HH)は(H)の格子上での上昇するリスク中立確率を意味する. これらを用いて 時点０を基準とした整合的なリスク中立確率は ˜ P (HH) = 1 4, ˜P (HT ) = 1 4, ˜P (T H) = 1 12, ˜P (T T ) = 5 12 と計算できる. (ii) リスク中立評価式により V1(H) = 1 1.25 h1 2 × 5 + 1 2× 1 i = 12 5 V1(T ) = 1 1.5 h1 6 × 1 + 5 6× 0 i = 1 9 となる.またP (H) = ˜˜ P (T ) = 0.5なので V0 = 1 1.25 h1 2 × 12 5 + 1 2 × 1 9 i = 226 225 となる. (iii) ∆0 = V1(H) − V1(T ) S1(H) − S1(T ) = 103 270 (iv) ∆(H) = V2(HH) − V2(HT ) S2(HH) − S2(HT ) = 1 練習問題１０ (i) ˜ En h X n+1 (1 + r)n+1 i = ˜Enh∆n Yn+1Sn (1 + r)n+1 + Xn− ∆nSn (1 + r)n i = ∆nSn (1 + r)n+1E˜n[Yn+1] + Xn− ∆nSn (1 + r)n = ∆nSn (1 + r)n+1[˜pu + ˜qd] + Xn− ∆nSn (1 + r)n = Xn (1 + r)n
となり割引富過程はマルチンゲール. (ii) まず派生証券の時点N でのペイオフVNを初めのN 回のコイン投げの結果に依存する確 率変数とする. そして(1.2.16)式を用いて帰納的にVnを定義する.また, ∆nも(1.2.17)式を 用いて定義する. さらに,配当がある場合の富の等式は(2.8.2)式のようになり,配当が無い 場合の(1.2.14)式とは一見異なる. しかし実際には(2.8.2)式も(1.2.14)式も共に Xn+1(ω1, . . . , ωn, H) = ∆nuSn+ (1 + r)(Xn− ∆nSn) Xn+1(ω1, . . . , ωn, T ) = ∆ndSn+ (1 + r)(Xn− ∆nSn) となって等しい.よって定理1.2.2と同様の手順で Xn(ω1, . . . , ωn) = Vn(ω1, . . . , ωn), ∀n, ∀(ω1, . . . , ωn) が成り立つことが示せる.つまり配当がある場合の富の等式 (2.8.2)式から作られるポート フォリオXnも派生証券を複製できていることが分かる. よって,後は 上で定義したVnについて 練習問題8と同様のプロセスをたどることで配当 がある場合でもリスク中立価格評価式 Vn= ˜En h V N (1 + r)N −n i が成り立つことが分かる. (iii) ˜ En h S n+1 (1 + r)n+1 i = ˜En h(1 − An+1)Yn+1Sn (1 + r)n+1 i = Sn (1 + r)n+1[(1−An+1(H))˜pu+(1−An+1(T ))˜qd] 割引株価がマルチンゲールになるには (1 − An+1(H))˜pu + (1 − An+1(T ))˜qd 1 + r = 1 となる必要があるが,これは常に成り立つとは限らない. 練習問題１１ (i) まず時刻０でフォワード契約とプットを購入した場合の満期のペイオフは (SN − K) + (K − SN)+ = SN − K + K − SN = 0 if K > SN SN − K if K < SN
これは満期のコールのペイオフと同じ. (ii) Cn= ˜En h C N (1 + r)N −n i = ˜En h FN + PN (1 + r)N −n i = Fn+ Pn (iii) F0 = ˜E0 h F N (1 + r)N i = ˜E0 h SN − K (1 + r)N i = S0− K (1 + r)N (iv) 時刻０でF0ではじめ,必要ならば資金を借りて株式を１単位購入するとき,満期でのペイ オフは(iii)の結果を利用して (1 + r)N(F 0− S0) + SN = −K + SN となる.つまりフォワード契約を複製できたことになる. (v) (i)の結果にn = 0, F0 = 0を代入するとC0 = F0+ P0 = P0となる. (vi) Fn= ˜En h SN − K (1 + r)N −n i = ˜En hSN − (1 + r)NS0 (1 + r)N −n i = Sn− (1 + r)nS0 となるがこれは常に０となるわけでないので,(ii)の結果より全てのnについてCn = Pnが 成り立つとは限らない. 練習問題１２ 練習問題 11の(v)より満期N で行使価格 K = (1 + r)N −mSm のコールオプションと プットオプションの時点m における価格は等しい。また、行使価格K > (1 + r)N −mSmの ときリスク中立評価式より Fm = ˜Em h F N (1 + r)N −m i = (1 + r)mE˜ m h S N (1 + r)N i − K (1 + r)N −m = Sm− K (1 + r)N −m < 0
となるので(ii)よりCm = Fm+ Pm < Pmが成り立つ。逆の場合も同様で、まとめると次 のようになる。 Cm < Pm if K > (1 + r)N −mSm Cm = Pm if K = (1 + r)N −mSm Cm > Pm if K < (1 + r)N −mSm このことからチューザーオプションでは時点mにおける原資産価格Smが行使価格K に対 して、1番目の条件を満たすときプットオプションが選ばれ、2番目の条件を満たすとき無 差別になり、3番目の条件を満たすときコールオプションが選ばれることが分かる。 一方、時点0で行使価格K、満期N のプットオプションと満期mで行使価格(1+r)KN −m のコールオプションから成るポートフォリオを考える。このとき時点mでは (・Sm > (1+r)KN −m のとき)⇐⇒ K < (1 + r)N −mSm コールオプションからのペイオフは Sm − (1+r)KN −m なのでポートフォリオの価値は Pm+ Sm− (1+r)KN −m = Pm+ Fm = Cm、つまり行使価格K、満期N の コールオプション の価値と等しくなる。 (・Sm < (1+r)KN −m のとき)⇐⇒ K > (1 + r)N −mSm コールオプションからのペイオフは 0なのでポートフォリオの価値は 行使価格K、満 期N のプットオプションの価値と等しくなる。 また、等号が成り立つときは(v)よりコールオプションとプットオプションの価値が等し くなり、それがポートフォリオの価値となる。 つまりポートフォリオとチューザーオプションの時点mでの価値が確実に等しくなる。 よって市場が無裁定ならばこの２つの時点0での価値は等しくなければならない。 練習問題１３ (i) ˜ En[f (Sn+1, Yn+1)] = ˜En[f (SnXn+1, Yn+ Sn + 1)] ただし,Xn+1(H) = u, Xn+1(T ) = dと定義する.このとき補題2.5.3より g(s, y) = E[f (sXn+1, y + Sn+1)] と定義するとE˜n[f (Sn+1, Yn+1)] = g(Sn, Yn)が成り立つ.つまり(Sn, Yn)は２次元マルコフ 過程になる.
(ii) vn(s, y) = 1 1 + r[˜pvn+1(us, y + us) + ˜qvn+1(ds, y + ds)] vN(s, y) = f ³ y N + 1 ´ 練習問題１４ (i) n ≥ M + 1の場合は練習問題１３と同じ.n < M の場合も ˜ En[f (Sn+1, Yn+1)] = ˜En[f (Sn+1, 0)] = g(Sn, 0) = g(Sn, Yn) となる.n = M の場合は ˜ EM[f (SM +1, YM +1)] = ˜EM[f (SM +1, SM +1)] = g(SM, SM) となるので,全て合わせて(Sn, Yn)は２次元マルコフ過程になる. (ii) vn(s, y) = 1+r1 [˜pvn+1(us, y + us) + ˜qvn+1(ds, y + ds)] if n ≥ M + 1 vM(s) = 1+r1 [˜pvM +1(us, us) + ˜qvM +1(ds, ds)] if n = M vn(s) = 1+r1 [˜pv(us) + ˜qv(ds)] if n < M vN(s, y) = f ( y N − M)
ファイナンスのための確率解析
I
第３章
練習問題１ (i0) 1 Z(ω) = P (ω) ˜ P (ω) > 0, ∀ω ∈ Ω が仮定により成り立つ.よってP (˜ Z1 > 0) = 1 (ii0) ˜ Eh 1 Z i =X ω∈Ω P (ω) ˜ P (ω)P (ω) =˜ X ω∈Ω P (ω) = 1 (iii0) ˜ Eh 1 ZY i =X ω∈Ω P (ω) ˜ P (ω)Y (ω) ˜P (ω) = X ω∈Ω P (ω)Y (ω) = E[Y ] 練習問題２ (i) ˜ P (Ω) =X ω∈Ω Z(ω)P (ω) = E[Z] = 1 (ii) ˜ E[Y ] =X ω∈Ω Y (ω) ˜P (ω) =X ω∈Ω Y (ω)(ω)P (ω) = E[ZY ] (iii) P (A) = X ω∈A P (ω) = 0, P (ω) ≥ 0, ∀ω ∈ Ω が仮定および確率測度の性質より成り立つのでP (ω) = 0, ∀ω ∈ Aがいえる.よって ˜ P (A) = X ω∈A Z(ω)P (ω) = 0 (iv) ˜ P (A) = X ω∈A Z(ω)P (ω) = 0, Z(ω)P (ω) ≥ 0, ∀ω ∈ Ωが仮定より成り立つので Z(ω)P (ω) = 0, ω ∈ A となる. 仮定より Z(ω) > 0 なので P (ω) = 0∀ω ∈ Aとなる. よってP (A) = 0. (v) P とP˜の同値性と確率測度の性質よりP (A) = 1 ⇔ P (Ac) = 0 ⇔ ˜P (Ac) = 0 ⇔ ˜P (A) = 1となる. (vi) 確率変数Z およびその分布を P (Z(ω1) = 3 2) = 1 3, P (Z(ω2) = 3 2) = 1 3, P (Z(ω3) = 0) = 1 3 と定義するとE[Z] = 1, P (Z ≥ 0) = 1となる.このときP (ω˜ 3) = 0だがP (ω3) = 13 6= 0と なりP とP˜は同値でない. 練習問題３ ! 定義に従い(Mn)を計算すると上図のようになる.また En[Mn+1] = En[En+1[S3]] = En[S3] = Mn となるので(Mn)はマルチンゲールである. 練習問題４ (i)
ζ3 = ³ 4 5 ´3 Z3 なので ζ3(HHH) = 27 125, ζ3(HHT ) = ζ3(HT H) = ζ3(T HH) = 54 125 ζ3(HT T ) = ζ3(T HT ) = ζ3(T T H) = 108 125, ζ3(T T T ) = 216 125 (ii) V0 = X ω∈Ω ζ(ω)P (ω)VN(ω) に従い計算すると, V0 = 27 125 8 2711 + 54 125 4 27(5 + 2 + 0.5) + 108 125 2 27(0.5 + 0 + 0) + 216 125 1 270 = 1.216 となる. (iii) ζ2(HT ) = ζ2(T H) = ³4 5 ´2 Z2(HT ) = 18 25 (iv) V2(HT ) = 1 ζ2(HT ) E2[ζ3V3](HT ) = 25 18 ³2 3 54 1252 + 1 3 108 1250.5 ´ = 1 V2(T H) = 1 ζ2(T H) E2[ζ3V3](T H) = 25 18 ³2 3 54 125 1 2 + 1 3 108 1250 ´ = 0.2 練習問題５ (i) 定義に従い計算すると Z(HH) = 9 16, Z(HT ) = 9 8, Z(T H) = 3 8, Z(T T ) = 15 4 (ii) Z1(H) = E1[Z](H) = 2 3 9 16 + 1 3 9 8 = 3 4 Z1(T ) = E1[Z](T ) = 2 3 3 8+ 1 3 15 4 = 3 2 Z0 = E0[Z1] = 2 3 3 4+ 1 3 3 2 = 1
(iii) V1(H) = 16 15 ³2 3 9 165 + 1 3 9 81 ´ = 2.4 V1(T ) = 8 9 ³2 3 3 81 + 1 3 15 4 0 ´ = 1 18 V0 = 16 25 ³4 9 9 165 + 2 9 9 81 ´ + 8 15 ³2 9 3 81 + 1 9 15 4 0 ´ = 226 225 練習問題６ 補題3.3.4により問題は max E[log(XN)], s.t. ˜E h X N (1 + r)N i = X0 と書き換えられる.これを解く. L =X ω∈Ω log(XN)(ω) + λ ³ X0− X ω∈Ω XN(ω) (1 + r)NP (ω)Z(ω) ´ とラグラジアンをおく.一階条件は P (ω) XN(ω) − λζN(ω)P (ω) = 0 となるので XN = λζ1N となる.これを制約式に代入すると,λ = X10 となる. よってX0 = XNζN が成り立つ.次にこの両辺の条件付期待値を取ると X0 = En h XN ZN (1 + r)N i となる.また補題3.2.6より ˜ En h X N (1 + r)N i = 1 Zn En h XNZN (1 + r)N i となることを用いると, En h XN ZN (1 + r)N i = ZnE˜n h X N (1 + r)N i = Zn Xn (1 + r)n = Xnζn となる.つまりX0 = Xnζn, ∀nが成り立つ. 練習問題７ 練習問題６と同じく問題を書き換えて解く. L =X ω∈Ω log(XN)(ω) + λ ³ X0− X ω∈Ω XN(ω) (1 + r)NP (ω)Z(ω) ´
とラグラジアンをおくと一階条件は XNp−1(ω)P (ω) − λP (ω)ζ(ω) = 0 となる.これを整理して λ = X p−1 N ζ となる.これを制約式に代入して整理すると λp−11 = X0 E[ζp−1p ] となる.よって XN = λ 1 p−1ζp−11 = X0ζ 1 p−1 E[ζp−1p ] = X0(1 + r)NZ 1 p−1 E[Zp−1p ] となる. 練習問題８ (i)
U(x)は凹関数なのでV (x) = U(x) − yxも凹関数になる.またU(x)は少なくとも１回微 分可能なので(そうでないとI を定義できない), I(y)の定義よりV0(I(y)) = 0が成り立つ. また 凹関数の性質より
V (x) ≤ V (I(y)) + V0(I(y))(x − I(y)) = V (I(y))
が成り立つので関数U(x) − yxはI(y)で最大化される. (ii) x = XN, y = (1+r)λZN を(3.6.3)に代入すると U(XN) − λZXN (1 + r)N ≤ U(X ∗ N) − λZ (1 + r)NI ³ λZ (1 + r)N ´ となる.両辺の期待値を取ると (左辺) = E[U(XN)] − Eh λZXN (1 + r)N i = E[U(XN)] − λ ˜E h X N (1 + r)N i = E[U(XN)] − λX0 (右辺) = E[U(XN∗)] − E h λZ (1 + r)NI ³ λZ (1 + r)N ´i = E[U(X∗ N)] − λX0 (右辺)の最後の等式は(3.3.26)による.よって両辺を比較すると E[U(XN)] ≤ E[U(XN∗)]
が成り立つ. 練習問題９ (i) Xn= ˜En h X N (1 + r)N −n i ≥ 0 (ii) (0 < y ≤ 1 γ)の場合 (RHS) − (LHS) = 1 − U(x) − y(γ − x) = 1 − y(γ − x) ≥ 0 if 0 ≤ x < γ −y(γ − x) ≥ 0 if x ≥ γ (y > 1 γ)の場合 (RHS) − (LHS) = −(U(x) − yx) = yx ≥ 0 if 0 ≤ x < γ −1 + yx ≥ 0 if x ≥ γ (iii) x = XN, y = (1+r)λZN を(ii)の不等式に代入すると U(XN) − λZXN (1 + r)N ≤ U(X ∗ N) − λZ (1 + r)NI ³ λZ (1 + r)N ´ となる.両辺の期待値をとるとU(x)の定義から (左辺) = P (XN ≥ γ)−E h λZXN (1 + r)N i = P (XN ≥ γ)−λ ˜E h X N (1 + r)N i = P (XN ≥ γ)−λX0 (右辺) = P (XN∗ ≥ γ) − E h λZ (1 + r)NI ³ λZ (1 + r)N ´i = P (XN∗ ≥ γ) − λX0 よって両辺を比較して P (XN ≥ γ) ≤ P (XN∗ ≥ γ) が成り立つ. (iv) (3.6.4)式は X0 = E h Z (1 + r)NI ³ λZ (1 + r)N ´i = M X m=1 ζmI(λζm)pm = K X m=1 ζmγpm
と変形できる. ただしK はζK ≤ γλ1 ≤ ζK+1を満たす正の整数と定義する. よって λの存 在は K X m=1 ζmpm = X0 γ を満たすKの存在と同値である. (v) X∗ N = I(λζ)であること,およびK の定義より m ≤ K ⇒ λζm ≤ 1 γ ⇒ X ∗ N(ωm) = γ m > K ⇒ λζm > 1 γ ⇒ X ∗ N(ωm) = 0 となる.
ファイナンスのための確率解析
I
第４章
練習問題１ (i) ! " 太字は早期行使を表す.よってV0P = 0.928. (ii) ! " よってV0C = 2.56. (iii)!" #$ !" # % & # よってV0S = 3.296. (iv) VS 0 = 3.296 < V0C + V0P = 3.488.となっている.ストラドルの場合,プットだけを先に行 使し,コールをその後で行使するという戦略が取れない. そのため,それができるコールと プットを別々に保有する方が価値が高くなる.この例の場合,事象(T )に表れている. 練習問題２ 時刻０で株式を ∆0 単位保有しマネーマーケットに−4投資すると,アメリカンプットと 合わせて時刻１でのポートフォリオの価値X1は X1(H) = 3∆0+ 0.4, X1(T ) = −3∆0+ 3 となる.これが共に1.36 × 1.25 = 1.7になるには∆0 = 1330 とすればよい. 次に時刻２で常に1.7 × 1.25 = 178 を得るには 16∆1(H) + 5 4(1.7 − 8∆1(H)) = 17 8 4∆1(H) + 5 4(1.7 − 8∆1(H)) = 17 8 4∆1(T ) + 5 4(1.7 − 4∆1(T )) = 17 8 2∆1(T ) + 5 4(1.7 − 4∆1(T )) = 17 8
となるよう∆1(H), ∆1(T )を定めればよい.∆1(H) = ∆1(T ) = 0. 練習問題３ !" ! # よって価格は0.4.太字は早期行使を表す.つまり時刻１でT が実現すれば早期行使.そう でなければ行使しないという戦略が最適. 練習問題４ まず(HH), (HT )が実現すると分かっている場合,インサイダーは時刻０で早期行使をす るが,売り手は1.36受け取っているので支払を履行できる. 次に(T H)が実現すると分かっ ている場合,インサイダーは時刻１で早期行使をするが,この場合も−0.43単位 株式を保有 することで売り手はこの支払に対応できる. そして(T T )が実現すると分かっている場合, インサイダーは時刻２で行使するが,この場合も∆1(T ) = −1とすることで売り手はこの支 払に対応できる. よって,インサイダーに対してより高い価格を請求する必要はない. 練習問題５ まず停止時刻を列挙する. (1)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = ∞ (2)τ (HH) = 2, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = ∞ (3)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = 2, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = ∞ (4)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = 2, τ (T T ) = ∞
(5)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = 2 (6)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = 2, τ (T T ) = 2 (7)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = 2, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = 2 (8)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = 2, τ (T H) = 2, τ (T T ) = ∞ (9)τ (HH) = 2, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = 2 (10)τ (HH) = 2, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = 2, τ (T T ) = ∞ (11)τ (HH) = 2, τ (HT ) = 2, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = ∞ (12)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = 2, τ (T H) = 2, τ (T T ) = 2 (13)τ (HH) = 2, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = 2, τ (T T ) = 2 (14)τ (HH) = 2, τ (HT ) = 2, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = 2 (15)τ (HH) = 2, τ (HT ) = 2, τ (T H) = 2, τ (T T ) = ∞ (16)τ (HH) = 2, τ (HT ) = 2, τ (T H) = 2, τ (T T ) = 2 (17)τ (HH) = 1, τ (HT ) = 1, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = ∞ (18)τ (HH) = 1, τ (HT ) = 1, τ (T H) = ∞, τ (T T ) = 2 (19)τ (HH) = 1, τ (HT ) = 1, τ (T H) = 2, τ (T T ) = ∞ (20)τ (HH) = 1, τ (HT ) = 1, τ (T H) = 2, τ (T T ) = 2 (21)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = 1, τ (T T ) = 1 (22)τ (HH) = ∞, τ (HT ) = 2, τ (T H) = 1, τ (T T ) = 1 (23)τ (HH) = 2, τ (HT ) = ∞, τ (T H) = 1, τ (T T ) = 1 (24)τ (HH) = 2, τ (HT ) = 2, τ (T H) = 1, τ (T T ) = 1 (25)τ (HH) = 1, τ (HT ) = 1, τ (T H) = 1, τ (T T ) = 1 (26)τ (HH) = 0, τ (HT ) = 0, τ (T H) = 0, τ (T T ) = 0 このうちアウト・オブ・ザ・マネーのときに行使されない停止時刻は,1,3,4,5,6,7,8,12,21,22,26. それぞれの停止時刻について ˜ E h 1{τ ≤2} ³4 5 ´τ Gτ i
を計算すると(過程は省略) (1)0,(3)0.16,(4)0.16,(5)0.64,(6)0.8,(7)0.8,(8)0.32,(12)0.96,(21)1.2,(22)1.36,(26)1 となるので(4.4.6)式の停止時刻,つまり(22)が最大値を与えることが分かる. 練習問題６ (i) 時刻N − 1に早期行使すべきかどうか考える.もし行使しなければ次期にK − SN のペイ オフが発生するが,このN − 1時点における価値はリスク中立評価法によると 1 1 + rE˜N −1[(K − SN)] = K 1 + r − SN −1 となる.これと早期行使のペイオフK − SN −1を比べると K 1 + r − SN −1− (K − SN −1) = − rK 1 + r < 0 となるので時点N − 1では早期行使が最適になることが分かる. よって同じ議論でN − 2 でも早期行使が最適になる.これを繰り返して最適な行使戦略は時点０での行使になること が分かる. (ii) (i)の派生証券と満期N のヨーロピアンコールを持つと,満期でのペイオフはプットオプ ションと同じになる.つまり,このポートフォリオはアメリカンプットオプションの最適行 使戦略を実行できる.よって(4.8.4)式が成り立つ. (iii) 練習問題１１(ii)(iii)より VEC 0 − S0+ K (1 + r)N = V EP 0 が成り立つ.ヨーロピアンプットはアメリカンプットにおいて停止時刻を τ ({K − SN > 0}) = N, τ ({K − SN ≤ 0}) = ∞ と定めたものに等しいので,V0EP ≤ V0AP が成り立つ.合わせて(4.8.5)式が成り立つ. 練習問題７ 時刻N − 1に早期行使すべきかどうか考える.行使しなければ次期にSN − Kのペイオフ が発生する.リスク中立評価法によるとこの価値は 1 1 + rE˜N −1[SN − K] = SN −1− K 1 + r
となる.両者を比較すると SN −1− K 1 + r − (SN −1− K) = rK 1 + r > 0 となり待つのが最適.次に時刻N − 2に早期行使すべきかどうか考える.行使しない場合の 価値はリスク中立評価法によると 1 1 + rE˜N −2 h SN −1− K 1 + r i = SN −2− K (1 + r)2 となる.待つ場合と比較すると上と同様に SN −2− K (1 + r)2 − (SN −2− K) = K ³³ 1 − 1 1 + r ´2´ > 0 となり待つのが最適. 時点N − l + 1での価値が SN −(l−1)− K (1 + r)l−1 と仮定すると時点N − lでは 1 1 + rE˜N −l h SN −(l−1)− K (1 + r)l−1 i − (SN −l− K) = K ³ 1 −³ 1 1 + r ´l´ > 0 となるので待つのが最適でその価値は SN −l− K (1 + r)l となる.よって後ろ向き帰納的に時点N − lでのこの派生証券の価値は上式で決定されるこ とが分かる.l = N を代入して時刻０での価値は S0− K (1 + r)N となる.最適行使戦略は満期まで待つことである.
ファイナンスのための確率解析
I
第５章
練習問題１
(i)
E[ατ2] = E[ατ2−τ1+τ1] = E[ατ2−τ1]E[ατ1] = E[ατ1]2
(ii) E[ατm] = E[αPm−1k=0(τk+1−τk)] = Πm−1 k=0 E[ατk+1−τk] = E[ατ1]m (iii) ランダムウォークが非対称であっても各回のコイン投げの独立性は変わらないので {τk+1 − τk}k = 0m−1はそれぞれ独立のまま.(ii)の結果はランダムウォークの独立増分性に 依存しているので,やはり成立する. 練習問題２ (i) f0(σ) = peσ− qe−σ = 0, f ”(σ) > 0 となるので eσ = (q/p)0.5 のとき f (σ) は最小となるが, これは σ > 0 に反するので, f (σ) > f (0) = 1が成り立つ. (ii) En[Sn+1] = eσMn³ 1 f (σ) ´n En h eσXn+1³ 1 f (σ) ´i = Sn³pe σ+ qe−σ f (σ) ´ = Sn (iii) 任意抽出定理により 1 = S0 = E[Sn∧τ1] = E h eσMn∧τ1³ 1 f (σ) ´n∧τ1i となる.また lim n→∞Sn∧τ1 = 0 if τ1 = ∞ eσ³ 1 f (σ) ´τ1 if τ1 < ∞ また有界収束定理によりlimとE は交換可能なので 1 = E h 1{τ1<∞}e σ³ 1 f (σ) ´τ1i
よって e−σ = E h 1{τ1<∞} ³ 1 f (σ) ´τ1i となる.σ ↓ 0とすると有界収束定理によりlimとEは交換可能なので 1 = P (τ1 < ∞) が成り立つ. (iv) α = 1 f (σ) とするとαpeσ + αqe−σ − 1 = 0となり e−σ = 1 − p 1 − 4α2pq 2αq となる.よって(iii)より 1 = Eh 2αq 1 −p1 − 4α2pqα τ1 i となる.よって E[ατ1] = 1 − p 1 − 4α2pq 2αq となる. (v) 両辺をαで微分して整理すると E[τ1ατ1−1] = (1 − (1 − 4α 2pq)1 2) 2α2q(1 − 4α2pq)12 α ↑ 1とすると E[τ1] = 1 − (1 − 4pq) 0.5 2q(1 − 4pq)0.5 となる. 練習問題３ (i) peσ + qe−σ = 1 ⇔ (eσ− 1)(peσ − q) = 0
となるのでσ0 = log(q/p). (ii) 練習問題２の(iii)の等式は成り立つ(ただしσ > σ0)のでσ ↓ σ0 とすると e−σ0 = P (τ 1 < ∞) となる.よってP (τ1 < ∞) = p p/q. (iii) α = 1 f (σ) とすると E[ατ1] = E[1 {τ1<∞}α τ1] + E[1 {τ1=∞}α τ1] = E[1 {τ1<∞}α τ1] = 1 − p 1 − 4α2pq 2αq となる.最後の等式は練習問題２の(iv)の結果を用いた. (iv) 練習問題２の(v)でE[ατ1]をE[1 {τ1<∞}τ1]に置き換えれば, E[1{τ1<∞}τ1] = 1 − (1 − 4pq)0.5 2q(1 − 4pq)0.5 が成り立つ. 練習問題４ (i) E[ατ2] =X k=1 P (τ2 = 2k)α2k = X k=1 ³α 2 ´2k (2k)! (k + 1)!k! となるので級数の各項を比較して P (τ2 = 2k) = (2k)! 4k(k + 1)!k! となる. (ii) 鏡像原理とランダムウォークの対称性により P (τ2 ≤ 2k) = P (M2k = 2) + 2P (M2k ≥ 4) = 1 − P (M2k = −2) − P (M2k = 0)
がいえるので P (τ2 = 2k) = P (τ2 ≤ 2k) − P (τ2 ≤ 2k − 2) = P (M2k−2 = −2) + P (M2k−2= 0) − P (M2k = −2) − P (M2k = 0) =³1 2 ´2k−2n (2k − 2)! k!(k − 2)!+ (2k − 2)! (k − 1)!(k − 1)! o −³1 2 ´2kn (2k)! (k + 1)!(k − 1)!+ (2k)! k!k! o = (2k)! 4k(k + 1)!k! 練習問題５ (i) ランダムウォークが,初めてレベルmに達した時点を軸にして,その後Mn = bとなる経 路とMn= m + (m − b) = 2m − bとなる経路は鏡像経路として対応する. よって,(b ≤ m) と合わせて, P (Mn∗ ≥ m, Mn= b) = P (Mn∗ ≥ m, Mn= 2m − b) = P (Mn = 2m − b) = ³ n! n−b 2 + m ´ ! ³ n+b 2 − m ´ ! ³1 2 ´n が成り立つ. (ii) (i)で経路の数は求めてあるので,各経路の確率 21nを変えればよい.よって求める確率は n! ³ n−b 2 + m ´ ! ³ n+b 2 − m ´ !p n−b 2 +mq n+b 2 −m となる. 練習問題６ 問題文の行使日は文脈から察するに満期日の間違いと思われる (恐らく,満期日を大きく していくとアメリカンプットの価格が永久プットの価格に近づいていくことを示したいも のと思われるので). まず満期日が時刻１のアメリカンプットの価格は2 × 0.4 = 0.8となる. 次に満期日が時刻３のアメリカンプットの価格は
となり0.928である. そして満期日が時刻５のアメリカンプットの価格は となり0.96896である. 練習問題７ (i) (j ≥ 0)のとき v(2s) = 4 − 2s, v³ s 2 ´ = 4 − s 2 c(s) = 4 − s − 4 5 ³ 4 − 5 4s ´ = 0.8 (j = 1)のとき v(2s) = 4 2s = 1, v ³ s 2 ´ = 4 − s 2 = 3 c(s) = 4 − 2 − 4 5 ³1 21 + 1 23 ´ = 0.4
(j ≥ 2)のとき v(2s) = 4 2s = 2 s, v ³ s 2 ´ = 4 s/2 = 8 s c(s) = 4 s − 4 5 ³1 s + 4 s ´ = 0 (ii) (j ≥ 0)のとき δ(s) = − 3 2s 3 2s = −1 (j − 1)のとき δ(s) = −2 3 (j ≥ 2)のとき δ(s) = − 6 s 3 2s = −4 s2 (iii) 次期の株価をs0とするとヘッジポートフォリオの価値x(s0)は x(s0) = δ(s)s0+ (1 + r)(v(s) − c(s) − δ(s)s) となるのでこれがv(s0)と等しくなるかどうか確かめる. (j ≥ 0)のとき x(s0) = −s0+ 5 4(4 − s − 0.8 + s) = 4 − s 0 = v(s0) となっていて正しい. (j = 1)のとき x(s0) = −2 3s 0+5 4(2 − 0.4 + 2 32) = − 2 3s 0+11 3 = 1 s0 = 4 3 s0 = 1 これは共にv(s0)と等しいので正しくヘッジできている. (j ≥ 2) x(s0) = −4 s2s 0+ 5 4 ³4 s + 4 s2s ´ = −4s 0 s2 + 10 s = 2/s s0 = 2s 8/s s0 = s/2
これは共にv(s0)と等しいので正しくヘッジできている. 練習問題８ (i) ˜ En h v(SN +1) (1 + r)N +1 i = ˜En h S N +1 (1 + r)n+1 i = Sn (1 + r)n = v(Sn) (1 + r)n となるので (1+r)v(Sn)n はマルチンゲール.よって優マルチンゲールでもある. (ii) 時刻nで常に行使するときの投資の時刻０における価値は ˜ Eh Sn− K (1 + r)n i = S0− K (1 + r)n となる.これはn → ∞とするとS0に収束する.これはいつまでも行使しないという戦略を 意味するのでコールの価値は少なくともその時点での株価以上の価値をもつ. (iii) ベルマン方程式の右辺は max n s − K, 1 1 + r[˜pus + ˜qds] o = max n s − K, s o = s = v(s) となるのでv(s) = sはベルマン方程式を満たす.また境界条件(5.4.18)も明らかに満たして いる. (iv) v(Sn) = Snは(iii)のベルマン方程式から常に行使しない戦略に対応しているので,永久 アメリカンコールは最適行使時刻をもたない. 練習問題９ (i) v(s) = sp を代入すると sp = 2 5(2s) p +2 5 ³ s 2 ´p ⇔ sp(21−p+2p+1−5 ) = 0 sp > 0なので 21−p+2p+1−5 = 0 ⇔ 2(22p) − 5(2p) + 2 = (2p− 2)(2(2p) − 1) = 0 これを解くとp = 1, −1.
(ii) v(s) = As + B s に境界条件lims→∞ = 0を課すと,A lims→∞s = 0よりA = 0が必要. (iii) fB(s)0 = − B s2 + 1 = 0, fB(s)” = 2B s3 > 0 よりs =√B でfB(s)は最小値を取る.そのとき fB(s) = 2 √ B − 4 > 0 ⇔ B > 4 となるのでB > 4のときfB(s)は解をもたない.逆にB ≤ 4の場合fB(s)は正の値と負の 値を取りうる連続関数なので中間値の定理によりfB(s) = 0は解をもつ. (iv) リスク中立測度のもとで株価は対称ランダムウォークをもとに決定されるので定理5.2.3 を用いると vB(S0) = ˜E h³4 5 ´τ (4 − sB) i = (4 − sB) ˜E h³4 5 ´τi = (4 − sB) 1 22−j = (4 − 2j)2j 4 となる.また (4 − 2j+1)2j+1 (4 − 2j)2j > 1 ⇔ 2 j < 4 3 となるので vB(s) はj = 1, つまり sB = 2 のときに最大になることが分かる.そのとき B = 4. (v) (iv)で計算したsB, B によりvB0 (sB) = −242 = −1となるのでv0B(s)はs = sBにおいて 連続.
ファイナンスのための確率解析
I
第６章
練習問題１ (i) En[c1X + c2Y ](ω1. . . ωn) = X ωn+1...ωN (c1X(ω1. . . ωN) + c2Y (ω1. . . ωN))P (ωn+1...ωN|ω1...ωn) = c1 X ωn+1...ωN X(ω1. . . ωN)P (ωn+1. . . ωN)+ c2 X ωn+1...ωN Y (ω1. . . ωN)P (ωn+1. . . ωN) = c1En[X](ωn+1. . . ωN) + c2En[Y ](ωn+1. . . ωN) (ii) En[XY ](ω1. . . ωn) = X(ω1. . . ωn) X ωn+1...ωN Y (ω1. . . ωN)P (ωn+1. . . ωN|ω1. . . ωn) = X(ω1. . . ωn)En[Y ](ω1. . . ωn) (iii) En[Em[X]] = En[Z] = X ωn+1...ωN Z(ω1. . . ωm)P (ωn+1. . . ωN|ω1. . . ωn) = 1 P (ω1. . . ωn) X ωn+1...ωm Z(ω1. . . ωm)P (ω1. . . ωm) = 1 P (ω1. . . ωn) X ωn+1...ωm X ωm+1...ωN X(ω1. . . ωN) P (ω1. . . ωN) P (ω1. . . ωm) P (ω1. . . ωm) = En[X] (v) 定理2.3.2の場合と同じ方法で示せるので省略. 練習問題２ 時点nで資産を１単位買い,満期mの割引債を Sn Bn,m 単位売るというポートフォリオの割 引価値を考える.n ≤ kとすると ˜ En h³ Sk− Sn Bn,m Bk,m ´ Dk i = ˜En[SkDk] − ˜En h SnDk Dn ˜ En[Dm] ˜ Ek[Dm] Dk i = SnDn− SnDn ˜ En[Dm] ˜ En[Dm] = 0このポートフォリの価値は０なので,割引価値がマルチンゲールになっていることが分かる. 練習問題３ Bn,m−Bn,m+1= ˜ En[Dm] Dn −E˜n[Dm+1] Dn = 1 Dn ˜ En[Dm+1(1+Rm)−Dm+1] = ˜ En[Dm+1Rm] Dn 練習問題４ (i) V1 = ˜ E1 h D3 ³ R2 −13 ´+i D1 より V1(H) = 2 3 3 7 2 3 + 6 70 1 3 = 4 21, V1(T ) = 0 (ii) 富の等式(6.2.6)より,満期2の債券に∆単位投資するとき X1 = ∆B1,2+³ 2 21− ∆B0,2 ´ = ∆ 1 + R1 +³ 2 21− 11 14∆ ´ となる.これがH, T でそれぞれX1 = V1となるには∆ = 43 とすればよい. また代わりに満期3の債券に投資するとき X1 = ∆B1,3+ ³ 2 21− ∆B0,3 ´ = ∆B1,3+ ³ 2 21 − 4 7∆ ´ となる.これはH, T ともに 212 となるのでV1 をヘッジできない. (iii) ∆(T ) は明らかに0 なので,∆(H)のみを考える. 富の等式は,時刻1 で満期3 の債券に ∆(H)単位投資するとき X2 = ∆(H)B2,3+ ³ 4 21 − ∆(H)B1,3(H) ´ (1 + R1(H)) = ∆ 1 + R2 +³ 4 21− 4 7∆ ´7 6 となる.これがHH, HT でそれぞれX2 = V2となるには∆(H) = −23 とすればよい. また代わりに満期2の債券に投資するとき X2 = ∆(H)B2,2+ ³ 4 21 − ∆(H)B1,2(H) ´ = ∆(H) + 2 9− 7 6 6 7∆(H) = 2 9 となるのでX2 = V2となるような∆(H)は存在しない.
練習問題５ (i) ˜ Em+1 k [Fn,m] = 1 DkBk,m+1 ˜ Ek[Dm+1Fn,m] = ˜ 1 Ek[Dm+1] ˜ Ek h Dm+1 ˜ En[Dm] ˜ En[Dm+1] i − 1 = ˜ 1 Ek[Dm+1] ˜ Ek h ˜ En[Dm+1] ˜ En[Dm] ˜ En[Dm+1] i − 1 = ˜E˜k[Dm] Ek[Dm+1] − 1 = Fk,m (ii) Fn,mの定義(6.3.3)式に従い計算すると F0,2 = 0.05, F1,2(H) = 0.055, F1,2(T ) = 0.045 となる.このとき ˜ E3[F 1,2] = ˜P3(H)F1,2(H) + ˜P3(T )F1,2(T ) = 0.05 となり一致する. 練習問題６ (i) 時刻nでのフォワード価格は Sn Bn,m なので,この契約は時刻mでSm− Sn Bn,m のペイオフを 発生させる. この契約の時刻n + 1での価値Vn+1はリスク中立評価法によると Dn+1Vn+1 = ˜En+1 h Dm ³ Sm− Sn Bn,m ´i = Dn+1Sn+1− Sn Bn,m ˜ En+1[Dm] = Dn+1Sn+1− SnDn+1Bn+1,m Bn,m ⇔ Vn+1= Sn+1− SnBn+1,m Bn,m となる. (ii) 金利が定数rなので債券価格Bn,m = (1 + r)−(n−m)となることを用いると, まずフォワー ド契約の取引からのキャッシュフローは(i)より (1 + r)m−n−1(S n+1− Sn(1 + r))
となる.次に先物価格の差は Futn+1−m− Futn,m = ˜En+1[Sm] − ˜En[Sm] = (1 + r)m ³ S n+1 (1 + r)n+1 − Sn (1 + r)n ´ = (1 + r)m−n−1(Sn+1−Sn(1+r)) となり両者は一致する. 練習問題７ まず１つ目の式を示す. ψn+1(0) = ˜E[Dn+1Vn+1(0)] = 1 2n+1 1 (1 + r0) . . . (1 + rn(0)) ψn(0) = ˜E[DnVn(0)] = 1 2n 1 (1 + r0) . . . (1 + rn−1(0)) となるので ψn+1(0) = ψn(0) 2(1 + rn(0)) 次に２つ目の式を示す. ψn+1(k) = 1 2n+1 X 1 (1 + r0) . . . (1 + rn) ここで和記号はn + 1回のコイン投げでk 回表がでる試行を足し合わせたものである.同 様に ψn(k − 1) = 1 2n X 1 (1 + r0) . . . (1 + rn−1) ここで和記号はn回のコイン投げでk − 1回表がでる試行を足し合わせたものである. ψn(k) = 1 2n X 1 (1 + r0) . . . (1 + rn−1) ここで和記号はn回のコイン投げでk回表がでる試行を足し合わせたものである. n + 1回のコイン投げでk 回表がでるには, (1)n回のコイン投げでk − 1回表が出てn回 目で表が出る.(2)n回のコイン投げでk回表が出てn回目で裏が出る.の２通りがあり,それ ぞれの経路に対応する割引率はψn(k − 1), ψn(k)に表れている.それらの時点nでの金利は それぞれ1 + rn(k − 1), 1 + rn(k) なので,結局それぞれに 1 2(1 + rn(k − 1)) , 1 2(1 + rn(k))
をかけて足し合わせるとψn+1(k)になるので, ψn+1(k) = ψn(k − 1) 2(1 + rn(k − 1)) + ψn(k) 2(1 + rn(k)) が成り立つ. 最後に,３つ目の式を示す. ψn+1(n + 1) = ˜E[Dn+1Vn+1(n + 1)] = 1 2n+1 1 (1 + r0) . . . (1 + rn(n)) ψn(n) = ˜E[DnVn(n)] = 1 2n 1 (1 + r0) . . . (1 + rn−1(n − 1)) となるので ψn+1(n + 1) = ψn(n) 2(1 + rn(n))
