表現論と分割定理

(一本記事)

表現論と分割定理 ₍₂₎

土岡俊介

◎東京工業大学情報理工学院

本稿は，筆者が「第39回数理の翼セミナー」にお いて2018年8月10日に行った講義の，佐藤僚亮さん

（当時九大数理，現在名大多元数理）による講義録に，

筆者が手を加えたものを，NPO法人「数理の翼」の許 可をえて2回にわけて公開するものの後半である．

観察1

G1(q) := ∏^∞

n=0

1

(1−q⁵ⁿ⁺¹)(1−q⁵ⁿ⁺⁴), G2(q) := ∏^∞

n=0

1

(1−q⁵ⁿ⁺²)(1−q⁵ⁿ⁺³) と定義したとき，任意のn^>₌1に対して

Gn+2(q) := Gn(q)−Gn+1(q)

qⁿ = 1 +O(qⁿ⁺²) が再帰的に成り立つ．

ヤコビ三重積

前回は観察1を仮定して，ロジャーズ-ラマヌジャン 分割定理の証明を行った．観察1は，次のヤコビ三重 積からしたがう．実際，ロジャーズ・ラマヌジャン分割 定理の証明が載っているたいていの整数の分割の教科 書では，その証明のどこかにヤコビ三重積を使ってい るはずである．これはオイラー分割定理の証明で

1 +q+q²+· · ·= 1 1−q

という「飛び道具」が役割をはたしたことに似ている．

定理2(ヤコビ)

∏∞ n=1

(1−q²ⁿ)(1 +zq²ⁿ⁻¹)(1 +z⁻¹q²ⁿ⁻¹)

= ∑^∞

n=−∞qⁿ²zⁿ

左辺の意味について簡単に注意をしておこう．

(1−q²ⁿ)(1 +zq²ⁿ⁻¹)(1 +z⁻¹q²ⁿ⁻¹) = 1 +O(q²ⁿ⁻¹) なので，これのn= 1,2,· · ·, mまでの積のq^2m−2以 下の係数は「zとz⁻¹ の多項式として」確定する．こ のm→ ∞の極限が左辺の意味である．右辺が主張し ているのは，この「zとz⁻¹の多項式」は（1 =z⁰q⁰ 以外では）zⁿ+z⁻ⁿの形でしか現れず，そのqの肩は n²だということである（n^>₌1）．

系3 ∆:= ∏^∞

n=1

(1−qⁿ)について G1(q) =∆⁻¹ ∑^∞

n=−∞(−1)ⁿq⁵ⁿ

2 2 −ⁿ₂, G2(q) =∆⁻¹ ∑^∞

n=−∞

(−1)ⁿq⁵ⁿ

2 2 +³ⁿ₂

.

証明 ヤコビ三重積で(q, z)を(q^5/2,−q^−1/2),(q^5/2,−q^3/2) と特殊化すればよい．

この講義ではヤコビ三重積は証明しない（ボゾン・

フェルミオン対応（boson-fermion correspondence） というアイデアによるボーチャーズ(Borcherds)の証 明[Cha,§5]を紹介する予定であった）．

G

(q) ^{についての予備考察}

G1(q), G2(q)は∆を掛けると，qはまばらにしか現 れず，係数も±1しか現れない．∆·G1(q), ∆·G2(q)は ともに「すかすか」なのだから，G3(q) =q⁻¹(G1(q)− G2(q))に∆をかけたものもまた「すかすか」である．

しかし∆·G3(q)が「きれい」になるかどうかについ て，ラマヌジャンやヤコビの時代にはなかった計算機 を用いて実験をしてみよう．SageMathで

var(’q’)

G1=prod(1/((1-q^(5*n-1))*(1-q^(5*n-4))) for n in (1..10)) G2=prod(1/((1-q^(5*n-2))*(1-q^(5*n-3))) for n in (1..10)) Delta=prod(1-q^n for n in (1..45))

G3=(G1-G2)/q

view((G3*Delta).series(q,30))

と打つと（O(q³⁰)で）次の出力がえられる：

1 + (−1)q+ (−1)q²+ 1q³+ (−1)q⁶+ 1q⁸+ 1q¹⁰ +(−1)q¹²+ 1q¹⁷+ (−1)q²⁰+ (−1)q²³+ 1q²⁶. ここで「まばらに」現れる「かたまり」に注目し

1−q−q²+q³= (1−q)(1−q²) q⁶−q⁸−q¹⁰+q¹²=q⁶(1−q²)(1−q⁴) q¹⁷−q²⁰−q²³+q²⁶=q¹⁷(1−q³)(1−q⁶) という因数分解の規則性からG3(q)は

∆⁻¹ ∑^∞

n=0

(1−qⁿ⁺¹)(1−q²⁽ⁿ⁺¹⁾)(−1)ⁿq⁶ⁿ⁺⁵(ⁿ₂) と等しいと予想される．これは証明が，前回の??節 (AB-2)の意味でMotivateされるところだ．

この予想が真であることをいうには

qG3(q) =G1(q)−G2(q) を確かめればよいので

q ∑^∞

n=0

(1−qⁿ⁺¹)(1−q²⁽ⁿ⁺¹⁾)(−1)ⁿq⁶ⁿ⁺⁵(ⁿ₂)

= ∑^∞

n=−∞(−1)ⁿ (

q^n(5n−1)2 −q^n(5n+3)2 )

を示せばよい．この式を思いつくのは難しいが，提示 されれば（そして正しければ）証明できる．これは示 したい式が「無限積=無限和」ではなく，「簡単な無限 和=簡単な無限和」という形だからである．

G

(q) ^{についての予備考察}

G4=(G2-G3)/q^2

view((G4*Delta).series(q,40))

と続いて入力すると，G4(q)がq³⁵まで表示される．詳 細は省略するが，G3(q)のときと同様にしてG4(q)は

∆⁻¹ ∑^∞

n=0

(1−qⁿ⁺¹)(1−qⁿ⁺²)(1−q²ⁿ⁺³)(−1)ⁿq⁸ⁿ⁺⁵(ⁿ₂) と予想される．もちろん，これもq²G4(q) =G2(q)−

G3(q)の確認を行えばよい．

G

(q) ^{についての予備考察}

さてG3(q), G4(q)を眺めていると，さらに進んで i^>₌3についてGi(q)は

∆⁻¹ ∑^∞

n=0

(−1)ⁿq²ⁱⁿ⁺⁵(ⁿ₂)(1−qⁿ⁺¹)· · ·(1−qⁿ⁺ⁱ⁻²)(1−q²ⁿ⁺ⁱ⁻¹) ではないかとも予想される．これも正しく予想さえさ

れてしまえば，

qⁱGi+2(q) =Gi(q)−Gi+1(q)

を確認することで，帰納法により証明可能である．

これは前回の(H2)に相当するか所なので，それな りに大変な計算になる．しかし先と同様，結論が「無 限和=無限和」という形をしていて，計算機によって 非常に確からしいことのお墨付きをもらえば，安心し て計算を進められる．詳細は原論文[AB]にあるが，ロ ジャーズ・ラマヌジャン分割定理の証明をやり遂げて みたい！という方は是非一度挑戦してみよう．

観察 1 ^の証明

最後にGi(q)の予想式から，観察1が証明できる．

実際，n= 0の寄与は 1

(1−qⁱ)(1−qⁱ⁺¹)· · ·

だが，これは1 +O(qⁱ)で，残りのn ^>₌ 1の寄与は O(q²ⁱⁿ⁺⁵(ⁿ2))なので，Gi(q) = 1 +O(qⁱ)となる．

表現論

セミナー直前の2018年8月1日に，筆者の指導教員 だった柏原正樹さんがチャーン賞を受賞された．ICM による紹介動画（https://www.youtube.com/watch?

v=yw4KifIg3R0で視聴可能）の中に，次の言葉がある

（researchという単語を見落とさないように！）．

To find what is important and what is not important–I think that’s the most difficult part of the research of mathematics.

以下では， ロジャーズ・ラマヌジャン分割定理に関 連する数学の広がりを，表現論の視点からみていこう．

SU(2) =A_{1 α}◦ 1

A⁽¹⁾₁ ◦₁⇔ ◦₁ SU(ℓ+ 1) =A_{ℓ α}◦

1− ◦_α

2− · · · − ◦ αℓ−1− ◦

αℓ A⁽¹⁾_ℓ

−−−◦ 1−−−

◦1− ◦ 1− · · · − ◦

1 SO(2ℓ+ 1) =B_{ℓ α}◦

1− ◦_α

2− · · · −_αℓ◦

−1⇒ ◦_αℓ B⁽¹⁾_ℓ ◦₁−

◦¹

◦|

2− ◦₂− · · · − ◦₂⇒ ◦₂ USp(2ℓ) =C_{ℓ α}◦

1− ◦_α

2− · · · −_αℓ◦

−1⇐ ◦_αℓ C⁽¹⁾_ℓ ◦₁⇒ ◦₂− · · · − ◦₂⇐ ◦₁ SO(2ℓ) =D_{ℓ α}◦

1− ◦_α 2− · · · −

◦αℓ−1

◦| αℓ−2− ◦

αℓ−1 D⁽¹⁾_ℓ ◦ 1−

◦¹

◦| 2− ◦

2− · · · −

◦¹

◦| 2− ◦

1

E_{6 α}◦ 1− ◦_α

2−

◦^α6

◦| α3− ◦_α

4− ◦_α 5

E⁽¹⁾₆ ◦₁− ◦₂−

◦¹

◦|²

◦| 3 − ◦₂− ◦₁ E_{7 α}◦

1− ◦_α 2−

◦^α7

◦| α3− ◦_α

4− ◦_α 5− ◦_α

6

E⁽¹⁾₇ ◦₁− ◦₂− ◦₃−

◦²

◦|

4− ◦₃− ◦₂− ◦₁ E_{8 α}◦

1− ◦_α 2− ◦_α

3− ◦_α 4−

◦^α8

◦| α5− ◦_α

6− ◦_α 7

E⁽¹⁾₈ ◦₁− ◦₂− ◦₃− ◦₄− ◦₅−

◦³

◦₆| − ◦₄− ◦₂ F_{4 α}◦

1− ◦_α 2⇒ ◦_α

3− ◦_α 4

F₄⁽¹⁾ ◦ 1− ◦

2− ◦ 3⇒ ◦

4− ◦ 2 G_{2 α}◦

1⇛_α◦ 2

G⁽¹⁾₂ ◦₁− ◦₂⇛◦₃ A⁽²⁾₂ ◦

1 ◦

2 D⁽²⁾_ℓ+1 ◦

1⇐ ◦ 1− · · · − ◦

1⇒ ◦ 1 A⁽²⁾_2ℓ ◦

1⇒ ◦ 2− · · · − ◦

2⇒ ◦

2 D⁽³⁾₄ ◦

1− ◦ 2⇚◦

1 A⁽²⁾_2ℓ−1 ◦₁−

◦¹

◦|

2− ◦₂− · · · − ◦₂⇐ ◦₁ E⁽²⁾₆ ◦₁− ◦₂− ◦₃⇐ ◦₂− ◦₁

整数論が整数を研究するのだとすれば，表現論は対 称性を研究する分野である．ギリシャ時代，人々は水 や火といった基本的な要素を正多面体と関係づけ，理 解しようとした．16世紀にケプラーは，当時知られ ていた5つの惑星を正多面体と対応づけ，具体的な計 算をしようとした．このような考えは現代では数秘術

（numerology）とされるが，対称性を通じて物事を理

解しようとする考え方は現代数学や物理学のいたると ころに見受けられる．

代数的リー理論（algebraic Lie theory. 以下，リー 理論）という表現論の一分野がある．リー理論ではデ ィンキン図形とよばれるものから出発し，さまざまな

「正多面体」のような奇跡的な対象が構築される．リー 理論的対象は現代版正多面体（modernized Platonic solids）といってよいだろう．柏原クリスタル（Kashi-

wara crystal）もまさしくその一種なのだが，本講義

と関係のある話に戻ろう．ロジャーズ・ラマヌジャン 分割定理のMotivated proofでは，∆が役割をはたし た．ガウスによって次の公式が知られている．

∆³= ∑^∞

n=0

(−1)ⁿ(2n+ 1)q^n(n+1)/2.

では，∆^kがきれいになるkにはどのようなもの があるだろうか？

リー理論の主要な研究対象は，ディンキン図形Xか ら定義されるカッツ・ムーディー・リー環g(X)である

（[Tan]は日本語による教科書である）．

1970年代初等に，マクドナルド(MacDonald) は

∆^dimg(X)には「きれいな無限和の展開」があることを 示した（マクドナルド恒等式[Mac]）．ここでXは有限 型ディンキン図形であり（ちなみに3 = dimg(A1)），

対応するアフィン型ディンキン図形X⁽¹⁾に付随する g(X⁽¹⁾)の表現論が証明を与える．このような初等的 な話題にさえ，表現論が背景にあると考えられる．な お，マクドナルド恒等式については，著名な物理学者 であるダイソン(Dyson)のエッセイ[Dys]が面白い．

ラマヌジャンの映画より

映画『奇蹟がくれた数式』（The Man Who Knew

Infinity）で，入院中のラマヌジャンが

神の御心でなかったら方程式など何の意味もない．

とハーディに詰め寄るシーンがある．二人が共同で行っ てきた「真理探究としての数学研究」ではなく，お互 いの人生観や数学観をぶつけあう初めてのシーンだ．

たぶん彼は正しい．それこそわれわれが純粋数学 の根拠とするものでは？

と，映画の終盤でハーディはそのときのやりとりを省 みた．数学の定理は，証明によって正しさを確認する ことができる．たとえば本講義ではまさに，ロジャー ズ・ラマヌジャン分割定理について（ヤコビ三重積を認 めて）証明を行った．それで数学としてはある意味で 完成である．しかし，なぜ成り立つのか，どこからく るのか，人は理解しようと試みる．「証明の確定」以上 の「理解」が純粋数学では重要で，言い換えれば「神 の御心」を知ることではないだろうか．

実際にラマヌジャンによる人をびっくりさせる公式 のいくつかが，表現論・保型形式・等式証明（たとえ

ば[PWZ]を参照されたい）といった現代的視点によっ

て理解できることは興味深い．今回扱った分割の理論 では，表現論（=対称性の理論）のレンズをとおして眺 めることで，多くのことが理解できる．逆に，ロジャー ズ・ラマヌジャン分割定理のような印象的な定理（やそ の証明）は，背後にある深い理論の存在を予感させる．

ロジャーズ・ラマヌジャンから頂点作用素へ

∏∞ n=0

1

(1−q²ⁿ⁺¹)(1−q⁵ⁿ⁺¹)(1−q⁵ⁿ⁺⁴)

であることを見出した [LM]．右辺はG1(q)とわずか にしか違っておらず，ロジャーズ・ラマヌジャン恒等 式の「（A⁽¹⁾₁ 型）リー理論的な証明」の存在を示唆す る．そして，この着想を実現する中 [LW]で頂点作用 素(vertex operator)の理論へ到達するのである．

この理論は，リー理論の重要なテーマである．筆者

は学部生のときに[Kac,§14]で学んだのだが，論理的 にはフォローできてもいまひとつ腑に落ちず，また弦 理論の考察からえられた構成[FK, Seg]であると聞い ていたので，「証明の確認」以上の理解をあきらめてい た．最近，ひょんなことから整数の分割理論の研究も するようになり（[TW]が柏原クリスタル理論を応用 した一つの成果です），2年前に初めて頂点作用素の理 論が，ロジャーズ・ラマヌジャン分割定理にも由来し ていることを知ったとき，その射程の広さに感銘を受 けた．ロジャーズ・ラマヌジャン分割定理から，わかり やすい意味や目的を見いだすことは難しい．しかし純 粋で印象的な主張だったからこそ，アフィン・リー環 の表現論という一見，整数の分割とは何の関係もなさ そうな数学分野の研究者にもインスピレーションを与 えたのではないだろうか．このことは，数学が社会で 思わず役に立ってしまうことと，相似形をなしている．

対称性

対称性を 想起させる

←−−−−−−−−−

「影」としての 現象が背後にある

数学

⊂ ⊂

表現論 整数の分割

⊂ ⊂

リー理論

対称性を 用いた類似物

−−−−−−−−−−→

現象の理解・証明，

そして別の

ロジャーズ・

ラマヌジャン 分割定理

表現論からえられる分割定理の例

以上のことは上図の←−^{に対応する．いったん}A⁽¹⁾₁ を用いたロジャーズ・ラマヌジャン分割定理の証明がで きてしまえば，他のディンキン図形に適用できる．た とえばA⁽²⁾₂ に理論を適用し，Capparelliは次の分割 定理をえた[Cap]．これは上図の−→^{に対応する．}

定理4(Capparelli) C⊆Parを，分割λ= (λ1,· · ·, λℓ) で次の条件を満たすものからなる部分集合とすると，

分割論的同値C^PT∼ T_2,3,9,10⁽¹²⁾ が成立する．

( 1 ) 1^<₌∀i < ℓ, λi−λi+1>

=2,

( 2 ) 1^<₌∀i < ℓ, λi−λi+1= 2⇒λi≡31, ( 3 ) 1^<₌∀i < ℓ, λi−λi+1= 3⇒λi≡30, ( 4 ) 1^<₌∀i^<=ℓ, λi̸= 1.

Kanade-Russell 予想

2014年に提唱されたKanade-Russell予想（の一部）

を紹介する[KR]．これはロジャーズ・ラマヌジャン分 割定理によく似たみかけをしており，興味深い．

予想5(Kanade-Russell) K(⊆Par)を，条件 ( 1 ) 1^<₌∀i^<=ℓ−2, λi−λi+2>=3

( 2 ) 1^<₌∀i < ℓ, λi−λi+1<

=1⇒λi+λi+1≡3 0 を満たす分割λ= (λ1,· · ·, λℓ)のなす集合とすると

T_1,3,6,8^{(9) PT}∼ K,

T_2,3,6,7^{(9) PT}∼ K∩ {λ∈Par|m1(λ) = 0},

T_3,4,5,6^{(9) PT}∼ K∩ {λ∈Par|m1(λ) =m2(λ) = 0}. ロジャーズ・ラマヌジャン分割定理と同値な恒等式 があったように，Kanade-Russell予想にも，同値な恒 等式versionが2018年8月4日に公表された[Kur]．

定理6 (Kur¸sung¨oz) 予想9.2.1∼9.2.3^{は，それぞ} れ以下のq-級数の等式が成り立つことと同値である．

1

(q, q³, q⁶, q⁸;q⁹)_∞ = ∑

n₁,n₂≧⁰

q^{3n22+n21+3n1n2} (q;q)n₁(q³;q³)n₂

, 1

(q², q³, q⁶, q⁷;q⁹)_∞ = ∑

n₁,n₂≧0

q^{3n22+3n2+n21+n1+3n1n2} (q;q)n₁(q³;q³)n₂

, 1

(q³, q⁴, q⁵, q⁶;q⁹)_∞ = ∑

n₁,n₂≧⁰

q^{3n22+3n2+n21+2n1+3n1n2} (q;q)n₁(q³;q³)n₂

.

ここでq-ポッホハマー記号（q-Pochhammer sym- bol）とよばれる記法を用いている．

(a;q)n= (1−a)(1−aq)· · ·(1−aqⁿ⁻¹), (a1, a2,· · ·, ak;q)n= (a1;q)n(a2;q)n· · ·(ak;q)n. いくつかの状況証拠から，Kanade-Russell予想は D⁽³⁾₄ 型リー理論と関係していると考えられている[Sil,

§5.2]．筆者は，∆·∆(q^3k)/(q, q³, q⁶, q⁸;q⁹)_∞の考察 から，A⁽¹⁾₂ 型または(A⁽¹⁾₁ ⊔

A⁽¹⁾₁ )型リー理論と関係 があるのではないかと推測している（k= 1,3）.

おわりに

最後にいくつか数学者の言葉を紹介する．

公式は創るものではなく既に存在し，ラマヌジャ ンのような類まれなる知性が発見し証明するのを 待っている

と映画の中でハーディはいっているが，ヴェイユの名 言を少し脚色して異議を唱えてみたい．

アイデアを持ってガウスのように始めてみよう．

すぐに自分がガウスでないことに気づくだろう．

それでも構わない．ガウスのように始めてみよう

とにかく「やってみること」が重要である．今回の ようなセミナーに参加して，数学が面白いと感じたの なら，何でもよいので数学をともなったことをやって みてほしい．ちなみにヴェイユの名言に対しては，数 学者の久賀道郎による次のような「返歌」がある．

あなたがガウスになれるかどうかは神のみが知り たまう．そして，どうしてもガウスになれるんで なければイヤだ，さもなければ数学なんかやって もしょうがないといわれる方には，こう申し上げ ます：あなたは数学が好きなのではない，何か別 のものが好きなのです

ところで，よく「健康に気をつけてがんばってね」と 言われることがあるが，ここでいう健康に，数学では 腕力が対応するのではないだろうか．数学を学び，実 際に研究するにつれて，腕力が重要であると感じる．

フェルマーの定理への寄与（谷山・志村予想）でも有 名な谷山豊は，ヴェイユ（およびジーゲル）の腕力に ついて次のように評価している．

独創的な深みに達するには，腕力の強さは不可欠 なのではあるまいか

腕力の例として，柏原正樹さんの話に戻る．チャー ン賞の受賞講演は柏原クリスタル（と圏論化）に関す るものだったが，その存在証明では14個の仮定を同時 に回す数学的帰納法が用いられた[Kas]（[Nak]で日本 語による説明を読むことができる）．この有名な論文 の冒頭に久我道郎への献辞がある．

To the memory of Professor Michio Kuga who taught me the joy of doing mathematics

「joy of mathematics」ではないことに，そしてmath- ematicsの前にある「doing」という単語に価値を見出 してしまうのは，深読みのしすぎだろうか？

質疑応答

Q形式的べき級数Gi(q)の非負な係数には組合せ論的 な意味はありますか？

Aあります．実際i^>₌1について

Ri:=R∩ {λ∈Par|1^<₌∀j < i, mj(λ) = 0}

とすると（R1=R, R2=R^′です）fR_i(q) =Gi(q)で あることが，G1(q), G2(q)と同様に証明されます．つ まり「隣り合ったパートの差が2以上で，もっとも小さ いパートがi以上」であるような分割の母関数がGi(q) だ，というわけです．これが示せれば観察??は明らか なのですが，注意してほしいのは，Motivated proof の論理では「観察1を用いて，いま述べたfR_i(q) = Gi(q)（よって，観察??）が証明される」ということ です．i= 1,2「のときは」（おそらく「に限って」），

Gi(q)が印象的な無限積を持つ，というのがロジャー ズ・ラマヌジャン分割定理だといえます．

Q表現論のどういうところが面白いですか？

A表現論的な理解が進むと，一般化された事実や統一 された視点をえることがあります．今回の話でいえば，

ヤコビ三重積がいったん示され，A⁽¹⁾₁ 型ディンキン図 形との関連が発見されると，他のアフィンディンキン 図形に対しても「ヤコビ三重積」に相当するものがえ られることになります．たとえば，A⁽¹⁾₁ 型の「分母公 式（denominator formura）」というものがあって

∏

n≧1

(1−uⁿvⁿ)(1−uⁿ⁻¹vⁿ)(1−uⁿvⁿ⁻¹)

= ∑

m∈Z

(−1)^mu^m(m−1)/2v^m(m+1)/2

なのですが，これでu=−zq, v=−z⁻¹qと特殊化し たものが，ヤコビ三重積そのものです．A⁽²⁾₂ 型の分母 公式を計算すると

∏

n≧¹

(1−u²ⁿvⁿ)(1−u²ⁿ⁻¹vⁿ⁻¹)(1−u²ⁿ⁻¹vⁿ)(1−u⁴ⁿ⁻⁴v²ⁿ⁻¹)(1−u⁴ⁿv²ⁿ⁻¹)

= ∑

m∈Z(u^3m2−2mv^(3m2+m)/2−u^3m2−4m+1v^(3m2−m)/2) となります．これを適当に特殊化したものはワトソン 五重積（Watson quintuple product）として1929年 から知られていたものでした．

参考文献

［AB］ G.E. Andrews and R.J. Baxter, A moti- vated proof of the Rogers-Ramanujan identities, Amer.Math.Monthly96(1989), 401–409.

［Cap］ S. Capparelli, Trans.Amer.Math.Soc. 348 (1996) 481–501.

［Cha］ Hei-Chi. Chan,An invitation toq-series. From Jacobi’s triple product identity to Ramanujan’s

“most beautiful identity”, World Scientific Pub- lishing Co. (2011).

［Dys］ F.J. Dyson, Missed opportunities, Bull.Amer.Math.Soc. 78 (1972), 635–652.

（部分的な翻訳が[FT]の3.9節にある）

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［Kac］ V. Kac.Infinite dimensional Lie algebras. Cam- bridge University Press, (1990).

［Kas］ M. Kashiwara, On crystal bases of the Q-analogue of universal enveloping al- gebras, Duke Math.J. 63 (1991), 465–

516. （http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/

~kenkyubu/kashiwara/duke-crystal.pdf で 入 手可能）

［KR］ S. Kanade and M.C. Russell, IdentityFinder and some new identities of Rogers-Ramanujan type, Exp.Math.24(2015), 419–423.

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［Mac］ I. Macdonald, Invent.Math.15(1972) 91–143.

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math.upenn.edu/~wilf/AeqB.htmlで，原著が入 手可能）

［Sil］ A.V. Sills, An invitation to the Rogers- Ramanujan identities. With a foreword by George E. Andrews, CRC Press, (2018).

［Seg］ G. Segal, Comm.Math.Phys.80(1981), 301–342.

［Tan］ 谷崎俊之著, 『リー代数と量子群』, 共立出版，

2012年

［TW］ S. Tsuchioka and M. Watanabe, Schur partition theorems via perfect crystal, arXiv:1609.01905 （http://mathsoc.jp/

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files/group-theory/18.Tsuchioka.pdfで，日 本語による解説が入手可能）

[つちおか しゅんすけ]