基本的な定義

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曲面絡み目のバイカンドルと ch- ダイアグラム

芦原 聡介

広島大学

12 月 21 日

. . . .

基本的な定義

主定理

簡単な例

証明のアイデア

. . . .

定義

バイカンドル

定義 集合 B と , 次の公理を満たす B 上の４つの二項演算 (a, b) 7→ a ^b , a _b , a ^{¯ b} , a ¯ b の組をバイカンドルという .

I 任意に b ∈ B を固定すると , 各演算 a 7→ a ^b , a _b , a ^{b ¯} , a ¯ b は B から B への全単射 .

I 任意の a, x, y ∈ B に対して , x = a _x ⇔ a = x ^a y = a ^{y ¯} ⇔ a = y ¯ a I 任意の a, b ∈ B に対して ,

a = a ^bb

, b = b _aa

, a = a ^{¯ bb}

, b = b _{¯ aa}

I 任意の a, b, c ∈ B に対して ,

a ^bc = a ^c

^b

, c _ba = c _a

b

, (b a ) ^c

= (b ^c ) _a

. . . .

定義

バイカンドル

定義 集合 B と , 次の公理を満たす B 上の４つの二項演算 (a, b) 7→ a ^b , a _b , a ^{¯ b} , a ¯ b の組をバイカンドルという .

I 任意に b ∈ B を固定すると , 各演算 a 7→ a ^b , a _b , a ^{b ¯} , a ¯ b は B から B への全単射 .

I 任意の a, x, y ∈ B に対して , x = a _x ⇔ a = x ^a y = a ^{y ¯} ⇔ a = y ¯ a I 任意の a, b ∈ B に対して ,

a = a ^bb

, b = b _aa

, a = a ^{¯ bb}

, b = b _{¯ aa}

I 任意の a, b, c ∈ B に対して ,

a ^bc = a ^c

^b

, c _ba = c _a

b

, (b a ) ^c

= (b ^c ) _a

. . . .

定義

バイカンドル

定義 集合 B と , 次の公理を満たす B 上の４つの二項演算 (a, b) 7→ a ^b , a _b , a ^{¯ b} , a ¯ b の組をバイカンドルという .

I 任意に b ∈ B を固定すると , 各演算 a 7→ a ^b , a _b , a ^{b ¯} , a ¯ b は B から B への全単射 .

I 任意の a, x, y ∈ B に対して , x = a _x ⇔ a = x ^a y = a ^{y ¯} ⇔ a = y ¯ a

I 任意の a, b ∈ B に対して ,

a = a ^bb

, b = b _aa

, a = a ^{¯ bb}

, b = b _{¯ aa}

I 任意の a, b, c ∈ B に対して ,

a ^bc = a ^c

^b

, c _ba = c _a

b

, (b a ) ^c

= (b ^c ) _a

. . . .

定義

バイカンドル

定義 集合 B と , 次の公理を満たす B 上の４つの二項演算 (a, b) 7→ a ^b , a _b , a ^{¯ b} , a ¯ b の組をバイカンドルという .

I 任意に b ∈ B を固定すると , 各演算 a 7→ a ^b , a _b , a ^{b ¯} , a ¯ b は B から B への全単射 .

I 任意の a, x, y ∈ B に対して , x = a _x ⇔ a = x ^a y = a ^{y ¯} ⇔ a = y ¯ a I 任意の a, b ∈ B に対して ,

a = a ^bb

, b = b _aa

, a = a ^{¯ bb}

, b = b _{¯ aa}

I 任意の a, b, c ∈ B に対して ,

a ^bc = a ^c

^b

, c _ba = c _a

b

, (b a ) ^c

= (b ^c ) _a

. . . .

定義

バイカンドル

定義 集合 B と , 次の公理を満たす B 上の４つの二項演算 (a, b) 7→ a ^b , a _b , a ^{¯ b} , a ¯ b の組をバイカンドルという .

I 任意に b ∈ B を固定すると , 各演算 a 7→ a ^b , a _b , a ^{b ¯} , a ¯ b は B から B への全単射 .

I 任意の a, x, y ∈ B に対して , x = a _x ⇔ a = x ^a y = a ^{y ¯} ⇔ a = y ¯ a I 任意の a, b ∈ B に対して ,

a = a ^bb

, b = b _aa

, a = a ^{¯ bb}

, b = b _{¯ aa}

I 任意の a, b, c ∈ B に対して ,

a ^bc = a ^c

^b

, c _ba = c _a

b

, (b a ) ^c

= (b ^c ) _a

. . . .

定義

バイカンドルの例

例 M を可換環 R 上の加群とする . このとき , a, b ∈ M に対し , 各 二項演算を

a ^b = ta + (1 − st)b a _b = sa a ^{¯ b} = t ^{− 1} a + (1 − s ^{− 1} t ^{− 1} )b a ¯ b = s ^{− 1} a

( ここで , s , t は R の可逆元 .) と定義すると , この演算により M は

バイカンドルになる . これをアレクサンダーバイカンドルという .

. . . .

定義

曲面絡み目

定義 向き付けられた曲面 K の R ^{4 への埋め込みを} , 曲面絡み目と いう .

曲面絡み目 K の , 射影 pr: R ⁴ −→ R ^{3 による像} pr(K ) の各点の近傍

が , 次のいずれかと同相であるとき , 像 pr(K ) を正則射影図という .

. . . .

定義

曲面絡み目

曲面絡み目 K の , 射影 pr: R ⁴ −→ R ³ による像 pr(K ) の各点の近傍

が , 次のいずれかと同相であるとき , 像 pr(K ) を正則射影図という .

正則射影図から２重点曲線に沿って下側シートの一部を取り除き ,

シートの上下の情報を描き示したものを曲面ダイアグラムという .

. . . .

定義

曲面絡み目

曲面ダイアグラムの例

有向曲面 K の曲面ダイアグラム D の各シートには , K の法ベクト ルから定まる向きを入れる .

曲面ダイアグラム

. . . .

定義

曲面絡み目

曲面ダイアグラムの例

有向曲面 K の曲面ダイアグラム D の各シートには , K の法ベクト ルから定まる向きを入れる .

向き付けられた曲面ダイアグラム

. . . .

定義

曲面絡み目

曲面絡み目 K の正則射影図 pr(K ) から , ２重点曲線の閉包の近傍

を取り除いて得られる集合の , 各連結成分をセミシートという .

. . . .

定義

曲面ダイアグラムのセミシート

セミシートは曲面ダイアグラム D のシートから , 上側２重曲線の 近傍を取り除くことで得られる .

２重点の近傍

. . . .

定義

曲面ダイアグラムのセミシート

セミシートは曲面ダイアグラム D のシートから , 上側２重曲線の 近傍を取り除くことで得られる .

２重点の近傍

. . . .

定義

曲面ダイアグラムのセミシート

セミシートは曲面ダイアグラム D のシートから , 上側２重曲線の 近傍を取り除くことで得られる .

３重点の近傍

. . . .

定義

曲面ダイアグラムのセミシート

セミシートは曲面ダイアグラム D のシートから , 上側２重曲線の 近傍を取り除くことで得られる .

３重点の近傍

. . . .

定義

曲面ダイアグラムのセミシート

セミシートは曲面ダイアグラム D のシートから , 上側２重曲線の 近傍を取り除くことで得られる .

分岐点の近傍

. . . .

定義

曲面ダイアグラムのセミシート

セミシートは曲面ダイアグラム D のシートから , 上側２重曲線の 近傍を取り除くことで得られる .

分岐点の近傍

. . . .

定義

曲面絡み目

次で表される曲面ダイアグラムの変形をローズマン変形という .

↔

↔

↔

↔

↔

↔

↔

. . . .

定義

曲面絡み目

定義 ２つの曲面ダイアグラムが同値なダイアグラムである .

⇔ ２つの曲面ダイアグラムが有限回のローズマン変形によって互 いに移りあう .

定理 (Roseman’98) K , K ⁰ : 曲面絡み目 .

D, D ⁰ : それぞれ K , K ⁰ の曲面ダイアグラム .

このとき , K と K ⁰ が R ⁴ の全同位で互いに移りあう .

⇔ D , D ⁰ が同値なダイアグラムである .

. . . .

定義

曲面絡み目

定義 ２つの曲面ダイアグラムが同値なダイアグラムである .

⇔ ２つの曲面ダイアグラムが有限回のローズマン変形によって互 いに移りあう .

定理 (Roseman’98) K , K ⁰ : 曲面絡み目 .

D, D ⁰ : それぞれ K , K ⁰ の曲面ダイアグラム .

このとき , K と K ⁰ が R ⁴ の全同位で互いに移りあう .

⇔ D, D ⁰ が同値なダイアグラムである .

. . . .

定義

曲面バイカンドル

K : 曲面絡み目 .

D : K の曲面ダイアグラム . a ₁ , · · · , a _n : D の各セミシート .

r 1 , · · · , r m : 次のルールで定まる関係式 .

a b

c d

r _i : c = a ^b , r _j : d = b _a または

r _i : a = c ^{¯ d} , r _j : b = d _{¯ c}

定義 BQ (D) := h a ₁ , · · · a _n | r ₁ , · · · r _m i

. . . .

定義

曲面バイカンドル

定理 (Carrel’09) ２つの曲面ダイアグラム D と D ⁰ が同値なダイ アグラムであるとき , BQ(D) ∼ = BQ(D ⁰ ) である .

定理により , 曲面絡み目 K のバイカンドルをダイアグラムの取り 方に依らず定義することができる .

定義 BQ(K ) := BQ(D)

主定理 BQ(K ) を K の ch- ダイアグラムから求める方法を与える .

. . . .

定義

曲面バイカンドル

定理 (Carrel’09) ２つの曲面ダイアグラム D と D ⁰ が同値なダイ アグラムであるとき , BQ(D) ∼ = BQ(D ⁰ ) である .

定理により , 曲面絡み目 K のバイカンドルをダイアグラムの取り 方に依らず定義することができる .

定義 BQ(K ) := BQ(D)

主定理 BQ(K ) を K の ch- ダイアグラムから求める方法を与える .

. . . .

定義

ch-

次のようなマーカー付き特異絡み目ダイアグラムについて考える .

定義 マーカー付き特異絡み目ダイアグラムの全てのマーカー点に

おいて , マーカーに平行な方向での平滑化を行ったダイアグラム

と , マーカーに垂直な方向での平滑化を行ったダイアグラムが , と

もに自明絡み目ダイアグラムであるとき , これらのダイアグラム

を ch- ダイアグラムという .

. . . .

定義

ch-

次のようなマーカー付き特異絡み目ダイアグラムについて考える .

定義 マーカー付き特異絡み目ダイアグラムの全てのマーカー点に

おいて , マーカーに平行な方向での平滑化を行ったダイアグラム

と , マーカーに垂直な方向での平滑化を行ったダイアグラムが , と

もに自明絡み目ダイアグラムであるとき , これらのダイアグラム

を ch- ダイアグラムという .

. . . .

定義

ch-

マーカー付き特異絡み目ダイアグラム Γ の全てのマーカー付き点 を , 図のようにマーカーに平行な方向での平滑化を行って得られ る絡み目ダイアグラムと , マーカーに垂直な方向での平滑化を 行って得られる絡み目ダイアグラムを考える .

この操作によって得られる２つのダイアグラムが , ともに自明絡 み目ダイアグラムであるとき , Γ を ch- ダイアグラムという .

Γ

←− −→

マーカーに平行な平滑化 マーカーに垂直な平滑化

このダイアグラム Γ は , ch- ダイアグラムである .

. . . .

定義

ch-

マーカー付き特異絡み目ダイアグラム Γ の全てのマーカー付き点 を , 図のようにマーカーに平行な方向での平滑化を行って得られ る絡み目ダイアグラムと , マーカーに垂直な方向での平滑化を 行って得られる絡み目ダイアグラムを考える .

この操作によって得られる２つのダイアグラムが , ともに自明絡 み目ダイアグラムであるとき , Γ を ch- ダイアグラムという .

Γ

←− −→

マーカーに平行な平滑化 マーカーに垂直な平滑化

このダイアグラム Γ は , ch- ダイアグラムである .

. . . .

定義

ch-

次の様なマーカー付き特異絡み目ダイアグラム Γ について .

この ダイアグラム Γ のマーカー点を平滑化して得られる絡み目ダイア グラムは , それぞれ自明な絡み目ダイアグラムでないので , Γ は ch- ダイアグラムではない .

Γ

. . . .

定義

ch-

次の様なマーカー付き特異絡み目ダイアグラム Γ について . この ダイアグラム Γ のマーカー点を平滑化して得られる絡み目ダイア グラムは , それぞれ自明な絡み目ダイアグラムでないので , Γ は ch- ダイアグラムではない .

Γ

←− −→

マーカーに平行な平滑化 マーカーに垂直な平滑化

. . . .

定義

ch-

ch- ダイアグラム Γ の表す曲面 F (Γ) は , 次のように定まる .

Γ

−→

F (Γ)

. . . .

定義

ch-

ch- ダイアグラム Γ の表す曲面 F (Γ) は , 次のように定まる .

Γ

−→ t = 0

F (Γ)

. . . .

定義

ch-

ch- ダイアグラム Γ の表す曲面 F (Γ) は , 次のように定まる .

Γ

−→ t = 0 t = 1

F (Γ)

. . . .

定義

ch-

ch- ダイアグラム Γ の表す曲面 F (Γ) は , 次のように定まる .

Γ

−→ t = 0 t = 1

t = − 1

F (Γ)

. . . .

定義

ch-

ch- ダイアグラム Γ の表す曲面 F (Γ) は , 次のように定まる .

Γ

−→ t = 0 t = 1

t = − 1 t = 2

F (Γ)

. . . .

定義

ch-

ch- ダイアグラム Γ の表す曲面 F (Γ) は , 次のように定まる .

Γ

−→ t = 0 t = 1

t = − 1 t = 2

t = − 2

F (Γ)

. . . .

定義

ch-

ch- ダイアグラム Γ の表す曲面 F (Γ) は , 次のように定まる .

Γ

−→ t = 0 t = 1

t = − 1 t = 2

t = − 2

F (Γ) の曲面ダイアグラム

. . . .

定義

ch-

ch- ダイアグラム Γ の表す曲面 F (Γ) は , 次のように定まる . 定義 K ∼ = F (Γ) であるとき , Γ を K の ch- ダイアグラムと呼ぶ .

Γ

−→ t = 0 t = 1

t = − 1 t = 2

t = − 2

F (Γ) の曲面ダイアグラム

. . . .

定義

ch-

定義 K ∼ = F (Γ) であるとき , Γ を K の ch- ダイアグラムと呼ぶ . 定理 (Yoshikawa’94) 任意の曲面絡み目 K に対して , K の ch- ダイ アグラムが存在する .

Γ

−→ t = 0 t = 1

t = − 1 t = 2

t = − 2

F (Γ) の曲面ダイアグラム

. . . .

定義

ch-

ch- ダイアグラムの向き 有向曲面 F (Γ) の向きに合うように , Γ に 向きを入れる .

向き付けられた Γ

←→

F (Γ) の曲面ダイアグラム

. . . .

主定理

K : 曲面絡み目 .

Γ : K の ch- ダイアグラム .

a ₁ , · · · , a _n : Γ から Γ の交点を取り除いた集合の連結成分 . r 1 , · · · , r m : 各交点で次のルールで定まる関係式 .

a b

c d

e f

g h

r _i : c = a ^b r _j : d = b _a

r _i : g = e ^{¯ f} r _j : h = f _{¯ e}

主定理 BQ(K ) ∼ = ha 1 , · · · a n |r 1 , · · · r m i

. . . .

例

その１

Γ

. . . .

例

その１

Γ

. . . .

例

その１

Γ

a ₁

. . . .

例

その１

Γ

a ₁ a ₂

. . . .

例

その１

Γ

a ₁ a ₂

. . . .

例

その１

Γ

a ₁ a ₂ r ₁ : a ₁ = a ₂ ^a

r 2 : a 2 = a 1 a

. . . .

例

その１

Γ

a ₁ a ₂ r ₁ : a ₁ = a ₂ ^a

r 2 : a 2 = a 1 a

BQ(F (Γ)) = h a ₁ , a ₂ | a ₁ = a ₂ ^a

, a ₂ = a _1a

i

. . . .

例

その１

Γ

a ₁ a ₂ r ₁ : a ₁ = a ₂ ^a

r 2 : a 2 = a 1 a

BQ(F (Γ)) = h a ₁ , a ₂ | a ₁ = a ₂ ^a

, a ₂ = a _1a

i

= h a 1 , a 2 | a 1 = a 2 a

i

. . . .

例

その１

Γ

a ₁ a ₂ r ₁ : a ₁ = a ₂ ^a

r 2 : a 2 = a 1 a

BQ(F (Γ)) = h a ₁ , a ₂ | a ₁ = a ₂ ^a

, a ₂ = a _1a

i

= h a 1 , a 2 | a 1 = a 2 a

i

= h a ₁ , a ₂ | a ₂ = a ₁ ^a

i

. . . .

例

その１

Γ

a ₁ a ₂ r ₁ : a ₁ = a ₂ ^a

r 2 : a 2 = a 1 a

BQ(F (Γ)) = h a ₁ , a ₂ | a ₁ = a ₂ ^a

, a ₂ = a _1a

i

= h a 1 , a 2 | a 1 = a 2 a

i

= h a ₁ , a ₂ | a ₂ = a ₁ ^a

i

= ha 1 | i

. . . .

例

その２

Γ

. . . .

例

その２

Γ

. . . .

例

その２

Γ

a ₁

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

a 11

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

a 11

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

a 11

r ₁ : a ₂ = a ₁ ^a

, r ₂ : a ₈ = a _7a

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

a 11

r ₁ : a ₂ = a ₁ ^a

, r ₂ : a ₈ = a _7a

r ₃ : a ₃ = a _2a

, r ₄ : a ₉ = a ₈ ^a

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

a 11

r ₁ : a ₂ = a ₁ ^a

, r ₂ : a ₈ = a _7a

r ₃ : a ₃ = a _2a

, r ₄ : a ₉ = a ₈ ^a

r ₅ : a ₄ = a ₃ ^a

, r ₆ : a ₁ = a _9a

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

a 11

r ₁ : a ₂ = a ₁ ^a

, r ₂ : a ₈ = a _7a

r ₃ : a ₃ = a _2a

, r ₄ : a ₉ = a ₈ ^a

r ₅ : a ₄ = a ₃ ^a

, r ₆ : a ₁ = a _9a

r 7 : a 5 = a 4 a

, r 8 : a 10 = a 1a

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

a 11

r ₁ : a ₂ = a ₁ ^a

, r ₂ : a ₈ = a _7a

r ₃ : a ₃ = a _2a

, r ₄ : a ₉ = a ₈ ^a

r ₅ : a ₄ = a ₃ ^a

, r ₆ : a ₁ = a _9a

r 7 : a 5 = a 4 a

, r 8 : a 10 = a 1a

r 9 : a 6 = a 5a

, r 10 : a 11 = a 10 a

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

a 11

r ₁ : a ₂ = a ₁ ^a

, r ₂ : a ₈ = a _7a

r ₃ : a ₃ = a _2a

, r ₄ : a ₉ = a ₈ ^a

r ₅ : a ₄ = a ₃ ^a

, r ₆ : a ₁ = a _9a

r 7 : a 5 = a 4 a

, r 8 : a 10 = a 1a

r 9 : a 6 = a 5a

, r 10 : a 11 = a 10 a

r 11 : a 1 = a 6 a

, r 12 : a 7 = a 11a

. . . .

例

その２

Γ a ₁

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a 9 a 10

a 11

r ₁ : a ₂ = a ₁ ^a

, r ₂ : a ₈ = a _7a

r ₃ : a ₃ = a _2a

, r ₄ : a ₉ = a ₈ ^a

r ₅ : a ₄ = a ₃ ^a

, r ₆ : a ₁ = a _9a

r 7 : a 5 = a 4 a

, r 8 : a 10 = a 1a

r 9 : a 6 = a 5a

, r 10 : a 11 = a 10 a

r 11 : a 1 = a 6 a

, r 12 : a 7 = a 11a

BQ(F (Γ)) = ha 1 , · · · , a 11 |r 1 , · · · , r 12 i

. . . .

主定理の証明のアイデア

この２つのダイアグラムのバイカンドルの同型を確かめればよい .

Γ F (Γ)

−→

φ

. . . .

主定理の証明のアイデア

まず , この２つのダイアグラムのバイカンドルの同型を確かめる .

Γ D

t = 0 t = 1

t = − 1

−→

φ

. . . .

主定理の証明のアイデア

それぞれの生成元は , 次のように対応する .

BQ(Γ) BQ(D)

a ₁ a ₂

φ(a 1 ) φ(a 2 )

−→

φ

. . . .

主定理の証明のアイデア

この対応によって , 関係式も対応している .

BQ(Γ) BQ(D)

a ₁ a ₂

φ(a 1 ) φ(a 2 )

−→

φ

∼ =

. . . .

主定理の証明のアイデア

ダイアグラムを上に伸ばしても , バイカンドルは同型 .

BQ(D) BQ(D ⁰ )

−→

φ

∼ =

. . . .

主定理の証明のアイデア

ダイアグラムを下に伸ばしても , バイカンドルは同型 .

BQ(D) BQ(D ⁰ )

−→

φ

∼ =

. . . .

主定理の証明のアイデア

ダイアグラムにバンドを張っても , バイカンドルは同型 .

BQ(D) BQ(F (Γ))

−→

φ

∼ =

. . . .

主定理の証明のアイデア

以上の同型対応により , 定理の結果を得る .

BQ(Γ) BQ(F (Γ))

−→

φ

∼ =