Sur un espace fibr6 dont Ie gronpe
st斑c麺斑est un espace COfimexe topologiq e a§sujetti a certain condition
Par J6y6 Kα？・ita71i
R6sum6
Etant donn6 une vari6t6 diff6rentiable topologique connexe、V， on d6crit quelle propri6t60n Iui donne pour qu elle soit un groupe structural d un espace丘br6 dont une vari6t6 diffεrential）1e Zadmettant les hom60morphismes locaux A P6space projectif A diment三〇n infinie est une base．
Pour cela on r6sume quelques r6sultas obtenus jusqu ici avec des r6visions． On introduit la composante cohnexe pr三ncipale C， et on d 6montre que si la vari6t6 W admet Ies hom60mor．
phismes locaux A C， il existe un espave fibr6 dont XV est le groupe structural et dont Z est une base．
1． Axiomes fondamentaux
Soient 8 un ensemble non vide et（のune famille des parties de 8 satisfaisant
サ コ
aUX aX10meS SUIVantS． ．
Axiome 1． Pour deux 616皿ents distinctes quelconques de 8， il existe une partie et une seule qui les contient et qui apPartient a（島）．
On appelle un 616ment de 8 un point et une partie appartient A（e）une droite．
On 6crit l＝・pvQ pour expimer qu une droite l est uniquement d6termin6， comme cons6quence de cet axiome， au moyen des deux points distinctes 1）et Q qu elle joient．
Axiome 2． Une droite contient au moins trois points distincts．
Axiome 3． Soient A， B， C trois points distincts， et D， E deux points distincts tels que D∈（AvB）， E∈（Av（0． Il existe alors un point commun aux deux droites BvC et DvE．
On d6signe par Lo une partie de 8 dont 1 616ment est un point unique． L en・
semble 86tant non vide d aprさs d6finition， il existe au moins un Lo． L ensembIe
．乙Ides poillts P tels que 1）∈AvB（A ILo， B∈Lo）11，est autre chose qu une droite，
On d 6finit Lt proche en prOche de cette maniさre：6tant donn6 un Lt一工（i＞0）．et un point／1 non contenu dans Lt−10n d6finitヱlt comme 1 ensemble des points P tels que 1）∈AvB（B∈Lτ一1）・ On peut ainsi d6finire Lt pour un entier iquelconque．
Axiome 4 Pour tout Lt le compl6ment de Lt par rapport合8n est pas vide．
Comme cons6quence de cet axiome， il existe au moins un Li． Autrement dit， la famllle（B）n est pas vid．e．
＊一般教養教授数学
D prさs axiome 1， pour deux points quelconques non contenu dans un L°， il existe un et un seul Li qui les renferment． Plus 96n6ralement， en utilisant les axiomes 1，2，3et 40n d6montre， par 1 三nduction mat6matique qu il existe un et un seul Lt qui renferme les i十1 poirlts volontairement donn6es non contenus dans un Lt一工（5）
projective geometry）． Tels i十1 points sont dits ind6pendents． L ensemble Lt d6termin6 par ces i十1 points est dit丘16 par eux．
Une famille des points（（Pa）（α∈」）de 8 dont toutes les sous・familles finis sont des systさmes des points ind6pendents est dite lible．
Soient maintenant（（Pa）（α∈」））une famille quelconque des points de S et U la r6union des ensembles dont ehaun est fil6 par une sous・famille finie de（（Pa）（α∈」））． On dit alors que la fam皿ille（（Pa）（α∈」））engendre 1 ensemble U． En particulier， lorsque la famille（（pa）（α∈」））est lible， on PapPelle la base de U et Ia famille elle・meme se note〈こノ〉： 〈σ＞ est la base de U．
2． Base de l ensemblσ3
Consid6rons rense㎡）le （≡5 des fa皿illes lible des points de δ ordonn6es par inclu・
sion． Soient⑥le sous．ensemble de（ら totalement ordonn6 etγ1a r6union des familles〈σ＞appartenant A O． Cette r6union V est aussi une fammille lible de 8．
En ef［et， prenons un point 1）de V． Il est contenu dans un 616ment〈σ〉（」F）de（ら．
Soit〈の（Q）（Q∈Tつun autre 616ment de（ら． Comme〈の（pi）et〈の（Q）sont les deux 616ments de（らtotalement ordonnεs par 1 inclusion，1 un d eux oontient l autre．
Soient， par example，〈σ〉（P）⊂〈σ＞Q． Il vient alors 〈σ〉（jp）U〈σ＞Q＝〈σ＞Q．
On peut ainsi conclure que P，，…，Pm 6tant les points finis vololltairement pris en V，1a reunion
〈u＞Pl u〈σ＞P，…u〈u＞Pm
co incide avec un〈σ＞Q， o口Q∈｛P，，…，pm｝．
Donc la r6union V elle−meme est une famille〈σ＞Q o亡Qest un point de V．
Autrement dit， V est une falnille des points de 8． Cela revient A dire que l en−
semble（らest inductlf（9）Ensembles ord皿nes， p．44））． Il possさde donc un 616ment maxima1〈W＞＝（（At）（i∈1））． Or， on a 5≦砿 En ef［ect， si l espace 8 renferme un point 1）non contenu dans VV on obtiendrait， en ajoutant 1）A W， une famille lible des points de 8 non contenue dans 〈W＞ ce qui est absurde． Il vient donc 8
＝Wd aprさs la d6丘nition de 1 616ment maximal de sorte que〈W＞est une base de 8． On arrive ainsi含prouver que 8 admet de base．
3．Repere sur S
D aprさs le th60rさme de Zermelo， il existe un bon ordre sur la base （（（At）（i∈b
de 8 （9）EnsembleS ordonn6s p．43））． Cet ordre sera not6≦． On peut toulours
supposer que 1，6nsemble d indice．τest 6quipotent A l，enserbble（（（A，）（i∈1））et， par
suite， bien ordonn6． L ξ16ment le plus petit de l sera not6 e．
Soient A，。， Aε，（どo＜il）deux points pris en（（A，）（i∈1））． D aprさs axiome 2 il existe sur la droite／lt、vAt， un point U，。t、 diff6rent de A￡。 et、de A，、． Le systさme［ノlt。，
．Aτ、；U，。t、］se nomme rep÷re dont／1，。 et A，、 sommets et dont U，。包、 est point d unit6．
Soient ensuite／1，。， A｛、，ノ1乞，（io＜il＜i2）trois points pris en （（At）（i∈1））． Il existe sur Ia droiteこrt。t、vAt， un pointこrt。琶、↓， diff6rent deこJt。 t， et aussi de At，． Le systさme
［At。，A，、，At，；乙「t。tlt，コse nomme le repさre dont At。，At、 et Aε， sont sommets et dont U，。tlt、 est point d unit6 et ainsi de suite： ノ4輻。，At、，… ，ノ1乞，（io＜il＜…＜ノlt．） sont les r十1（r≧1）points pris en（（At）（i∈1））． Il existe sur la droite U，。tl．．￠．−ivAt， un point Uε。t、＿ε． diff6rent de UL。＿τr−、 et aussi de／1τ．・ Le systさme［∠1乞。，At、，…，
∠4ε，；U，。．．τ．］se nomme le repさre dont At。，、4t、… et Aτ， sont sommets et dont
τノi。．．ε，est point d unit6・
Comme lesプ十1 points At。，…，A／， sont une partie丘nis de la famille libre（（（At）
（i∈∫））ils sont ind6pendents． L ensemble丘16 par ces points sera not6 At。vAt、v…vAt．
Soient ensuite／lt， un point de｛At。，∠4t、，…，At，｝et Aj，…，A」．．， Ies autres． Alors ゴ，j1，…，元，−lis est un permutation de iOil…i， de sorte qu on a
AJ。vんV…．Ajr．、vAt，＝A，。vAti∨…vAt．．
Il existe sur la droite こ万。… 」r→v∠［t， un point ζ乃。」1 ・・3，＿ぱ， diff6rent de 乙弓。．．i，＿、 et aussi de／4包，． Le systさme ［At。，At，，…，A，．； こ乃。Jl．．」，＿、t，］ est aussi un repさre de somlnets Ato，At1，…，At．． Le systさme［AJ1，…，ノIJ．1；Uj。．．ゴ．．1］se nomme son rep÷re frontiさre correspondant A sommet supPrim64，・
Quant au repさre dont le sommet est un seul point Ao∈80，0n convient de re−
garder sont point d unit6 aussi coindde avec Ao・
4． Ensemble des points d unit6
Th60rさme． On peut associerえ1a base U（（A，）（i∈1））deδune partie〔1／deδde Ia maniさre que les points丘nis dont les indices sont un systさme des indices finis volontalrement pris en segment［z，β］de 1， avec un 616ment de町uniquement associ6 Ace systさme forment un repさre五dont ces points s皿t sommets et dont cet 616ment de W est un point d unit6， muni d un repさre frontiさre qui s obtiet par supprimer un som皿et quelconque de K sans changer Ie point d unit6 de K．
D aprさs le principe de recourance pour d6montrer ce th60reme il su伍t de prou、・er （4．1） （β∈．τet∀γ（（γ∈I etγ＜β）⇒R（γ）））⇒虫（β）
oti on dξsigne par≦R（α） que la dite propri6t6 est vエaie lorsque io，… ，i， sont des indices五nis volontairement pris en segment［e，α］de I．（9）Ensembles ordom6s P．41））
Nous allons ainsi nous occuper A （4．1）． Prenons sur la droite A，vAβ un point σ、βdiff6rent de A， et aussi de．4β． On a alors le repさre疏（［A，，、Afi；U，β］）． En supPriment l，un des sommets A， et Aβsans changer toujours le point d unit6σ，βon obtient， d aprさs le convention faite plus haut， un repさre frontiさre de K， dont tous les sommets et le point d unit6 co五ncedent avec l autre sommet de K，．
Envisageons ensuite trois points A，，A￠，Aβ（e＜i＜β）on a le repさre ［A，， Aβ；σ，β］
de la propri6t6 dont nous venons de mentionner． De m色me，
on a Ie repさre［ノ1、，A，；σ、t］de la propri6t6 pareilIe． Les deux droites こ1、βvAτ et こ万τvAβ dans A、vAt＜Aβ s inter・
sectent en un point σ、包β tandis que les droites ∠4、vこ万zβet
∠4tv∠4β s，intersectent en un point σ β・ On a ainsi le repさre 頁，（［A，，A，，A，；U，，，］）m。。i d・廿・i・repさ・e・丘…iさ，e［んん ノ1β；こ万β］， ［∠4、，ノ1乞；U，t］， ［At， Aβ；UtB］ qui s，obtient par
supprimer l un des trois sommets de K， sans changer Ie point d unit6 de K，．
Nous allons maintenant examiner（4．1）directement． prenons en segment［e，β］
de I，プ十1 indices io＜il＜…＜i，． Lorsque e＝io， d aprさs≦R（γ） （γ＜β）， il existe le repさre
［ん，A，、，…，Atr；U，t、＿オ．］． Comme les cas o亡r・＝1，2 deviennent respectivement les cas de K】，K， on suppose maintnantア＞2． L ensembleσ，βv∠4乞、vAt，…At， et la droite U，tl．．．わv／1β se trouvent dans A、v∠4ε、v… v∠4t．vAβ ils s intersectent ．en un point σ，τ、．．．t，β tandis que A、vこT，τ、．．．t，β et ／lt、v…ノ4，，v∠4β s intersectent en un point 乙rt、．．．包、β de sorte qu on a les repさres Kr（［メ4，，ノ4t、，… ，Aτ．，ノ4β；U，t、．．．t．β］）， 1〈r ．． i（〔∠4ε、，
＿ ，A，，，Aβ；U，、．．．t．β］）dont le dernier est le repさre frontiさre du premier correspondant au sommetん． De皿さme on a les repさres frontiさres de Kr
［Ae， At，，…，A，．，β；u，t，…i，βコ，［A，t， t，…，A，。β；ひ包lt、＿t。β］，…
correspondant aux autres sommets de Kr．
Lorsqque 〈i． il existe le repさre Krlエ（［ノ1，，At。，…，Aτ，， Aβ；こf，t。／、＿ε．β］）． Proletons・1e du point ／1， sur ∠4t。vAt、v… ∨∠4τ．vAβ． Il vient le エep÷re Kr（［At。，…，ノ1乞，，∠4β；Ut。，
．．．
，t．β］）muni des repさres frpntiさres qui viennent de ceux de Kr＋1． On arrlve ainsi Aprouver （4．1）．
5． Coordonn6es normales d un point de 8
Envisageons un ensemble L fil6 par les points丘nis ind6pendents deδ． En utili・
sant le point d unit61ui uniquement associ6 et en tenant comtpte des axiomes 1，2，
3et 4，0n d6丘nit projectivement addition et mulliplication de ses points de sorte qu on a un corps lui associ6・（5）Projective geometry））・
Axiome 5． Un corps associ6えun ensemble L fi16 par les points finis ind6pendents de 8 est toujours isomorphhe au corps de nombres r6els．
Conform6ment A cet axiome l，ensemble L se nomme l espace projectif a dimensions i，losqu il est fi16 par les i十1 points de 8 tandis que l ensembleδse nomlne 1 espace prolectif A dimension in丘nie． Un point 1）de 8 possさde ainsi les coordonn6es pro・
jectives par rapPort au repさre associ6 A L・
Un point P de 8 est contenu d aprさs d6丘niti皿dans un espace projectif A dimen・
sion finie． Si deux espaces projectifs L， et L2 contiennent le point P， il en est de
m6me pour l intersection L，∩L2． Ce procさs de diminuer la dimension se termine
aprさs r6P6tition丘nie， car la dimension est un entier 丘nL On abouti A un espace
projectif L（P）Adimension minimal． Soient（x・，xl，…， tr）oti x・〈x；＜…＜Ir les
coordonn6es projectives d un point de L（yう par rapPort au repさre associ6 A 1二（P），
Parmi ces coordonn6es il n y en a que丘ni celles qui sont diff6rentes de z6ro． Mais elles ne sont pas toutes nulles． En particulier， losque Ie point P est un sommet
／ltic de la base elles toutes z6ro sauf ttk． Lorsque P est un poillt d，unit6， elles possさdent les m6mes valeus ou deviennent z6ro． On peut faire xo＞O en multipliant，
s il est n6ssaire， par−1 toutes les vt． On peut aussi les diviser parΣ［ ct l． Les coordonn6es ainsi uniquement．d6termin6es sont dites normales． Par abus de notation on convient de les noter sans（hanger la mode d 6criture de sorte qu On aΣ1 t，1＝1 sauf mention expresse du contraire．
6． Changement de repbre
Etant donn6 une base U（（At）（i∈1）） de 8， consid6rons une au仕e U （（／1！）（ゴ∈」））
Soient（（pjt）（i∈1））1es coordonn6es normales de／U par rapport au repさre K（［At，
… ，A、，；U，。，、＿、，］）ass・ci6 a L（A」t）， les indices丘nis i・，…，ど，6tant v・1・ntairement pris en segment［ ，β］de工 Il existe sur U aussi un bon ordre・ On supPose l ensemble d illdices J lui est 6quipotent L 616皿ent minimal de J sera not6レ．
Soi印t jo，元，，…，」， des indices finis volontairement pris en segment［り，β］et乙「」。j・…フ． le point d unit61ui uniquement associ6・ Ce point s exprime sous la forme
xゴt／IJ。 十… 十xJ AJ！
（5）Projective geometry））． Donc， les coordonn6es prolecti、・es（ct）（i∈1）et（x／）（元
∈」『 ）d un point P deδrapPortt6 respectivement au repさre K（〔∠4t。，…，ノlt．；ひε・…t．］）
et au repさre K （［／IJo ，… ，ノIJ！；UJo ．．．i．］） se relient par ρxt＝x o°カ」。t＋…＋x i カ」，包（ρ≠o， i∈∫）・
Or， en associantさla base 11 une proppre famille des points d unit6，0n peut faire tous Ies盈（元∈」）diff6rents de zξro 6gaux A 1． Pour le d6montrer il su伍t de prover （4，1） en d6signant par≦R（α） que la dite pripri6t6 est vraie lorsque jo・・… 元r sont des indices finis volontairement pris en segment［り，α］⊂」． Or， d aprさs 9（γ）
（γ＜β）1 expression x」°Aj。 十…十rcs Ai㌦十κβ∠1β devient／1J・ 十…十Aτノ十κ∠4β・ Donc en multipliant parκβtoutes les coordonn6es projectives de Aβ on obtient』R（β）．
On arrive ainsi A conclure qu on peut faire 1 6quation du （）hangement de repさre K→K
（6・・） ρ・t一干〃・ s（減ρキ゜・琴閣＝1）
7． Transformation projective attach68un cllangement de rbpere Thorさme． Etant donn6 deux repさres
K（［At。，…，A、．；u，。＿ ］）（i∈1）
et
五 （レ4戊。 ，…，Adノ；Uj。 ＿」r］）（」∈」）
o立io・・イ， etゴ。，…，元， sont respectivement les indices五nis bien ordonn6es pris en seg・
m・nt［らβ］・t・n segme・t（・，β）（・et・s・nt・e・pecti・・m・nt l・・i・dice・mi・im・・x
des ensembles bien ordonn6es l et J）， il existe une et une seul transfomation pro一
jective satisfaisant A la condition suivante．
1． Pour chaque sommet A，（i∈1， image TAτco incide avec AJ（t）ノ〔狐sorte qu on a TA，＝Aノ， At1＜AL2⇒ノ4j（t1） ＜Aj（t2） ， T〔At，Aa］ ：＝［Aγ ，AJ（ロ）」］ ．
2・ Pour chaqde sous−famille finie（20， ，Zr）pris en segment［e，βコon a
7てrto．．．t．＝Ut 」（t。）．．．コ（レ）．
L unicit6 de T est 6vidente d aprさs la th60rie concernant 1 6space projective a dimen・
sions丘nis． Nous allons皿aintenant d6montrer 1 existence．
Lemme．11 existe une applicationプ》du rep△re K dans K satisfaisant A la condition l et 2 0ti T＝f，
Consid6rons une apPlicationプ吾satisfaisant A la condition suivante．
（i） ffi fait corresponfre， A chaque indice prls en segment［c，β］un sommet de 1（1 en SOrte qU，On a
fBA、＝ん ， Ae≦At、＜Aε，≦Aβ⇒プhA，、＜：flBAt，
（ii） fB fait correspondre， A chaque point d unit6 Uτ。t、．．．t， associ6 A un ensemble 丘ni（どo，…，ir）des indices pris en segment［ζ，β］⊂Ile point d unit6 UJ（x。）．．．j（＝，）de K ． La d6monstration se士6duit alors A prouver（4．1）o竜on d6signe par R（α）que la dite propri6t6 est vraie lorsque io，…i， sont des indice finis pris en segment［ ，αコ⊂L En tenant compte de R（γ）（ ≦γ〈β）posons
x＝∵（∫γ∠4・） （ζ三≦i≦≦γ） （e≦γ＜β）；
L，ensemble∫est une partie de l ensemble bien ordonn6（（．4J ）（」∈の）． De plus，
si Alt∈−il existe Aア∈［A，，Aβ］ et Aa∈［A ， Ar］ tels que Alt＝f．Aa． On a donc，
en vertu de （i）
・4ノ≦ム ⇒（Aict∈［ん，， Att］）＝げ。A，（ ≦ど≦α））
⇒Ak ∈∫
ce qui nous montre que∫est un segment de l ensemble（（A！）（元∈））（9）Ensemble ordo皿6s p．38 Def．2））．
Entre［孔，∠4βコet t il existe 1 isomorphisme de丘ni par
ψβ（At）＝f，（At）
On peut en d6duir une transfor皿ation projective qui apPlique Pespace σ engendr6 par ［A ，β［Al espace σ engendr6 par∫． Si∫ coincidait avec 1 ensemble （（Aj）（j
∈J）），on auraitσ ＝＝S． Or， on aσ⊂8． 11 faudrait doncσ＝8ce qui est absurde，
carβ∈U・ Le compl6mentaire de∫par rapPort査1 ensemble（（AJt）（」））， n etant ainsi pas vide， il poss÷dent ie plus petit 616ment／1ひ de sorte que
／1！∈∫⇒Aj ＜Abt．
On a donc
＿CUAb ＝［Aノ．∠4．α ］．
Maintenant en posant
fBAτ：＝frAt （Ai≦≦Ar＜ノ1β）， ．プ云／1β＝Ab ，
on dbtient l application方satisfaisant A la condition（i）． Ensite en posallt．
fBこft。．．．t，＝frUt。．．．t，（Ate〈…＜At，≦Ar＜ノ1β），
on Obtient
fBこTシβ＝uレ。 ， fBU，。＿β＝u Xte）…b
On arrive ainsi A prouver le lemme．
La d6monstration du th60rさme est maintenant imm6diate． Si l ensemble（（∫（At）
（i∈1））ne coincide pas avec K 1 ensemble K 一（∫（Aτ）（i∈1））admet le plus 616ment
／1ヵ et on a（ア（A，）（i∈1））UAo ＝［ノ4ノ， A， ］． Il faut donq 1⊂」． En 6（）hangeant K et K 6n a J⊂1d o亡1＝」． Alors l et J 6tant tous les deux bien ordonn6s on peut faire／1 ゴω＝Aε ce qui entraine la d6monstration．（9）Ensembles ordonn6s p．46））．
8．Transformations projectives normales
Etant donn6 un point（の＝（（αり（i∈1））et un nombre positifλ≦mini（laτ1≠0））on apPelle cul〕e projectif de centre a et de largeurλ 1 ensemble （≡5（a，λ） des points x tels que I ct−a包1＜2（i∈∫）．（les coordonn6es du point a sont normales d aprさs la convention faite plus haut． D une maniさre pr6cise， elles se relient parΣIat｛＝1，
t
at＝O sauf pour des indices五nis， si at°， at1，… ，aレ （i。〈ii＜・・＜i，） sont les coordonn6es diff6rents de z6ro， on a at°＞0． Il en est de m色me pour tt． Grace A 1 hypothさse faite sur 2， xt°et at°sont de m6me signe， m6me quand io n est pas indice le plus petit pour （x）．
On donne査 5 1a topologie dont l ensemble des cubes proiectifs est une base．
Comme nous l avons remarqu6 plus haut，1 6quation du changement de rep÷re K
→K，s，exprime par（6．1）o立♪♪（た1） sont Ies（文）ord6rin6es projectves du sommet∠4／
de、Kt par rapport au rep△re K Oh peut donc regarder pJε（i∈1）comme les coor・
donn6es normales du point／1！． D une maniさre pr6cise， on suppose que siどo（P，」），
…
，どγ（P，元） （どo＜il＜…＜どr） sont Ies indices des coordonn6es diff6rents de zξro du point．4！， on aヵ」／°（p，元）＞0． Alors， si on convient， dans（6．1）， de prendre comme les coordonn6es x et x 1es coordonn6es normales des points courrants la valeur du facteur communρest皿iquement d6termin6e． La transformation projective dont
l，6quation s，6cr五t sous cette f（）rme est dite normale．
Soient ensu三te（qts（i，ブ∈1））1es coordonn6es normales du sommet de∠4／par rapport au repさre K ． L，enverse T 1 de la transfbrmation projective norlnale s exprime par （8．1） τxJ＝Σq♂エノ書 （τ≠0）．
琶
On d6montre que la transformation TI ainsi 6btenue est aussi normale et qu il en est de m6me pour Ia composs6e
κエ t＝Σカ tp．t eM （κ≠0）
1，πし
des transformations normales T et 7v：
（8．2） Σlqtj 1＝1 pour chaque∠，
i
（8．3） Σ1Σp／tp．i 1＝1 pour chaque m．
t
Nous voyons ainsi que Pensemble（らdes transfbrmations normales fOrme un groupe．
（3） p．11））．
On 三nduit sur ∈5 1a topologie du produit 81 en faisant correspondre au graphe
fOnctionnel F tel que F（i）⊂δ（i∈1）la transfor血ation projective normale T dont les coe缶cientS pjτsont les coordom6es normaux du point pJ＝、4」 ＝TAj pour chaque j．
（10．Structures topologiques）． Le groupe（らdevient alors un groupe topologique．
9． Composante connexe principale Soit a un point de．8 tel que
L（a）＝Ah、v…．．A郁
Si on y effectue la transformation projective normale T d6丘nie par（6．1）， pour Chaque hσ（σ＝0，…，1） 1es indices i tels que Pht≠O sont丘nis． Soit ｛uo，…，μr｝ 1 ensemble des tels indices i． Supposons que l inverse T−1 est donn6e par （8．1） de sorte qu，on a
（3） p． 11）
（9．1） ． ΣqjhPkJ＝δkh．
﹂
Lesプ十11 nombles
Σ PJ ）・a」 （λ・＝0，…，ア）
． J
contient alors au moins un nombre dif飴rent de z6ro， car sinonJ tous les aha（σ＝・0，
… ，のn 6tant pas nuls， la matrice（ph，ua）serait du rang moindre que l十1 eontralre・
ment査1，6galit6
q。。h°…q。，h° u°…Ph；u
………・…………・ ＝1 、 q。，hl…σ諮 u「…Ph、
qul s，bbtient comme cons6quence d．e（9．1）．
Soit M le plus nombre de ，
Iaha 1（σ＝o，・・㌔の，．1ΣPJ aJ l（i∈1）・ ． 5
En prenant un nombreδtel qu6
（…） ・＜・＜、（2｛、）
consid6rons le cube projectif（ら（a，δ）． Pour un point quelconque x∈（5（a，δ）on a
αLδ＜♂＜at＋δ）
et， grace A（9．2）， tous les membres de ces in6galit6s sont positif ou n6gatif selon q…t≦0．S・it m・i・t…nt（k。，…， km）1 ・n・embl・d・・i・dice・パ・1・q・・at≠0・Il
・・nti・・t・1・rs P・n・embl・ぴ。，…，hl）， S・…mpl6m・nt d・n・（k。，…，km）・9・a n・t6（∫・・
… ，∫r∫）．On a aussi
laha l一δ〈l cha［〈1ahσ1十δ，
d o心，par la sommation 6tendue de o A l par rapport Aσ
れロじ 1ニ（1＋1）δ〈1一Σ lxfs［，
S＝1 c est・A−dire，
れロど
（9．3） 0≦Σ laダsl＜（1十のδ．
s←1
Reprenons la transformation projective norlnale T d6finie par（6，1）．． De l in6galitる
27
｜カjt tS−P jtaJ I＜12）Jt Iδ，
ザ
on tlre
l I
m m−t ΣP」tak・一Σ1カ，，¶δ＜Σ． Ph，！ eh「一Σカ∫，x了s
Σ P」tahσ一γ＝O S＝1 0＝工 σ＝0
ど
くΣカれ，tal↓σ＋1ク，，t lδ σ＝0
0r， on a en vertu de （9．．3）
仇一t 仇一； ηL−t
ΣPゾ，乞xアs≦ Σカノ．t・lx了s｜≦Σ 1x∫s1＜（1＋のδ．
s＝1 s＝1 s＝1
11vient donc
（9．4） Σカ」α∫−2（1＋のδ＜Σ P」tx」＜Σカ」α」＋2（1＋のδ
j j Jet， grace合（9．2）， tous les membres de ces in6galit6s positifs ou n6gatifs selons que カJt≦0． Il en est de m色me pour les in6galit6s
ち れロエ
ΣクtaゴーΣ Ph。t iδ一Σ
IPs．！1x了s i〈Zl PJt，，sゴ σ＝0 8＝1 J
l ． πじ一1 ． ，
〈Σ1）jtaJ＋Σ｜Ph，ε1δ十Σ1力川1 xfs｜
」 σ＝O S＝1
de sorte que ces in6galit6s sont v6ri丘6es meme quand on y remplaces Σク」tα」 et Z］ PJtxJ par ［Σtaj l et lΣカ」乞〆し
3 3 i 5
Sommons Ies in6galit6s ainsi obtenties par rapPort bゴ．11 vient alors ρ（a）−2（1＋のδ＜1ρ（エ）1＜ρ（a）＋2（1＋のδ．
En tenant cOmte de ces in6galit6s， on d6duit de（9．4）
Σヵ♪αゴー2（1十のδ 一ΣPJt cJ Σ p jtaJ十2（1十のδ fa（∂＋・（・＋のδ1＜戊ρ（。）＜k（の1−・（・＋のδ
Zl PjtaJ−2（1十bδ．Σp cj ．Σクチαゴ十2（1十bδ tii（∋1−・（・＋1）δ＜1ρ（。）1＜il（。）1＋・（・＋のδ
selon queΣ p 」ta」≦0． En tousぐas， il r6sulte de lA que
3
（9・・） 鴇一19；I」＜1，（芸｛彗袈1）、〈糊・
car par d6丘nition lρ（の1＞M et cons6quemment ．2（・＋の・＜Ti・（⇒1・
L・・sq・・4 2・・t・戊≠…n…nv・…d・（9・・）・（9・・）・るぬ」≠… る鋼≦°
selon queΣf）Jtaゴ≦0・
一
5
D・n・，ρ（・）・tρ（x）．…td・mem・・igne et 1 iri69・lit6（9．5）d・・i・nt
8（1＋1）δ lx t一α tl＜
1ρ（∋l
ce qui nous montre que la transformation prolective normale T est continue dans le domaine T−1（を（a，δ）． Cela revient A．dire que（を（a，δ）regard6 comme domain．e dans
⑮eSt Un dOmaine OUVert relatiVement A⑮． ．．
D a三lleurs， comme un point quelconque de（S（a，δ）se joint A d avec un segment
contenu dans（を（a，δ）， celui・ci est un domaine connexe． En particulier（を（ん，λ）est un tel domaine． La coposante connexe contenant Ae sera nomm6e composante con nexe principale et sera not6e C・・
10．Espace fibr6 d・nt・le・9r・upe structural est．Ct
S。it a un p。i。t d・C（A，，1）． C・mm・・ t e・t d・mem・・igne q・・ A・q・i・・t P。，itif，。・at＞0． L・・n・embl・d・・c・b・p・・jectif・C（・・δ）（a∈口（ん1））・・t enc°「e un domaine ouvert dont（S（∠4 ，1） est une partie． On peut poursuivre ce procさs jusqu A ce q・・1・d・m・i・e et・・d・…ti・n・・le cub・p・・iectif・d・・t le cent・e b est un p°1nt P，6。1。bl・m・nt d・n・・d…C、 ca・ ・i・・n・n p・・t・・t de ce cub・p・・jectif・n p°u「「alt
コ へ
former une composante connexe autre que C，， de sorte que b∈C・contralrement a
ノ ペ
1 hypothさse． Consid6rons maintenant， en tenant compte de ce qu on a mentlonne a la 丘n de no 7， les deux repさres
κ（［A、．，A，、，…，A、，；σ，．＿、，コ）・t K （［At。 ，…，Al・ ；σ t・…t・］）
od ioぐ1＜…〈ir；io，ii，…，i， sont des indices丘nis volontairement pris en segment
［α，β］（α＜β）de L Soint T une trallsformation projectivg normale attach6e au changement de repさre K→K ・ On a
TAτ。＝A t。， T 4，1＝．A t1，…，TAtrニ∠L t，， Tστ。…乞・＝ぴt。…わ
TG（At。，21）＝6（A ，。λ，）， T−1S（A ，。，2・）＝6（ノ1…2・）・La transformation T restrente dans le domaine（S（At。，？，）o立λ＝皿ini（21，22，23）
。pさ，e，。m皿。。n h。m6。m・・phi・m・．11・…td・mam・p…celle re・tre三…．d…1・
domain（S（A，，λ）． Quant A un point b volontairement pris sur C，・d aprさs ce qu on arem。，q。6・P1・・h…，1・・p6・a・i・n d・1・仕…f・・m・・i・n T・e・tr・i…d…1・d・m・ine C（b，7，）。，t。ne c。mp・・iti・n d・t・1・h・m6・m・phi・m… O・p・ut・n・…1…q・・C・
。，t un，。u，．9，。up， d。 G． D・p1・・，… d6m・・廿6 d・n・un…i・1・p・6・6d・n・q・ il
。xi、t。 u。。、pace丘b，6 X q・i・・t h・m6・m・・ph・5…h・mp d・vect・・rs・P…1・q・・1 1a diteτestriction dans C（Ao，2）est le groupe structural et Z est la base・ （3）P・13））・
On arrive ainsi h conclure qu・il existe une structUre d，espace・丘br6 ［C・・Y・・Z］・
Maintenant soient W une vari6t6 topologique connexe admettant les hom60mor・
phi，m，，1。caux｛9｝aC，， Ui un P・i・t d・TV， T一ぽ（）・mm・・a・em・・q・6 p！・・h・ut・
。n p，。t。t。nd・e l・d・m・i・・9−・C（A、，λ。）P…he e・p…h・」・・q・・1・d・m・ineet・・d・
contienne la transformation projective normale T＝＝gVU de sorte qu on peut en con・
，1。，e q。・C，・・t・n・・us−9・・up・d・⑮． Il・n・・t d・mem・p…W・・ ・・t−h・di・e・W est une composant connexe． Il existe， en solnme， un hom601norphislneφqui
。pPliq・・硫C On arrive ai・・i・…1・・e l ・xi・t・nce d・1・・加・t・・e d ・・pace fib・6
［w，φY，，勾．
R6f6rences
1）J．K。nit・ni． S・・un・vari6t6・1・calm・nt・pPlicabl・d・n・1 ・・pace p・・jectif・b・dim・nti・n infini， Research Bulletin， Meisei Univ． No．5．（Science and Engineer三ng），1970．
2） J．Kanitani． Sur l，ensemble des transformations projectives normales dans l espace pro．
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