n 角形 Bowen フローの完全位相共役不変量について

n ^角形 Bowen フローの完全位相共役不変量について

理工学研究科数理情報科学専攻 永松 一紀

概要

多角形のアトラクタを持つ平面上の

C

^{3級ベクトル場の}

Bowen

^{フローを考える．}

Takens [4]

^は

2

^角形

の

Bowen

フローの局所位相共役に関する完全不変量の存在を証明した．本論文の目的は，一般の

n

^角形

Bowen

フローにおける，位相共役を同値関係とする完全不変量の存在を証明することである．

目次

1

本研究について

2

1.1

研究の背景

. . . . 2

2

定義

2

3

ベクトル場に関する仮定

3

3.1 n

角形

Bowen

フロー

. . . . 3

4 Palis

の不変量

5

4.1

線形化されたベクトル場について

. . . . 5 4.2 Palis

の不変量

. . . . 5

5 Takens

の不変量

7

5.1 Σ k

上の微分について

. . . . 7 5.2 Takens

の不変量

. . . . 8

6 n

角形

Bowen

フローの完全不変量

11

6.1

主定理

. . . . 11 6.2 1

角形の場合

. . . . 15 6.3 1

角形における完全位相共役不変量の証明

. . . . 16

7

区分的

C ³

級

Bowen

フロー

18

8

今後の研究について

20

1 ^{本研究について}

1.1 研究の背景

はじめに，本研究の背景を説明する．

A, B

は集合，

∼

^は

A

上の同値関係とする．任意の

A

の元

x, y

に対 し，

f(x) = f (y)

が

x ∼ y

の必要十分条件となる関数

f : A → B

を

A

の完全不変量という．

Palis [2]

は

2

つ の鞍点をもつ平面上のベクトル場のフローについて，位相共役に関する完全不変量を与えた．さらに，

Takens [4]

は

2

つのヘテロクリニック点である鞍点を頂点，安定多様体と不安定多様体を辺とする

2

角形のアトラク タをもつベクトル場についても，同様に完全不変量が存在することを示した．各頂点をヘテロクリニック点で ある鞍点とし，各辺を安定多様体および不安定多様体とする

n

角形のアトラクタをもつ

C ³

級ベクトル場のフ ローを，

n

角形

Bowen

フローという．本研究では，

1

角形，

2

角形を含む一般の

n

角形

Bowen

フローに関す る完全不変量について研究した．

n

角形の場合，

Takens [4]

の方法では

n ≥ 3

の

n

角形において座標変換の 微分を揃えることができない．本研究では，

n − 1

次連立方程式の解を考えることで一般の

n

角形に対する解 法を得た．一般の多角形に対する位相共役の完全不変量を与えることで，より一般の，球面やトーラスなどの 閉曲面上の

Bowen

フローの完全位相共役不変量を考えることが可能になる．

2 ^定義

最初に必要な概念を定義する．詳細は

[5]

を参照せよ．

M, N

を位相空間とする．

写像の族

ϕ t : M → M (t ≥ 0)

が

ϕ ₀ = Id _M ,

ϕ t+s = ϕ t ◦ ϕ s

 

(t, s ≥ 0)

をみたすとき，

ϕ t

を

M

上のセミフローという．セミフロー

ϕ t : M → M (t ∈ R )

が

ϕ _t+s = ϕ _t ◦ ϕ _s

 

(t, s ∈ R )

をみたすとき，

ϕ t

を

M

上のフローという．

微分方程式，ベクトル場によってフローを定義できる．以降，

ϕ t

は

M

上のフローとする．

x ∈ M

とする．

集合

{ ϕ t (x) } t ≥ 0

を

x

の前方軌道，

{ ϕ t (x) } t ≤ 0

を

x

の後方軌道といい，

{ ϕ t (x) } t ∈R

を

x

の軌道という．

ϕ t

に ついて，

x ∈ M

に対し，

ϕ _s (x) = x

を満たす

s ≥ 0

が存在するとき，

x

を周期点といい，そのような

s

の中で 最小のものを

x

の最小周期という．特に，

s = 0

のとき，

x

を不動点という．

定義

2.1. ϕ _t

が不動点

x ∈ M

を持つとする．

ϕ _t

の不動点

x

が双曲型であるとは，

ϕ _t

の

x

でのヤコビ行列の 全ての固有値の実部が

0

でないことをいう．

定義

2.2. ϕ t

の双曲型不動点

p

のヤコビ行列の固有値のいくつかの実部が正で，

p

のヤコビ行列の固有値のい くつかの実部が負であるとき，

p

を鞍点という．

定義

2.3. ϕ t

が双曲型不動点

p

を持つとする．

W ^s (p) := { x ∈ M | lim

t →∞ ϕ t (x) = p }

を

p

の安定多様体という．

W ^u (p) := { x ∈ M | lim

t →−∞ ϕ t (x) = p }

を

p

の不安定多様体という．

M

のなめらかな部分空間

A, B

について，

T p X = T p A + T p B

を満たす

p ∈ A ∩ B

が存在するとき，

A

と

B

は点

p

で横断的に交わるという．

定義

2.4. ϕ t

が双曲型不動点

p

を持つとする．

p

の安定多様体

W ^s (p)

と不安定多様体

W ^u (p)

が

p

以外の点

q

で交わるとき，

q

をホモクリニック点という．

定義

2.5. ϕ _t

が異なる二つの双曲型不動点

p ₁

，

p ₂

を持つとする．

W ^u (p ₁ )

と

W ^s (p ₂ )

が交わるとき，その交 点

q

をヘテロクリニック点という．

定義

2.6.

閉集合

Λ ⊂ M

がアトラクタであるとは，

ϕ t (B) ⊂ Int(B) (t ≥ 0)

であり，

Λ = ∩

t ≥ 0

ϕ _t (B)

を満たすコンパクト集合

B ⊂ M

が存在することである．

定義

2.7.

２つのフロー

ϕ t : M → M

と

ψ t : N → N

に対し，同相写像

h : M → N

が

h ◦ ϕ t = ψ t ◦ h (t ∈ R )

を満たすとき，

ϕ _t

と

ψ _t

は位相共役であるという．このときの

h

を，

ϕ

と

ψ

の位相共役写像という．

位相共役はフローの同値関係を与える．

定義

2.8. A, B

を集合とし，

∼

^を

A

上の同値関係とする．関数

f : A → B

が

x, y ∈ A, x ∼ y ⇒ f (x) = f (y)

を満たすとき，

f

を，

B

に値をとる

A

の不変量という．関数

f : A → B

が

x, y ∈ A, x ∼ y ⇔ f (x) = f (y)

を満たすとき，

f

を

B

に値をとる

A

の完全不変量という．

3 ベクトル場に関する仮定 3.1 n 角形 Bowen フロー

この節では本修論で扱うベクトル場

X

について説明する．

n ∈ N

^とし，

∆

を

R ²

^上の

n

角形とする．

∆

の 各頂点を

A 1 , A 2 , . . . , A n

，端点が

A k , A k+1

である辺を

c k

とする（ただし，端点が

A n , A 1

である辺は

c n

と する）．

R ²

^上の

C ³

級ベクトル場

X

は，以下の条件を満たすとする．

1. A 1 , A 2 , . . . , A n

はベクトル場

X

の鞍点である．

A k

の正の固有値は

α ⁺ _k

，負の固有値は

− α ⁻ _k

である．

2. c 1 , c 2 , . . . , c n

は鞍点の安定多様体であると同時に不安定多様体でもある．

3. ∂∆

は

X | ∆

のアトラクタである．

4. ∏ n

k=1

α ⁻ _k >

∏ n k=1

α ⁺ _k

が成立する．

仮定

1

，仮定

2

より，

n ≥ 2

のとき，

A ₁ , A ₂ , . . . , A _n

はヘテロクリニック点である．上記の仮定を満たすベ クトル場

X

のフローを，

n

角形

Bowen

フローと呼ぶ．特に，

n = 2

のとき，

∆

を

Bowen

の目と呼ぶ．

α k := α ⁻ _k

α ⁺ _k

^{とする．ベクトル場}

X ^′

の鞍点，固有値，各辺についても

^′

を付けた同様の記号を定義する．

図

3.1 n = 1, 2, 4

の場合の

Bowen

フローの図

次に，

c i

と横断的に交わる十分小さくなめらかな線分

Σ k (k = 1, . . . , n)

を考える．

[3]

の定理より，各

A i

において線形化された局所座標表示が存在することが分かる．

定理

3.1 (Hartman [3]). ϕ

は

2

次元多様体

M

上の微分同相写像で，

p ∈ M

は

ϕ

の鞍点とする．このとき，

ϕ

について，

p

のまわりで

C ¹

級の線形化された局所座標表示が存在する．特に，

ϕ

が

C ³

級のとき，

ϵ > 0

と して，

C ^1+ϵ

級の局所座標表示が取れる．

定理

3.1

で与えられる

A k

のまわりの座標近傍を

U (A k )

とする．

X

は

C ³

級であるから，局所座標表示は

C ^1+ϵ

級となる．以降の証明では

0 < ϵ < 1

として一般性を失わない．

A k

のまわりの線形化された局所座標 表示を

(x, y)

とすると，

(x, y)

は以下を満たす．

1.

(x, y) ∈ Σ k ⇒ x = 1, (x, y ) ∈ Σ k − 1 ⇒ y = 1

が成立する．

2. U (A k )

上において，ベクトル場

X

は

X = xα ⁺ _k ∂

∂x − yα ⁻ _k ∂

∂y

^{で表される．}

図

3.2 A

kの周りの線形化局所座標表示 次に先行研究である各不変量を見ていく．

4 Palis ^の不変量

4.1 線形化されたベクトル場について

定理

3.1

により線形化された

U (A _k )

上の座標で

X

のフローを考える．点

(x, y)

を通る軌道上の点は，

X t (x, y) = (

x exp(α ⁺ _k t), y exp( − α ⁻ _k t) )

で表される．

s (> 0) :

十分小として，点

(s, 1) ∈ Σ k − 1

は

X

のフローにより，時間

r (> 0)

後に

(1, u) ∈ Σ k

に移るとすると，

{ s exp(α ⁺ _k r) = 1, exp( − α ⁻ _k r) = u

が成り立つ．これを解くと，

r = − 1

α ⁺ _k log s, (4.1)

u = s ^α

^k

(4.2)

を得る．

x(t) ⊂ ∆

を

∂∆

に十分近い軌道とする．

x(t)

が

Σ 1

に初めてぶつかったときの時間を

t 1 (> 0)

，次 に

Σ 2

にぶつかったときの時間を

t 2 (> t 1 )

とし，

t 3

以降も同様に定義することで線分を通過する時間の列

{ t i } i ∈N

を考える．

4.2 Palis の不変量

定理

4.1 (Palis [2]).

次の極限が存在する．

lim

i →∞

t _ni+k+1 − t _ni+k t ni+k − t ni+k − 1

= α ⁻ _k

α ⁺ _k+1 (k = 0, 1, . . . , n − 1).

ここで，

k = 0

のときの極限は

α ⁻ _n

α ₁ ⁺

^である．

証明

. k ∈ { 1, 2, . . . , n }

^{を固定して考える．}

x(t ni+k − 1 ) ∈ Σ k − 1

の

y

成分を

s > 0

とする．

(4.1)

より，

t _ni+k − t _{ni+k − 1} = − 1

α ⁺ _k log s. (4.3)

また，

x(t _ni+k )

の

U (A _k )

の線形化座標における

x

成分は，

(4.2)

より，

s ^α

^kとなる．

U(A _k+1 )

の線形化座標 における

x(t ni+k )

の

y

成分を

s ^′ > 0

とすると，定理

3.1

より，

s ^′ = f (s ^α

^k

) = as ^α

^k

+ O(s ^α

^k

^(1+ϵ) ). (4.4)

ここで，

f

は

C ^1+ϵ

級の関数で，

a = f ^′ (0) > 0

である．

(4.1)

，

(4.4)

とテイラー展開より，

t ni+k+1 − t ni+k = − 1 α ⁺ _k+1 log s ^′

= − 1 α ⁺ _k+1 log (

as ^α

^k

+ O(s ^α

^k

^(1+ϵ) ) )

= − 1 α ⁺ _k+1

( log a + α k log s + log(1 + O(s ^α

^k

^ϵ )) )

= − 1 α ⁺ _k+1

( log a + α k log s + O(s ^α

^k

^ϵ ) )

. (4.5)

したがって，

lim

i →∞

t ni+k+1 − t ni+k

t _ni+k − t _{ni+k − 1} = lim

i →∞

− 1 α ⁺ _k+1

( log a + α _k log s + O(s ^α

^k

^ϵ ) )

− 1 α ⁺ _k log s

= lim

i →∞

( α _k ⁻

α ⁺ _k+1 + O(s ^α

^k

^ϵ )

log s − α ⁺ _k log a α ⁺ _k+1 log s

) .

s → 0 (i → ∞ )

，

α k ϵ > 0

より，

O(s ^α

^k

^ϵ )

log s − α ⁻ _k log a

α ⁺ _k+1 log s → 0 (i → ∞ )

であるので，求める極限を得る．

以降，

λ k := α ⁻ _k

α ⁺ _k+1 (k = 0, 1, . . . , n − 1)

で表す．定義から

∏ n k=1

α _k =

∏ n k=1

λ _k

である．

Λ n := ∏ n

k=1 λ k

とする．

補題

4.2 (Takens [4]).

i lim →∞

( t ni+k+1 − t ni+k − λ k (t ni+k − t ni+k − 1 ) )

= − 1

α ⁺ _k+1 log a (k = 0, 1, . . . , n − 1).

証明

. (4.3)

，

(4.5)

と

t ni+k+1 − t ni+k = − 1 α _k+1 ⁺

( log a + α k log s + O(s ^α

^k

^ϵ ) )

より，

t ni+k+1 − t ni+k − λ k (t ni+k − t ni+k − 1 )

= − 1

α ⁺ _k+1 (log a + α _k log s + O(s ^α

^k

^ϵ )) + λ _k α ⁺ _k log s

= − 1

α ⁺ _k+1 log a + O(s ^α

^k

^ϵ ) → − 1

α ⁺ _k+1 log a (i → ∞ )

が成立する．

定理

4.3 (Palis [2]). λ _k

は位相共役を同値関係とする

n

角形

Bowen

フローの不変量である．

証明

. X

，

X ^′

を

n

角形

Bowen

フロー，

x(t) ∈ ∆

を

X

の軌道，

h : R ² → R ²

^を

X, X ^′

間の位相共役写像と する．

h(Σ k ) ∩ c ^′ _k

を通る十分小さくなめらかな線分を

Σ ^′ _k

とする．

Σ ^′ _{k − 1} , Σ ^′ _k , Σ ^′ _k+1

に対して定理

3.1

を適用 し，線形の局所座標表示

U (A ^′ _k ), U (A ^′ _k+1 )

を与える．

h(x(t))

が

Σ ^′ _j

を

i

回目に通過する時間を

t ^′ _ni+j

とする．

h(Σ k ) ∩ c ^′ _k = Σ ^′ _k ∩ c ^′ _k , h(Σ k+1 ) ∩ c ^′ _k+1 = Σ ^′ _k+1 ∩ c ^′ _k+1

より，次を満たす

l ∈ Z

^{が存在する．}

i lim →∞ (t n(i+l)+j − t ^′ _ni+j ) = 0 (j = k − 1, k, k + 1).

したがって，

λ k = lim

i →∞

t ni+k+1 − t ni+k

t _ni+k − t _{ni+k − 1} = lim

i →∞

t _n(i+l)k+1 − t _n(i+l)+k

t _n(i+l)+k − t _{n(i+l)+k − 1} = lim

i →∞

t ^′ _ni+k+1 − t ^′ _ni+k t ^′ _ni+k − t ^′ _{ni+k − 1} = λ ^′ _k

が成立する．

5 Takens ^の不変量

5.1 Σ k 上の微分について

図

5.1 Σ

kの移動による座標の変化

U (A _k )

における局所座標表示から

U (A _k+1 )

における局所座標表示への座標変換を考える．

x(t _{ni+k − 1} ) ∈ Σ k − 1

の

U(A k )

における局所座標表示の

y

成分を

s ni+k

とする．定理

4.1

の

(4.4)

より

s ni+k+1 = f k (s ^α _ni+k

^k

) = a k s ^α _ni+k

^k

+ o(s ^α _ni+k

^k

^(1+ϵ) ). (5.1)

ここで，

f k

は

C ^1+ϵ

級の関数で，

a k = f _k ^′ (0)(> 0)

である．このとき，次の手順で

a k = 1 (k = 1, 2, . . . , n − 1)

とすることができる．まず，

Σ 1

を固定し，

k = 2, . . . , n

について

Σ k

を

r k

だけ動かし

Σ ˜ k = X r

_k

(Σ k )

に置き 換えることを考える

(

図

5.1)

．線形の局所座標表示と合成関数の微分より，新しい局所座標近傍

U ˜ (A k )

にお ける

Σ ˜ k

上の座標変換の微分

˜ a k (k = 1, 2, . . . , n − 1)

は次のようになる．

˜

a 1 = a 1 exp( − α ⁺ ₂ r 2 − α ⁻ ₁ r n ),

˜

a 2 = a 2 exp((α ⁻ ₂ + α ⁺ ₃ )r 2 − α ⁺ ₃ r 3 ),

˜

a 3 = a 3 exp( − α ⁻ ₃ r 2 + (α ⁻ ₃ + α ⁺ ₄ )r 3 − α ⁺ ₄ r 4 ), .. .

˜

a k = a k exp( − α ⁻ _k r k − 1 + (α _k ⁻ + α ⁺ _k+1 )r k − α ⁺ _k+1 r k+1 ), .. .

˜

a n − 1 = a n − 1 exp( − α ⁻ _{n − 1} r n − 2 + (α ⁻ _{n − 1} + α ⁺ _n )r n − 1 − α ⁺ _n r n ).

次に，以下の連立方程式を考える．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



− α ⁺ ₂ r ₂ − α ⁻ ₁ r _n = − log a ₁ , (α ₂ ⁻ + α ⁺ ₃ )r ₂ − α ₃ ⁺ r ₃ = − log a ₂ ,

− α ⁻ ₃ r 2 + (α ₃ ⁻ + α ⁺ ₄ )r 3 − α ₄ ⁺ r 4 = − log a 3 , .. .

− α ⁻ _k r k − 1 + (α ⁻ _k + α ⁺ _k+1 )r k − α ⁺ _k+1 r k+1 = − log a k , .. .

− α ⁻ _{n − 1} r _{n − 2} + (α ⁻ _{n − 1} + α ⁺ _n )r _{n − 1} − α ⁺ _n r _n = − log a _{n − 1} .

この連立方程式の解が存在するとき，その解

(r 2 , r 3 , . . . , r n )

を代入することで，

˜ a k = 1 (k = 1, 2, . . . , n − 1)

とできる．上の連立方程式の係数行列は，



 

 

 

− α ⁺ ₂ 0 · · · 0 0 − α ⁻ ₁ (α ⁻ ₂ + α ⁺ ₃ ) − α ₃ ⁺ 0 · · · 0 0

− α ⁻ ₃ (α ⁻ ₃ + α ⁺ ₄ ) − α ⁺ ₄ 0 · · · 0

.. . .. .

0 · · · 0 − α ⁻ _{n − 1} (α ⁻ _{n − 1} + α ⁺ _n ) − α ⁺ _n



 

 

 

である．この係数行列の行列式は

( − 1) ^{n − 1} (

(α ⁻ ₁ α ⁻ ₂ · · · α ⁻ _{n − 1} ) + (α ⁻ ₁ · · · α ⁻ _{n − 2} α ⁺ _n ) + · · ·

+ (α ⁻ ₁ · · · α ⁻ _i α ⁺ _i+2 · · · α ⁺ _n ) + · · · + (α ⁺ ₂ α ⁺ ₃ · · · α ⁺ _n ) )

である．よって，係数行列は正則であるから，連立方程式の解が存在する．ゆえに，微分を

1

に揃えることが できる．以降，

Σ n

以外の座標変換の微分は

1

，

Σ n

における座標変換の微分を

a

（

> 0

）とする．このとき，補 題

4.2

の

k = 1, 2, . . . , n − 1

の場合の極限は

0

に等しい．

5.2 Takens の不変量

定理

5.1 (Takens [4]).

次の極限が存在する．

lim

i →∞

( t _ni+n − t _ni − Λ _n (t _ni − t _{ni − n} ) )

= − ( ∑ ⁿ

k=1

1 α ⁺ _k (

k ∏ − 1 j=1

α _j ) )

log a.

証明

. x(t ni − n ) ∈ Σ n

の

U (A 1 )

に お け る 線 形 局 所 座 標 の

y

成 分 を

s 1

と し ，

k = 2, . . . , n

に つ い て ，

x(t ni − n+k − 1 ) ∈ Σ k − 1

の

U(A k )

における線形局所座標の

y

成分を

s k

とする．

(4.1)

より，

t _ni − t _{ni − n} = −

∑ n k=1

1

α ⁺ _k log s _k . (5.2)

(5.1)

より，

log s _k = α _{k − 1} log s _{k − 1} + O(s ^α _{k −}

^k−1

₁ ^ϵ )

= α k − 2 α k − 1 log s k − 2 + O(s ^δϵ _{k − 2} ) .. .

= α 1 α 2 · · · α k − 2 α k − 1 log s 1 + O(s ^δϵ ₁ ).

ここで，

δ(> 0)

は各計算過程における

s _k

の指数で最小のものとする．したがって，

t ni − t ni − n = − ( ∑ ⁿ

k=1

1 α ⁺ _k (

k ∏ − 1 j=1

α j ) )

log s 1 + O(s ^δϵ ₁ ). (5.3)

次に，

x(t ni ) ∈ Σ n

の

U (A 1 )

における線形局所座標の

y

成分を

s n+1

とすると，

(5.1)

より，

s n+1 = as ^α ₁

¹

^α

²

^{··· α}

ⁿ

+ O(s ^α ₁

¹

^α

²

^{··· α}

ⁿ

^(1+ϵ) ).

したがって，

t ni+n − t ni = − ( ∑ ⁿ

k=1

1 α ⁺ _k (

k ∏ − 1 j=1

α j ) )

log s n+1 + O(s ^δϵ _n+1 )

= − ( ∑ ⁿ

k=1

1 α ⁺ _k (

k ∏ − 1 j=1

α _j ) )

log(as ^α ₁

¹

^{··· α}

ⁿ

+ O(s ^α ₁

¹

^{··· α}

ⁿ

^(1+ϵ) )) + O(s ^δϵ _n+1 )

= − ( ∑ ⁿ

k=1

1 α ⁺ _k (

k ∏ − 1 j=1

α j ) )

(log a + (

∏ n k=1

α k ) log s 1 ) + O(s ^δϵ ₁ )

= − ( ∑ ⁿ

k=1

1 α ⁺ _k (

k ∏ − 1 j=1

α j ) )

log a − ( ∑ ⁿ

k=1

1 α ⁺ _k (

k ∏ − 1 j=1

α j ) )

Λ n log s 1 + O(s ^δϵ ₁ ).

以上より，

t _ni+n − t _ni − Λ _n (t _ni − t _{ni − n} ) = − ( ∑ ⁿ

k=1

1 α ⁺ _k (

k ∏ − 1 j=1

α _j ) )

log a + O ( s ^δϵ ₁ )

.

O ( s ^δϵ ₁ )

→ 0 (i → ∞ )

より，求める極限を得る．

以降，定理

5.1

の極限を

ν

で表す．

定理

5.2 (Takens [4]). ν

は位相共役を同値関係とする

n

角形

Bowen

フローの不変量である．

証明

. X, X ^′

を

n

角形

Bowen

フロー，

ν, ν ^′

をそれぞれ

X, X ^′

の定理

5.1

の極限，

x(t) ∈ ∆

を

X

の軌道，

h : R ² → R ²

^を

X, X ^′

間の位相共役写像とする．

x ^′ (t) := h(x(t))

とする．

x(t)

が

Σ k (k = 1, 2, . . . , n)

を通

る時間の列

{ t i }

^と

x ^′ (t)

が

Σ ^′ _k (k = 1, 2, . . . , n)

を通る時間の列

{ t ^′ _i }

^を考える

(Σ ^′ _k = h(Σ k )

である必要はな い

)

．

t i , t ^′ _i

いずれかの

i

を

i + 2l

（

l

は適当な自然数）に置き換えることで，

t i − t ^′ _i

は一様有界となる．特に，

X _u ^′

_k

(Σ ^′ _k ∩ c ^′ _k ) = h(Σ k ∩ c k ),

i lim →∞ (t ni+k − t ^′ _ni+k ) = u k .

また，定理

4.3

より，

Λ n =

∏ n k=1

λ k =

∏ n k=1

λ ^′ _k = Λ ^′ _n .

したがって，

ν − ν ^′ = lim

i →∞

( t ni+n − t ni − Λ n (t ni − t ni − n ) − (t ^′ _ni+n − t ^′ _ni − Λ ^′ _n (t ^′ _ni − t ^′ _{ni − n} )) )

= lim

i →∞

( (t ni+n − t ^′ _ni+n ) − (t ni − t ^′ _ni ) − Λ n ((t ni − t ^′ _ni ) − (t ni − n − t ^′ _{ni − n} )) )

= 0

が成立する．

後の証明のために次の

2

つの補題を示す．

x(t _ni+k ) ∈ Σ _k

の

U (A _k+1 )

における線形局所座標の

y

成分を改 めて

s _ni+k

とする．

(5.1)

の

O(s ^δϵ _ni+1 )

を

R _i

で表す．

補題

5.3 (Takens [4]). ∑ _∞

i=0 i | R _i |

^{は有限値に収束する．}

証明

. (5.1)

より，

R _i+1 R i

= O(s ^δϵ _ni+n+1 ) O(s ^δϵ _ni+1 ) = O

(( s _ni+n+1 s ni+1

) δϵ ) .

一方，

O (

s

∏n

k=1

α

_k

(1+ϵ) − 1 ni+1

) → 0 (i → ∞ )

，

∏ n

k=1 α k > 1

，

s ni+1 → 0 (i → ∞ )

より，任意の

0 < ϵ ^′ < 1

に対して，次を満たす

j ∈ N

^{が存在する．}

i ≥ j ⇒ s ni+n+1

s ni+1

= as ⁽

∏n k=1

α

_k

) − 1

ni+1 + O

( s

∏n

k=1

α

_k

(1+ϵ) − 1 ni+1

)

< ϵ ^′ .

したがって，

d’Alembert

の判定法から，求める極限が有限値であることが分かる．

補題

5.4.

i lim →∞

( t ni+1 − t ni − λ n (t ni − t ni − 1 ) )

= ν

1 + ∑ n − 1 k=1

(∏ k j=1 λ _k

).

証明

.

補題

4.2

より，

lim

i →∞

( t _ni+1 − t _ni − λ _n (t _ni − t _{ni − 1} ) )

= − 1 α ⁺ ₁ log a

= − 1 α ⁺ ₁

− ( ∑ n

k=1

1 α ⁺ _k

(∏ k − 1 j=1 α _j

))

− ( ∑ n

k=1

1 α ⁺ _k

(∏ k − 1 j=1 α j

)) log a

= ν

α ⁺ ₁ ( ∑ n

k=1

1 α ⁺ _k

(∏ k − 1 j=1 α j

)) .

また，

α ⁺ ₁ ( ∑ ⁿ

k=1

1 α ⁺ _k (

k ∏ − 1 j=1

α j ) )

= α ⁺ ₁ ( 1

α ⁺ ₁ + α ₁

α ⁺ ₂ + α ₁ α ₂

α ⁺ ₃ + · · · + α ₁ α ₂ · · · α _{n − 1} α ⁺ n

)

= 1 + α ⁻ ₁ α ⁺ ₂ + α ⁻ ₁

α ₂ ⁺ α ⁻ ₂

α ⁺ ₃ + · · · + α ⁻ ₁ α ⁺ ₂

α ⁻ ₂

α ⁺ ₃ · · · α ⁻ _{n − 1} α ⁺ n

= 1 + λ 1 + λ 1 λ 2 + · · · + λ 1 λ 2 · · · λ n − 1 .

以上より，

i lim →∞

( t ni+1 − t ni − λ n (t ni − t ni − 1 ) )

= ν

1 + ∑ n − 1 k=1

(∏ k j=1 λ k

)

が成立する．

6 n ^角形 Bowen ^{フローの完全不変量}

6.1 主定理

以下が本論文の主定理である．

定理

6.1. R ²

^上の

C ³

級ベクトル場

X, X ^′

を

n

角形

Bowen

フローとする．このとき，次の

(1), (2)

は同値で ある．

(1)

{ λ k = λ ^′ _k (k = 1, 2, . . . , n) ν = ν ^′ .

(2) ∆

の境界を含む内側の近傍と

∆ ^′

の境界を含む内側の近傍の位相共役が存在する．

定理

6.1

は，局所位相共役を同値関係とする

n

角形

Bowen

フローの完全不変量を与える．

証明

.

定理

4.3

，定理

5.2

より，

(2) ⇒ (1)

は成立する．

(1)

が成り立つとする．

Σ ^′ _n

における座標変換の微分を

a ^′

とする．

∆ _n

に十分近く，

x(0) ∈ Σ _n

なる

X

の軌道

x(t)

を取る．

x(t)

が

i

回目に

Σ k (k = 1, 2, . . . , n)

を通る時間を

t ni+k

とする．

t 0 = 0

であり，

t i < t j (i < j)

とする．次の手順で同相写像

h

を構成する．

まず，次を満たす時間の列

{ ˜ t i }

^{を構成する．}

 

 

 

 

 



lim i →∞ (t i − ˜ t i ) = c,

˜ t ni+n − t ˜ ni − Λ n (˜ t ni − ˜ t ni − n ) = ν,

˜ t ni+k+1 − ˜ t ni+k − λ k (˜ t ni+k − t ˜ ni+k − 1 ) = 0 (k = 1, 2, . . . , n − 1), t ˜ ni+1 − t ˜ ni − λ n (˜ t ni − ˜ t ni − 1 ) = − 1

α ⁺ ₁ log a.

T i := t ni+n − t ni

とする．次に，

T ₀ ⁽ⁱ⁾ , T ₁ ⁽ⁱ⁾ , . . . , T _i ⁽ⁱ⁾ = T i

を

T _j ⁽ⁱ⁾ − Λ n T _j ⁽ⁱ⁾ _{− 1} = ν (j = 1, 2, . . . , i) (6.1)

で定義する．このとき，

(5.3)

，

(6.1)

より，

T ₀ ⁽ⁱ⁺¹⁾ − T ₀ ⁽ⁱ⁾ = (T ₁ ⁽ⁱ⁺¹⁾ − T ₁ ⁽ⁱ⁾ )Λ ⁻ _n ¹

= (T ₂ ⁽ⁱ⁺¹⁾ − T ₂ ⁽ⁱ⁾ )Λ ⁻ _n ² .. .

= (T _i ⁽ⁱ⁺¹⁾ − T _i ⁽ⁱ⁾ )Λ ⁻ _n ⁱ

= Λ ⁻ _n ⁽ⁱ⁺¹⁾ (

T i+1 − ( _n

∏

k=1

λ k

) T i − ν

)

= Λ ⁻ _n ⁽ⁱ⁺¹⁾ R i+1 .

Λ n > 1

，

R i → 0 (i → ∞ )

より，

lim i →∞ T ₀ ⁽ⁱ⁾

が存在する．これを

T ¯ 0

とおく．

T ¯ 0

を始点に数列

{ T ¯ i }

^を

T ¯ i − Λ n T ¯ i − 1 = ν

で定義する．

T ₀ ^(j+1) − T ₀ ^(j) = Λ ⁻ _n ^j+1 R _j+1

を

j = i, i + 1, . . . , k

について両辺を足すと，

T ₀ ^(k+1) − T ₀ ⁽ⁱ⁾ =

k+1 ∑

j=i+1

Λ ⁻ _n ^j R j

を得る．両辺で

k → ∞

^{の極限を取ると，}

T ¯ 0 − T ₀ ⁽ⁱ⁾ =

∑ ∞ j=i+1

Λ ⁻ _n ^j R j . (6.2)

また，

T ¯ _i

と

T _j ⁽ⁱ⁾

の定義より，

T i − T ¯ i = T _i ⁽ⁱ⁾ − T ¯ i

= Λ _n T _i ⁽ⁱ⁾ _{− 1} + ν − Λ _n T ¯ _{i − 1} − ν

= Λ n

(

T _i ⁽ⁱ⁾ _{− 1} − T ¯ i − 1

)

.. .

= Λ ⁱ _n (

T ₀ ⁽ⁱ⁾ − T ¯ ₀ )

. (6.2)

と合わせて，

| T _i − T ¯ _i | ≤

∑ ∞ j=i+1

Λ ⁱ _n ^{− j} | R _j | (6.3)

を得る．また，

(6.3)

について

i → ∞

^{の極限をとると，}

i lim →∞

( T i − T ¯ i

) = 0 (6.4)

がわかる．補題

5.3

，

(6.3)

より，

∑ ∞ i=0

(T i − T ¯ i ) < ∞ (6.5)

が成立する．

(6.5)

の極限を

c

で表す．

{ ˜ t ni }

^を

T ¯ i = ˜ t ni+n − ˜ t ni

で定義すると，

(6.5)

より，

lim

i →∞ (t _ni − t ˜ _ni ) = c

が成立する．次に，

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



t ˜ ni+2 − ˜ t ni+1 = λ 1 (˜ t ni+1 − t ˜ ni ), t ˜ ni+3 − ˜ t ni+2 = λ 2 (˜ t ni+2 − t ˜ ni+1 ),

.. .

˜ t ni+k+1 − ˜ t ni+k = λ k (˜ t ni+k − ˜ t ni+k − 1 ), .. .

˜ t ni+n − 1 − ˜ t ni+n − 2 = λ n − 2 (˜ t ni+n − 2 − ˜ t ni+n − 3 ),

˜ t ni+n − ˜ t ni+n − 1 = λ n − 1 (˜ t ni+n − 1 − ˜ t ni+n − 2 ),

(6.6)

で

{ ˜ t _ni+1 } , { t ˜ _ni+2 } , . . . , { t ˜ _{ni+n − 1} }

^{を定義する．}

˜ t _ni+n

と

˜ t _ni

が与えられていることに注意すると，

(6.6)

は

M



 

 

˜ t ni+1

˜ t _ni+2 .. .

˜ t _{ni+n − 1}



 

  =



 

  λ ₁ ˜ t _ni

0 .. .

˜ t ni+n



 

 

と同値である．ただし，

M

は

n − 1

次の正方行列で，

M =



 

 

(λ 1 + 1) − 1 0 · · · 0 0

− λ 2 (λ 2 + 1) − 1 0 · · · 0 .. . · · · · · · · · · · .. . 0 · · · 0 0 − λ _{n − 1} (λ _{n − 1} + 1)



 

  (6.7)

である．

(6.7)

の行列式は

1+ ∑ n − 1 k=1

(∏ k j=1 λ _j

)

> 0

であり，

M

は正則なので，

{ ˜ t _ni+1 } , { t ˜ _ni+2 } , . . . , { ˜ t _{ni+n − 1} }

が定義できる．

{ ˜ t _i }

^{は次を満たす．}

 

 

 

 

 



lim i →∞ (t i − ˜ t i ) = c,

˜ t _ni+n − t ˜ _ni − Λ _n (˜ t _ni − ˜ t _{ni − n} ) = ν,

˜ t _ni+k+1 − ˜ t _ni+k − λ _k (˜ t _ni+k − t ˜ _{ni+k − 1} ) = 0 (k = 1, 2, . . . , n − 1), t ˜ _ni+1 − t ˜ _ni − λ _n (˜ t _ni − ˜ t _{ni − 1} ) = − 1

α ⁺ ₁ log a.

次に，

(1)

と中間値の定理から，次を満たす

X ^′

の点

x ^′ (0) ∈ Σ ^′ _n \ c ^′ _n

が存在する．

lim

i →∞ (t ^′ _i − t ˜ i ) = c ^′

ここ で ，

t ^′ _i = t ^′ _nj+k

は

x ^′ (t)

が

Σ ^′ _k (k = 1, 2, . . . , n)

を

j

回目 に 通る 時 間 であ る ．

lim i →∞ (t i − ˜ t i ) = c, lim i →∞ (t ^′ _i − ˜ t i ) = c ^′

に注意して，

h(x(0)) := x ^′ (c ^′ − c)

とする．さらに，

h

は

x(0), x(t _n )

を端点とする

Σ _n

上の線分を

x ^′ (c − c ^′ ), x ^′ (c − c ^′ + t _n )

を端点とする線分に 写すとする．

c _k

の十分近くの点

z = y(r)(

ただし，

y(0) ∈ Σ _n

とする

)

については，

h(z) := X _r ^′ ◦ h (y(0))

と する．

Σ ^′ _n ∩ c ^′ _n = lim

i →∞ x ^′ (t ^′ _ni ) = lim

i →∞ x ^′ ( c ^′ + ˜ t ni

) = lim

i →∞ X _{t ˜} ^′

ni

+c ◦ h(x(0)) = lim

i →∞ h (

x ( ˜ t ni + c ))

であるから，

h (Σ n ∩ c n ) := lim

i →∞ h (

x ( ˜ t ni + c ))

と定義すると，

h (Σ _n ∩ c _n ) = Σ ^′ _n ∩ c ^′ _n

が成立する．また，

h (

x ( t ^′ _ni+k ))

(k = 1, 2, . . . , n − 1)

について，補題

4.2

，補題

5.4

と，

i lim →∞ (t ^′ _i − ˜ t i ) = c ^′ ,

˜ t ni+1 − ˜ t ni − λ ^′ _n (˜ t ni − ˜ t ni − 1 ) = ν ^′ 1 + ∑ n − 1

k=1

(∏ k j=1 λ ^′ _k

),

t ˜ ni+k+1 − t ˜ ni+k − λ ^′ _k (˜ t ni+k − ˜ t ni+k − 1 ) = 0 (k = 1, 2, . . . , n − 1)

より，

h (

x ( t ^′ _ni+k ))

は

i → ∞

^で

Σ ^′ _k ∩ c ^′ _k

に収束する．さらに，

h(A 1 ) := lim

t →∞ X _t ^′ ◦ h (Σ n ∩ c n ) , h(A k ) := lim

t →∞ X _t ^′ ◦ h (Σ k − 1 ∩ c k − 1 ) (k = 2, . . . , n)

で定義すれば，

h(A _k ) = A ^′ _k (k = 1, 2, . . . , n)

である．

次に，定義した写像

h

が連続であることを示す．まず，

x ∈ Σ _k (k = 1, 2, . . . , n)

の場合を考える．

V

を

h(x)

の開近傍とする．

h(x)

に対し，

h(x) ∈ h( ˜ Σ _k ) ⊂ V

なる端点を含まない線分

h( ˜ Σ _k ) ⊂ h(Σ _k )

を取る．こ のとき，

V

は開集合であるから，

∪

| s | <δ

X _s ^′ ◦ h( ˜ Σ k ) ⊂ V

なる

δ > 0

が存在する．

U _x := ∪

| s | <δ

X _s ( ˜ Σ _k )

とする．

U x

は

x

の開近傍である．集合の一般論と

h

の定義から

h(U x ) = h( ∪

| s | <δ

X r ( ˜ Σ k )) = ∪

| s | <δ

h ◦ X r ( ˜ Σ k ) = ∪

| s | <δ

X _r ^′ ◦ h( ˜ Σ k ) ⊂ V.

したがって，

h

は

Σ k (k = 1, 2, . . . , n)

上の点について連続である．点

z = X r (x(t))

は

h(z) = X _r ^′ ◦ h (x(t))

より，

U _z := ∪

| s | <δ

X _s+r ( ˜ Σ _k )

とすればよい．

A k (k = 1, . . . , n)

についても，

A k

を通る十分小さい線分で同様に証明できる．

最後に，

h

の単射性を背理法で示す．

h( { x(t) } ) = h( { x(t) ¯ } )

なる

{ x(t) } ̸ = { x(t) ¯ }

が存在すると仮定する．

一般性を失わないので，

t 0 = ¯ t 0 = 0

としてよい．このとき，

x(0), x(0) ¯ ∈ Σ n

である．

次に，

x(0), x(0) ¯

の

U (A 1 )

の線形化座標における

x

成分をそれぞれ

s 0 , ¯ s 0

とし，

x(t ni ), x(¯ ¯ t ni ) (i ∈ N )

の

x

成分をそれぞれ

s ni , s ¯ ni

とする．

s 0 , s ¯ 0

は十分小としてよい．このとき，

¯ s ni

s ni

= a¯ s ^Λ _ni

ⁿ

_{− n} + O(¯ s ^Λ _ni

ⁿ

₋ ^(1+ϵ) _n ) as ^Λ _ni

ⁿ

_{− n} + O(s ^Λ _ni

ⁿ

₋ ^(1+ϵ) _n )

=

¯ s ^Λ _ni

ⁿ

_{− n}

(

1 + O(¯ s ^Λ _ni

ⁿ

₋ ^ϵ _n ) ) s ^Λ _ni

ⁿ

_{− n}

(

1 + O(s ^Λ _ni

ⁿ

₋ ^ϵ _n )

) = 1 + O(¯ s ^Λ _ni

ⁿ

₋ ^ϵ _n ) 1 + O(s ^Λ _ni

ⁿ

₋ ^ϵ _n )

( ¯ s _{n(i − 1)} s _{n(i − 1)}

) Λ

n

.

したがって，

i lim →∞

¯ s _ni s ni

=

{ 0 (s ₀ > ¯ s ₀ ),

∞ (s ₀ < ¯ s ₀ ). (6.8)

(5.3)

と

(6.8)

より，

t ni+n − t ¯ ni+n − (t ni − ¯ t ni )

は

i → ∞

^{で発散する．}

次に，

x(t ni ), x(¯ ¯ t ni )

を通る軌道の像を考える．

Σ n

を含み，双曲型不動点を含まない十分小さなコンパクト 集合

N

を考える．

x(t ni ), x(¯ ¯ t ni ), x(t ni+n ), x(¯ ¯ t ni+n )

を含む軌道の像は，

h

の連続性と仮定から図

6.1

の右図

図

6.1 X

の軌道と単射でない

h

により写った

X

^′の軌道

のようになる．

h

は連続写像であるから，

h(N )

は双曲型不動点を含まない有界閉集合である．したがって，

t ni − ¯ t ni

は一様有界となる．これは

t ni+n − ¯ t ni+n − (t ni − ¯ t ni )

が

i → ∞

で発散することに矛盾する．ゆえ に，

h

は単射である．

6.2 1 角形の場合

1

角形の場合の

Palis

の不変量，

Takens

の不変量，定理

6.1

の証明について説明する．

{ x(t) } ⊂ ∆

を

∂∆

に十分近い軌道とし，

x(t)

が線分

Σ 1

を

i

回目に通過した時間を

t i

とする．

定理

6.2.

次の極限が存在する．

i lim →∞

t i+1 − t i

t _i − t _{i − 1} = α ⁻ ₁ α ⁺ ₁ .

証明

.

定理

4.1

の証明と全く同様にして示せる．

次に，

Σ 1

上の微分を考える．

2

角形以上では

Σ k

を

X t

_k

(Σ k )

に置き換えることで，

1

箇所を除き微分を

1

に揃えた．

1

角形では微分を

1

にすることはできない．

Σ 1

上の微分を

a(> 0)

とする．