ユ 篭

赤 阪正純 (htt●グ nuprioWeb fc2 com) 微分の本質 (4) この空想上の 1次 関数の傾き″(α)は αの値によって定まるので,α についての関数とみなすことがで きます そこで,定数 αを関数としての変数 ″でおきかえ ます また,仮想的な座標軸もαの値によって 変動するので,Xの^{かわりにご″},yのかわりにグυとして^,

dυ =ノ′

(″ )グ″″ お〜うるらな形の武べ独てき【^{!! さ}_{登場まレね 〜}^{こで、 と}

とします ^{この近似された理想的1次}関数αυ^{=/′(″ )α}″のことをυ=/(″)の微分と言います

珍 注 α″ を ″ の微 分,αυを υの微分 といい ます

珍注 _{『微分係数′}(α)』 を『微分商』という理由も納得できるでしょう

′^(α)==子争^(=αυ tt d″), ●5ま り微分(αυやご″^)の商だからなスンですオよ さて,υ =/(″_)の微分αυ^=/′(″ )α″にυ=/(α)を代入すると^,

α_(/(″))=/′(″ )α″

なので,/(″ )の微分は/′ ( )グ″である, といいます _{/(″ )の}微分を単にグ_/とかきます

な お,この よ うに考 え る と,″ の微 分 が ^d″ に な る理 由 も は っ き り します つ ま り,″ の微 分 とは^,

″′α″=1グ″=d″ なのです(υ の微分 αυ も同様)

一)Pointく(『微分(dづ//ογοη′づαι)』 と『微分する(dづ//ι″οπ′づα

̀0)』

の定義)

υ=/(″^)の『微分(aづノノο″οπιづαι)』 とは,理想的^1次関数αυ^=/′(″)d″ のことである

υ=/(″^)を『微分する(αj//ο″οπ」α′a)』 とは,y=/(″)から,その微分であるαυ^=/′(″)∂″

をつ くる こ とで あ る

υ=/(″)  ^{微分りる 、}

ttt■k撼 げ、、

つ ま り,『微 分』 と『微 分す る』 とは全 く異 な る概 念で ある

ユ 篭

dυ =/′(″ )ご″ 理 特

"1,ス 関数

樹ド 化

'夕

●工̀

翡 た●ヽすか｀

このように,本来,υ =ノ(″)を『微分する』とは,υ =/(″)から,その『微分』ごυ=/′(″ )α″を

つ くるこ となのですが,この『微 分す る』 とい う言 い回 しは,1慣例 的 に『g等 _{っ ま り/′(″})を^{つ くるこ と』}

の意味で用 い られ るこ とが多いので, この慣例 に従 い『微 分す る』 を次 の ように定 め ます

一>PoinN('資 例 υ=/(″)の『微 るという

υ=/(″)

υ=ノ(″)

としての『微分する』リーー

分』ごυ=/′(″洵 ″の両辺を α″で割って^, 1争争=/′(″)と変形fる_{ことを付文分す}

αυ=/′(α)α″  ^{両辺をα工で割る、}

rFt分 す る

#=/′^(″)

#=/′ (″ )

【例】

メ 十″^2の微分は,d(″3+″2)=(3″2+2″

)グ″ υ=″^3+″2の 微分は,αυ=(3″2+2″

)α″

υ

微 分 すると

【例】

sin″ の微分は,d(Sin″)=cos″ ^α″

υ=sin″ の微 分 は,αυ=cos″ ^ご″

υ=sin″ を微分すると,瑠7=C°^S″

赤阪正純 (htt● nupri web fc2 com) _{微分の本質} (5)

3 

ご″や グυを独立 して扱 う考 え方 を「微分形式」と いい ます (ホ ン トは違 うけ ど)微 分形式 の発想 を,

これ まで に学 習 した様 々な微分方法 に当て はめてみ よう

31  逆 関数 の微 分

〔例 〕 υ=v7の微分

υ=vTの両辺を2乗して,υ2=″

両辺を『微分』 して,2υごυ=∂″ ^よって

グυ̲1̲ 1

α″ 2ty 所

つ まり υ=マ7を微分 した結果に一致 します ^こ

の ような微分の方法 を逆関数の微分 と言い ました が,α″ と αυを最初か ら独立 して考 えればわざわ ぎ逆関数の微分など意識する必要もあ りません

32 合成関数の微分

合成 関数 υ=g(/(″))の微 分 も,a″ と αυ を 最初 か ら独 立 して考 える と,全く何 の問題 もあ りま せ ん

υ=g(/(″_))におい て , /(″)=オ ^{とお くと,}

υ=θ(′)よ ^って,それ ぞれの『微 分』 は

グυ=σ′^(′)α′,  ^{α′=/′(″ )ご″}

よ り,

αυ=θ^′(̀)・ /′(″)ご″=θ^′_{(/(″))・ /′}(″)d″

よ って,

各 =σ^′(/(″))・/′(″)

33  媒 介変数表 示 された関数 の微 分公式 媒介変数表示 された関数 の微分 も,ご ″ と ご′,ごυ と ご′を最初 か ら独 立 して考 え る と,全^{く何 の問題}

もあ りませ ん 単 なる約分 です

″=/(′)の『微分』は,d″ =/′(ι)α′

υ=g(′ )の『微分』は,αυ=σ^′(ι)α′ したがって,

αυ ̲θ^′(̀)ご

̲̀g′^(′) α″ /′

(̀)ὰ /′^(′)

34  陰 関数 の微 分法

陰関数 とは,単純にいうとυ=  … の形で書か れていない関数,つまりF(″,υ)=0で^{定め られ}

る関数のことです ^通常,この関数 を微分するはな かなかややこしいのですが,微^{分形式を使いこなせ}

ば,非常に簡単です まず基本 となるのは,

/(″)の『微分』はノ′(″)ご″である

とい うこ と 例 えば,

2″3の

『微 分』 は,(2″^3)′d″ =6″^2∂″ υ^10の『微 分』 は,(υ^10)′αυ=10υ^9α_υ

とな ります 当然,定数 οの『微 分』 は0です あ とは,次の具体例 を通 して慣 れ ることです

剛 メ^{+ノ =1の} とま手 を求めよ

ご_(″2+υ2)=0

"α

″+2υαυ=0

αυ     ″

∂″  

υ

剛 ″ υ

と ま #嶽 ^{め よ}

d(″υ)=0

α″・υ十 ″・αυ=0

αυ ̲   ^υ

α″     ″

例 ノ

の と ま #林 ^{め よ}

α_(υ2)=ご

(″3+2)

2υαυ=3″^2α″ ごυ ̲ 3″²

α″   2υ

剛 がノ^=1のとれ子 嶽めよ

ヽ銘

∂_(″^3υ2)=0

3″^2グ″^.υ2■ ″^3.2υαυ=0

αυ ̲  3″^2υ2 ̲ 3υ

グ″ 2″

3υ  万

先

・ 芳

ヽ 復業 務島

‰ュ ^.̲α ¨

さよラ4)0

警 例 を

鰤 す^t4は

するです 、

赤 阪正純 (httpンフinupri web fc2 com)        _{微分の本質(6)}

これ まQ∫ 痢 ″=が とい う計算式 は 昭メ を ″で積 分 す る と ″3に_{な る}Jあるいは 「微 分 して

3″2に_{な る関数 が ″}3で_ぁるJと解釈 して きま した が,実^は, これ は積 分本来 の意 味で はあ りませ ん

積 分 記 号

∫ は,「和Jを意 味 す る英 単 語 協 ″ の頭 文 字 が語 源 で あ る といわ れ て い ます  つ ま り

∫^3″

2ご″=″3と ぃ ぅ言十算式は

3″2d″

を寄せ集 めれ ば ,3に な る

とい うこ とを意 味 して い るのです 「曲線 をSF世

界の 目で細 か く見た『微分Jを寄せ集 めれ ば も との 曲線 に戻 るJとい う極めて当た り前 の こ とを意味 し てい るにす ぎませ ん

『積 分』は『微分』の寄せ集め

これが積 分本来 の意 味だ ったのです

4 

〜積 分 は微分 の単 なる「逆」なのか?〜

例 えば,υ =″^3の『微 分』

ごy=3″^2ご″ の両辺 に積 分記号

∫ を施 す と

Jrα

υ

″

とな ります 両辺 をそれ ぞれ積 分計算す る と^,

なので,確か に元 の関数 υ=″^3に戻 ります(積分 定数 は本質 的ではないので省 略)

武漁 ^t寄ャタあ⁷ 〕^.ヒ宅λ§

一↓ タ

ひ 鳳

靱 山

︱′

︱︱ ノ 

﹁

殊 山

味 ↓

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亀 だ

5 

1)のtムメ^￨ち夫ラマ]ト 最近 の受験参考書 は,マニ ュアル本のような感 じで面 白くもなん ともないですね そんな中にあって,数   ナツトク〃

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:10ilil;i:]][夢_{ili次 [￨[『31iliう}       

そ う い う

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赤阪が高校 時代 に愛読 した名著 ボロボ ロにな って まだ手元 にあ る(当時の タイ トル は『解法 の探 求 Ⅱ」

略 して『解探 Ⅱ』 と呼ばれていた)微 積分 の本質 的な考 え方 を コンパ ク トに まとめてあ るが,今^{とな って}

は解法がマニ ア ックでかな り難 しい 微積分 を一通 リマス ター した数学好 きな人 向け 大学への数学 シ リー ズ『微積分 基礎 の極意』(東京出版)

前 出の『解 法 の探 求 微積 分Jの簡 易軽 量版  こんな本 は赤 阪の高校 時代 にはなか ったわ(これ も時代 の 流れか)要 点200項目と重要 問題 が コンパ ク トに ま とめてあ って,今の高校生 には これだ けで十分だ ろ う

参考書『 大学への数学 ⅢC』 (研文書 院)  ● 注 雑誌『大学 への数学』で はない

真 っ黒 い表紙 の本格 的 な参考書 教 育課程改編 の度 に リニ ューアル されてお り,最新 のものは内容 がかな り希薄 にな った気 もす るが,それで も質が高い 残念 なが ら絶版で あ るが,ネッ ト等 で古書 を購 入す るこ と がで きる  高校微積 分の中で最高峰 の参考書 なのでぜ ひ とも復刊 して も らいたい

また,高校数学 か ら一歩踏 み出 した専門書 も紹介 して お こ う  これ らは高校数学 と大学数学 の橋 渡 し的書 物 で,大学 へ行 って か らも しば ら く使 える と思 い ます(大学入試 に は全 く関係 ない)て い うか,こ うい う 書物 を読 まず に,いきな り大学数学 を経験 す る とワケわかんな くな るで し ょうね

古川昭夫 職 積 分 ノー ト』(SEθ 出版) 森毅『現代 の古典解析 』(ち くま学芸文庫)

村上仙瑞『直感でつかむ大学生の微積分J(東京図書)森毅『微積分の意味』(日本評論社₎

稲葉三男『微積分の根底 をさぐる』(現代数学社)   ^小林 廣瀬 佐藤『解析序説』(ち くま学芸文庫)

ポン トリャーギン (坂本 賞 訳)

『やさしい微積分』(ち くま学芸文庫)