微積 I. 問 12.1
¶ ³
微積分及び演習 I 演習問題 No.12
出題:7月13日(月) 提出期限:7月20日(月)13:30
☆ 略解は7月14日(火)15:00 に1−513の前に置きます。☆
µ ´
問題
12-1
次の関数の極値を求めなさい。極値と極値を与える座標,および極大か極小かの判定を理 由を付けて書いて下さい。f(x, y) = x 2 + xy + y 2 − 4x − 2y
問題
12-2
次の関数の極値を求めなさい。極値と極値を与える座標,および極大か極小かの判定を理 由を付けて書いて下さい。f (x, y) = e − x/2 (x − y 2 ) ¨ §
桑村p.194 ¥ ¦
問題
12-3
次の関数の極値を求めなさい。極値と極値を与える座標,および極大か極小かの判定を理 由を付けて書いて下さい。f (x, y) = sin x cos y
ただし,0 < x < 2π, 0 < y < 2π
の範囲で考えます。微積 I. 問 12.2
¶ ³
微積分及び演習 I 演習問題 No.12 略解
µ ´
解
12-1
まず,偏導関数が0
となる条件から,極値をとる可能性のある点を求めます;f x (x, y) = 2x + y − 4 = 0 , f y (x, y) = x + 2y − 2 = 0 (p12.1)
より,極値をとる可能性のある点は(x, y) = (2, 0)
であることがわかります。次に,2
次の偏導 関数f xx = 2 , f xy = 1 , f yy = 2 (p12.2)
よりdet H = det
( 2 1 1 2
)
= 2 · 2 − 1 = 3 > 0 (p12.3)
なので,(x, y) = (2, 0)
は極大点か極小点であることになります。f xx = 2 > 0
なので,f (x, y)
は(x, y) = (2, 0)
で極小値f (2, 0) = − 4
をとることがわかります。注意
!
実はf (2, 0) = −4
は最小値となります。注意
! (
x y
)
= 1
√ 2
( 1 1
− 1 1
) ( u v
)
(p12.4)
により定義される変数(u, v)
を用いるとf(x, y) = 1 2 (
u − √ 2
) 2 + 3
2 (
v − √ 2
) 2
− 4 (p12.5)
となります。
1 2
と3
2
はヘッセ行列H
の固有値です。解
12-2
まず,偏導関数が0
となる条件から,極値をとる可能性のある点を求めます。条件はf x (x, y) =
( 1 − x
2 + y 2 2
)
e − x/2 = 0 , f y (x, y) = − 2ye − x/2 = 0 (p12.6)
となります。e − x/2 > 0
なので,第2
式よりy = 0
が得られ,これを第1
式に代入してx = 2
とな ります。従って,極値をとる可能性のある点は(x, y) = (2, 0)
であることがわかります。次に,2
次の偏導関数はf xx (x, y) = (
− 1 2 − 1
2 (
1 − x 2 + y 2
2 ))
e − x/2 = (
−1 + x − y 2 4
)
e − x/2 , (p12.7) f xy (x, y) = ye − x/2 , f yy (x, y) = − 2e − x/2 (p12.8)
なので,点(x, y) = (2, 0)
でのヘッセ行列はH(2, 0) = e − 1
( − 1/2 0 0 − 2
)
(p12.9)
となります。det H(2, 0) = e − 2 , f xx (2, 0) = − 1
2e < 0 (p12.10)
より,
f(x, y)
は(x, y) = (2, 0)
で極大値f (2, 0) = 2e − 1
をとることがわかります。注意
!
実はf (2, 0) = 2e − 1
は最大値となります。注意
! H(2, 0)
の固有値,− 1
2e
と− 2
e ,
が2
つとも負であることから,f (x, y)
が(x, y) = (2, 0)
で極大になると判定してもかまいません。微積 I. 問 12.3
解
12-3
まず,偏導関数が0
となる条件から,極値をとる可能性のある点を求めます。条件はf x (x, y) = cos x cos y = 0 , f y (x, y) = − sin x sin y = 0 (p12.11)
となります。sin x
とcos x
は同時に0
にはならないので,f x = 0 ⇒
cos x = 0 ⇒ f y = 0
となるためにはsin y = 0 cos y = 0 ⇒ f y = 0
となるためにはsin x = 0
, (p12.12)
すなわち,
cos x = 0
かつsin y = 0
か,あるいはcos y = 0
かつsin x = 0
,である必要がありま す。考えている領域ではsin x = 0 ⇔ x = π , cos x = 0 ⇔ x = π 2 , 3π
2 (p12.13)
なので
(y
についても同様)
,(x, y) =
( π , π
2 )
, (
π , 3π 2
) ,
( π 2 , π
) ,
( 3π 2 , π
)
(p12.14)
が極値をとる可能性のある点となります。2
次の偏導関数はf xx (x, y) = − sin x cos y , f xy (x, y) = − cos x sin y , f yy (x, y) = − sin x cos y (p12.15)
なので,それぞれの点でのヘッセ行列とその行列式はH (
π , π 2
)
=
( 0 1 1 0
)
, det H = − 1 (p12.16)
H (
π , 3π 2
)
=
( 0 − 1
− 1 0 )
, det H = − 1 (p12.17)
H ( π
2 , π )
=
( 1 0 0 1
)
, det H = 1 , f xx = 1 > 0 (p12.18) H
( 3π 2 , π
)
=
( − 1 0 0 − 1
)
, det H = 1 , f xx = −1 < 0 (p12.19)
となります。以上より,f (x, y)
は(x, y) =
( π 2 , π
)
で極小値
f ( π
2 , π )
= − 1
をとり,(x, y) = ( 3π
2 , π )
で極大値
f ( 3π
2 , π )
= 1
をとることがわかります。なお,
( π , π
2 )
と
(
π , 3π 2
)
は鞍点
( ¨ §
川薩四p.130 ¥ ¦ )
となります。x π y π
(
参考図) sin x cos y
の等高線微積 I. 問 12.4
(
参考) (p12.11)
より,cos(x ∓ y) = cos x cos y ± sin x sin y = 0 (p12.20)
が成り立ちます。α = x + y , β = x − y (p12.21)
とすると,上の条件は
cos α = 0 , cos β = 0 (p12.22)
と書けます。
0 < x, y < 2π
なので,α
とβ
とる値は以下の範囲内にあります;0 < α < 4π , − 2π < β < 2π . (p12.23)
従って,α
とβ
は以下のどれかの値をとります;α = π
2 , 3π 2 , 5π
2 , 7π
2 , (p12.24)
β = − 3π
2 , − π 2 , π
2 , 3π
2 . (p12.25)
α + β = 2x , α − β = 2y
より,α
とβ
は次の条件0 < α ± β < 4π (p12.26)
を満たす必要があるため,結局,