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微積分及び演習 I 演習問題 No.12

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Academic year: 2021

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(1)

微積 I. 問 12.1

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.12

出題:7月13日(月) 提出期限:7月20日(月)13:30

☆ 略解は7月14日(火)15:00 に1−513の前に置きます。☆

µ ´

問題

12-1

次の関数の極値を求めなさい。極値と極値を与える座標,および極大か極小かの判定を理 由を付けて書いて下さい。

f(x, y) = x 2 + xy + y 2 4x 2y

問題

12-2

次の関数の極値を求めなさい。極値と極値を与える座標,および極大か極小かの判定を理 由を付けて書いて下さい。

f (x, y) = e x/2 (x y 2 ) ¨ §

桑村

p.194 ¥ ¦

問題

12-3

次の関数の極値を求めなさい。極値と極値を与える座標,および極大か極小かの判定を理 由を付けて書いて下さい。

f (x, y) = sin x cos y

ただし,

0 < x < 2π, 0 < y <

の範囲で考えます。

(2)

微積 I. 問 12.2

¶ ³

微積分及び演習 I 演習問題 No.12 略解

µ ´

12-1

まず,偏導関数が

0

となる条件から,極値をとる可能性のある点を求めます;

f x (x, y) = 2x + y 4 = 0 , f y (x, y) = x + 2y 2 = 0 (p12.1)

より,極値をとる可能性のある点は

(x, y) = (2, 0)

であることがわかります。次に,

2

次の偏導 関数

f xx = 2 , f xy = 1 , f yy = 2 (p12.2)

より

det H = det

( 2 1 1 2

)

= 2 · 2 1 = 3 > 0 (p12.3)

なので,

(x, y) = (2, 0)

は極大点か極小点であることになります。

f xx = 2 > 0

なので,

f (x, y)

(x, y) = (2, 0)

で極小値

f (2, 0) = 4

をとることがわかります。

注意

!

実は

f (2, 0) = −4

は最小値となります。

注意

! (

x y

)

= 1

2

( 1 1

1 1

) ( u v

)

(p12.4)

により定義される変数

(u, v)

を用いると

f(x, y) = 1 2 (

u 2

) 2 + 3

2 (

v 2

) 2

4 (p12.5)

となります。

1 2

3

2

はヘッセ行列

H

の固有値です。

12-2

まず,偏導関数が

0

となる条件から,極値をとる可能性のある点を求めます。条件は

f x (x, y) =

( 1 x

2 + y 2 2

)

e x/2 = 0 , f y (x, y) = 2ye x/2 = 0 (p12.6)

となります。

e x/2 > 0

なので,第

2

式より

y = 0

が得られ,これを第

1

式に代入して

x = 2

とな ります。従って,極値をとる可能性のある点は

(x, y) = (2, 0)

であることがわかります。次に,

2

次の偏導関数は

f xx (x, y) = (

1 2 1

2 (

1 x 2 + y 2

2 ))

e x/2 = (

−1 + x y 2 4

)

e x/2 , (p12.7) f xy (x, y) = ye x/2 , f yy (x, y) = 2e x/2 (p12.8)

なので,点

(x, y) = (2, 0)

でのヘッセ行列は

H(2, 0) = e 1

( 1/2 0 0 2

)

(p12.9)

となります。

det H(2, 0) = e 2 , f xx (2, 0) = 1

2e < 0 (p12.10)

より,

f(x, y)

(x, y) = (2, 0)

で極大値

f (2, 0) = 2e 1

をとることがわかります。

注意

!

実は

f (2, 0) = 2e 1

は最大値となります。

注意

! H(2, 0)

の固有値,

1

2e

2

e ,

2

つとも負であることから,

f (x, y)

(x, y) = (2, 0)

で極大になると判定してもかまいません。

(3)

微積 I. 問 12.3

12-3

まず,偏導関数が

0

となる条件から,極値をとる可能性のある点を求めます。条件は

f x (x, y) = cos x cos y = 0 , f y (x, y) = sin x sin y = 0 (p12.11)

となります。

sin x

cos x

は同時に

0

にはならないので,

f x = 0

 

cos x = 0 f y = 0

となるためには

sin y = 0 cos y = 0 f y = 0

となるためには

sin x = 0

, (p12.12)

すなわち,

cos x = 0

かつ

sin y = 0

か,あるいは

cos y = 0

かつ

sin x = 0

,である必要がありま す。考えている領域では

sin x = 0 x = π , cos x = 0 x = π 2 ,

2 (p12.13)

なので

(y

についても同様

)

(x, y) =

( π , π

2 )

, (

π , 3π 2

) ,

( π 2 , π

) ,

( 3π 2 , π

)

(p12.14)

が極値をとる可能性のある点となります。

2

次の偏導関数は

f xx (x, y) = sin x cos y , f xy (x, y) = cos x sin y , f yy (x, y) = sin x cos y (p12.15)

なので,それぞれの点でのヘッセ行列とその行列式は

H (

π , π 2

)

=

( 0 1 1 0

)

, det H = 1 (p12.16)

H (

π , 3π 2

)

=

( 0 1

1 0 )

, det H = 1 (p12.17)

H ( π

2 , π )

=

( 1 0 0 1

)

, det H = 1 , f xx = 1 > 0 (p12.18) H

( 3π 2 , π

)

=

( 1 0 0 1

)

, det H = 1 , f xx = −1 < 0 (p12.19)

となります。以上より,

f (x, y)

(x, y) =

( π 2 , π

)

で極小値

f ( π

2 , π )

= 1

をとり,

(x, y) = ( 3π

2 , π )

で極大値

f ( 3π

2 , π )

= 1

をとることがわかります。

なお,

( π , π

2 )

(

π , 3π 2

)

は鞍点

( ¨ §

川薩四

p.130 ¥ ¦ )

となります。

x π y π

(

参考図

) sin x cos y

の等高線

(4)

微積 I. 問 12.4

(

参考

) (p12.11)

より,

cos(x y) = cos x cos y ± sin x sin y = 0 (p12.20)

が成り立ちます。

α = x + y , β = x y (p12.21)

とすると,上の条件は

cos α = 0 , cos β = 0 (p12.22)

と書けます。

0 < x, y <

なので,

α

β

とる値は以下の範囲内にあります;

0 < α < 4π , 2π < β < 2π . (p12.23)

従って,

α

β

は以下のどれかの値をとります;

α = π

2 , 3π 2 ,

2 ,

2 , (p12.24)

β =

2 , π 2 , π

2 ,

2 . (p12.25)

α + β = 2x , α β = 2y

より,

α

β

は次の条件

0 < α ± β < 4π (p12.26)

を満たす必要があるため,結局,

α

β

の値は

(α , β) =

( 3π 2 , π

2 )

, ( 3π

2 , π 2

) ,

( 5π 2 , π

2 )

, ( 5π

2 , π 2

)

(p12.27)

4

組となります。これらが,それぞれ

(x , y) = ( π

2 , π )

, (

π , π 2

) ,

( π ,

2 )

, ( 3π

2 , π )

(p12.28)

に対応します。

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