e − (p 1 ), e − (p 2 )、陽電子が e + (k 1 ), e + (k 2 )

(1)

マンデルスタム変数

不変振幅の話で出てくるマンデルスタム変数の話をします。

ここでは

QED

での結果を使っているので、その詳しい話は省いています。

見ていく散乱過程は、電子-陽電子散乱

(e ⁻ e ⁺ → e ⁻ e ⁺ )

として、不変振幅のファインマン図は図

1

です。電子が運動量として

e ⁻ (p 1 ), e ⁻ (p 2 )、陽電子が e ⁺ (k 1 ), e ⁺ (k 2 )

を持つとします。最初はスピンは無視して扱います。

QED

での「電子-陽子散乱」と同じように、遷移カレントを求めます。スピン

0

として、クライン・ゴルドン方程式を使います。クライン・ゴルドン方程式のカレントは電流密度と解釈できるので、カレントに電荷

e

をかけて

j _µ (x) = − ie(ϕ ^∗ _f (∂ _µ ϕ _i ) − (∂ _µ ϕ ^∗ _f )ϕ _i )

とします。ϕ

i

を始状態、ϕ

f

を終状態とし、両方とも平面波とします。「電子-陽子散乱」のように

S

行列は遷移カレントによって

S = − i

∫

d ⁴ xd ⁴ y j µ (x) − 1 q ² j ^µ (y)

と書けます。

反粒子は、粒子の運動量を反転させたものとして扱うので、電子-電子散乱として最後に符号を反転させることにします。ただし、同種粒子とすると状況が変わってしまうので、それは無視します。(電子-ミューオン散乱とでもすればいい)。

j

は平面波を使えば

(規格化定数は無視します)

j _µ (x) = − ie(e ^ip

²

^x (∂ _µ e ⁻ ^ip

¹

^x ) − (∂ _µ e ^ip

²

^x )e ⁻ ^ip

¹

^x )

= − ie( − ip ₁ e ^i(p

²

⁻ ^p

¹

^)x − ip ₂ e ^i(p

²

⁻ ^p

¹

^)x ) _µ

= − e(p 1 + p 2 ) µ e ^i(p

²

⁻ ^p

¹

^)x

よって、S行列は

図

1

(2)

S = − i

∫

d ⁴ xd ⁴ y ( − e(p ₁ + p ₂ ) _µ e ^i(p

²

⁻ ^p

¹

^)x ) − 1

q ² ( − e(k ₁ + k ₂ ) ^µ e ^i(k

²

⁻ ^k

¹

^)y )

= − ie ² (p ₁ + p ₂ ) _µ − 1

q ² (k ₁ + k ₂ ) ^µ δ ⁴ (p ₂ + k ₂ − p ₁ − k ₁ )

そして、不変振幅を抜き出せば

M = (

ie(p 1 + p 2 ) µ

) 1 q ²

( ie(k 1 + k 2 ) ^µ )

これがスピン

0

としたときの電子-電子散乱の不変振幅になります

(同種粒子であることは無視)。これを電子-陽電

子散乱にするために、k

1 , k 2

の符号を反転させて

M = (

ie(p ₁ + p ₂ ) _µ ) 1 q ²

( ie( − k ₁ − k ₂ ) ^µ )

= (

ie(p ₁ + p ₂ ) _µ ) 1 (p ₁ − k ₁ ) ²

( ie( − k ₁ − k ₂ ) ^µ )

そして、もう一つの図を加えて

M = (

ie(p 1 + p 2 ) µ

) 1 q ²

( ie( − k 1 − k 2 ) ^µ ) + (

ie(p 1 − k 1 ) µ

) 1 q ²

( ie( − k 2 + p 2 ) ^µ )

= − e ² (p ₁ + p ₂ ) _µ ( − k ₁ − k ₂ ) ^µ

(p 2 − p 1 ) ² − e ² (p ₁ − k ₁ ) _µ ( − k ₂ + p ₂ ) ^µ

(p 1 + k 1 ) ² (1)

これが電子-陽電子散乱での不変振幅になります。同種粒子としていない電子-電子散乱から電子-陽電子散乱にするときに、k

2 ↔ − k 1

と置き換えましたが、このような操作によって電子-電子散乱

(粒子-粒子散乱)

から電子-陽電子散乱

(粒子-反粒子散乱)

へ置き換えることを交叉

(clossing)

と呼びます。

次にある

2

粒子の散乱

AB → CD

を考えるます。ここで、マンデルスタム

(Mandelstam)

変数と呼ばれる

s = (p _A + p _B ) ² = (p _C + p _D ) ²

t = (p A − p C ) ² = (p B − p D ) ²

u = (p A − p D ) ² = (p B − p C ) ²

というのを定義します。これらはローレンツ不変な量です。このとき保存則として

p A + p B = p C + p D

が成り立つとします。この定義からすぐに

(3)

s + t + u = p ² _A + p ² _B + 2p _A p _B + p ² _A + p ² _C − 2p _A p _C + p ² _A + p ² _D − 2p _A p _D

= p ² _A + p ² _B + p ² _C + p ² _D + 2p ² _A + 2p _A (p _B − p _C − p _D )

= p ² _A + p ² _B + p ² _C + p ² _D + 2p ² _A + 2p A (p C + p D − p A − p C − p D )

= p ² _A + p ² _B + p ² _C + p ² _D

= m ² _A + m ² _B + m ² _C + m ² _D

となるのが分かります。

マンデルスタム変数によってどうなるのか見ていきます。電子-陽電子散乱の不変振幅

(1)

での

p ₁ k ₁ → p ₂ k ₂

を、

対応を取るために

p A p B → p C p D

に置き換えて

M = − e ² (p _A + p _C ) _µ ( − p _B − p _D ) ^µ

(p C − p A ) ² − e ² (p _A − p _B ) _µ ( − p _D + p _C ) ^µ (p A + p B ) ²

第一項の分子は

(質量は p ² _i = m ² (i = A, B, C, D))

(p A + p C ) µ (p B + p D ) ^µ = p A p B + p A p D + p C p B + p C p D

= p A (p C + p D − p A ) + p A p D + p C (p C + p D − p A ) + p C p D (p A + p B = p C + p D )

= p A p C + p A p D − p ² _A + p A p D + p ² _C + p C p D − p C p A + p C p D

= 2p _A p _D + 2p _C p _D

= − (p _A − p _D ) + p ² _A + p ² _D + (p _C + p _D ) ² − p ² _C − p ² _D

= − u + s

第二項の分子は

(p A − p B ) µ (p D − p C ) ^µ = p A p D − p A p C − p B p D + p B p C

= p A (p A + p B − p C ) − p A p C − p B (p A + p B − p C ) + p B p C

= p ² _A + p A p B − p A p C − p A p C − p B p A − p ² _B + p B p C + p B p C

= − 2p A p C + 2p B p C

= (p _A − p _C ) ² − p ² _A − p ² _C − (p _B − p _C ) ² + p ² _B + p ² _C

= (p _A − p _C ) ² − (p _B − p _C ) ²

= t − u

よって、不変振幅はマンデルスタム変数によって

(4)

図

2 M = e ² s − u

(p _C − p _A ) ² + e ² t − u

(p _A + p _B ) ² = e ² s − u

t + e ² t − u s

第一項と第二項が

s

と

t

の入れ替えに対して対称になので、sと

t

の交換によって電子-陽電子散乱で現われる２つの図が関係づけられているのが分かります。

s

チャンネル、tチャンネル、uチャンネルと呼ばれるものがあり、図

2

のようになっています。e

⁺ e ⁻ → e ⁺ e ⁻

では、sチャンネルと

t

チャンネルの和です。

マンダムスタム変数を使う例を電子、陽電子からミューオン、反ミューオンへの散乱

e ⁻ e ⁺ → µ ⁻ µ ⁺

を使って簡単に見ておきます

(µ ^±

はミューオン)。交叉を使うために、電子とミューオンによる

e ⁻ µ ⁻ → e ⁻ µ ⁻

から求めることにします。マンダムスタム変数が出てくることを見たいだけなので、詳しく計算しません。

e ⁻ µ ⁻ → e ⁻ µ ⁻

は

QED

での「電子-陽子散乱」の結果を使います。なので、詳しいことはそっちを見てください。ただし、QEDでの規格化から

∑

r=1,2

u ^r u ^r = p / + m

2m ⇒ ∑

r=1,2

u ^r u ^r = p / + m

∑

r=1,2

v ^r v ^r = p / − m

2m ⇒ ∑

r=1,2

v ^r v ^r = p / − m

と変更します。なので、分母の

2m

が出てきません。

電子とミューオンでは両方ともレプトンなので、二つのレプトンテンソルの積で不変振幅を書くことができて

|M| ² = e ⁴

q ⁴ L ^µν(e) L ^(m) _µν

電子の運動量を始状態

p、終状態 p ^′

、ミューオンの運動量を始状態

k,

終状態

k ^′

、電子の質量を

m、ミューオンの

質量を

M

として、レプトンテンソルについてる添え字

(e)

は電子、(m)はミューオンを表しています。子-陽子散乱で行った計算をそのまま利用して

(5)

L ^µν(e) = 1

2 tr[(p / ^′ + m)γ ^µ (p / + m)γ ^ν ]

= 1

2 (4p ^µ ^′ p ^ν − 4(p ^′ · p)g ^µν + 4p ^ν ^′ p ^µ + 4m ² g ^µν )

= 2(p ^µ ^′ p ^ν − (p ^′ · p)g ^µν + p ^ν ^′ p ^µ + m ² g ^µν ) L ^µν(m) = 2(k ^µ ^′ k ^ν − (k ^′ · k)g ^µν + k ^ν ^′ k ^µ + M ² g ^µν )

これらから不変振幅の

2

乗は

|M| ² = 4e ⁴

q ⁴ (p ^µ ^′ p ^ν − (p ^′ · p)g ^µν + p ^ν ^′ p ^µ + m ² g ^µν ) { k _µ ^′ k ν − (k ^′ · k)g µν + k ^′ _ν k µ + M ² g µν )

= 4e ⁴ q ⁴

( p ^µ ^′ p ^ν k _µ ^′ k _ν − p ^µ ^′ p ^ν (k ^′ · k)g _µν + p ^µ ^′ p ^ν k _ν ^′ k _µ + p ^µ ^′ p ^ν M ² g _µν

− (p ^′ · p)g ^µν k ^′ _µ k ν + (p ^′ · p)g ^µν (k ^′ · k)g µν − (p ^′ · p)g ^µν k _ν ^′ k µ − (p ^′ · p)g ^µν M ² g µν

+ p ^ν ^′ p ^µ k ^′ _µ k ν − p ^ν ^′ p ^µ (k ^′ · k)g µν + p ^ν ^′ p ^µ k _ν ^′ k µ + M ² p ^ν ^′ p ^µ g µν

+ m ² g ^µν k _µ ^′ k ν − m ² g ^µν (k ^′ · k)g µν + m ² g ^µν k ^′ _ν k µ + m ² g ^µν M ² g µν

)

= 4e ⁴ q ⁴

( (p ^′ · k ^′ )(p · k) − (p ^′ · p)(k ^′ · k) + (p ^′ · k)(p · k ^′ ) + (p ^′ · p)M ²

− (p ^′ · p)(k ^′ · k) + 4(p ^′ · p)(k ^′ · k) − (p ^′ · p)(k ^′ · k) − 4(p ^′ · p)M ² + (p · k ^′ )(p ^′ · k) − (p ^′ · p)(k ^′ · k) + (p ^′ · k ^′ )(p · k) + M ² (p ^′ · p) + m ² (k ^′ · k) − 4m ² (k ^′ · k) + m ² (k ^′ · k) + 4m ² M ² )

= 4e ⁴ q ⁴

( 2(p ^′ · k ^′ )(p · k) + 2(p ^′ · k)(p · k ^′ ) − 2(p ^′ · p)M ² − 2(k ^′ · k)m ² + 4m ² M ² )

= 8e ⁴ q ⁴

( (p ^′ · k ^′ )(p · k) + (p ^′ · k)(p · k ^′ ) − (p ^′ · p)M ² − (k ^′ · k)m ² + 2m ² M ² )

相対論的極限をとってしまい、電子とミューオンの質量を無視して

|M| ² ≃ 8e ⁴

q ⁴ ((p ^′ · k ^′ )(p · k) + (p ^′ · k)(p · k ^′ ))

マンデルスタム変数に変えます。今の場合

s = (p + k) ² = (p ^′ + k ^′ ) ²

t = (p − p ^′ ) ² = (k − k ^′ ) ²

u = (p − k ^′ ) ² = (p ^′ − k) ²

(6)

そして、相対論的極限では

s = k ² + p ² + 2k · p ≃ 2k · p ≃ 2k ^′ · p ^′ t = p ² + p ^′ ² − 2p · p ^′ ≃ − 2p · p ^′ ≃ − 2k · k ^′ u = p ² + k ^′ ² − 2p · k ^′ ≃ − 2p · k ^′ ≃ − 2p ^′ · k

これらを使えば

e ⁻ µ ⁻ → e ⁻ µ ⁻

散乱の不変振幅は

|M| ² = 8e ⁴ (p − p ^′ ) ⁴

( (p ^′ · k ^′ )(p · k) + (p ^′ · k)(p · k ^′ ) )

= 8e ⁴ (2p · p ^′ ) ² ( s ²

4 + u ² 4 )

= 2e ⁴

t ² (s ² + u ² )

これを

e ⁻ e ⁺ → µ ⁺ µ ⁻

にするために、交叉させます。これは、e

⁻ µ ⁻ → e ⁻ µ ⁻

から散乱前の

µ ⁻

と散乱後の

e ⁻

を反粒子に替えて、この

2

つを交換すればいいです。運動量で言えば、p

^′

と

− k

の入れ替えをすればいいということです。というわけで、マンデルスタム変数は

s ≃ − 2p ^′ · p ≃ − 2k ^′ · k t ≃ 2p · k ≃ 2p ^′ · k ^′ u ≃ − 2p · k ^′ ≃ 2k · k

つまり、sと

t

を入れ替えればいいので、e

⁻ e ⁺ → µ ⁺ µ ⁻

散乱の不変振幅は

|M| ² = 2e ⁴

s ² (t ² + u ² )

と求まります。

最後にマンデルスタム変数によって物理的に許される領域が制限できることを示します。質量

m

を持つ粒子の散乱、例えば

e ⁺ e ⁻ → e ⁺ e ⁻

、を質量重心系、つまり運動量が等しい粒子が正面衝突するとします。入射粒子の運動量を

p ^µ = (E, p _i ), p ^′ ^µ = (E, − p _i )、散乱後を k ^µ = (E, p _f ), k ^′ ^µ = (E, − p _f )、散乱角を θ

とします。エネルギー保存から

m ² + p ² _i = m ² + p ² _f

なので、|

p i | = | p f | = | p |

となっています。これから

p i · p f = | p | ² cos θ

です。

そうすると、sは

s = (p + p ^′ ) ² = p ² + p ^′ ² + 2p · p ^′

= E ² − p ² _i + E ² − p ² _i + 2(E ² + p i · p i )

= 4E ²

= 4(m ² + | p | ² )

(7)

t

は

t = (k − p) ² = k ² + p ² − 2k · p

= E ² − p ² _f + E ² − p ² _i − 2(E ² − p i · p f )

= − (p ² _i + p ² _f − 2p _i · p _f )

= − 2 | p | ² (1 − cos θ)

u

は

u = (k ^′ − p) ² = k ^′ ² + p ² − 2k ^′ · p

= E ² − p ² _f + E ² − p ² _i − 2(E ² + p i · p f )

= − (p ² _i + p ² _f + 2p i · p f )

= − 2 | p | ² (1 + cos θ)

s

では

| p | ² ≥ 0

から

s = 4(m ² + | p | ² ) ≥ 4m ² t, u

では

− 1 ≤ cos θ ≤ 1

から

t = − 2 | p | ² (1 − cos θ) ≤ 0

u = − 2 | p | ² (1 + cos θ) ≤ 0

という制限が付きます。このように

s, t, u

の取れる範囲に制限があり、これがそのまま物理的に許される領域になります。

e − (p 1 ), e − (p 2 )、陽電子が e + (k 1 ), e + (k 2 )

QED

(e − e + → e − e + )

1

e − (p 1 ), e − (p 2 )、陽電子が e + (k 1 ), e + (k 2 )

QED

0

e

j µ (x) = − ie(ϕ ∗ f (∂ µ ϕ i ) − (∂ µ ϕ ∗ f )ϕ i )

i

f

S

S = − i

∫

d 4 xd 4 y j µ (x) − 1 q 2 j µ (y)

j

(規格化定数は無視します)

j µ (x) = − ie(e ip

x (∂ µ e − ip

x ) − (∂ µ e ip

x )e − ip

x )

= − ie( − ip 1 e i(p

− p

)x − ip 2 e i(p

− p

)x ) µ

= − e(p 1 + p 2 ) µ e i(p

− p

)x

1

S = − i

∫

d 4 xd 4 y ( − e(p 1 + p 2 ) µ e i(p

− p

)x ) − 1

q 2 ( − e(k 1 + k 2 ) µ e i(k

− k

)y )

= − ie 2 (p 1 + p 2 ) µ − 1

q 2 (k 1 + k 2 ) µ δ 4 (p 2 + k 2 − p 1 − k 1 )

M = (

ie(p 1 + p 2 ) µ

) 1 q 2

( ie(k 1 + k 2 ) µ )

0

(同種粒子であることは無視)。これを電子-陽電

1 , k 2

M = (

ie(p 1 + p 2 ) µ ) 1 q 2

( ie( − k 1 − k 2 ) µ )

= (

ie(p 1 + p 2 ) µ ) 1 (p 1 − k 1 ) 2

( ie( − k 1 − k 2 ) µ )

M = (

ie(p 1 + p 2 ) µ

) 1 q 2

( ie( − k 1 − k 2 ) µ ) + (

ie(p 1 − k 1 ) µ

) 1 q 2

( ie( − k 2 + p 2 ) µ )

= − e 2 (p 1 + p 2 ) µ ( − k 1 − k 2 ) µ

(p 2 − p 1 ) 2 − e 2 (p 1 − k 1 ) µ ( − k 2 + p 2 ) µ

(p 1 + k 1 ) 2 (1)

2 ↔ − k 1

(粒子-粒子散乱)

(粒子-反粒子散乱)

(clossing)

2

AB → CD

(Mandelstam)

s = (p A + p B ) 2 = (p C + p D ) 2

t = (p A − p C ) 2 = (p B − p D ) 2

u = (p A − p D ) 2 = (p B − p C ) 2

p A + p B = p C + p D

s + t + u = p 2 A + p 2 B + 2p A p B + p 2 A + p 2 C − 2p A p C + p 2 A + p 2 D − 2p A p D

= p 2 A + p 2 B + p 2 C + p 2 D + 2p 2 A + 2p A (p B − p C − p D )

= p 2 A + p 2 B + p 2 C + p 2 D + 2p 2 A + 2p A (p C + p D − p A − p C − p D )

= p 2 A + p 2 B + p 2 C + p 2 D

= m 2 A + m 2 B + m 2 C + m 2 D

(e ⁻ e ⁺ → e ⁻ e ⁺ )

e ⁻ (p 1 ), e ⁻ (p 2 )、陽電子が e ⁺ (k 1 ), e ⁺ (k 2 )

j _µ (x) = − ie(ϕ ^∗ _f (∂ _µ ϕ _i ) − (∂ _µ ϕ ^∗ _f )ϕ _i )

d ⁴ xd ⁴ y j µ (x) − 1 q ² j ^µ (y)

j _µ (x) = − ie(e ^ip

^x (∂ _µ e ⁻ ^ip

^x ) − (∂ _µ e ^ip

^x )e ⁻ ^ip

^x )

= − ie( − ip ₁ e ^i(p

⁻ ^p

^)x − ip ₂ e ^i(p

⁻ ^p

^)x ) _µ

= − e(p 1 + p 2 ) µ e ^i(p

⁻ ^p

^)x

d ⁴ xd ⁴ y ( − e(p ₁ + p ₂ ) _µ e ^i(p

⁻ ^p

^)x ) − 1

q ² ( − e(k ₁ + k ₂ ) ^µ e ^i(k

⁻ ^k

^)y )

= − ie ² (p ₁ + p ₂ ) _µ − 1

q ² (k ₁ + k ₂ ) ^µ δ ⁴ (p ₂ + k ₂ − p ₁ − k ₁ )

) 1 q ²

( ie(k 1 + k 2 ) ^µ )

ie(p ₁ + p ₂ ) _µ ) 1 q ²

( ie( − k ₁ − k ₂ ) ^µ )

ie(p ₁ + p ₂ ) _µ ) 1 (p ₁ − k ₁ ) ²

( ie( − k ₁ − k ₂ ) ^µ )

) 1 q ²

( ie( − k 1 − k 2 ) ^µ ) + (

) 1 q ²

( ie( − k 2 + p 2 ) ^µ )

= − e ² (p ₁ + p ₂ ) _µ ( − k ₁ − k ₂ ) ^µ

(p 2 − p 1 ) ² − e ² (p ₁ − k ₁ ) _µ ( − k ₂ + p ₂ ) ^µ

(p 1 + k 1 ) ² (1)

s = (p _A + p _B ) ² = (p _C + p _D ) ²

t = (p A − p C ) ² = (p B − p D ) ²

u = (p A − p D ) ² = (p B − p C ) ²

s + t + u = p ² _A + p ² _B + 2p _A p _B + p ² _A + p ² _C − 2p _A p _C + p ² _A + p ² _D − 2p _A p _D

= p ² _A + p ² _B + p ² _C + p ² _D + 2p ² _A + 2p _A (p _B − p _C − p _D )

= p ² _A + p ² _B + p ² _C + p ² _D + 2p ² _A + 2p A (p C + p D − p A − p C − p D )

= p ² _A + p ² _B + p ² _C + p ² _D

= m ² _A + m ² _B + m ² _C + m ² _D

p ₁ k ₁ → p ₂ k ₂

M = − e ² (p _A + p _C ) _µ ( − p _B − p _D ) ^µ

(p C − p A ) ² − e ² (p _A − p _B ) _µ ( − p _D + p _C ) ^µ (p A + p B ) ²

(質量は p ² _i = m ² (i = A, B, C, D))

(p A + p C ) µ (p B + p D ) ^µ = p A p B + p A p D + p C p B + p C p D

= p A p C + p A p D − p ² _A + p A p D + p ² _C + p C p D − p C p A + p C p D

= 2p _A p _D + 2p _C p _D

= − (p _A − p _D ) + p ² _A + p ² _D + (p _C + p _D ) ² − p ² _C − p ² _D

(p A − p B ) µ (p D − p C ) ^µ = p A p D − p A p C − p B p D + p B p C

= p ² _A + p A p B − p A p C − p A p C − p B p A − p ² _B + p B p C + p B p C

= (p _A − p _C ) ² − p ² _A − p ² _C − (p _B − p _C ) ² + p ² _B + p ² _C

= (p _A − p _C ) ² − (p _B − p _C ) ²

M = e ² s − u

(p _C − p _A ) ² + e ² t − u

(p _A + p _B ) ² = e ² s − u

t + e ² t − u s

⁺ e ⁻ → e ⁺ e ⁻

e ⁻ e ⁺ → µ ⁻ µ ⁺

(µ ^±

e ⁻ µ ⁻ → e ⁻ µ ⁻

e ⁻ µ ⁻ → e ⁻ µ ⁻

u ^r u ^r = p / + m

u ^r u ^r = p / + m

v ^r v ^r = p / − m

v ^r v ^r = p / − m

|M| ² = e ⁴

q ⁴ L ^µν(e) L ^(m) _µν

p、終状態 p ^′

k ^′

L ^µν(e) = 1

2 tr[(p / ^′ + m)γ ^µ (p / + m)γ ^ν ]

2 (4p ^µ ^′ p ^ν − 4(p ^′ · p)g ^µν + 4p ^ν ^′ p ^µ + 4m ² g ^µν )

= 2(p ^µ ^′ p ^ν − (p ^′ · p)g ^µν + p ^ν ^′ p ^µ + m ² g ^µν ) L ^µν(m) = 2(k ^µ ^′ k ^ν − (k ^′ · k)g ^µν + k ^ν ^′ k ^µ + M ² g ^µν )

|M| ² = 4e ⁴