名古屋工業大の数学 2000 年 ~2015 年 大学入試数学動画解説サイト

名古屋工業大の数学

2000 年～2015 年

目 次

第 1 章 問題編 1

第 2 章 解答・解説編 68

はじめに

名古屋工業大学の入試は例年大問 4 題で，そのうち 3 題は数学 III から出題されます。数学 III の問題 が解けるかどうかで合否が決まると言っても過言ではありません。レベルとしては標準的なものがほ とんどですが，実際の試験では解き方がわかっても計算量が多いことで，途中で不安になる受験生も 多いでしょう。 対策としては，過去に出題された問題をすべて解けるようにすることが重要です。赤本では 2∼3 年 分くらいしか演習できないし，「京大の理系数学 25ヵ年」のような大量に過去問演習できる書籍もあり ません。赤本で 2∼3 年遡っても新たに出題されるようになる「複素数平面」の問題を知ることもでき ません。過去にどのような問題が出題されたのかという受験生が気になる点を解消するために，本書 を執筆することにしました。 あなたの志望達成のために，本書が一助となれば幸いです。 著者 ii

2000年∼2015 年の 16 年分の名工大入試数学（前期日程）を掲載しました。45 番から始まっている のは，1990 年第 1 問を 1 番としているためです。また，考え方や解答を書き込んだりできるように配 慮し，1 ページに 1 つの大問を載せました。 名工大の試験時間は 120 分のため，目安として各問題を平均 25 分程度で，方針決定∼解答作成を完 成できるようにすると良いでしょう。 ※「行列」の問題は範囲外なので学習しなくてよいです。ただし，本来は行列の問題として出題さ れている問題でも，複素数平面を利用すると解くことができる問題に対しては，複素数平面の考えを 用いた解答を用意しました。 1

大学入試数学 動画解説サイト 2014年 名古屋工業大

103.

以下の問いに答えよ。 (1) r= 1\ のとき Sn= r + 2r2+ 3r3+· · · + nrnを求めよ。 (2) x > 0に対して fn(x) = e−x+ 2e−2x+ 3e−3x+· · · + ne−nx とおく。極限 f (x) = lim n→∞fn(x)を求めよ。ただし limt→∞te −t_{= 0であることを用いてもよい。} (3) (2)で得られた関数 f (x) について，不定積分 ∫ f (x) dxを求めよ。 (4) (2)で得られた関数 f (x) について，定積分 ∫ log 3 log 2 xf (x) dxを求めよ。 〔2014 – 1〕 解説動画 – 60 –

104.

放物線 y = x2_{上の動点 P(p, p}2_{), Q(q, q}2_{)が次の条件をみたしている。} 0 < p < q, ∠POQ = π 4 ただし O は原点である。点 P と点 Q における接線の交点を R とする。 (1) pのとり得る値の範囲を求めよ。 (2) qを p の式で表せ。 (3) 点 R の x 座標，y 座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ。 (4) 点 R が描く曲線の方程式を求めよ。 (5) 点 R が描く曲線の漸近線を求めよ。 〔2014 – 2〕 – 61 –

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105.

実数 a, b, c, d について (a− d)2+ 4bc = 0 が成立している。このとき行列 E = ( 1 0 0 1 ) , A = ( a b c d ) , B = A− a + d 2 E について，以下の問いに答えよ。ただし A=\ a + d 2 Eとする。 (1) 行列 B2を求めよ。 (2) 自然数 n に対して An = pA + qE となる実数 p, q を n と a, b, c, d で表せ。 (3) 行列 A が次をみたすとき，A を求めよ。 A5= ( 11 −20 5 −9 ) 〔2014 – 3〕 – 62 –

106.

座標空間に立方体 K があり，原点 O と 3 点 A(a, b, 0), B(r, s, t), C(3, 0, 0) が次の条件をみ たしている。 OA, AB, BCは立方体 K の辺である。 OCは立方体 K の辺ではない。 b > 0, t > 0 このとき，以下の問いに答えよ。 (1) 立方体 K の一辺の長さ l を求めよ。 (2) 点 A の座標を求めよ。 (3) 点 B の座標を求めよ。 (4) 辺 AB 上の点 P から x 軸に下ろした垂線の足を H(x, 0, 0) とする。PH の長さを x を用いて 表せ。 (5) 立方体 K を x 軸を回転軸として 1 回転させて得られる回転体の体積 V を求めよ。 〔2014 – 4〕 解説動画 – 63 –

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107.

(1) x ŕ 1 のとき，不等式 2√x > 1 + log xが成り立つことを証明せよ。 (2) 関数 y = x log x (x > 0) のグラフを曲線 C とする。定数 a に対し，曲線 C の接線で点 (a, 0) を通るものは何本あるか。 (3) (2)で定められた曲線 C とその傾き 2 の接線および直線 x = e−2で囲まれた部分の面積を求 めよ。 〔2015 – 1〕 解説動画 – 64 –

108.

2つの関数 f (x) = 2 2x + 3, g(x) = 2x + 1 −x + 2 がある。 (1) 関数 g(x) の逆関数 g−1(x)を求めよ。 (2) 合成関数 g−1(f (g(x)))を求めよ。 (3) 実数 c が無理数であるとき，f (c) は無理数であることを証明せよ。 (4) 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 a1= g( √ 2), an+1= f (an) (n = 1, 2, 3, · · · ) (5) (4)で定められた数列{an} の極限 lim n→∞anを求めよ。 〔2015 – 2〕 解説動画 – 65 –

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109.

(1) 次の 5 つの定積分を求めよ。((2)(iv) で用いる。) I1= ∫ π 0 x sin x dx, I2= ∫ π 0 x2cos x dx, I3= ∫ π 0 sin2x dx I4= ∫ π 0 x cos x sin x dx, I5= ∫ π 0 sin2x cos x dx

(2) 関数 y = sin x のグラフを曲線 C とする。C 上の点 O(0, 0) における接線を l1，点 A(π, 0)

における接線を l2とする。 l1と l2の交点を B，C 上の点 P(t, sin t) (0 ő t ő π) から l1に下ろした垂線を PQ とする。 ただし，t = 0 のときは Q = P とする。OQ = s とおく。 ∠OBA の大きさを求めよ。 sを t を用いて表せ。 線分 PQ の長さを t を用いて表せ。 曲線 C と 2 直線 l1, l2で囲まれた部分を，直線 l1の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ。 〔2015 – 3〕 解説動画 – 66 –

110.

四面体 ABCD は (ア) BA =√66, BC = 7, BD =√65 (イ) BA# »·BC = 28,# » BC# »·BD = 35,# » BD# »·BA = 40# » を満たす。頂点 A から平面 BCD に下ろした垂線を AH とする。 (1) 辺 AC の長さを求めよ。 (2) BH# »をBC,# » BD# »を用いて表せ。 (3) 線分 CH の長さを求めよ。 (4) 面 ABC を直線 AH の周りに 1 回転させるとき，面 ABC が通過する部分の体積 V を求めよ。 〔2015 – 4〕 解説動画 – 67 –

第

2

章 解答・解説編

解答を作成するにあたり，所謂「ひらめき」や「思いつき」というものを可能な限り排除した標準 的なものを掲載しました。解答を読んでいるときに問題文を確認したいことが多々あるため，解答だ けでなく問題も載せています。 また，一部の問題に関しては「考え方」を掲載することで理解の手助けとなるようにしました。QR コードがある問題に関しては，QR コードを読み取ることで youtube にアップロードされた解説動画 を視聴できます。PC などでは「解説動画」の文字をクリックすることで解説動画を視聴できます。 68

103.

以下の問いに答えよ。 (1) r= 1\ のとき Sn= r + 2r2+ 3r3+· · · + nrnを求めよ。 (2) x > 0に対して fn(x) = e−x+ 2e−2x+ 3e−3x+· · · + ne−nx とおく。極限 f (x) = lim n→∞fn(x)を求めよ。ただし limt→∞te −t_{= 0であることを用いてもよい。} (3) (2)で得られた関数 f (x) について，不定積分 ∫ f (x) dxを求めよ。 (4) (2)で得られた関数 f (x) について，定積分 ∫ log 3 log 2 xf (x) dxを求めよ。 〔2014 – 1〕 解説動画 【解答】 (1) Sn= r + 2r2+ 3r3+· · · + nrn · · · ① ここで，両辺に r をかけると rSn= r2+ 2r3+· · · + (n − 1)rn+ nrn+1 · · · ② ②− ① より， (1− r)Sn= r + r2+ r3+· · · + rn− nrn+1 r= 1\ だから， (1− r)Sn= r(1− rn₎ 1− r − nr n+1 = r− r n+1_{− n(1 − r)r}n+1 1− r ∴ Sn= nrn+2_{− (n + 1)r}n+1_{+ r} (1− r)2 (2) (1)の結果において，r = e−xとすると， fn(x) = n(e−x)n+2_{− (n + 1)(e}−x₎n+1_{+ e}−x (1− e−x)2 = ne −(n+2)x_{− (n + 1)e}−(n+1)x_{+ e}−x (1− e−x)2 ここで，(n + 2)x = t1とおくと，n = t1 x − 2 だから， ne−(n+2)x= (_t 1 x − 2 ) e−t1 ₌ 1 xt1e −t1− 2e−t1 – 188 –

大学入試数学 動画解説サイト 2014年 名古屋工業大 解答・解説 また，(n + 1)x = t2とおくと， (n + 1)e−(n+1)x= 1 xt2e −t2 n→ ∞ のとき，t1→ ∞, t2→ ∞ だから， lim n_→∞ne −(n+2)x_{= lim} t1→∞ (₁ xt1e −t1− 2e−t1 ) = 0 lim n→∞(n + 1)e −(n+1)x_{= lim} t2→∞ 1 xt2e −t2_{= 0} したがって， lim n→∞fn(x) = e−x (1− e−x)2 ∴ f(x) = e−x (1− e−x)2 (3) ( 1 1− e−x )_′ =− e−x (1− e−x)2 だから， ∫ f (x) dx = 1 e−x− 1 + C (Cは積分定数) (4) F (x) = 1 e−x− 1 =− e x ex_{− 1} とおくと， F (log 2) =−2, F (log 3) = − 3 2 だから， ∫ log 3 log 2 xf (x) dx = [ xF (x) ]log 3 log 2 − ∫ log 3 log 2 F (x) dx =− 3 2 log 3 + 2 log 2− [ − log(ex_{− 1)} ]log 3 log 2 =− 3

2 log 3 + 2 log 2 + log 2 = 3 log 2− 3

2 log 3

104.

放物線 y = x2_{上の動点 P(p, p}2_{), Q(q, q}2_{)が次の条件をみたしている。} 0 < p < q, ∠POQ = π 4 ただし O は原点である。点 P と点 Q における接線の交点を R とする。 (1) pのとり得る値の範囲を求めよ。 (2) qを p の式で表せ。 (3) 点 R の x 座標，y 座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ。 (4) 点 R が描く曲線の方程式を求めよ。 (5) 点 R が描く曲線の漸近線を求めよ。 〔2014 – 2〕 【解答】 (1) OP, OQと x 軸の正の方向のなす角をそれぞれ α, β とすると， y = x2 P Q p q x y O tan α = p, tan β = q ( 0 < α < β < π 2 ) ∠POQ = π 4 より， β− α = π 4 ∴ β = α + π₄ α > 0, 0 < β < π 2 より，0 < α < π 4 だから， 0 < tan α < tan π 4 ∴ 0 < p < 1 (2) tan(β− α) = tan π 4 より， tan β− tan α 1 + tan α tan β = 1 q− p 1 + pq = 1 q− p = 1 + pq · · · ① (1− p)q = 1 + q 0 < p < 1より，1− p= 0\ だから， q = 1 + p 1− p (3) y = x2より，y′= 2xだから，2 点 P, Q における接線の方程式はそれぞれ y = 2px− p2 · · · ②, y = 2qx − q2 · · · ③ となる。②, ③より，y を消去すると， 2(p− q)x − (p2− q2) = 0 2(p− q) ( x− p + q 2 ) = 0 – 190 –

大学入試数学 動画解説サイト 2014年 名古屋工業大 解答・解説 p− q= 0\ だから，x = p + q 2 このとき，②より， y = 2p· p + q 2 − p 2_{= pq} よって，R (_{p + q} 2 , pq ) ここで，q = 1 + p 1− p = 2 1− p −1より，0 < p < 1 のとき，q > 0 となるから， x = p + q 2 > 1 2, y = pq > 0 ∴ x > 1 2, y > 0 (4) ①より， (q− p)2= (1 + pq)2 (p + q)2− 4pq = 1 + 2pq + (pq)2 ∴ (p + q)2_{− (pq)}2_{− 6pq = 1} p + q = 2x, pq = yだから， (2x)2− y2− 6y = 1 4x2− (y + 3)2=−8 ∴ x₂2 − (y + 3)₈ 2 =−1 ( x > 1 2, y > 0 ) · · · ④ (5) ④のグラフは 1 2 x y O x2 2 − y2 8 =−1 · · · ⑤ のグラフを y 軸方向に−3 だけ平行移動したものである。 ⑤の漸近線は x √ 2 ± y 2√2 = 0 ∴ y = ±2x x > 1 2, y > 0より，求める漸近線は 直線 y = 2x− 3 – 191 –

106.

座標空間に立方体 K があり，原点 O と 3 点 A(a, b, 0), B(r, s, t), C(3, 0, 0) が次の条件をみ たしている。 OA, AB, BCは立方体 K の辺である。 OCは立方体 K の辺ではない。 b > 0, t > 0 このとき，以下の問いに答えよ。 (1) 立方体 K の一辺の長さ l を求めよ。 (2) 点 A の座標を求めよ。 (3) 点 B の座標を求めよ。 (4) 辺 AB 上の点 P から x 軸に下ろした垂線の足を H(x, 0, 0) とする。PH の長さを x を用いて 表せ。 (5) 立方体 K を x 軸を回転軸として 1 回転させて得られる回転体の体積 V を求めよ。 〔2014 – 4〕 解説動画 【解答】

(1) 条件 (i), (ii), (iii) より，立方体 K は右図のようになる。OC は立方体

O A B C P H の対角線だから， √ 3l = 3 ∴ l =√3 (2) OA =√3より， a2+ b2= 3 · · · ① AC =√2l =√6より， (a− 3)2+ b2= 6 · · · ② ①− ② より， 3(2a− 3) = −3 2a− 3 = −1 ∴ a = 1 ①に代入すると， 1 + b2= 3 b2= 2 ∴ b =√2 (∵ b > 0) よって，A(1, √2, 0) – 192 –

大学入試数学 動画解説サイト 2014年 名古屋工業大 解答・解説 (3) OB =√2l =√6より， r2+ s2+ t2= 6 · · · ③ AB = l =√3より， (r− 1)2+ (s−√2)2+ t2= 3 · · · ④ BC = l =√3より， (r− 3)2+ s2+ t2= 3 · · · ⑤ ③− ⑤ より， 3(2r− 3) = 3 ∴ r = 2 このとき，③, ④より， { s2_{+ t}2_{= 2 · · · ③}′ (s−√2)2_{+ t}2_{= 2 · · · ④}′ ③′− ④′より， √ 2(2s−√2) = 0 ∴ s = √ 2 2 ③’ より， 1 2 + t 2_{= 2} t2= 3 2 ∴ t = √ 6 2 (∵ t > 0) よって，B ( 2, √ 2 2 , √ 6 2 ) (4) ABを u : (1− u) に内分する点を P(X, Y, Z) とすると，          X = (1− u) + 2u = u + 1 · · · ⑥ Y =√2(1− u) + √ 2 2 u = √ 2 2 (2− u) · · · ⑦ Z = √ 6 2 u · · · ⑧ 点 P から x 軸に下ろした垂線の足が H(x, 0, 0) だから，X = x であり，⑥より， u + 1 = x ∴ u = x − 1 これを⑦, 8 に代入すると， y = √ 2 2 {2 − (x − 1)} = √ 2 2 (3− x) z = √ 6 2 (x− 1) – 193 –

よって，P ( x, √ 2 2 (3− x), √ 6 2 (x− 1) ) となるから， PH = √ 1 2(3− x) 2₊ 3 2(x− 1) 2 ∴ PH =√2x2− 6x + 6 (5) 2点 A, B から x 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ HA, HBとすると，HA(1, 0, 0), HB(2, 0, 0) となる。 回転軸は OC であり，OC = 3 だから，回転体を次の (i)∼(iii) の 3 つの部分に分割して考える。 0 ő x ő 1 のとき 回転体は△OAHAを OH のまわりに 1 回転してできる立体であり，これは底面の半径は AHA= √ 2，高さは OHA= 1の円錐だから，体積を V1とすると， V1= 1 3 · π · ( √ 2)2· 1 = 2 3π 1 ő x ő 2 のとき 回転体は線分 AB を OC のまわりに 1 回転してできる立体であり，x 座標が x となる OC に垂直な平面で切った断面積を S(x) とすると， S(x) = π· PH2= π(2x2− 6x + 6) だから，体積を V2とすると， V2= ∫ 2 1 S(x) dx = ∫ 2 1 π(2x2− 6x + 6) dx = π [ 2 3x 3_{− 3x}2_{+ 6x} ]2 1 = π { 2(8− 1) 3 − 3(4 − 1) + 6(2 − 1) } = π (₁₄ 3 − 9 + 6 ) = 5 3π 2 ő x ő 3 のとき 回転体の体積を V3とすると，立方体の対称性から，V1と等しいから， V3= V1= 2 3π (i)∼(iii) より， V = V1+ V2+ V3= 2 3π + 5 3π + 2 3π ∴ V = 3π – 194 –

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107.

(1) x ŕ 1 のとき，不等式 2√x > 1 + log xが成り立つことを証明せよ。 (2) 関数 y = x log x (x > 0) のグラフを曲線 C とする。定数 a に対し，曲線 C の接線で点 (a, 0) を通るものは何本あるか。 (3) (2)で定められた曲線 C とその傾き 2 の接線および直線 x = e−2で囲まれた部分の面積を求 めよ。 〔2015 – 1〕 解説動画 【考え方】 (1) f (x)の最小値と不等式 x ŕ a における f (x) の最小値が m のとき， f (x) ŕ m (x ŕ a) が成り立つ。よって，m > 0 のとき， f (x) > 0 (x ŕ a) が成り立つ。 f (x) > g(x) (x ŕ a)の示し方 F (x) = f (x)− g(x) とおいて，x ŕ a における F (x) の最小値が正であることを示す。 この問題では，f (x) = 2√x− (1 + log x) とおいて，x ŕ 1 における f(x) の最小値が正であ ることを示せばよい。最小値を求める方法は関数によって異なるが，複雑な関数の場合は微分 して増減を調べることで解決できる。 (2) 接線の本数を求める問題では，与えられている通過点がどのような点であっても，接点の x 座標を t とおくことが重要である。「原点を通る直線」と書かれている場合，すぐに y = mx とおいてしまう人がいるが，これは出題者の罠にかかっていることになる。接点の x 座標が不 明な限り，常に接点の x 座標を t とおくようにしよう。 接線の本数問題についてまとめると次のようになる。 – 195 –

C : y = f (x)の接線で点 (p, q) を通るものの本数 ① C 上の点 (t, f (t)) における接線を求める。 y = f′(t)(x− t) + f(t) ∴ y = f′_{(t)x− tf}′_{(t) + f (t)} ② (i) の接線が点 (p, q) を通るとき， q = f′(t)p− tf′(t) + f (t) · · · (∗) が成り立つ。 ③ (∗) を満たす t の個数が求める接線の本数に等しい ※二重接線が存在するような問題では，(∗) の解の個数と接線の本数は一致しないこ とに注意する。極大・極小が存在する 4 次関数のようなグラフなら二重接線が存在 するが，常に上に凸（下に凸）であるグラフなら二重接線は存在しない。 f (t) = aの異なる解の個数 f (t) = aの異なる解の個数は，y = f (t) のグラフと y = a のグラフの共有点の個数に等 しい。 追い出しの原理 anő bnが成り立ち， lim n→∞an =∞ ならば， limn→∞bn =∞ である。 【解答】 (1) f (x) = 2√x− (1 + log x) とおくと， f′(x) = √1 x − 1x = √ x− 1 x x ŕ 1 のとき，f′(x) ŕ 0 だから，x ŕ 1 において，f (x) は単調に増加する。よって，x ŕ 1 の とき，f (x) ŕ f (1) が成り立つ。 f (1) = 2− (1 + 0) = 1 > 0 だから，x ŕ 1 のとき，f(x) > 0，すなわち 2√x > 1 + log x が成り立つ。

(2) g(x) = x log xとおくと，g′(x) = log x + 1だから，C 上の点 (t, t log t) における接線は，

y = (log t + 1)(x− t) + t log t

∴ y = (log t + 1)x − t これが点 (a, 0) を通るとき，

0 = (log t + 1)a− t

大学入試数学 動画解説サイト 2015年 名古屋工業大 解答・解説 log t + 1 = 0のとき，t = 1 e であり，上式を満たさないから， log t + 1= 0\ ∴ t=\ 1 e よって， a = t log t + 1 · · · (∗) g′′(x) = 1 x より，x > 0 において，g′′(x) > 0となるから，y = g(x) のグラフは常に下に凸で ある。よって，(∗) を満たす異なる実数 t の個数が (a, 0) を通る接線の本数に一致する。 h(t) = t log t + 1 とおくと， h′(t) = (log t + 1)− t · 1 t (log t + 1)2 = log t (log t + 1)2 h′(t) = 0とすると， log t = 0 ∴ t = 0 よって，t > 0 における h(t) の増減は次のようになる。 t 0 · · · 1 e · · · 1 · · · ∞ h′(t) − − 0 + h(t) 1 ∞ lim

t→+0h(t) = 0, t_→elim−1₋₀h(t) =−∞, t_→elim−1+0h(t) =∞

また，(1) の結果より，t ŕ 1 のとき 2√t > 1 + log t が成り立つから h(t) = t log t + 1 > t 2√t = √ t 2 lim t→∞ √ t 2 =∞ だから， limt→∞h(t) =∞ よって，y = h(t) のグラフは次のようになる。 – 197 –

y = h(t) 1 e 1 1 y = a t y O グラフより，          a < 0のとき， 1本 0 ő a < 1 のとき， 0 本 a = 1のとき， 1本 a > 1のとき， 2本 (3) g′(x) = 2とすると， log x + 1 = 2 ∴ x = e よって，C の傾き 2 の接線の方程式は y = 2(x− e) + e ∴ y = 2x − e e e−2 t y O – 198 –

大学入試数学 動画解説サイト 2015年 名古屋工業大 解答・解説 y = g(x)のグラフは下に凸だから，求める面積 S は図の斜線部分の面積である。 S = ∫ e e−2 {x log x − (2x − e)} dx = [ 1 2x 2_{log x} ]e e−2 − ∫ e e−2 1 2x 2_{· 1} x dx− [ x2− ex ]e e−2 = 1 2e 2_{− 1} 2e −4_{· (−2) −}[1 4x 2 ]e e−2 + (e−4− e−1) = 1 2e 2_{+ e}−4_{− 1} 4e −4_{+ e}−4_{− e}−1 = 1 4e 2_{− e}−1₊ 9 4e −4 – 199 –

108.

2つの関数 f (x) = 2 2x + 3, g(x) = 2x + 1 −x + 2 がある。 (1) 関数 g(x) の逆関数 g−1(x)を求めよ。 (2) 合成関数 g−1(f (g(x)))を求めよ。 (3) 実数 c が無理数であるとき，f (c) は無理数であることを証明せよ。 (4) 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 a1= g( √ 2), an+1= f (an) (n = 1, 2, 3, · · · ) (5) (4)で定められた数列{an} の極限 lim n→∞anを求めよ。 〔2015 – 2〕 解説動画 【考え方】 (1) y = 2x + 1 −x + 2 とおいて，x について解いた後，x と y を入れ換えればよい。 (2) 合成関数の計算ができるかどうか。これくらいの計算で面倒臭がってはいけない。 (3) 「無理数であること」の証明では背理法が有効。 (4) (2)の結果の g−1(f (g(x))) =− 1 4xを利用することを考える。 a1= g( √ 2)が与えられていることから，x =√2とすると， g−1(f (g(√2))) =− 1 4 · √ 2 g−1(f (a1)) =− 1 4g −1_(a 1) g−1(a2) =− 1 4g −1_(a 1) (∵ f(a1) = a2) g−1(a1) = b1とおくと，b2=− 1 4b1となり，数列{bn} が等比数列になることが言えそう。 これより，bn= g−1(an)とおく考えに至る。 – 200 –

大学入試数学 動画解説サイト 2015年 名古屋工業大 解答・解説 背理法が有効な証明問題 「否定語」が使われている証明問題では背理法が有効。否定語には次のようなものがあるこ とを覚えておこう。 ① 無理数· · · 分数の形 p q (p, qは互いに素) で表せない数 【証明方法】 有理数 p q (p, qは互いに素) であると仮定して矛盾を導く。 ② 互いに素· · · 公約数を 1 しかもたない数 【証明方法】 1以外の公約数をもつと仮定して矛盾を導く。 ③ 一次独立· · · 2 つのベクトル#»a , #»b について，#»a =\ #»0 , #»b = 0,\ #»a \// #»b ※独立を表す英単語「independent」は「depend（頼る）」と接頭辞「in（∼ない）」か ら構成されているように，元々「depend」があり，その否定語として「independent」が 作られていることが分かる。したがって，独立は否定語ということ。 【証明方法】 #» a //#»b と仮定して矛盾を導く。 【解答】 (1) y = 2x + 1 −x + 2 とおくと， (−x + 2)y = 2x + 1 (y + 2)x = 2y− 1 y =−2 は等式を満たさないから，y=\ −2 よって， x = 2y− 1 y + 2 ∴ g−1_{(x) =} 2x− 1 x + 2 (2) f (g(x)) = 2 2g(x) + 3 = 2 2· 2x + 1 −x + 2 + 3 = 2(−x + 2) 2(2x + 1) + 3(−x + 2) = −2x + 4 x + 8 – 201 –

だから， g−1(f (g(x))) = 2f (g(x))− 1 f (g(x)) + 2 = 2· −2x + 4 x + 8 − 1 −2x + 4 x + 8 + 2 = 2(−2x + 4) − (x + 8) (−2x + 4) + 2(x + 8) = − 5x 20 =− 1 4x (3) cが無理数のとき，f (c) が有理数であると仮定すると， 2 2c + 3 = n m (n, mは互いに素な整数) と表せる。このとき， (2c + 3)n = 2m ∴ c = 2m − 3n 2n 左辺は無理数で，右辺は有理数だから，矛盾する。 よって，f (c) は無理数である。 (4) bn = g−1(an)とおくと，an= g(bn)であり，(2) の結果を利用すると， bn+1= g−1(an+1) = g−1(f (an)) = g−1(f (g(bn))) =− 1 4bn a1= g( √ 2)より，b1= g−1(a1) = √ 2となるから，数列{bn} は初項 √ 2，公比− 1 4 の等比数 列となり， bn= √ 2 ( − 1 4 )n−1 よって，an = g(bn)より， an= 2bn+ 1 −bn+ 2 ∴ an = 2√2 ( − 1 4 )n−1 + 1 −√2 ( − 1 4 )n−1 + 2 (5) lim n_→∞ ( − 1₄)n−1= 0だから，(4) の結果より， lim n→∞an= 1 2 – 202 –

大学入試数学 動画解説サイト 2015年 名古屋工業大 解答・解説

109.

(1) 次の 5 つの定積分を求めよ。((2)(iv) で用いる。) I1= ∫ π 0 x sin x dx, I2= ∫ π 0 x2cos x dx, I3= ∫ π 0 sin2x dx I4= ∫ π 0 x cos x sin x dx, I5= ∫ π 0 sin2x cos x dx

(2) 関数 y = sin x のグラフを曲線 C とする。C 上の点 O(0, 0) における接線を l1，点 A(π, 0)

における接線を l2とする。 l1と l2の交点を B，C 上の点 P(t, sin t) (0 ő t ő π) から l1に下ろした垂線を PQ とする。 ただし，t = 0 のときは Q = P とする。OQ = s とおく。 ∠OBA の大きさを求めよ。 sを t を用いて表せ。 線分 PQ の長さを t を用いて表せ。 曲線 C と 2 直線 l1, l2で囲まれた部分を，直線 l1の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ。 〔2015 – 3〕 解説動画 【解答】 (1) I1= ∫ π 0 x sin x dx = [ − x cos x ]π 0 − ∫ π 0 (− cos x) dx = π + [ sin x ]π 0 = π I2= ∫ π 0 x2cos x dx = [ x2sin x ]π 0 − ∫ π 0 2x sin x dx =−2I1=−2π I3= ∫ π 0 sin2x dx = ∫ π 0 1− cos 2x 2 dx = [ 1 2x− 14 sin 2x ]π 0 = π 2 – 203 –

I4= ∫ π 0 x cos x sin x dx = ∫ π 0 1 2x sin 2x dx = [ − 1 4x cos 2x ]π 0 − ∫ π 0 ( − 1 4 cos 2x ) dx =− π 4 + [ 1 8 sin 2x ]π 0 =− π 4 I5= ∫ π 0 sin2x cos x dx = [ 1 3 sin 3_x ]π 0 = 0

(2) y = sin xより，y′= cos xだから， (l1の傾き) = cos 0 = 1 (l2の傾き) = cos π =−1 よって，(l1の傾き)× (l2の傾き) =−1 となるから，l1⊥ l2 ∴ ∠OBA = π 2 l1 l2 A π B P t s Q s C x y O Q ( s √ 2, s √ 2 ) であり，OP# »·OQ =# » OQ# »2だから， (t, sin t)· ( s √ 2, s √ 2 ) = s2 s √ 2(t + sin t) = s 2 s= 0\ のとき，s = t + sin t√ 2 t = 0のとき，s = 0 となるから，上式は s = 0 のときも成り立つ。 ∴ s = t + sin t√ 2 PQの長さは点 P(t, sin t) と直線 l1: x− y = 0 との距離だから， PQ = t− sin t√ 2 点 P は直線 l1の下側にあるから， sin t ő t ∴ t − sin t ŕ 0 よって，PQ = t− sin t√ 2 – 204 –

大学入試数学 動画解説サイト 2015年 名古屋工業大 解答・解説 Q = Bのとき，s = √π 2 だから， V = ∫ _√π 2 0 πPQ2ds = π 2 ∫ _√π 2 0 (t− sin t)2ds s = t + sin t√ 2 より， ds = 1 + cos t√ 2 dt, s 0 → √π 2 t 0 → π となるから， V = π 2 ∫ π 0 (t− sin t)2· 1 + cos t√ 2 dt = π 2√2 ∫ π 0

(t2− 2t sin t + sin2t)(1 + cos t) dt

= √ 2π 4 ∫ π 0

(t2+ t2cos t− 2t sin t − 2t sin t cos t + sin2t + sin2t cos t) dt

= √ 2π 4 ([ 1 3t 3 ]π 0 + I2− 2I1− 2I4+ I3+ I5 ) = √ 2π 4 ( π3 3 − 2π − 2π + π2 + π 2 + 0 ) = √ 2π 4 ( π3 3 − 3π ) = √ 2 12 π 2_(π2_{− 9)} よって，求める体積 V は V = √ 2 12 π 2_(π2_{− 9)} – 205 –

110.

四面体 ABCD は (ア) BA =√66, BC = 7, BD =√65 (イ) BA# »·BC = 28,# » BC# »·BD = 35,# » BD# »·BA = 40# » を満たす。頂点 A から平面 BCD に下ろした垂線を AH とする。 (1) 辺 AC の長さを求めよ。 (2) BH# »をBC,# » BD# »を用いて表せ。 (3) 線分 CH の長さを求めよ。 (4) 面 ABC を直線 AH の周りに 1 回転させるとき，面 ABC が通過する部分の体積 V を求めよ。 〔2015 – 4〕 解説動画 【解答】 (1) BA =# » #»a , BC =# » #»c , BD =# » #»d とする。 A B C D √ 66 7 √ 65 H # » AC 2= #»c −#»a 2 = #»c 2− 2#»c ·#»a + #»a 2 = 49− 2 · 28 + 66 = 59 # » AC ŕ 0 だから， AC =# » √59 (2) BH = s# » #»c + t#»d と表せるから， # » AH =BH# »−BA# » ∴AH = s# » #»c + t#»d −#»a # » AH⊥BC# »だから， # » AH·BC = 0# » (s#»c + t#»d−#»a )·#»c = 0 s #»c 2+ t#»c ·#»d−#»a ·#»c = 0 49s + 35t− 28 = 0 ∴ 7s + 5t − 4 = 0 · · · ① また。AH# »⊥BD# »だから， # » AH·BD = 0# » (s#»c + t#»d−#»a )·#»d = 0 s#»c ·#»d + t #»d 2−#»a ·#»d = 0 35s + 65t− 40 = 0 ∴ 7s + 13t − 8 = 0 · · · ② – 206 –

大学入試数学 動画解説サイト 2015年 名古屋工業大 解答・解説 ①, ②より， s = 3 14, t = 1 2 よって， # » BH = 3 14 # » BC + 1 2 # » BD (3) CH =# » BH# »−BC# » = 3 14 #»_{c +} 1 2 #»_d−#»_c = 1 14(−11 #» c + 7#»d ) だから， # » CH 2= 1 142 −11 #» c + 7#»d 2 = 1 142(121 #»_c 2 − 11 · 14#»c ·#»d + 49 #»d 2) = 1 142(121× 49 − 11 · 14 × 35 + 49 × 65) = 49 142(121− 110 + 65) = 1 4 · 76 = 19 # » CH ŕ 0 だから， # » CH =√19 (4) まず，辺 BC 上の点で，点 H から最も遠い点と最も近い点を求める。(2) の結果より， # » BH 2= 1 142 3 #» c + 7#»d 2 = 1 142(9 #»_c 2 + 42#»c ·#»d + 49 #»d 2) = 1 142(9× 49 + 42 × 35 + 49 × 65) = 49 142(9 + 30 + 65) = 1 4 · 104 = 26 # » BH ŕ 0 だから， BH =# » √26 よって，△BCH において，CH < BH < BC となるから，最大辺は BC となり，点 H から直 線 BC に下ろした垂線の足を K とすると，点 K は辺 BC 上にある。 – 207 –

B K _C A H H B C K したがって，辺 BC 上の点で点 H から最も遠い点は B であり，最も近い点は K であるから， V = 1 3 · πBH 2_{· AH − 1} 3 · πKH 2_{· AH} = πAH 3 (BH 2_{− KH}2₎ = πAH 3 BK 2 ここで，BK = x とおくと，△BKH と △CKH それぞれに三平方の定理を用いて B C H K √ 26 √19 x 7− x 26− x2= 19− (7 − x)2 x2− (7 − x)2= 7 7(2x− 7) = 7 2x− 7 = 1 ∴ x = 4 よって，BK2= 16となる。 また，△ABH において三平方の定理より， AH2= AB2− BH2= 66− 26 = 40 ∴ AH = 2√10 だから， V = π 3 · 2 √ 10· 16 ∴ V = 32 √ 10 3 π – 208 –

「名古屋工業大の数学 2000 年∼2015 年」 著者 日高 敏宏 発行元 大学入試数学 動画解説サイト HP http://mathroom.jugem.jp/ mail pon.math.lec@gmail.com 本書の内容を無断で転載・複写複製（コピー） することを禁じます。 本書の内容についてのお問い合わせは上記メー ルアドレスにメールにてお願いします。