浅海における進行波の砕波について（第3報）: University of the Ryukyus Repository

Title

浅海における進行波の砕波について（第3報）

Author(s)

筒井, 茂明

Citation

琉球大学理工学部紀要. 工学篇 = Bulletin of Science &

Engineering Division, University of the Ryukyus.

Engineering(16): 69-84

Issue Date

1978-09-01

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/27458

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第16号， 1978年

浅海における進行波の砕波について(第

3

報)

筒 井 茂 明 $

On the Breaking of Progressive Waves i

n

Shallow Water

Part

3

.

Shigeaki T

SUTSUl

Summary

The b

a

s

i

c

e

q

u

a

t

i

o

n

s

f

o

r

wave m

o

t

i

o

n

s

a

r

e

formed w

i

t

h

t

h

e

s

u

r

f

a

c

e

d

i

s

p

l

a

c

e

m

e

n

t

-

]7

and t

h

e

v

e

l

o

c

i

t

y

p

o

t

e

n

t

i

a

l

-

o

.

The p

r

e

v

i

o

u

s

p

a

p

e

r

p

r

o

p

o

s

e

d

a model o

f

t

h

e

b

r

e

a

k

i

n

g

o

f

waves from t

h

e

s

e

(7]，ゆ

)

-

s

y

s

t

e

m

s

.

I

n

t

h

i

s

p

a

p

e

r

t

h

e

f

o

u

r

t

h

-

o

r

d

e

r

wave e

q

u

a

t

i

o

n

，

e

x

p

e

s

s

e

d

i

n

t

h

e

s

u

r

f

a

c

e

d

i

s

p

l

a

c

e

m

e

n

t

o

n

l

y

，

t

h

a

t

i

s

，

η-system

，

i

s

o

b

t

a

i

n

e

d

from t

h

e

( ，]7

o

)

-

s

y

s

t

e

m

i

n

t

h

e

same

way o

f

t

h

e

s

e

c

o

n

d

r

e

p

o

r

t

.

The b

r

e

a

k

i

n

g

model i

s

r

e

c

a

s

t

from H

a

m

i

l

t

o

n

i

a

n

f

u

n

c

t

i

o

n

，

which i

s

t

h

e

i

n

t

e

g

r

a

J

s

u

r

f

a

c

e

o

f

t

h

e

ト

s

y

s

t

e

m

，

by a

p

p

l

i

n

g

c

a

t

a

s

t

r

o

p

h

e

t

h

o

e

r

y

t

o

t

h

i

s

f

u

n

c

t

i

o

n

b

a

s

e

d

on

t

h

e

view o

f

p

e

r

t

u

r

b

a

t

i

o

n

s

f

o

r

t

h

e

s

u

r

f

a

c

e

.

A

n

a

l

y

t

i

c

a

l

c

h

a

r

a

c

t

e

r

i

s

t

i

c

s

o

f

wave p

r

o

f

i

l

e

，

wave

v

e

l

o

c

i

t

y

and t

h

e

b

r

e

a

k

i

n

g

c

r

i

t

e

r

i

o

n

f

o

r

t

h

e

c

a

t

a

s

t

r

o

p

h

e

model a

r

e

d

i

s

c

u

s

s

e

d

i

n

d

e

t

a

i

l

and

compared w

i

t

h

t

h

a

t

o

f

S

t

o

k

e

s

waves

，

L

a

i

t

o

n

e

'

s

c

n

o

i

d

a

l

waves and o

t

h

e

r

s

.

The main r

e

s

u

l

t

s

o

f

t

h

i

s

a

n

a

l

y

s

i

s

a

r

e

summarized a

s

f

o

l

l

o

w

s

:

(1)

B

r

e

a

k

i

n

g

h

i

g

h

t

and maximum wave v

e

l

o

c

i

t

y

o

f

t

h

e

s

o

l

i

t

a

r

y

wave

a

r

e

0

.

8

3

7

5

and

1.

3

0

9

，

r

e

s

p

e

c

t

i

v

e

l

y

，

and n

e

a

r

l

y

e

q

u

a

l

t

o

t

h

a

t

g

a

i

n

e

d

by

B

y

a

t

t

.

S

m

i

t

h

and F

e

n

t

o

n

.

(

2

)

The b

r

e

a

k

i

n

g

c

r

i

t

e

r

i

o

n

o

f

p

e

r

i

o

d

i

c

a

l

waves a

g

r

e

e

s

w

e

l

l

w

i

t

h

Miche

f

o

r

m

u

l

a

and S

h

u

t

o

'

s

c

r

i

t

e

r

i

o

n

f

o

r

S

t

o

k

e

s

waves i

n

t

h

e

r

a

n

g

e

where t

h

e

s

h

a

l

l

o

w

n

e

s

s

i

s

l

e

s

s

t

h

a

n

0

.

0

5

.

(

3

)

S

o

l

i

t

a

r

y

and p

e

r

i

o

d

i

c

a

l

wave

p

r

o

f

i

l

e

s

have s

t

e

e

p

e

r

c

r

e

s

t

s

t

h

a

n

t

h

a

t

o

f

S

t

o

k

e

s

and c

n

o

i

d

a

l

waves

(

4

)

O

t

h

e

r

p

e

r

i

o

d

i

c

a

l

wave c

h

a

r

a

c

t

e

r

i

s

t

i

c

s

，

t

h

a

t

i

s

，

wave

l

e

n

g

t

h

，

h

i

g

h

t

from t

r

o

u

g

h

t

o

s

t

i

l

l

water

J

e

v

e

J

，

wave c

r

e

s

t

h

i

g

h

t

and wave v

e

l

o

c

i

t

y

e

t

c

.

，

show t

h

e

v

a

l

u

e

s

o

b

t

a

i

n

e

d

from l

o

n

g

e

r

p

e

r

i

o

d

waves a

b

o

u

t

5

・

8%

t

h

a

n

t

h

e

o

t

h

e

r

wave t

h

e

o

r

i

e

s

.

受付:1978年4月28日 .tlol球大学理工学部土木工学科

70 j美海における進行波の砕波について(第3報) 1.緒 冨 Catastrophe理論III;l:，保在力の作用する場におけ る力学系のほとんどの場合に.広義のエネルギ一保存 RIJが成立することを前提としている。ニの理論は，経 験あるいは実験によって得られる結果を系統的に分知 ・繁理

L

，現象を判リ易くするための第1歩を与える lつの:方法と考えられている。この理論の応用ゴIが試 みられている分野として.次の2つが上げられる。 1 ) physicalな側面:物理学などの法目Jか ら 出 発 しI その法則から得られる結果に対してこの理論を適用す る。 2 ) metaphysicalな側面i:不十分な理解しか得られ ていない現象に対してCatastrophe理論を応用するこ とによリ，そこに内イIーする機絡を再織成しようとする。 本研究は第Iの範鳴に属するものであり，次のよう な一連の研究を行ってきた。第1報引においては.ま ず， t~動法によって求められた浅海長波に対する Kor­ teweg-de Vries (KdV)方私a式を用L、，ニの式を支配 するエネルギー尚歯lを求めて，その情i盆を調べた。次 に，この曲面1がどのような引のときに波動運動特有の 昨波現象を表わすことができるかを検討した。その結 果， Catastrophe理論におけるポテンシャルの1別式 であるElliptic umbilicのときに仲j庄が発生すること が判明した。また，このときの基礎方位式は， KdV方 れ'式を水位変動に傑!してf異動した引であり，然動法に よって得られる高次j5:似式に現われる非線形項が支配 的であることを指摘した。 穿~2報11では，昨波モデルを得るため，前報での車古 来:を踏まえて次のような解析を行った。すなわち，波 tlJ運動を支配する変分原理とiAt体力学の拡礎方私'式と の柄17/関係を調べ，この変分原理とCatastrophe理 論 が本質的には布Jt'tであることを元ょした。そこで，水位 変動および速度ポテンシャルから成る流体力学・の基礎

N

科目式に対して1尿・安田 iil(i)の

m

動法を適用して， 水位変動のみで表わされた波動方干Y式の第3次;5:似式 (数ザ的には第5次;5:

1

以式)を求め，対応するエネル ギーIHlr由lを:j(めた。その結果.この剛面lは，局所町J波 j虫をハラメータとするElliptic umbilic II'!であって， Hi庇モテルとなっていることが硲認された。しかし， そこで伴られた結果による併披現象の定性的な説明は ともかし従来の波動理諭と比較するとき，定量的な 司;jH前さは1i

i

ゲ〉なかった。 この論文は，第3報として.このような欠陥を改良 じ.より精度の高い砕波モデルを得るために.より高 次の摂動展開と共に2・3の工夫を行い，さらに.こ のモデルから得られる波の特性，特に波形 i，庄速およ び砕波限界について従来の理論結果と詳細に比較検討 するものである。 2 .水位変動のみで表わした浅海における遁動方程 式とエ ネルギー幽面 ここでは，浅海長i皮に対する波動方松式とその解曲 面であるHamiltonianの第4次近似式を求めるが，そ の詳細は第2報と同じであるので概要のみを述べる。 一様水深の場合を考え，図-1に布、す座係系をとる。

•

z

W Q V

・

g

-

-

-図 -1 座標系および記号の説明

-x

変数はすべて水深hおよび時間，

f

i

i

f

g

l

f

:

鋭簿、量とする無 次元量で表わすものとする。進行波に対する波動方私・ 式は，静水面iからの水位変動のみで表わされ.次式の ようになる。 3 ，-'_ 1

r

r

+

~

r

r

，

+

-

;

:

.

-

r

" ，

=ε

F

，

tr)-e' F

，

(r)-e' F

，

(r) 2 ". 6 2 .. 3 F ，tr) =~rffff， +.:;;-rrff'+~ _{15".... 3' ".. 2}

1

，

'

;

1

;

'

，

，

+

-

.

;

;

-

1

;

"r

，

+iE

，

er+255r+E

e

O

r

+土

.

Q

，

.

r

6"" 2 17

F

，(r)=

ー

一

₆₃₀

-

:

:

r

，

，

，

，

，

，

， +

一r

'

;

1

w

，

，

+

-

;

o

;

-

r

，

1

;

'

'

'

f

f

15... 5 ... 5ー

+

2

r

"

rw+

-

z

1

;

'

r

，

r

，け工r

'

r

" ，

+

す

r

i

(1) (2) 9 ..". 1

+

-

:

;

-

1

;

"

1

;

'

，

+

-

;

'

;

₁

:

1

₅

'

;

，

.

""r

.

.

.

.

+~ ₃

1

;

'

"

1

'

;

r

+

-

;

o

;

-1

，

'

;

r

f

r

+

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第16号， 1978年 ， _ 1 _ . 1 +コ~~~m+_{υ 1 2} 3 ~2~._ ーか.

_，

_.

_.

_.

+7

₆ ~，，，.Q.

+

?

ぬ

&+54+?cι

同 ら v ι 3 -F 、 d

A 6

-6 一 3

+

P M -r h u ' E ι 一内︽ U 3

一

m

一 一

少 、 .

F a e e

，

e v t 3

，

e e p b q o

一 。

。

F D 一 ' A

+

， ，

e

，

e v ﹄

， ，

v t

，

2 A -n U F O - 3

+

， ，

e

， ，

e p b e v t 3 n ， ・ -0 0 1 一 1

+

26 __ _ . . . ... 151

+

τ

。

1; 1 1，; ;""

+

14 1;~" 1;"，

+

"

:

:

₁₂

.

:

1;11;， ー 87..，.... 65

+

1

61;，1;/，

+t

1; 1

2

，;1;"+~ 1;1;; 11_，_ .1l_". .15 +τ~3~"， +-;;;~2 1;""，+ ".~ 6 • •.•• 10 1;'1;， 17 _ 7 _.. 167 +一~^₆₃₀Sflllff，....<<.汁_15';1~""汁一;;-~，，...' ₁₂₀ 1;"，. 12 _ _ ，16.... 131

+7

_{5""'" 1}1;" 1;"汁1;.1;""_5'.'....+ー~.₆₀ 1;，. 1，; 13 _ ，_ • 121 ... . 61 ←1;21;".十一1₁₂;1;，1;，.+τ;11;. 1，; ~;J or ;J.' 6 +91;τ1;1 + 6 ;131;.

-~

₈₀ 1_.;_."_..，_.._..

-~

₂ 1，'1;， 4 _ _ 5.... 1.. 1 +す1

。

;.1;，.+ニ

s

，l;π一7;₁;_2'

S

_''_'CTT _'.

+

~ ₁₅~fff" JJr

+ωQr+f ふ~"

Q

r

+

士

1;"..Q.

+6

内 Q.+5仏 ふ

+ t M H

+

3 1;

2

Q

r

r

+

，;1Qi

+

QすQ.. Q，=I;+

や

+tC2

→

ω

)

+

作

ふ

+÷53+

ぴ

+tccee+

古川)

(1 _， 3... _ 1 +ε 斗 ~Qi+"::;;' I; 'Q.+ τ 1;.._{I 2 -. 2' --. 2} Q. 5 ..:.， 9

+

2 ~，I;.+ ~ ~'+_{8 ' 4} +I;'~..+ 5

nl

13 ..• 8 _ _ ，25 +~I;l，+ ~ I;，~"，+~I;I;.... 8 !:IU ' 3 ':)'1'~... 24

+主

L

r

ω

ら

"

1

1

'

、+....…. 日

.

720目 . 日 ‘ . 日"J 71 ~=ε 川 (x- t) ， r=ε3/2t， Z=Z， e<{1 (6) 1;=I;， +é l;， +ε' 1;， +é3~.+ …"'， (7) である。 また，添字は微分作用素 a/a~ ， ・・ーを表わす。 定常波の場合を考え. 8=~-c・ τ ‘♂ : cons.t (8) とおくと.式 (1 ) - (5)は次のように変形される。 3 _ 1.. .. ;:;".， . ;:; -c・1;.+:_{2 " . 6} 1;1;'+7~."=一ε F，(I; )-é'F，(I;) 一ε'F3

(

n

ー・・・・ (9) ;:;".， 1.. 2 .... 3 F，(I;)=~I;...+-;;-I;I;，何.+ーららけてI;'~.15，... 3' ，... 2'. ，.. 2

-t

叩

ee-3c

・ ル + ÷ パa (10) ;:;，，.. 17 F2(1;)=一;;-1;，仰附+-;'-1;1;.叩+--;;-1;.1;.附 630 15... 5 .• +n，バ'...+"t~I;. ~，同 +t l;'I;... 5 ..• 9 包 1 +-;;-1;;+"':;-~3 1;.ーで c' l;，酬柑 -c ・1;1;，酬_{2'. 4". 15}

-f45ee-6c

・

5

2

C

e

+

t

パ 酬 十4

パ ふ

-÷CHQ

( ー-) (4) F;:;，{，I..;， )=一一ーら附柑酬+₂3₈1₃ _ _{5 ' •••••••••} :₃:6₁.8-_₅ 1;1;.. 17. . 61 +ーらと仰岬+~~..I;18

，

.

，

.

_

.

.

•

30 ，叩e 53.. _ • 26 +一弘.I;....+~~~.I;，₁₈ 151 _". .~ _ ，.. +141;1;..1;...+一';: 1;.'1;...+ 161;， 1;1. 12 87..，_ _ .65_..，.11..，

+z

r

c

e

CM+zcce+E 5

3

C

附 11... 15... 17 • +~I;'I;酬岬+~1; 4 1;.__10'

_，

_.

_.

_.

_.

_.

_.

_{4 " . 6};~A ₃₀c'，;l (5) ーニ₁氏_{5 "}c・1_.;_.1_.;_..， _{3 -}酬岬て8 •.... C・1;._-.1;，叩 -_{-_..} ~C14. ₃ *~I岬1;...ー

72 i美海における進行波の砕波について(第 3報) 13 •• ..' .. 53 -zc fCMe-15c・~~. ~.岬ー 10 C"~: 55 ._._ 1 ..，~ ，::1..2 _~C'~3~.+ 土 C'2~，岬酬+ ~ C'2~~，酬_{15 -''''''''''}

_z

13..2.... ，63_'2"2" 1 +γ2~. ~..+

-

:

;

C吋 ふ

-tc35

酬 - 6

c"~~.+士パe

[2.=什ーペ寸 ~2→ω)

{ 3 . 1 ; 2 _{2~一一 C'~2- ~ c' μ+~~'+~J} 2'" 2 3 ."." 5.. 1 +~ "，岬+~~2 '

，

.

.

•

24

，

.

..

.

.

叶

.

J +e'{ -c"が 3c.2

~2 十叫~..

ミc・~'-

3

c・ 52-fパ~..

5 _. . 9 ~> 一一 c・ ~....+-;;-~'+-;-~'μ_{24" '-..8' 4} 13... 8

+

5 ~~i

+

8 品+ーらむ

，

.

.

3 25.... 61 _ 1 +~~~，酬.+ :;~^ ~...~+ 24 ' ，_..• 720，... J j..式に対する変分原理を硲定するため.ポテンシャ ル表示 ~=事、 x= rp.. を 用 い る 。 式 (9 )を若干変形すると次式が得られる。 一 ♂ 伽 + ? 拘 伽

+

t

X

岬 (3 • 3 宅 21..

，

19 ..2_，I =é{一狗f8-~tpi+~C. q;;一一c..~t 120r •• 10'.' 10" ，. _{10 '''J} • (13 • 73 _.‘ 149 ， 2313. +εZ~ ;;;:狗尚一一一♂尚+一一冊。一一ーが 135ro TO" _210" r" . ₆₃₀₀

，

.

.

.

_.1400 911

.

.

.

，

4869.'2 _2， 576

.

.

，

.

.

I

::: C*(/)63-:.::-c.~W+ ::: c同 州 175 口 ₇₀₀ . " 175" ，._J. 内(221 _{"" 1144.} ，. 549..， ， +é'~ 一一cpirpiø 一一，~-c.~陥+一一c.._帥 1175 r.

，

.

.

525 ，. ，.. 700 913 肉 2竹 内 574 内 + _~=;:~

_¥

(/)68 (/)888 一一子仰内。+一一~~-c.r.p6tf8 3150 ，.. ，... 7X7:;，.. ，... 3150() 3687 < 8771 • . 7り7:; ... ， ~，rp; ₊一~.~~c._{f{J1伸一一~} c.L _rpj + 1750'. 70()" ，.. 3:;() 3117 •• • 947 •• 1 + ← _C・，jrp:一一一 C.'rp8(+・・・・ 175 •• 175" '''J. (15) 変分原理

ψ

(x. x..'1'.・ '1'..・ 伽)(d作 116) (12) に対するEulerの方程式， d (

a

2"

a

!

/

d8 ¥ ax.) ax ( 17) d (

a

!

/

'

d'

(a!/¥

d'

(a!/ ¥

い dθ¥

;

1

瓦

r

d8' ¥

a

ムド両'¥

a

"

'

i

;

;

;

J工 } を遂次近似法により解くと.次式が得られる。 グ= 1 x e v e - 1 X 2 + 4 f ( l H . a) 6 ".. ... 1~ 1 内 1. 崎 2・=-~rp:+~C.rp6 4 ，. 2

ε

(

乃 内 21 • 1 . 号 1¥l日 仰 ゐ+ F 8 + c w - - c v j 20 '" '"'' _{80' " 10 . " 20} 噌( 71 暗 7:; 99 < +ε1 一一~，'1'; '1'柑+

=

C rp.rpi.-ー ← 6 1 1400，. ，.. 210' ，.，.. 2800 157 • . 347c. 日 命 288 . 宮 崎l '1'';+ _~ c.'rp3+一一 c.'rp.( 175 "'" 70()" •• 175" ，.J .fl:l9 .噌 1867 • • ， +e'十一:;-rpi'1'.柑一一:-;::;， C '1'.'1' .. 1 4~() ，. ，.. 35()υ (1羽 549_c.一_'同 3:n • 12707 • < '1'.伊師 一一一一'1'.十一一一一-Crp; 70()' ，. ，，，. 800'" 70()O 32()9日 . 2:l42..噌 +一一;₃;₅;-₍， C_)O"'rp，.. 一₈一₇一 C₅ 'rpi ) 4 1 ( 947 •• ，1 一一ー一一C・o;}+・ 35() ・'" 118. b ) 次に，正雄変換を行って式(18) からエネルギー曲 面であるHamiltonianを求めると，次のようになるo r ￨ j l 1.3472J212_{-， ， 一} ‘出 3叫

l

一-E(一一一一 E.C.+-=E"

C

"

"

-

.

.

.

.

.

.

，

1 1 4 10 -" 70() - 875.. ) ν ι 3 ε

j

I 寸 2

•

t z p c ハリ一日リ ゾ 竺 F b qJ 一 qJ

-t ε 司 ， ， 一 戸 hd p h u 一 円 J ' l -l + 幻 一 蜘

(

+ (9~1 127υ7. 1.， ~.， + ; _{一一一一- EC+ .}...rE.C' I 28()O 70()O

，

.

3 炉 、 ，

l

十 3 V 4 3 3 許 色 、E_E t r E E

，

EIF

ハ

"

4 一) 広 一 山 相

(

+ 2 V 仏 d

•

︿ 、₁ 5 1 ' -寸 3

•

t 3 e c 吟 d 一 ハ リ 4 z b Q J 一 A 1 d 2

•

t 2 ε u o -F D H 一₇ 7 E ' l t ?

-t F -U 一 割 l 一₂

1

十q~

+

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第16号， 1978年

+

[古{(よ

ー

完 干 の 器 山 一

)

V 九 a r c 、 、 ‘

E

.

， ， ， +

-F L e e

p

o

-o

u ゎ -r b t A 一 今 、 リ + l 一 山 川 匂 ' -a -a 守 F -J t t_{‘ 、} ふ E

一(器

+

.

.

.

.

.

-

)

小

ここに Q，drは定数である。式(19) が所要のエネ ルギー曲面であり.式 (9)の近似解となっている。 3 .砕滋モデル i主t毎長j直に対するCatastropheポテンシャルは.式 (19)から次のようにして求められる。式(19)は. 2 変数~， ~.に関する 3 次式て-j!î似され，このときの 引は， ~'および ~~i の係数の符号を調べれば.前報で 示したようにElliptic umbilic';l V

，

=X'-XY'+a

，

(X'+ Y')+a

，

X+ぬY

。

白

に相当することがわかる。ただしt alta2およひ'a3は ノ寸ラメータである。 以下では，次のようにして式 (19) を式 (20) の引 に変形する。 ~3 および ni の係数には ε5 による高次 補正項が存冶し.εCとεc・の問には関数関係があるの で，この関係を用いてこれらの高次補正項を局所的な 波速ε♂の関数として近似する。すなわち，ゐ= 0の ときの

ε

Z

とEC'の関係を用いるのであるから.厳密に は式(19)においてqヰ0，身UキOとして逐似近似を 行うべきである。しかし，浅海長波を問題としている のでq~ 0， K~ 0であろうから，この条件下に近似 を行い.その結果について後に検討することにする。 このとき，式 (19)から.

iLEd-

ムム

2C.2ー 担 川

+

.

.

.

k

4 8~- 8~ _ 1400- J 一

(

l

_{2 2}

-

Err-+2EEM-221EWlcTU

_{0 -- . 175} ~ - 350 _ _ J が得られる。 この関係を式(1 9) の ~~i の係数に代入 すると.この係数は. 3 517 •. 1544， _，.

←

₂₀

一

一

一

一

εc

・

+

一

一

一

E‘C. 21 以)~- • 2625 73 で近似される。 以上をまとめて.砕波現象を表わすCatastropheポ テンシャルは.次式で与えられる。 ダ 1 1 5 9 q日 2H21・'3+ ...~ t =~一一一 EC'+_{1 4 8 _ . 8} ーピ C'. 一一一:..:. ~"・_{_ 1400 _ _} }_J と_' 1191 _-1I ₁

_一

_{2 20 _}

_一

1

_一

_一

1~)

_二

_εc-•

_・+一一

2₁₇H₅8 ，_ε~ 2.C_{_ 350} ，.2

一一ー

947 ，.. ε_~ 'C_-

・'+…}♂「

_J 1. ，_. + q~ (221 さらに.

7] =E~，

X=x

ーす

t，

I

} 仰 ) でC =1+εc' I gn I とおくと，砕波モデルの基礎方程式は，式 (22)から 結局次式で与えられる。 " M V )

-F L E ( s a )

-P L ε (

•

a ， B E d -- t )

•

FL P -( a 一 一 z x " " ' 、 ー も t F " " ' )

-f b ε ( o a ， 14

・

・

・

、

+白川ド-7]'}

ω

5 ， 517 _.. 121799.

，

.

.

，

。

(ε

♂)=ー+ー

;:;:-EC"-

一一一

ε2C*'l

+

9 . 567 ~- 178605 a

，

(

ε

♂)=

12a.(εc

・

)

・

P(ε

♂)

山c・)=三辻一 P(ε♂) 仇(ε♂) z i

竺二

P(u') 1 5...， 9

，

.

.02 2821

P(

ε

♂)=一一一

_{4 8} ε_~

♂+一

_{- 8} ε_{_ -}

ヤ一一一

₁₄₀₀ (21) 上式を解くと次めような解が得られる。周期波が存 在するためには，まず， 7]=0のときがは実数である からdr>0である。次に， 3次式の桜7]" 7]2，仰の組 合わせのうち.無限j皮列が存 :(1するためにはこれらの 根は 1似が正. 2桜が負であり.正般は

d

の係数の

74 浅海における進行波の砕波について(第3報) 線より小さいことが必要である。これらの3械をあら ためて， TJlt 一甲2，一ゎ(ただし，引>0，早3=込甲2込0) とすると，式 (24)は次のようになる。 α27]:=J.m一早)(ゎ+1}) (早3+1}) 凶 山一 (引一平) α2= l/a，(E:C.)， 引=a.(ε♂) a2(EC・)=1}1一ゎ一れ a3(ec・)=ー甲11}2 +われ-1}31}1 a.(ε♂)= 1}11}21}3 上式を積分すると次式が得られる。 cn2_u 1}=-1}け(1}1 +甲2ト一一一一一_{1 _k}2_・sn2_y・sn.u 側 、E_E B E E E E E E巴 ， E E E ﹄ ' ' ' E E J

I

x

l

=

2

as{d山 +sn715H(u

，

イ

たTごし. β2=_-れ+甲2 1}，+れ k2= _一一1}1 +平_{一一一一・}2 _一一一1}.+平3_{一:._~ 1} れ+ゎ 771+れ μ 1}1 +平2 一一一一一一-~ 1 77'+早3 一平，+1}3 sn'y 一一一一一←"-~ 1 引+早3 であり， sn， cn， dn : Jacobiの拷円関数， k2_:母数. Il:第3純楕円関数 Il(u， y)=k2sny・cny-dn y

.

1

.

sn2u 1 -k2sn2y唱n2u'IA -(30) である。 波高は，

Z

=

恥+早2 で与えられ，波長は次のように定められる。 77=引 の とき

u

= 0， 1}=ー加のとき

u=K

であるから周期は 2Kとなる。したがって.

i

-

=

2

I

x

l

.

.

K

=

4 asK{dn2Y+Sny

信仰

)

}

。

が得られる。ここに ，K;第l種完全符円積分， Z 第 2種情同関数

Z(u)=

f{dn2_{u - f } d U ω )} である。ただし ，

E

は第 2種完全椅円積分である。 また， /，庄の中分面は静水面とー童文すべきであるから， 包司

f

1

勺

dx=0 が成立し，式 (28)を代入すると次式が得られる。

f

三ゎ=444dn27f/

c

c

u

。

v

du ¥ 1

-

7

f

i

sn.u) = 2

aß'~{告r怯E+(

2 -sn2_y-

会

)

K

sny {n

_

_

，

1 \，，~/_， I 子三七一寸_cny.dny

，

-

2-sn2_~..

:

r

一

寸

二

τ

-

:

-

)

K

'

Z

(

y)

f

I k2sn2

y

r

'

_"'J

波形を計算するとき，通常は波高:

H!

hおよび波長 : L/h (または周期:T lU1Jiiが与えられる。未知量 は，早1，Tj2・れ， 1}4， eC" e2qおよびe3_{Kの7つであ} (29) り.方程式は，式 (27) の第 2，3， 4， 5式，式 (31)，式 (32)および式 (34)の7式であるから， 以上の諸式により波形に関する諸量が確定する。 式 (32)および (34)において，k2 "" 1のときの近 似式を求めると， sny"'"tanhy cn y""dn y""sechy K""log(4/~) (3日 E""1

Z

(y)""tanhy-y/K ) 1 3 ( の関係から，

i

-

"

"

4 asK{ 1

一

長

tanh

:

r

}

日

。

立=甲

2

"

"

2

aß!f-~

1

+

_

:

_

:

~

_

~

(:初 γ L

1

•

， sinh2

r

:

J が得られる。 甲1→れのとき時波が生じ，波形，波長および静水面 から波の谷までの111;荷量はそれぞれ次式で与えられる。

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第16号.1978年 れ = 一 約十( 川2)(coshu

シ

inhu)2 ) 8 3 ( 、_E l i -、 r a l l -J

I

X

I

=

2αu Lh 1 +μ

与一=

_h 2 _--a log

-

7

-

ー ← - - 0 1ーμ d 4 a Hh 十三ゎ=ーゎ+一一二 T ニ-n μ 1-. 波

m

角は，

ω=

;r-2 tan

怯子)

となる。 k2

=

_{1のときには，孤立i皮が得られる。} sech2u 甲=1'/'---， 1-Ftan出

I

X

I

=

2

a

s

ト作

4 渡の各理"の比較 ここでは，前章てι求めたCatastropheモデルによる 理論結果と.ストークス波， クノイド波を始めとする 各符fの理論結果とを比較し.その特位について検討す る。 (1)孤立波 孤立t庄の波高とj皮速の関係は，式 (24)および (25) において .q

=

身'=O. 1'/x= 0とおいてf与ら(L. 19

，

.

576 ••• 947 •• 1-::-:':e♂ + ~_:_= e.2_{c*z一一一.:...t:} 3 C•

H

10-'， 175 -0 175巳 ゐ • 2 eC' (43) h 5 . ，9 .噌 2821 1

-

-

:

₂

:

-

_-

e

_{- 2}

C

'

+

ー

ε_--2C

・

2 一₃一₅₀-E -となる。上式と他の理論との比較が図-2に示されて いる。式 (43)は， 白丸て寸tされたLonguet-Higgins られの数値計鱒値および破線で表わされたFentonX1 の9次j丘似式とほぼ一致するが，最大波付近における 曲率の急激な変化とそれに伴う 2価関数的特性を表わ すことは不可能である。式 (43)を反転すると. 75 0.9 (39) 臼田 H/h ) -4 ( _0.6 0.5 (42) 0.4 0.3 Longuet-H淘g同 and Fenton 0.2 0.1 Criterion of highest wav帽 .. Yamada. Lenau d Fenton ... Byatt -Smith • Catastrophe mode' 0 1.0 1.1 1.2 t.3 C

噸

1.

4

図-2 孤立波の波高と波速の関係 となり，さらに.べき級数で近似すると，

c

.

=

士(

Z

)

云

(

Z

)

2

4

(

Z

)

3

設(

Z

)

‘

+

…

(45) が得られる。一方.Fentonによる波述式

長

=(1

+

ε

c'

す

A

n

(

z

r

(4日

1

-

t(~)づ(~y 議(~r+

+(~)

l-25)+誌(zr-~布石市

+

76 浅海における進行波の砕波について(第3報) から得られる次式の係数は，表 1に示す通りである。

c.= ひ(~r

(47) 表 l 式 (47)の係数の値 n Bn 0.5 2 -0.15 3 0.053571 4 -0.055179 5 0.019866 6 -0.034284 7 0.009655 8 -0.027688 9 0.007258 式 (45)と式 (47)は， 4次のオーダーまで完全に一 致している。この結果と， Longuet -Higginsらの値 は式 (46)を変形して得られる級数のPade近似 (14， 14)であることを考え合わせると，式 (44)のような 有理関数表示を用いれば，上述の 2価関数的特性を表 わすことができるであろう。 波高一波速曲線 (43)と必の係数の根 5 517 • 121799 ••• TJ=ー+一一一_{9 567 -- 1}ε♂一一一一一₇₈₆₀₅ε2C.2

+

…

…

(48) との交点において砕波が生じる。図-2には，上式の ε1およびどのオーダーの曲線が細い実線で併記され ている。また，表-2に示した最大波をも記されてい る。 Yamada川，LenaulO)の最大波に近い値が得られ るのは，式 (48)の ど の オ ー ダ ー ま で 用 い た 場 合 で ある。式 (48)は式 (43)よりオーダーが2次 低 し この級数がどちらの曲線近くに収束するか判断できな い。以下では，以上のことを考えて，最大波の条件式 として次式を用いることにする。 5 517 • 甲=一一+一一一ε♂ 9 567 このときの最大波の波高および波速はそれぞれHム

/

h

=0.8375， C/

I

9

h

=

1

.

309 となる。また，波

m

角は， ω=98.7・である。 図 3は， Byatt -Smith14)が積分方程式から孤立 波の波形を求めた波，およひ。Yamada，Lenauによる 砕波波形について比較を行ったものである。ただし， 0.6 可

。

_。

x 0.6 司

a

‘

0.2

。

_。

x 0.8 H/h. 0.7159 可 町二-._{、¥、、、、}..._

‘

:

'

.

.

.

.

.

.

.

.

_¥、、

、

_、

"

_{、..........} "， Lallon

・

'

-

'-/ '...~

.

"

cetas m M . J Q ¥ ¥ ¥ ¥ 、、、、 0.4 0.2

。

_。

x 0.8 Br

・

aking WGVH 0.6 H U

、

m ¥ ・ 弘 、 血 ¥ m ¥ 別 、

/ 、 、

¥

、、

、、

、、

、

、

、、

、、

、

、

、

ぶ P 且4 ( 4明 0.2

。

_。

図-3 孤立波の波形

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第16号， 1978年 表- 2 孤立t庄の最大波の諸元 Author etc. Hlh

ω

g

i

i

McCowan (1894)I¥) 0.78 1.249 Y amada (1957) 0.828 1.287 Lanau(1966) 0.827 1.286 Byatt.Smith(l970) 0.86 1.311 Strelkoff(1971)I~I 0.85 1.304 Fenton(1972) 0.85 1.304 Longuet.Higginsl:Il (1974) 0.8296 1.288 Longuet・Higgins 0.827 1.286 and Fenton(1974) Catastrophemodel 0.8375 1.309 Byatt -Smithによる波形は， Fentonの波形とほとん ど一致している。 Catastropheモデルによる砕波波形 は，波fti角が約 100'であるための波高が急速に減少 し，全体的にやせた形になっている。この状況は，非 砕波波形についても同様である。また .

i

，庇高が変化し でもFentonの波形との差違はほぼ一定である。しか し， Laitonel~ のクノイ ド波から得られる孤立j庄のそ れは.波高の増大と共に大きくなり.この理論の適用 範囲について再検討を要するであろうことがわかる。 すなわち，鉛直方向の流速の条件から，適用限界は. (H/h)..ax= 8/llとされているが，岩垣.i筒井l曲 が 指摘したように，この値より小きい限界波高が存在す ると考えられる。 (2) 周期滋 図 -

'

4

ム周期波の砕波限界の比較を行ったもので ある。最大波の条件として式 (49)を用いた場合には Michelnの式.式 (48)を用いた場合は首藤181の理論 値に近しこれらは，浅海長波理論の適用範闘のl指 針であるh/Lく0.05程度においてよく一致している。 しかし，前述したように後者の場合には.孤立j皮の最 大波高に問題があるので.以下では，最大;庄の条件と して式 (49)を用いて波の諸量を計算し，ストークス 波およびクノイド波の諸量との比較を行う。 Skjelbreia191 によるストークス波の第3近似式は.次のように表わ される。 77 0.2 0.1 H/L 0.05 0.02

ρ

<

"

'

-

(り吋器・

c

・

/

'

γ

¥ 刈αω}

吋

.

器

恥

“

品

、

!

轍

鱒

d

〆

0.01 也01 0.02 0.05 0.1 0.2 h/L 0.5 図-4 各種の砕波限界 !L

=coskX

a 1 L _coshkh.(cosh 2 kh+ 2) 十~

k

a

-~_..

.

.

.

.

'

.

-

-

:

-

:

'

.

:

-

.

.

.

.

.

-

， cos 2

kX

sinh 3kh 3 ，.， 8 cosh 6kh+ 1

+

₆

:

-

.

k

'

a

'

4'" - sinh6_kh cos 3

kX

ω)

伊

c

一 一 例 (1+K2dcosh4hh+8) 8 sinh4_kh (51)

十会(

T

!

f

)

'

tanhkh (2COSh4kh+8) ₁

₊

_{k'a'-~~" ~.}

_'

_:

_"

_.

_:

_.~

₁

₍₅₂₎ 8 sinh 4khJ H _Ia¥ 3 命 令Ia ¥38cosh"kh+1 日 三 =2 [ニ

1

+

ーがが[-7-

1

側 h-~\hJ'32~"\hJ sinh6_kh 向 ただし，k = 2 tr/Lは波数でPある。 また， クノイド波としては， Laitone2il1の第2近 似 式を用いる。波形および波長は.

会

=c山x-+(~)cn2aX.{

}-c山

X}

， ば 一 L α お4)

十…:ム[

1

+

(

Z

)

制

5(2

ーが)ー 12~}]

岡 で与えられる。水深hと波の谷から水底までの距離h

，

の比は.次のようになる。

78 浅海における進行波の砕波について(第3報)

十

1

+(~)位協(~+k'-l)

+(~n~}

4

¥

'

{

2

(

1

ーが) j度速(J，Stokesの第1定義によると.

念=l+(~)方(

2

-

k'-

3

~)

+(~)i，{-~(を)2d(2 ーが)を

(56)*

一

品

(9

k

'

+

4

4

-

4

4

k

2 )} (5 Stokesの第2定義によると，

会 =1+(~}か (2 ーがー 3ï)

+(~)'志位(~

)

'

→

(

2ー が

)

2

一

会

(3

k

'

+

8 -8が)} (58) となる。 図ー5は，周期 T

，

t

I

戸

z=10および20に対して， 波高 H/h= 1/3および1/2のときの波形を比較したもの で あ る 。 ス ト ク ス 波 で は，

t

/

9

i

h

=

10， h/H= 2の とき，すでに高調波が発生していることがわかる。ま た.クノイド波においては，波の谷と静水面との距離 は， Stokesの第1定義による波のものが若干小さし 長周期側の値となっている。 Catastropheモデルによ る波形は，これら 2つの定義によるクノイド波よりも まだ長周期側の波であることがわかる。このような波 の特性を詳しく調べると以下のようになる。 図-6は，T

，

t

I

耳石に対する波速の変化を，h/H = 2 および3について示したものである。 Stokesの第1 および第2定義によるクノイド波の波速は ，

T

I

9

I

万= 10-20の間でストークス波の波速と交わっている。こ れらの交点は，ストークス波とクノイド波の適用限界 ホLaitoneの式の右辺第3項は，

(~)\~k'

{

8ーllk，+3

'

k

ー(8ー7

k

'

)

i

}

であるが.上式のように訂正すべきである。 であると考えられる。 Catastropheモデルによる値は. 他の理論値より常に大きし計算範囲内においては. h/H= 2のときに最大5%程度クノイド波あるいはス トークス波よりも大きな値となっている。また.図ー 7は，T

.

/

g

f

i

i

'

i

:

パラメータとして，波速の変化を比絞 したものである。 T

/

9

1

h

=

10のときには，ほとんどす べてのh/Hに対してスト クス波，T

必市

>20ではク ノイ ド波理論が用いられることがわかる。T

/

i

1

I

I

iJ'大 きいときには，これらの曲線とCatastropheモデルに よる曲線との差違は小さし H/hの増大と共に大きく なり，クノイ ド波の最大値付近では第 Z定義による波 速とは8%前後の差違が生じている。 同じT

.

;

g

声

h

よびh/Hに対して，波形の l特性であ る静水面からの最大水位変動量TJo/Hの変化を示すと， 図-8および9が得られる。上述と同様に布。

/

H

に対 するクノイド波理論の適用範囲を定めると，第1およ び第 2定義による値にはほとんど差がなしまた. T

I

9

I

万=20前後においてはCatastropheモデルによる 値とクノイ ド波の値との差違はあまり変動しないが. 波速の場合と同様に，この差違は H/hの増大と共に 漸増することがわかる。 さらに，図ー10あるいは図ー11に示されているよう に， Catastropheモデルによる波長は.クノイドi庄の それよりも 5%程度大きな値を与えている。 以上のように.本研究による砕波モデルからは，静 水面と波の谷との距雌が小きく

.

i

度速，波長が大きな波.， すなわち，長周期側の波が得られる。この原因として. 局所的な波速ε♂で表わされた係数の項数が不十分で あること，あるいは 3.において6何度モデルをf与る ときに，定数q;:ダ-;:0としたときの波高とj直速の関 係を用いて，ザの4次以上の項を波速のI貨として近似 したことなどが考えられる。この僻波モデルは，本来， t皮高が大きい場合を考えているので，このような場合 にいずれの理論が有用であるかは，実験による倹証を 待つべきであることは言うまでもない。 本章を終るにあたり，水粒子速度について若一千・述べ ておく。例えば.水平成分は

名

_{Jgh -}

手

=A-4Axx_{_ 2! 崎 、}

十三

Axxxx-' A=

什

(

ヤ

2-e

内寸吋+

(59) と表わされるが，式 (28)からわかるように，波形に は特異点が含まれている。したがって，仲波波高に近

1.0 '1IH 0.4 0.2

。

-0.2

-

0

.

ι

1 .0 '1/H

。

-0.4 琉球大学理工学部紀要(工学篇)第16号， 1978年 T/g布・10 h/H

・

3 剛 Stok

・

s wave ーーーーー Cnoidal waves 【1st& 2nd def.) Catas. model 。 目3 T市古=10 h/H= 2 0.4 Stokes wave Cnoidal wave (1st def.) Cnoidal wa ve (2nd def.) Catas. model 0.3 0.4 X/l X/l 図-5 1.0 '1IH 0.2

。

-0.2 -0.4 '1.0

マ

IH -0.4 周 期 波 の 波 形 T.rgTIi.20 h/H.3 Stokes wαve -ーーーー・ Cnoidα1 wave 【1st def.) 0.2 Cnoidal wave (2nd def.) Catas. mωel 0.3 T伊

n

=

20 h/H

・

2 0.4 Stokes wave -ーーーー・ Cnoidal wave 【1st def.) 0.2 Cnoidα1 wave (2nd def.) Catas. model

+ィ

ェ;~と一

79 0.5 X/l

80 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 。目8 5 1.3 1.2 10 10 図-6 浅海における進行淡の砕波について(第3報) 20 _ 50 Tゐ而 Cnoidal WQV

・

s (1st def.) 【2nd def.) 20 50 100 200 200 周期と j皮速の関係 20 1 :0 h/H 2 20 10 h/H 5 2 0.9 20 10 h/H 5 2 0.9 0.9 1.0 6~

¥

1.

0

図-7 T

I

9

1

宵

.10 Stokes waves Cnoidal waves (1 st det.) 1.0___1.1 CI

I

9

宵 T

布市 .20

1.1

C

崎一一町 1.2

T

局

7

百=30 1.1 1.2 CI得宵 波高と波速の関係 1.2 1.3 1.3

81 1.0 Cnoidal wav

・

5 (151 d.f.) (2nd d.f.) 琉球大学理工学部紀要 (工学篇)第16号.1978年 0.6 0.8 0.9 ' 1./H Cat田.問 。d.I T

I

9

布

・

10 0.7 5 2 0.5 20 10 h/H シy y

ノ

'

-

Cnoidal wavu ノ〆 (151& 2nd d.f.)

〆(

¥

/

/

，

// Sloku wav.S パ 町、 '/ ¥ 0.6

F

.

〆

h/H

・

3 Calas. mod.t 1 .0 0.8 0.7 7./H 20 200 100 20 50 T

f

9

I

宵

10 0.5 5 T{gT百.20 Catas. mω.1

、

夕

、 ;

メ

ー

川

、 阿 川 加 10 5 h/H

〆フ久~

Calas. mod.1 h/H

・

2 1.0 守'./H 2 0.5 0.8 0.9 1.0 守'./H 0.7 0.6 20 0.7 0.6 Catas mod.I

、 ¥

¥ 、

ノ

q v _、 f 、 ﹄ 問

、

ゾ

メ

J22'' 叶 s ‘ ， ‘ 川 河 晶

、

s 咽 e t 凶 鴨 川 S H 馴 れ 拘 白 o n p -M 10 h/H 2

∞

100 20

_

_

噌

-

50 T/g/h 10 0.5 5 周期と静水面上の準高の関係 図-8 5 2 0.5 0.8 _ ...0.9 1.0 7./H 波高と的水而￨の峯高の関係 0.7 0.6 図-9

82 浅海における進行波の砕波について(第3報) 0.1 20 H/L ₅ 0.05 10 h/H 0.02 0.01ι h / H . 3 1.0 CIIQ司-員1.1 1.2 Cnoidol way.帽 (1st del.】 (2nd del.) 0.002

1

-Catas. model 20 rlQ7百・20 0.001 I I I III I I II I11 _1口 5 10 _{2 0 T勾7宵 50} 100 200 h/H 図一 10 周期と波形勾配の関係 1-~I ¥字、 Cno回01wa...帽 【1std・1，1 (2nd d・u

ごく:

と

!

mod.1 Stok..Wo.v・.../"'Y_ぐ、 19 20 21 主主 23 z

‘

25 26 L1h 20 T局市・30

、

、

、

k _/三C_【n_1soi_tc担_制IW Q_}V.. (2nd d

・

1.) 7 ' a e o 'd E 3 - e ' h 司 令 a 民 H I L 3 ・ a 偽 4

・

8 1 3 n u v 令 3 0 3 2 1 [:;iJ -11 波高と波長の関係 づくと l式のrHJ次の微係数が大きくなり.uがj庄i生C よりも大きくなる。クノイド波理論においても，最大 法にj辛する以前に同様の現象が生じる211が，これは前 述したように砕波波高付近て'の波速は微妙に変化し この変化が波形あるいは昨波時の波頂角に敏感に影響 することと関係がある。この現象の改良は.昨波モデ

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第16号， 1978年 83 ルの級数をより正確に表現することに依存しているで あろう。さらに，次のような事情をも考えなければな らないであろう。すなわち.水位変動早と速度ポテン ンャル掛から成る (')1，</1)ーンステムからqーシテム ムを求め.曲→由の慎重りjという巧えに基づきCatastrophe 理論を適用して昨波モデルを得たが，世ーシステムに ついては何ら言及されていな

L

υ

残念ながら Catas -trophe理論からは，この事に関する情報は得られない のが現状である。このように，流体内部の水粒子速度 を物理的に矛盾のないよ7に定めることが，今後に残 された問題である。 5 . 結 富 以上，浅海長J皮の波動方私'式の近似解であるエネル ギ一的面に対して， Catastrophe理論を適用して砕波 モデルを作り，波形， 1皮速，. ~4': i庇限界について従来の. 理論と比較検討した結果を要約すると，次のようにな る。 1 )孤立波の最大波は，Byatt-SmithあるいはFenton の依にj!iし周期J庄の狩波限界は，h/ L <0.05私z度に おいてMiche，首藤のそれとほぼ一致する。 2 )孤立波および周期波の波形は.クノイド波よりも 鋭い峯を有しており，その変化は急である。 3 )波長 .i皮速，静水面ーと波の谷とのiE艇などについ ても全般的に5-8%程度.長周期jRJlの波の諸量が得 られる。 最後に，本研究にあたり終始出かい御指導・御助言 をいただいた京都大学防災研究所 土屋義人教授なら びに御鞭縫をいただし、たJ1rl球大学理工学部 河町'二夫 教授に対して深〈謝意を表するものである。 また，本研究における数値計算は， fJk球大学電子計 算機センターのFACOM -230-35によったことを付 記する。 参考文献 Springer-Verlag， pp_ 235-252，1976. 3 ) 筒井茂明:浅海における進行波の砕波について. Jr1l球大学理工学部紀要工学篇.第13号， pp. 203-212， 1977 4 ) 筒井茂明:向上(第2報)，第14号，pp.189 -202， 1977 5 )土屋義人・安田孝志:新しいクノイド波理論の試 み，第21図海岸工学講演会論文集， pp.65-71， 1974 6 ) 前出 1 ) 7) Longuet-Higgins， M. S. and J.D. Fenton : On the mass， momentum， energy and circulation of a solitary wave_ 11， J.Roy. Soc. Lond.， A. 340， pp. 471-49，3 1974 8) Fenton， J. D.:A ninth-order solution for the solitary wave，

J

-

Fluid Mech_， pp_257-27，1 1972 9) Yamada， H.: On the highest solitary wave， Rep. Res. Inst. App1.Mech.， Kyushu Univ.， 5， pp. 53-67，1957

10) Lenau， C. W.: The solitarywave of maximum amplitude， ].Fluid Mech.， pp. 309-320， 1966

11) McCowan，].: On the highest waves of permanent type， Phi1.Mag.， Ser. 5， Vo1.38， pp.35h358， 1894

12) Strelkoff， T. : An exact numerical solution of the solitary wave， Proc_ 2nd Int. Conf.Num.

Methods Fluid Dyn.， Springer-Ver1ag， 1971 13) Longuet-Higgins， M. S. : On the mass， momentum， energy and circulation of a solitaly wave， Proc_ Roy. Soc. Lond.， A.337， pp. 1-13， 1974 14) Byatt-Smith，]. G. S. : An exact integral equation for steady surface waves， Proc. Roy Soc. Lond.， A. 315， PP.405-418， 1970 15) Laitone， E.V.: Series solutions for shallow water waves， ].Geo. Res.， Letters， pp. 1) Thom， R.: Structural Stability and 995-998， 1965

Morphogenesis， (Trans. by D_H.Fowler and 16) 岩坂雄一・桝升哲郎:クノイド波に関する研究 C. H. Waddington)， Benjamin Inc.， Massachusetts， (第9報)一昨波j!i:傍におけるクノイド波到し;街の適坪1

348p.， 1975. 性ー京大防災研究所年報.第14号B，pp. 1-19，1971

2) Thom. R.: The two-fold way of catastrophe 17) 石原藤次郎・本間仁制:応用水理小.中II，丸 theory， Lecture Notes in Mathematics， 525， 善.東京， 592p.， 1958

84 浅海における進行波の砕波について(第3報)

18) 首藤伸夫;有限緩幅波について一高次級数解に

よる進行波の砕波限界一土木研究所報告，第111号，

pp. 1-9， 1961

19) Skjelbreia， L.:GravityWaves， Stokes'

Third Order Approximation， TablesofFunctions，

Council on Wave Research， The Engineering

Foundation， 337p.， 1959

20) 前出 15)