位相数学
II
島川和久 平成 23 年 10 月 17 日1
複体と多面体
定義 1.1. ユークリッド空間Rn 内の k + 1 個の点v0, · · · , vk が与えられたとき，k 個の ベクトル v1− v0, · · · , vk− v0 が一次独立であれば，これらの点は「一般の位置にある」あ るいは「一次独立である」という。 定義 1.2. v0, · · · , vk ∈ Rn が一般の位置にあるとき，和が1 であるような負でない実数 a0, · · · , ak を用いて，a0v0+ · · · akvk の形に表される点すべてからなる部分集合を，記号 |v0· · · vk|で表し，k次元単体（あるいは，k単体）とよぶ。また，v0, · · · , vk をσ の頂点， k をσ の次元とよび，dim σ = k とかく。 定義 1.3. k 単体 σ の頂点が {v0, . . . , vk} であるとき，その任意の部分集合 {vi 0, . . . , vil} が定めるl 単体をσ の面単体とよぶ。記号τ < τ により，τ が単体 σ の面単体であること を表す。 定義 1.4. 以下の性質を満たすRn 内の単体の集まりK を「単体複体」とよぶ。 1. σ ∈ K かつ τ < σ であれば，τ ∈ K である。 2. σ1, σ2∈ K であれば，それらの交わりσ1∩ σ2 は空集合，もしくは σ1，σ2 の双方の 面単体である。 定義 1.5. 濃度（要素の数）が有限であるような単体複体を有限単体複体とよぶ。（誤解の 恐れがない場合，単に有限複体という）K が有限複体であるとき，その l 次元単体の個数 をβl(K) で表し，K のオイラー数 χ(K) を次式で定める。 χ(K) =X l≥0 (−1)lβl(K) 定義 1.6. Rn 内の単体からなる単体複体K に対し，Rn の部分集合 |K| = [ σ∈K σ をK が定める多面体とよぶ。演習問題 1. Rn 内の点 v 0, · · · , vk に対し，以下の条件はすべて同値であることを示せ。 (a) v0, · · · , vk∈ Rn は一般の位置にある。 (b) k + 1 個の実数 a0, · · · , ak に対し， Pk i=0aivi = 0 かつPki=0ai = 0 が成り立 つための必要十分条件は，a0= · · · = ak= 0 が成り立つことである。 (c) 任意のlに対し，k個のベクトルvi− vl（0 ≤ i ≤ k, i 6= l）は一次独立である。 2. |v0· · · vm|は，v0, · · · , vm をすべて含むような凸集合の中で最小のものであることを 示せ。ただし，ユークリッド空間Rn の部分集合A が凸集合であるとは，A の二点 x, y を結ぶ線分が必ず Aに含まれることをさす。 3. m次元単体 σ = |v0· · · vm| の全ての面からなる複体をK(σ) であらわし，L(σ) = K(σ) − {σ} とする。（すなわち，L(σ)は {σ} の補集合）K(σ)および L(σ) が有限 複体であることを示し，それらのオイラー数を求めよ。 4. 以下の複体が定める多面体の概形を図示し，そのオイラー数を求めよ。ただし，i 6= j のとき，vi とvj は相異なる点であるとする。 (a) K = {|v0|, |v1|, |v2|, |v3|, |v4|, |v0v1|, |v0v2|, |v1v2|, |v0v3|, |v0v4|, |v3v4|, |v0v1v2|} (b) K = {|v0|, |v1|, |v2|, |v3|, |v4|, |v5|, |v0v1|, |v0v2|, |v1v2|, |v0v3|, |v3v4|, |v3v5|, |v4v5|} (以下は位相数学Iの復習) 5. f0: A → Y およびf1: B → Y はX の閉部分集合から Y への連続写像であり，共通 集合 A ∩ B のすべての点 x でf0(x) = f1(x) が成り立つとする。このとき， f (x) = f0(x), x ∈ A f1(x), x ∈ B で定まる写像 f : A ∪ B → Y は連続写像であることを示せ。 6. f : X → Y が連続な全単射であるとき，以下の三条件は同値であることを示せ。 (a) f は同相写像である。 (b) f は開写像である。（すなわち，X の任意の開集合の像がY の開集合である） (c) f は閉写像である。（すなわち，X の任意の閉集合の像がY の閉集合である） 7. コンパクト空間X からハウスドルフ空間Y への任意の連続全単射は同相写像である ことを示せ。
2
単体複体の細分とオイラー数
定義 2.1. 二つの単体複体 K, K′ において，次の条件 1，2 が成り立つとき，K′ は K の 細分であるという。 1. |K′| = |K| 2. K′ の各単体は，K のある単体に含まれる。 定義 2.2. k単体 σ = |v0v1· · · vk|内の点 b(σ) = 1 k + 1v0+ 1 k + 1v1+ · · · + 1 k + 1vk をσ の重心とよぶ。 定義 2.3. 単体複体 K が与えられたとき，その単体の有限列σ0 < σ1 < · · · σk に対し， b(σ0), b(σ1), · · · , b(σk) は一般の位置にあり，単体 |b(σ0)b(σ1) · · · b(σk)| を定める。K の単 体の有限列から上の操作により得られる単体すべてからなる集合はK の細分を与える。こ れを K の重心細分とよび，Sd K で表す。 命題 2.4. K′ が単体複体 K の細分であれば，χ(K′) = χ(K) が成り立つ。 定義 2.5. 単体複体K からL への写像で，K の頂点をL の頂点に写し，各単体をその頂 点の像の集合で張られる L の単体に写すものを単体写像とよぶ。また，全単射であるよう な単体写像を単体同型とよぶ。K から L への単体同型が存在するとき，K と Lは同型で あるといい，K ∼= L とかく。より一般的に，K′ ∼= L′ であるようなK の細分 K′ とL の 細分 L′ が存在するとき，K と Lは組合せ同型であるという。 定義 2.6. φ : K → L が単体写像であるとき，多面体|K| の点P jajvj ∈ |v0· · · vk| ∈ K を P jajφ(vj) ∈ φ(|v0· · · vk|)に写す写像を|φ| : |K| → |L|で表す。 命題 2.7. 単体写像φ : K → L から定まる写像|φ| : |K| → |L|は連続写像である。さらに， φが単体同型であれば，|φ|は同相写像である。 系 2.8. 単体複体K とL が組合せ同型であれば，多面体 |K|と|L| は同相である。 命題 2.9. 有限単体複体 K とL が組合せ同型であれば，χ(K) = χ(L) が成り立つ。 命題 2.10. K，LがRn内の単体からなる有限単体複体であり，|K| ∩ |L| = |K ∩ L|が成 り立つとする。このとき，K ∩ L および K ∪ L は共に単体複体であり， χ(K ∪ L) = χ(K) + χ(L) − χ(K ∩ L) が成り立つ。 補注 2.11. 一般的に，|K| ∩ |L| = |K ∩ L|は必ずしも成り立たないが，K の細分 K′ とL の細分 L′ をうまく選べば，|K′| ∩ |L′| = |K′∩ L′|が成り立ち，したがって，χ(K ∪ L) =演習問題 1. Sd K はK の細分であることを確かめよ。 2. 命題2.7を示せ。 3. 命題2.10を示せ。 4. （オイラーの公式）平面内の1次元多面体を平面グラフとよぶ。平面グラフ G の頂 点，辺およびG によって分割される領域（無限領域も含む）の数をV (G), E(G) お よび F (G)で表すとき，Gが連結，すなわち，どの2頂点も幾つかの辺からなる道で 結ばれているならば，次の等式（オイラーの公式）が成り立つことを示せ。 V (G) − E(G) + F (G) = 2 ヒント：辺の数に関する数学的帰納法で論証せよ。 5. （ピックの公式）座標平面の格子点（座標が整数の組であるような点）を頂点とする 多角形を格子多角形とよぶ。格子多角形 P の内部にある格子点の数をI(P )，P の周 上の格子点の数を B(P )とするとき， P の面積= I(P ) +1 2B(P ) − 1 が成り立つことを示せ。 ヒント：任意の格子多角形は基本３角形の集まりに分割されること，および基本３角 形の面積は1/2であることを示し，オイラーの公式を適用せよ。
3
胞複体
定義 3.1. 位相空間 X に対して，多面体 |K| からX への同相写像f : |K| → X が存在す
るとき，K をX の単体分割（もしくは三角形分割）とよぶ。
例 3.2. k 単体σ に対して，K(σ)およびL(σ) = K(σ) − {σ} は各々，k 次元球 Bk およ
びk − 1 次元球面 Sk−1 の単体分割を与える。
定義 3.3. 位相空間 X の部分集合 e ⊂ X に対して，相対同相写像ϕ : (Ik, ∂Ik) → (e, ∂e)
が存在するとき，eをX の（開）胞体とよび，ϕをeの特性写像とよぶ。また，k をeの 次元とよび，dim e = k とかく。ただし，I = [0, 1]，∂Ik = Ik− Int Ik，∂e = e − e とし，
ϕが相対同相であるとは，その Ik− ∂Ik= Int Ik への制限Int Ik→ eが同相写像であるこ
ととする。 定義 3.4. 位相空間 X の胞体の集合D = {ej | j ∈ J}で，以下の条件を満たすものが存在 するとき，X を胞複体，Dを X の胞体分割とよぶ。 1. j 6= k であれば，ej ∩ ek= ∅ 2. X =Sj∈Jej 3. dim ej = k のとき，∂ej = ej− ej は，k − 1次元以下の胞体の和集合に含まれる。 とくに Dが有限集合であるとき，X は有限複体とよばれる。 以下では，とくに断らない限り，有限胞複体のみを取り扱うこととする。 例 3.5. K が単体複体であるとき，多面体|K|は{Int σ | σ ∈ K}を胞体の集合とする胞複 体である。 定義 3.6. X が D = {ej | j ∈ J} に関して胞複体であるとき，Jk = {j ∈ J | dim ej ≤ k} とし，X の部分集合 Xk=S j∈Jkej をX のk骨格とよぶ。 命題 3.7. 胞複体 X の k 骨格 Xk は，Xk−1 にその k 次元胞体の個数だけ，キューブ Ik のコピーを接着して得られる空間である。すなわち，胞複体 X の各 k + 1 次元胞体 ej (j ∈ Jk+1− Jk) に対し，ϕj: (Ik, ∂Ik) → (ej, ∂ej)をその特性写像とするとき，同相写像 Xk∼= Xk−1`Ik× (J k− Jk−1)/ ∼ が存在する。ただし，右辺は関係(t, j) ∼ ϕj(t) (t ∈ ∂Ik, j ∈ Jk− Jk−1)で生成される同値 関係に関する商空間である。 定義 3.8. X がD = {ej | j ∈ J}に関して有限胞複体であるとき，そのオイラー標数を次 式で定める。 χ(X) =Pk(−1)kβk
演習問題 1. 次を示せ。 (a) 連続写像 f : X → Y が与えられたとき，X の二つの元x, y の関係を x ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y) で定めると，これは同値関係である。 (b) X から上の同値関係に関する商空間 X/ ∼ への自然な写像を p : X → X/ ∼ と かく。このとき，f = g ◦ p となるような連続写像g : X/ ∼ → Y が唯一つ存在 する。 (c) さらに，f が全射かつ開写像であれば，g は同相写像である。 2. 以下の三つはすべて位相空間として同相であることを示せ。 (a) 複素数平面Cの単位円S1 = {z ∈ C | |z| = 1} (b) 同値関係 x ∼ y ⇔ y − x ∈ Zに関する実數直線R の商空間R/Z (c) 区間 [0, 1]の両端点 0, 1を同一視して得られる商空間[0, 1]/{0, 1} 3. I = [0, 1]とするとき，直積空間 In はn次元球Dn= {x ∈ Rn| |x| ≤ 1}に同相であ ることを示せ。 4. 位相空間 X の部分空間A から他の位相空間 Y への連続写像φ : A → Y が与えられ たとき，非交和 X`Y において，各 a ∈ Aと f (a) ∈ Y とを同一視することによっ て得られる商空間を X ∪φY とかき，写像φによって空間 Y にX を接着して得ら れる空間とよぶ。自然な写像X`Y → X ∪φY をp で表すとき，以下が成り立つこ とを示せ。 (a) 条件 f |A = g ◦ φ を満たす連続写像 f : X → Z および g : Y → Z が与えられ たとき，h ◦ p(x) = f (x) (x ∈ X)，h ◦ p(y) = g(y) (y ∈ Y ) を満たす連続写像 h : X ∪φY → Z が唯一つ存在する。 (b) eをX の開胞体，φ : (In, ∂In) → (¯e, ∂e) をその特性写像とする。このとき，X は接着空間(X − e) ∪φ|∂InIn に同相である。
4
閉曲面
定義 4.1. 以下の条件を満たす位相空間X をn次元多様体とよぶ。 1. X はハウスドルフ空間である。 2. X の各点は Rn の開集合と同相であるような近傍をもつ。 定義 4.2. ハウスドルフ空間 X の開被覆 U = {Uj | j ∈ J} と，各 Uj からn次元ユーク リッド空間の開部分集合への同相写像ϕj: Uj → Vj ⊂ Rnが存在するとき，X は n次元多 様体であり，各 (Uj, ϕj) をチャート（地図），U をアトラス（地図帳）とよぶ。 逆に，ハウスドルフ空間にアトラスが存在すれば，その空間は多様体である。 例 4.3. 以下は n次元多様体の例である。 1. n次元ユークリッド空間：Rn 2. n次元球面：Sn= {x ∈ Rn+1| kxk = 1} 3. n次元実射影空間：RPn= Rn+1− {0}/ ∼，ただし，x = ay を満たす実数aが存在 するときに，x ∼ y と定める。 定義 4.4. 位相空間として連結かつコンパクトな2次元多様体を閉曲面とよぶ。 閉曲面の構成 すべての閉曲面は，単位円板D2 の周 S1 を2n等分して得られる弧を二つ ずつ組にし，各組の二つの弧を等長変換（弧長を保つ同相変換）で貼り合わせて構成できる 有限胞複体に同相であることが知られている。 このとき，同じ向きに貼り合わせる二つの弧には同一のラベル（例えば，a, a）をつけ， また，反対向きに貼り合わせる場合には互いに逆の関係にあるラベル（例えば，a, a−1）を つけることにすると，上の構成で得られる閉曲面は，境界円周上の各辺のラベルを並べた 2n個の記号の列で表示することができる。この曲面をS(ラベルの列) で表す。 例 4.5. n = 1, 2の場合： S(aa−1) = 球面 S(aa) = 実射影平面 S(aba−1b−1) = 円環面（トーラス） S(aba−1b) = クラインボトル演習問題 1. 位相空間 X がハウスドルフ空間であることと，対角集合{(x, x) | x ∈ X} が積空間 X × X の閉集合であることとが同値であることを示せ。 2. f およびgが位相空間 X からハウスドルフ空間Y への連続写像であるとき，一致点 集合 {x ∈ X | f (x) = g(x)} はX の閉部分集合であることを示せ。 3. 積空間 Qλ∈ΛXλ から各Xλ への射影を pλ とかく。写像 f : X →Qλ∈ΛXλ が連続 であることと合成写像pλ◦ f : X → Xλ がすべて連続であることが同値であることを 示せ。 4. 積空間 X =Qλ∈ΛXλ について以下を示せ。 (a) Xλ がすべてハウスドルフ空間であれば，X もハウスドルフ空間である。 (b) X が空ではないハウスドルフ空間であれば，各 Xλ もハウスドルフ空間である。 5. X が m次元多様体，Y が n次元多様体であるとき，直積空間X × Y は，m + n次 元多様体であることを示せ。 6. 正方形 [0, 1] × [0, 1] において，向かい合う辺上の2点を関係 (x, 0) ∼ (x, 1), (0, y) ∼ (1, y), 0 ≤ x, y ≤ 1 により同一視して得られる空間を円環面（トーラス）とよぶ。 (a) 円環面のアトラスを構成し，それが閉曲面であることを示せ。 (b) 円環面は直積空間 S1× S1 に同相であることを示せ。
5
閉曲面の分類定理
定義 5.1. 正整数g に対し，閉曲面 T (g), P (g)を以下のように定める。 T (g) = S(a1b1a−11 b−11 · · · agbga−1g b−1g ) P (g) = S(a1a1 · · · agag) 便宜的に，T (0) = S2 と定める。 命題 5.2. χ(T (g)) = 2 − 2g，χ(P (g)) = 2 − g が成り立つ。 命題 5.3. ラベルの列ℓ から構成される閉曲面S(ℓ)は，適当なg に対するT (g)もしくは P (g) に同相である。 定義 5.4. D1, D2 は各々，閉曲面S1, S2 内の円板（平面内の単位円板と同相な閉集合）で あるとし，同相写像ϕ : C1 → C2 を選ぶ。このとき，S1− Int D1 と S2− Int D2 の非交和 をとり，S1− Int D1 の境界上の各点x ∈ ∂D1 をS2− Int D2 の境界上の点ϕ(x) ∈ ∂D2 と 同一視することによって得られる商空間を S1 と S2 の連結和とよび，S1 ♯ S1 とかく。 補注 5.5. 連結和の位相型は，それを定義する際に用いる二つの円板 D1, D2，および同相 写像 ϕ : ∂D1∼= ∂D2 をとり替えても不変である。 命題 5.6. g ≧ 1 に対し，T (g) ∼= T (1) ♯ · · · ♯ T (1)，P (g) ∼= P (1) ♯ · · · ♯ P (1) が成り立 つ。ただし，両式とも右辺はg 重連結和である。 例 5.7. クラインボトルS(aba−1b) ∼= P (2)は二つの実射影平面の連結和に同相である。言 い換えれば，クラインボトルは二つのメービウスの帯を各々の境界円周に沿って貼り合わせ ることによって得られる閉曲面である。 定理 5.8(閉曲面の分類定理). S2，T (g)，およびP (g) (g = 1, 2, · · · ) はすべて位相的に相 異なる閉曲面であり，任意の閉曲面はこれらの内のどれか一つに同相である。 補注 5.9. より詳しく，向き付け可能な閉曲面はT (g) (g ≥ 0)のどれかに，また，向き付け 不可能な閉曲面はP (g) (g > 0) のどれかに同相であり，いずれの場合もgは閉曲面の種数 に一致する。なお，閉曲面が向き付け不可能であることと，それがメービウスの帯を含むこ とは同値である。演習問題
1. T (p)および P (q) の胞体分割を構成し，それらのオイラー数を求めよ。
2. 同相写像 S(aba−1b) ∼= P (2) を構成せよ。
3. 同相写像 S(aba−1b−1cc) ∼= S(aab′b′cc)を構成し，T (1) ♯ P (1) ∼= P (1) ♯ P (1) ♯ P (1)
6
ホモロジー理論の公理系
定義 6.1. 対象の集まり Ob C，射の集合homC(a, b) (a, b ∈ C)，合成とよばれる写像の族 homC(b, c) × homC(a, b) → homC(a, c), (f, g) 7→ g ◦ f
および恒等射 1a∈ homC(a, a) からなるシステムC で，次の条件
1. 任意の f ∈ homC(a, b)に対し，f ◦ 1a= f = 1b◦ f
2. 任意のf ∈ homC(a, b), g ∈ homC(b, c), h ∈ homC(c, d)に対し，h◦(g ◦f ) = (h◦g)◦f
を満たすものを圏とよぶ。 例 6.2. 圏の例： Set 集合と写像 Top 位相空間と連続写像 Top2 位相空間対と対の間の連続写像 Mod 加群と凖同型 Mod∗ 次数付き加群とそれらの間の凖同型 定義 6.3. C の各射 f : a → b に対して，D の射 F f : F a → F b を対応させる写像 homC(a, b) → homD(F a, F b) の族 F が，関係式
F 1a= 1F a, F (g ◦ f ) = F g ◦ F f
を満たすとき，F は圏 C から Dへの関手であるといい，F : C → D とかく。 例 6.4. 関手の例：
α, β : Top2→ Top, α(X, A) = A, β(X, A) = X
σ : Mod∗ → Mod∗, σ{An} = {(σA)n}, ただし(σA)n= An−1
定義 6.5. F, G が圏C からD への関手であるとき，次の図式が C の任意の射 f : a → b に対して可換となるような D の射の族φ = {φa: F a → Ga | a ∈ Ob C}を F からG への 自然変換とよび，φ : F → Gとかく。 F a −−−−→ Gaφa F f y yGf F b φb −−−−→ Gb 例 6.6. 自然変換の例： （上例の α, β : Top2 → Topに対し） φ : α → β, φ(X,A): A → X（包含写像）
定義 6.7. 位相空間X とその部分空間 A1, · · · An−1 からなる系 (X, A1, . . . , An−1)を位相 空間の n系とよぶ。f (Aj) ⊂ Bj を満たす連続写像f : X → Y をn系の写像とよび， f : (X, A1, . . . , An−1) → (Y, B1, . . . , Bn−1) とかく。二つの n系の写像f, g : (X, A1, . . . , An−1) → (Y, B1, . . . , Bn−1) に対して， F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x), x ∈ X を満たすn系の写像F : (X, A1, . . . , An−1) × I → (Y, B1, . . . , Bn−1) が存在するとき，f と g はホモトピックであるといい，f ≃ g とかく。 定義 6.8. ホモロジー理論とは，空間対の圏から次数付き加群の圏への関手 H : (X, A) 7→ {Hn(X, A) | n ∈ Z} と自然変換 ∂ : Hn(X, A) → Hn−1(A) から成るシステムで，以下の公理を満たすものを指 す。ただし，簡略化のため，Hn(X, ∅) をHn(X)と表記する。 1. （ホモトピー公理）f ≃ g : (X, A) → (Y, B)なら，f∗= g∗: Hn(X, A) → Hn(Y, B) 2. （完全性公理）次は完全系列である。 · · ·−→ H∂ n(A) i∗ −→ Hn(X) j∗ −→ Hn(X, A) ∂ −→ Hn−1(A)−i→ · · ·∗ ただし，i∗, j∗ は，包含写像i : (A, ∅) → (X, ∅) およびj : (X, ∅) → (X, A)から誘導さ れる凖同型を表す。 3. （切除公理）U ⊂ Int Aならば，Hn(X − U, A − U ) ∼= Hn(X, A) 4. （次元公理）P が一点空間なら，すべてのn 6= 0 に対して，Hn(P ) = 0 Hn(X, A) を，対 (X, A) の n次元ホモロジー群とよび，とくに一点空間P の 0次元ホ モロジー群G = H0(P ) を係数群とよぶ。後で見るように，任意の加群G に対し，G を係 数群とするようなホモロジー理論が存在し，とくに，G = Z の場合のHn(X, A) をn次元 整係数ホモロジー群と呼ぶ。有限胞複体（の対）のホモロジー群は係数群のみに依存して一 意的に定まることが知られている。 定義 6.9. 対の写像f : (X, A) → (Y, B)に対して，g : (Y, B) → (X, A)が存在して，g ◦ f ≃ 1(X,A)，f ◦ g ≃ 1(Y,B) が成り立つとき，f をホモトピー同値写像とよぶ。 命題 6.10. f : (X, A) → (Y, B)がホモトピー同値写像であれば，すべての nで f∗: Hn(X, A) → Hn(Y, B) は同型である。 以下では，特に断らない限り，整係数ホモロジー群のみを取り扱う。 系 6.11. X が可縮なら，H0(X) = Zかつ Hn(X) = 0 (n 6= 0)である。 問題 6.12. 次を示せ。 1. Hn(∅) = 0, n ∈ Z 2. Hn(X1`X2) ∼= Hn(X1) ⊕ Hn(X2)
演習問題 以下では，Hn(X)は位相空間X の n次元整係数ホモロジー群を表すものとする。 1. n 系の写像 (X, A1, . . . , An−1) → (Y, B1, . . . , Bn−1) 全体のなす集合において，関係 f ≃ g は同値関係であることを示せ。 2. 加群の凖同型の系列 A4 f3 −→ A3 f2 −→ A2 f1 −→ A1 f0 −→ A0 が完全（すなわち，Im fi+1 = Ker fi, 0 ≤ i ≤ 2）であるとき，以下を示せ。 (a) A2 = 0 なら，f0 は単射 (b) A0 = 0 なら，f1 は全射 (c) f0 = 0, f2 = 0 なら，f1 は同型 (d) f0 が単射，f3 が全射なら，A2 = 0 3. （五項補題）加群の圏における可換図式 A f // l B g // m C h // n D j // p E q A′ f′ //B′ g′ //C h′ //D ′ j′ //E ′ において各行が完全系列であり，m, pは同型射，lは全射，qは単射であるとする。こ のとき，nは同型射であることを示せ。 4. f : X → Y がホモトピー同値写像であれば，すべての n に対して，誘導凖同型 f∗: Hn(X) → Hn(Y ) は同型であることを示せ。（命題6.10） 5. 包含写像A → X がホモトピー同値写像であれば，すべてのnに対してHn(X, A) = 0 が成り立つことを示せ。逆に，Hn(X, A) がすべて零加群であれば，包含写像により 誘導される凖同型Hn(A) → Hn(X)は同型であることを示せ。（ただし，包含写像そ のものはホモトピー同値写像とは限らない。） 6. 包含写像(x0, {x0}) → (X, {x0})がホモトピー同値写像であるとき， 位相空間X は （点 x0 に）可縮であるという。 (a) X がx0 に可縮であることと，定値写像 X → X, x 7→ x0,が {x0} を止めて恒 等写像 1X にホモトピックであることが同値であることを確かめよ。 (b) 可縮な空間X の整係数ホモロジー群を求めよ。 7. ユークリッド空間の部分集合X は，その任意の2点を結ぶ線分がX に含まれるとき， 「凸集合」とよばれる。また，ある点x0 が存在して，x0 と任意の点 x ∈ X を結ぶ線 分が X に含まれるとき，「（x0 に関する）星状集合」とよばれる。以下を示せ。 (a) 凸集合 X は，任意のx0∈ X に関して星状である。
7
マイヤー・ヴィエトリス完全系列
補題 7.1. 位相空間X が，その部分空間X1 およびX2 の和集合として表されるとき，条件 1. X = Int X1∪ Int X2 2. X1∩ X2 はX の閉集合で，X2（もしくはX1）の近傍変位レトラクト のどちらかが成り立てば，包含写像k : (X1, X1∩ X2) → (X, X2) から誘導される凖同型 k∗: Hn(X1, X1∩ X2) → Hn(X, X2) は同型である。 凖同型 ∆ : Hn(X) → Hn−1(X1∩ X2) を合成 Hn(X) j∗ −→ Hn(X, X2) k−1 ∗ −−→ Hn(X1, X1∩ X2) ∂ −→ Hn−1(X1∩ X2) で定義すると，次が成り立つ。 定理 7.2. 補題 7.1の仮定の下で，次は完全系列である。 · · · −→ Hn(X1∩ X2) (i1∗,−i2∗) −−−−−−→ Hn(X1) ⊕ Hn(X2) j1∗+j2∗ −−−−−→ Hn(X) ∆ −→ Hn−1(X1∩ X2) −→ · · · 以上において，j, k, i1, i2, j1, j2 はすべて包含写像を表すものとする。 演習問題 1. 加群の圏における可換図式 · · · //G3n−3 λ3n−3 // ϕ3n−3 G3n−2 λ3n−2 // ϕ3n−2 G3n−1 λ3n−1 // ϕ3n−1 G3n λ3n // ϕ3n G3n+1 λ3n+1 // ϕ3n+1 G3n+2 // ϕ3n+2 · · · · · · //H3n−3 µ3n−3 //H3n−2 µ3n−2 //H3n−1 µ3n−1 // H3n µ3n //H3n+1 µ3n+1 //H3n+2 //· · · において各行は完全系列であり，各ϕ3n がすべて同型射であるとする。このとき，次 は完全系列である。 · · · → G3n−2 ρ − → H3n−2⊕ G3n−1−→ Hσ 3n−1−→ Gτ 3n+1 ρ − → H3n+1⊕ G3n+2→ · · · ただし，ρ = (ϕ3n−2, −λ3n−2)，σ = µ3n−2+ ϕ3n−1，τ = λ3n◦ ϕ−13n ◦ µ3n−1 である。 2. （六角形補題）加群と凖同型からなる図式 G3 H1 f′ oo µ1 }}|||| |||| h ′ !!B B B B B B B B G0 g′ ||== | | | | | | ν1 // g !!B B B B B B B B G2 λ2 aaBB BBBB BB ν2 // µ2 }}|||| |||| H0 H2 G1 λ1 aaBB BB BB BB h == | | | | | | | | f oo において，各三角形は可換，f, f′は同相写像であり，Ker λ2= Im λ1，Ker µ2 = Im µ1， および ν2◦ ν1= 0 が成り立つとする。このとき，次の関係式を導け。 h ◦ f−1◦ g = −h′◦ f′−1◦ g′8
簡約ホモロジー群
定義 8.1. 位相空間X の n次元簡約ホモロジー群を次のように定義する。 e Hn(X) = ker(p∗: Hn(X) → Hn(∗)) ただし，p はX から一点空間 ∗ への自明な写像である。 命題 8.2. 空でない位相空間X に対して，次が成り立つ。 e Hn(X) = Hn(X) (n 6= 0), H0(X) ∼= eH0(X) ⊕ Z 命題 8.3. X が可縮ならば，すべての nに対して，Hen(X) = 0である。 マイヤー・ヴィエトリス完全系列に登場する∆ : Hn(X) → Hn−1(X1∩ X2) は自然に凖同 型∆ : eHn(X) → eHn−1(X1∩ X2) を導く。これを用いて，定理7.2を次のように書き換える ことができる。 定理 8.4. 補題 7.1の仮定の下で，次は完全系列である。 · · · −→ eHn(X1∩ X2) (i1∗,−i2∗) −−−−−−→ eHn(X1) ⊕ eHn(X2) j1∗+j2∗ −−−−−→ eHn(X) ∆ −→ eHn−1(X1∩ X2) −→ · · · 命題 8.5. ∆ : Hn(SX) → Hn−1(X)は，同型Hen(SX) ∼= eHn−1(X)を導く。 問題 8.6. 次が成り立つことを示せ。 e Hn(Sm) = Z, n = m 0, n 6= m 演習問題 1. 位相空間 X とY の基点x0∈ X, y0∈ Y を選び， X ∨ Y = X × {y0} ∪ {x0} × Y ⊂ X × Y とおく。{y0} がY の近傍変位レトラクトであるとき，X ∨ Y の簡約ホモロジー群を X およびY の簡約ホモロジー群を用いて表せ。（Mayer-Vietoris完全系列を用いよ。）9
ブラウワーの不動点定理と高次元版中間値定理
定理 9.1 (Brower の不動点定理). n次元球から自分自身への連続写像 f : Bn→ Bnは不動 点，すなわち，f (x) = x となる点x ∈ Bn をもつ。 連続写像f : Sn→ Sn の写像度を以下のように定義する。 定義 9.2. ι がHen(Sn) ∼= Z の生成元であるとき，f∗(ι) = kι を満たす整数k をf の写像 度とよび，deg f とかく。 Snはレトラクション r : x 7→ x/|x|に関して Rn+1− {0} の変位レトラクトだから，包含 写像 i : Sn→ Rn+1− {0}は同型 i∗= r−1∗ : eHn(Sn) ∼= eHn(Rn+1− {0}) を導く。そこで，任意の連続写像 f : Sn→ Rn+1− {0} に対し，合成写像r ◦ f : Sn→ Sn の次数を W (f, 0)とかき，f の（原点に関する）巻き数とよぶ。定義から次が成り立つ。 命題 9.3. 任意のa ∈ eHn(Sn) に対し，f∗(a) = W (f, 0) · i∗(a) ∈ eHn(Rn+1− {0})である。 また，ホモトピー公理から直ちに次が成り立つ。 命題 9.4. f ≃ g : Sn→ Rn+1− {0}ならば，W (f, 0) = W (g, 0) である。 定理 9.5 (高次元版中間値定理). f : Bn+1 → Rn+1 は連続写像で，f (Sn) は原点 0 を含ま ないとする。もし，W (f |Sn, 0) 6= 0ならば，0 ∈ f (Bn+1) である。 補注 9.6. n = 0 のとき，W (f |S0, 0) = 1 2(r(f (1)) − r(f (−1))) である。したがって， W (f |S0, 0) 6= 0 ⇔ f (1) · f (−1) < 0 となり，上の定理は通常の中間値定理と同値であ る。n = 1の場合のW (f |S1, 0)の具体的な表示は後に与える。 演習問題 1. S0 = {1, −1}とする。包含写像 {1} → S0, {−1} → S0 により誘導される同型 H0(S0) ∼= H0({1}) ⊕ H0({−1}) ∼= Z × Z の下で，H0(S0) の部分加群He0(S0) はどのようなZ× Zの部分加群に対応するか答 えよ。 2. すべての写像 f : S0→ S0 = {−1, 1}について，その次数deg f を求めよ。 3. 以下を示すことにより高次元版中間値定理を証明せよ。 (a) g : Sn→ Rn+1− {0} が定値写像なら，W (g, 0) = 0 (b) f : Bn+1→ Rn+1− {0} が連続写像なら，W (f |Sn, 0) = 010
閉曲線の巻き数とその応用
以下では，S1 を複素数平面 Cの単位円と同一視する。 二つの連続写像f, g : S1 → C − {0} に対し，f · g : S1→ C − {0} をf · g(z) = f (z)g(z) で定める。また，f (1) = g(1)であるとき，f ∗ g : S1 → C − {0} を f ∗ g(z) = f (z2), z の虚部≥ 0 g(z2), z の虚部≤ 0， で定める。このとき，次が成り立つ。 命題 10.1. f, g : S1 → C − {0}に対し，次が成り立つ。 1. f (1) = g(1)なら，W (f ∗ g, 0) = W (f, 0) + W (g, 0)である。 2. W (f · g, 0) = W (f, 0) + W (g, 0)である。 証明. 1. f (1) = g(1) = αとする。f ′ = f · α−1, g′ = g · α−1 とおくと，f ∗ g ≃ f′∗ g′ より， W (f ∗ g, 0) = W (f′∗ g′, 0)が成り立つ。したがって，f (1) = g(1) = 1と仮定してよい。こ のとき，f ∗ g は次の合成に一致する。 S1 γ−→ S1∨ S1 f ∨g−−→ (C − {0}) ∨ (C − {0})−∇→ C − {0} ただし，∇(z, 1) = ∇(1, z) = z かつ γ(z) = (z2, 1), zの虚部 ≥ 0 (1, z2), zの虚部 ≤ 0 である。包含写像 S1 ∨ S1 → S1 × S1 と第i成分への射影S1 × S1 → S1 との合成を pi: S1∨ S1 → S1 とすれば，pi◦ γ ≃ 1S1 が成り立つことに注意すると，同型H1(S1∨ S1) ∼= H1(S1) ⊕ H1(S1) のもとで，γ∗(ι) = (ι, ι)が成り立つことがわかり，(f ∗ g)∗(ι) = f∗(ι) + g∗(ι) = W (f, 0)i∗(ι) + W (g, 0)i∗(ι) = (W (f, 0) + W (g, 0))i∗(ι)
を得る。 2. 値が w の定値写像S1→ C − {0} をc(w) で表し， f′ = f ◦ (1S1∗ c(1)), g′′ = g ◦ (c(1) ∗ 1S1) : S1 → S1 とおく。1S1 ∗ c(1) ≃ 1S1 ≃ c(1) ∗ 1S1 だから f · g ≃ f′· g′′= (f · c(g(1))) ∗ (c(f (1)) · g) が成り立つ。したがって，次が成り立つ。 W (f · g, 0) = W (f · c(g(1)), 0) + W (c(f (1)) · g, 0) = W (f, 0) + W (g, 0) 定理 代数学の基本定理 が定数でない複素多項式であれば，方程式
演習問題 1. fj(1) = z0 ∈ C − {0} を満たす n 個の写像f1, · · · , fn: S1 → C − {0} に対して， f1∗ · · · ∗ fn: S1 → C − {0} を次の合成で定める。 S1 γ−→ Sn 1∨ · · · ∨ S1 f1∨···∨fn −−−−−−→ (C − {0}) ∨ · · · ∨ (C − {0})−∇→ C − {0} ただし，γnは 2(j − 1)π ≤ arg zn≤ 2jπ (1 ≤ j ≤ n)であるような z ∈ S1 を (1j−1, zn, 1n−j) ∈ (S1)j−1× S1× (S1)n−j に写す写像とする。等式 W (f1∗ · · · ∗ fn, 0) = W (f1, 0) + · · · + W (fn, 0) が成り立つことを示せ。 2. 次を示せ。 (a) すべての z ∈ S1 に対して f (z)の実部が正なら，W (f, 0) = 0である。 (b) 任意の f, g : S1 → C − {0} に対し，写像 z 7→ f (z)/g(z) を f /g で表すとき， W (f /g, 0) = W (f, 0) − W (g, 0) である。 (c) 整数 nに対し，写像 z 7→ zn をzn で表す。W (zn, 0) = n である。 3. 円板からそれ自身への連続写像 f : B2 → B2 に対して，式g(z) = z − f (z) により， 写像 g : B2 → C − {0} を定める。z ∈ B2 が f の不動点であるための必要十分条件 は，g(z) = 0が成り立つことである。g(S1) が原点を含まないとき，W (g|S1, 0) 6= 0 が成り立つことを示し，それを用いて，f が不動点をもつことを示せ。 4. 代数学の基本定理を証明せよ。 5. t : S1∨ S1∨ S1∨ S1→ S1∨ S1 をt(z 1, z2, z3, z4) = (z21/z32, z22/z24) で定めるとき，合 成写像t ◦ γ4: S1 → S1∨ S1 から誘導される凖同型H1(S1) → H1(S1∨ S1) は自明で あることを示せ。 6. t : S1∨ S1 → S1 をt(z 1, z2) = z12· z22 で定めるとき，合成写像 t ◦ γ2: S1 → S1 から 誘導される凖同型 H1(S1) → H1(S1)は2倍写像a 7→ 2a であることを示せ。
11
ホモロジー代数の初歩
11.1 鎖複体とホモロジー群 全ての nで，∂n−1◦ ∂n= 0 であるような鎖群の系列 · · · ∂n+2 −−−→ Cn+1 ∂n+1 −−−→ Cn ∂n −→ Cn−1 ∂n−1 −−−→ · · · を鎖複体とよぶ。 C = {Cn, ∂n} および C′= {Cn′, ∂n′} が鎖複体であるとき，すべての nで ∂n′ ◦ fn= fn−1◦ ∂n が成り立つような凖同型 fn: Cn→ Cn′ の族f = {fn}をC から C′ への鎖写像とよぶ。各 レベルで合成をとることにより鎖写像の合成が自然に定義され，鎖複体と鎖写像は圏を構成 する。 定義11.1. 鎖複体C = {Cn, ∂n}に対し，Zn(C) = Ker ∂nをCのn次元輪体群，Bn(C) = Im ∂n+1 をn次元境界輪体群とよぶ。定義からBn(C)はZn(C)の部分加群であり，商加群 Hn(C) = Zn(C)/Bn(C) が定義される。これを C のn 次元ホモロジー群とよび，次数つき加群{Hn(C)} をH(C) で表す。 鎖写像 f = {fn} はホモロジー群の間の凖同型 fn∗: Hn(C) → Hn(C′) を誘導し，f∗ = {fn∗} は次数付き加群 H(C) から H(C′) への射となる。明らかに，対応 C 7→ H(C) は鎖複体の圏から次数付き加群の圏への関手を定める。 11.2 鎖ホモトピー 定義 11.2. f, g : {Cn, ∂n} → {Cn′, ∂n′} が鎖写像であるとき，条件 ∂n+1′ ◦ Φn+ Φn−1◦ ∂n= gn− fn を満たす凖同型Φn: Cn → Cn+1′ の族Φ = {Φn} が存在するとき，f と g はホモトピック であるといい，Φ をf とg の間の鎖ホモトピーとよぶ。 命題 11.3. 二つの鎖写像 f とg が鎖ホモトピックなら，f∗= g∗ が成り立つ。11.3 ホモロジー完全系列 鎖複体の圏における系列0 → C′ i−→ C−→ Cj ′′→ 0 は，加群の系列 0 → Cn in −→ Cn jn −→ Cn′′→ 0 がすべて完全であるとき，鎖複体の短完全系列とよばれる。ただし，C = {Cn, ∂n}, C′ = {C′ n, ∂′n}, C′′= {Cn′′, ∂n′′}，i = {in}, j = {jn}とする。 iおよび j は鎖写像だから，次の系列を誘導する。 Hn(C′) i∗ −→ Hn(C) j∗ −→ Hn(C′′), n ∈ Z 次の可換図式を考えよう。 0 −−−−→ Cn+1′ −−−−→ Cin+1 n+1 jn+1 −−−−→ Cn+1′′ −−−−→ 0 ∂′ n+1 y ∂n+1 y y∂′′ n+1 0 −−−−→ Cn′ in −−−−→ Cn jn −−−−→ C′′ n −−−−→ 0 ∂′ n+1 y ∂n+1 y y∂′′ n+1 0 −−−−→ Cn−1′ −−−−→ Cin−1 n−1 jn−1 −−−−→ Cn−1′′ −−−−→ 0 ∂′ n−1 y ∂n−1 y y∂′′ n−1 0 −−−−→ C′ n−2 in−2 −−−−→ Cn−2 jn−2 −−−−→ C′′ n−1 −−−−→ 0 Hn(C′′) = Zn(C′′)/Bn(C′′) の元 z′′= [c′′]とc ∈ jn−1(c′′) に対し， [i−1n−1(∂n(c))] ∈ Zn−1(C′)/Bn−1(C′) = Hn−1(C′) は c, c′′ の選び方に依らず一意的に定まる元である。そこで，∂ ∗(z′′) = [i−1n−1(∂n(c))] とお くことにより，連結凖同型 ∂∗: Hn(C′′) → Hn−1(C′) が定義される。 定理 11.4. 鎖複体の完全系列 0 → C′ i−→ C−→ Cj ′′→ 0 から誘導される系列 · · ·−→ H∂∗ n(C′)−i→ H∗ n(C) j∗ −→ Hn(C′′)−→ H∂∗ n−1(C′)−i→ · · ·∗ は加群の完全系列である。（これをホモロジー完全系列とよぶ） 11.4 鎖複体のオイラー数 定義 11.5. 次数付き加群K = {Kn} において各 Kn が有限生成なら，K は有限生成であ るという。また，有限個のn を除いてKn= 0 であれば，K は有界であるという。有限生 成かつ有界な次数付き加群 K = {Kn} のオイラー数を次で定義する。 χ(K) =X n (−1)nrank Kn 命題 11.6. 鎖複体C = {Cn, ∂n} が有限生成かつ有界なら，χ(C) = χ(H(C)) が成り立つ。
12
有限胞複体のホモロジー
空間対(X, A)において，Xが有限胞体分割D = {ei}をもち，D′ = {ei | ei∩A 6= ∅} ⊂ D がA の胞体分割を与えるとき，Aを X の部分複体，(X, A) を有限胞複体の対とよぶ。各 整数 n ≥ 0に対し，X¯n= Xn∪ A とおくと次が成り立つ。 命題 12.1. 有限胞複体の対 (X, A)に対し，次が成り立つ。 1. k 6= nなら Hk( ¯Xn, ¯Xn−1) = 0 である。 2. X − A に含まれる n胞体の集合を {en j | j ∈ Jn} とし，φj: (Bn, Sn−1) → (¯enj, ∂enj) をen j の特性写像とすれば，可群の同型対応 Hn( ¯Xn, ¯Xn−1) ∼=Lj∈JnZhǫji が存在する。ただし，Zhǫjiはφj が誘導する凖同型Hn(Bn, Sn−1) → Hn( ¯Xn, ¯Xn−1) による Hn(Bn, Sn−1) の生成元の像ǫj = φj∗(ιn) で生成される部分加群を表す。 定義 12.2. Cn(X, A) = Hk( ¯Xn, ¯Xn−1) とし，∂n: Cn(X, A) → Cn−1(X, A) を合成 Cn(X, A) = Hn( ¯Xn, ¯Xn−1) ∂n −→ Hn( ¯Xn−1) j∗ −→ Hn( ¯Xn−1, ¯Xn−2) = Cn−1(X, A) により定める。 定理 12.3. C(X, A) = {Cn(X, A), ∂n} は鎖複体であり，次の同型対応が存在する。 Hn(C(X, A)) ∼= Hn(X, A), n ∈ Z 実際，この同型は次の命題から得られる。 命題 12.4. (X, A) が有限胞複体の対であるとき，包含写像から誘導される系列 Hn(X, A)←−− Hin∗ n( ¯Xn, A) jn∗ −−→ Hn( ¯Xn, ¯Xn−1) = Cn(X, A) において以下が成り立つ。 1. in∗ は全射で，Ker in∗ = jn∗−1(Bn(C(X, A))) 2. jn∗ は単射で，Im jn∗= Zn(C(X, A)) さらに，X − A に含まれるn 胞体ej とn − 1 胞体ek に対して，結合係数[ej : ek]を， 合成凖同型 ψj,k: Hn(Bn, Sn−1) ∂∗ −→ eHn−1(Sn−1) φj∗ −−→ Hn−1( ¯Xn−1) i∗ −→ Hn−1( ¯Xn−1, ¯Xn−2∪ (∪l6=kel)) φ−1 k∗ −−→ Hn−1(Bn−1, Sn−2) を用いて，ψj,k(ιn) = [ej : ek]ιn−1 により定めるとき，次が成り立つ。 補題 12.5. 凖同型∂n: Cn(X, A) → Cn−1(X, A) は次式で与えられる。定義 12.6. {Hn(X)}が有界かつ有限生成であるとき，そのオイラー数をX のオイラー数 とよび，χ(X)とかく。すなわち， χ(X) = χ(H(X)) =Pn(−1)nrank Hn(X) 位相空間 Xのオイラー数が定まるならば，X とホモトピー同値な空間はすべて同じオイ ラー数をもつ。したがって，オイラー数は位相空間のホモトピー不変量であり，とくに位相 不変量である。 命題 12.7. Xが有限胞体分割をもつとき，そのn胞体の数をαn とすると，次が成り立つ。 χ(X) =Pn≥0(−1)nαn 演習問題 1. 加群 Gにおいて，1次独立なr 個の元は存在するが，r + 1個の元を選べば必ず1次 従属であるとき，整数 r を Gの階数とよび，rank Gで表す。次を示せ。 加群の短完全系列 0 → H → G → K → 0において，H および K の階数が定まるな ら，Gの階数も定まり，rank G = rank H + rank K が成り立つ。
2. 鎖複体 C = {Cn, ∂n} が有限生成かつ有界なら，次が成り立つことを示せ。 χ(H(C)) = χ(C) ただし，K = {Kn} が有限生成かつ有界な次数付き加群であるとき，χ(K)はそのオ イラー数 Pn(−1)nrank Kn を表す。ヒント：次の二つの短完全系列に着目せよ。 0 → Bn(C) → Zn(C) → Hn(C) → 0, 0 → Zn(C) → Cn ∂n −→ Bn−1(C) → 0
13
閉曲面のホモロジー群
定理 13.1 (閉曲面の分類定理). 任意の閉曲面はS2, T (n), P (n) (n = 1, 2, . . . ) の内のど れか一つに同相である。 T (n), P (n)のホモロジー群を計算して，これらが互いに同相でないことを示そう。 定理 13.2. 以下が成り立つ。 1. H2(T (n)) = Z, H1(T (n)) = Z2n, H0(T (n)) = Z, Hk(T (n)) = 0 (k 6= 0, 1, 2) 2. H1(P (n)) = Zn−1⊕ Z/2Z, H0(P (n)) = Z, Hk(P (n)) = 0 (k 6= 0, 1) 前半： T (n)の部分集合X1, X2 を，自然な写像p : B2 → B2/ ∼ = T (n)による{z | 1/2 ≤ |z| ≤ 1}, {z | |z| ≤ 1/2} ⊂ B2 の像として定義する。このとき，p(∂B2) はX 1 の変位レト ラクトだから，X1 は2n個の円周のウェッジ和S1∨ · · · ∨ S1 に同相であり，次が成り立つ。 e H1(X1) = Z2n, Hek(X1) = 0 (k 6= 1) 一方，X2 は可縮で，X1∩ X2 = S∼ 1 だから，(T (n); X1, X2) に関するマイヤー・ヴィエト リス完全系列は次のようになる。 0 → eH2(T (n))−→ Z∂ −i→ Z∗ 2n j−→ e∗ H1(T (n)) −→ 0 → 0 −→ eH0(T (n)) → 0 ただし，i∗ は次の合成である。 Z ∼= eH1(S1)−→ι∗ ∼ = He1(X1∩ X2) i1∗ −−→ eH1(X1)−→r∼∗ = He1(S 1∨ · · · ∨ S1) ∼= Z2n 定理 13.2の前半は次の帰結である。 補題 13.3. i∗ は零写像である。 後半： P (n)の部分集合 X1, X2 を上と同様に定義すると，X1 ≃ Im ∂B2 ∼= S1∨ · · · ∨ S1 （n個）であり，(P (n); X1, X2)に関するマイヤー・ヴィエトリス完全系列は次のようになる。 0 → eH2(P (n))−→ Z∂ −i→ Z∗ n j−→ e∗ H1(P (n)) −→ 0 → 0 −→ eH0(P (n)) → 0 ただし，i∗ は次の合成である。 Z ∼= eH1(S1)−→ι∗ ∼ = He1(X1∩ X2) i1∗ −−→ eH1(X1) r∗ −→∼ = He1(S 1∨ · · · ∨ S1) ∼ = Zn 定理 13.2の後半は次から従う。 補題 13.4. i∗ は2倍写像 n 7→ (2n, . . . , 2n) である。演習問題 1. 円板 B2 の周S1 を4n等分し，表示a 1b1a−11 b−11 · · · anbna−1n b−1n に従って周を貼り合 わせて得られる閉曲面を T (n) で表し，p : B2 → T (n)を自然な写像とする。 X1 = p({z | 1/2 ≤ |z|}), X2= p({z | |z| ≤ 1/2}) とおいて以下の問いに答えよ。 (a) f = (f1, f2, . . . , f2n−1, f2n) : S1 → S1∨ · · · ∨ S1 ⊂ (S1)2n を i. (4k − 4)π/2n ≤ arg z ≤ (4k − 3)π/2n ならf2k−1(z) = z4n ii. (4k − 3)π/2n ≤ arg z ≤ (4k − 2)π/2nならf2k(z) = z4n iii. (4k − 2)π/2n ≤ arg z ≤ (4k − 1)π/2n ならf2k−1(z) = z−4n iv. (4k − 1)π/2n ≤ arg z ≤ 4kπ/2nならf2k(z) = z−4n (1 ≤ k ≤ n)で定めるとき，g ◦ p = f を満たす同相写像g : p(S1) → S1∨ · · · ∨ S1 が唯一つ存在することを示せ。 (b) r : X1 → p(S1) をr(z) = p(z/|z|) で定義するとき，p(S1) はr に関してX1 の 変位レトラクトであることを示せ。 (c) 次の合成写像の次数を求めよ。 S1 i−→ X1∩ X2 −→ Xi1 1 −→ p(Sr 1) g − → S1∨ · · · ∨ S1 p−→ Sj 1 ただし，iはS1 の元 zをp(z/2)に移す同相写像，i1 は包含写像，pj は第 j 成 分(1 ≤ j ≤ 2n) への射影である。 (d) i1∗: eH1(X1∩ X2) → eH1(X1) は零凖同型であることを示せ。 2. 円板B2の周S1を2n等分し，表示a1a1· · · ananに従って周を貼り合わせて得られる閉 曲面をP (n)で表す。上問と同様に定義されるX1, X2 に関して，凖同型i1∗: eH1(X1∩ X2) → eH1(X1) の余核 He1(X1)/ Im i∗ がZn−1× Z/2Zに同型であることを示せ。
14
基本群
14.1 基本群の定義
連続写像(Z, Q) → (X, Z) のホモトピー類の集合を [(Z, Q), (X, A)]で表す。
定義 14.1. 基点付き空間 (X, x0) に対し，π(X, x0) = [(S1, 1), (X, x0)]とかく。
I = [0, 1], ∂I = {0, 1} とし，e : (I, ∂I) → (S1, 1) をe(t) = cos 2πt + i sin 2πt で定める。 対応 σ 7→ σ ◦ e により誘導される写像 e∗: [(I, ∂I), (X, x0)] → [(S1, 1), (X, x0)] は全単射であり，必要に応じてπ(X, x0) を[(I, ∂I), (X, x0)]と同一視することができる。 集合π(X, x0) 上の積演算を[α] · [β] = [α ∗ β] で定義する。ここに，α ∗ β は，α および β を空間対(S1, 1)から (X, x0) への写像とみるときは合成 S1 γ2 −→ S1∨ S1 α∨β−−→ X ∨ X −∇→ X であるが，(I, ∂I)から (X, x0) への写像とみるときは次式で与えられる写像を表す： α ∗ β(t) = α(2t), 0 ≤ t ≤ 1/2 β(2t − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1 基点を保つ写像 f : (X, x0) → (Y, y0) が与えられたとき，写像f∗: π(X, x0) → π(Y, y0) を f∗([α]) = [f ◦ α] で定める。 命題 14.2. π(X, x0)は，積[α] · [β] = [α ∗ β]に関して群である。また，任意のf : (X, x0) → (Y, y0) に対し，f∗: π(X, x0) → π(Y, y0) は群凖同型であり，対応 (X, x0) 7→ π(X, x0), f : (X, x0) → (Y, y0) 7→ f∗: π(X, x0) → π(Y, y0) は基点付き空間の圏から群の圏への関手を定める。 14.2 基点の取り替え 空間 X の二点 x0, x1 を結ぶ道 l : I → X に対して，写像l♯: π(X, x0) → π(X, x1) を， l♯([α]) = [¯l∗ α ∗ l]で定める。ただし，π(X, x0) = [(I, ∂I), (X, x0)]，¯l(t) = l(1 − t)とする。 命題 14.3. l♯: π(X, x0) → π(X, x1) は群の同型射である。 14.3 ホモトピー不変性 命題 14.4. f ≃ g : (X, x0) → (Y, y0) なら，f∗ = g∗: π(X, x0) → π(Y, y0)。 系14.5. f : (X, x0) → (Y, y0)がホモトピー同値写像なら，f∗: π(X, x0) → π(Y, y0)は同型。
15
円周の基本群
定義 15.1. ιをH1(S1) ∼= Zの生成元とする。α : (S1, 1) → (X, x0)のホモトピー類に対し， α∗([ι]) ∈ H1(X)を対応させる凖同型η : π(X, x0) → H1(X)をフレビッチ凖同型とよぶ。 定理 15.2. フレビッチ凖同型 η : π(S1, 1) → H1(S1) は同型である。 これを示すために，合成凖同型w : π(S1, 1)−→ Hη 1(S1)−−→ Zdeg の具体的な表示を与えよう。 定理 15.3. 1.任意の曲線f : I → S1 とf (0) = cos θ0+ i sin θ0 をみたす実数 θ0 に対して， f (t) = cos θ(t) + i sin θ(t), θ(0) = θ0 (∗) という条件をみたす連続関数θ : I → S1 が唯一つ存在する。 2.任意の連続写像 h : I × I → S1 とh(0, 0) = cos θ 0+ i sin θ0 をみたす実数 θ0 に対し，h(t, u) = cos Θ(t, u) + i sin Θ(t, u), Θ(0, 0) = θ0
をみたす連続関数 Θ : I × I → S1 が唯一つ存在する。
定義 15.4. (∗)を満たす θ : I → Rを曲線f : I → S1 の角度関数とよぶ。 e : I → S1 を
e(t) = cos 2πt + i sin 2πt (0 ≤ t ≤ 1)
で定めれば，対応 [α] 7→ [α ◦ e]により，同型π(S1, 1) ∼= [(I, ∂I), (S1, 1)] が導かれる。 命題 15.5. 任意の f : S1 → S1 に対し，θ が合成 f ◦ e : [0, 1] → S1 の角度関数であれば， deg η(f ) = θ(1) − θ(0) 2π が成り立つ。 定理 15.6. deg ◦η : π(S1, 1) → Zは同型であり，したがって，π(S1, 1) ∼= H1(S1) である。
16
奇写像定理とその応用
m 次元球面Sm からユークリッド空間 Rn （もしくはCn）への連続写像f で，条件 f (−x) = −f (x), x ∈ Sm を満たすものを奇写像とよぶ。 補題 16.1. 奇写像 f : S1 → C − {0} の巻き数W (f, 0)は奇数である。 これと２次元版中間値定理から次が得られる。 定理 16.2 (奇写像定理). f : S2 → C が奇写像であれば，その像f (S2) は必ず原点を含む。 定理 16.3 (ボルスークの対心点定理). 2次元球面から平面への写像 f : S2 → C が連続で あればf (x) = f (−x) を満たす点x ∈ S2 が必ず存在する。 系 16.4. 平面内のいかなる部分集合も球面 S2 に同相とはなり得ない。したがって平面と 3次元ユークリッド空間とは同相ではない。 定理 16.5 (ハムサンドイッチ定理). 3次元ユークリッド空間内に3つの領域（より一般に 可測集合）が与えられたとき，それらの体積を一斉に2等分する平面が存在する。 定理 16.6 (3分割定理). 球面 S2 を3つの部分集合に分割すると，それらの閉包 A, B, C のどれか一つは一対の対心点を含んでいる。 演習問題 1. 0 でない複素数 α を値にとる定値写像S1→ C − {0} をc(α) で表す。次を示せ。 (a) 任意の2点z0, z1 ∈ C − {0}に対し，z0 を始点，z1 を終点とする道 l : [0, 1] → C− {0}が存在する。 (b) 任意の α 6= 0に対し，c(α) ≃ c(1) (c) 1S1∗ c(1) ≃ 1S1 ≃ c(1) ∗ 1S1 2. 次を示せ。 (a) f : S1→ C − {0} が定値写像なら，W (f, 0) = 0である。 (b) f (z)の実部が常に正であるような連続写像f : S1→ C−{0}に対して，W (f, 0) = 0 が成り立つ。 (c) 整数 nに対し，写像 z 7→ zn をzn で表すと，W (zn, 0) = n である。 (d) 任意の f, g : S1 → C − {0} に対し，写像 z 7→ f (z)/g(z) を f /g で表すと， W (f /g, 0) = W (f, 0) − W (g, 0) が成り立つ。 3. （「鎖につながれた犬」定理）f, g : S1 → C − {0} が閉曲線であるとき，すべての z ∈ S1 に対して2点f (z), g(z)を結ぶ線分が原点を通らないなら，W (f, 0) = W (g, 0) が成り立つことを示せ。 解説：犬とその飼い主が鎖でつながれたまま，杭（原点）のまわりを廻っていると考えよ。 （ルーシェの定理） つの連続関数 1 の間に と参考：特異ホモロジー理論
Rn+1 の部分空間 ∆n= {(x0, x1, . . . , xn) | x0+ · · · xn= 1} を標準 n 単体とよぶ。また，∆n から位相空間 X への連続写像を，X の特異 n 単体と よぶ。 定義 16.7. 位相空間X と整数nに対し，X のすべての特異 n単体で生成される自由加群 をSn(X)とかき，その元を特異 n 鎖とよぶ。ただし，nが負の場合はSn(X) = 0とする。 また，各 nに対し，∂n: Sn(X) → Sn−1(X)を次のように定義する。 Sn(X)の生成元 σ : ∆n→ X に対し，σj: ∆n−1→ X (0 ≤ j ≤ n) を σj(x0, . . . , xn−1) = (0, x0, . . . , xn−1), j = 0 (x0, . . . , xj−1, 0, xj, . . . , xn−1), 0 < j < n (x0, . . . , xn−1, 0), j = n で定め， ∂nσ = n X j=0 (−1)jσj ∈ Sn−1(X) とおく。Sn(X)の一般的な元n1σ1+ · · · + nkσk, σj: ∆n→ X, nj ∈ Z, に対しては， ∂n(n1σ1+ · · · + nkσk) = n1∂nσ1+ · · · + nk∂nσk とおくことにより，連結凖同型∂n: Sn(X) → Sn−1(X) が定まる。 補題 16.8. S(X) = {Sn(X), ∂n} は鎖複体である。 定義 16.9. Hn(S(X)) をX の n次元特異ホモロジー群とよぶ。 任意の連続写像 f : X → Y は，X の特異単体 σ : ∆n → X に対して，Y の特異単体 Sn(f )(σ) = f ◦ σ : ∆n → Y を対応させることにより，鎖写像S(f ) = {Sn(f )} : S(X) → S(Y ) を導く。したがって，誘導凖同型 f∗ = S(f )∗: Hn(S(X)) → Hn(S(Y )) が定義される。 A がX の部分空間のとき，S(A) はS(X)は部分鎖複体である。したがって，剰余鎖複 体S(X, A) = S(X)/S(A) が存在し，鎖複体の完全系列 0 → S(A)−→ S(X)i −→ S(X, A) → 0j が得られる。定義から S(∅) = 0であり，自然な鎖写像 S(X) → S(X, ∅)は同型である。 命題 16.10. 自然変換∂∗: Hn(S(X, A)) → Hn−1(S(A))が存在し，次は完全系列である。 · · ·−→ H∂∗ n(S(A)) i∗ −→ Hn(S(X)) j∗ −→ Hn(S(X, A)) ∂∗ −→ Hn−1(S(A))−i→ · · ·∗定理 16.11. 空間対の圏から次数付き加群の圏への関手 (X, A) 7→ {Hn(S(X, A)) | n ∈ Z}
と自然変換∂∗: Hn(S(X, A)) → Hn−1(S(A))からなるシステムは以下の公理系を満たす。
ホモトピー公理 f ≃ g : (X, A) → (Y, B)なら，f∗ = g∗: Hn(S(X, A)) → Hn(S(Y, B))
完全性公理 次は完全系列である。 · · ·−→ H∂∗ n(S(A)) i∗ −→ Hn(S(X)) j∗ −→ Hn(S(X, A)) ∂∗ −→ Hn−1(S(A)) i∗ −→ · · · 切除公理 U ⊂ Int A ならば，Hn(S(X − U, A − U )) ∼= Hn(S(X, A)) 次元公理 P が一点空間なら，すべてのn 6= 0に対して，Hn(S(P )) = 0 完全性公理は命題16.10 で示した。また，次元公理も一点空間P の鎖複体の構造から直 ちに明らかである。 ホモトピー公理が成り立つことを示すために，ホモトピーh : X × [0, 1] → Y を考える。 ψj: ∆n+1→ ∆n× [0, 1]を，頂点の対応 ψj(ek) = (ek, 0), 0 ≤ k ≤ j (ek−1, 1), j < k ≤ n + 1 で定まる線形写像とし，特異n 単体 σ ∈ Sn(X)を(n + 1)鎖 Ψn(σ) = n X j=0 (−1)nh ◦ (σ × 1) ◦ ψj ∈ Sn+1(Y ) に移す凖同型 Sn(X) → Sn+1(Y )を Ψn で表すと，Ψ = {Ψn} は，鎖写像 S(h0) とS(h1) の間の鎖ホモトピーを定義する。すなわち，次が成り立つ。 ∂n+1◦ Ψn+ Ψn−1◦ ∂n= Sn(h1) − Sn(h0) したがって，f∗= g∗: Hn(S(X)) → Hn(S(Y ))が成り立つ。 より一般的に，与えられたホモトピーh : (X, A) × [0, 1] → (Y, B)に対し，上の構成で得 られるΨ = {Ψn} は自然に鎖ホモトピーS(h0) ≃ S(h1) : S(X, A) → S(Y, B)を誘導し， f∗= g∗: Hn(S(X, A)) → Hn(S(Y, B)) が成り立つ。 一方，切除公理は次の二つの補題から従う。 補題 16.12. 包含写像から誘導される(S(X − U ) ∪ S(A))/S(A) → S(X)/S(A) は鎖同値。 補題 16.13. S(X − U )/(S(X − U ) ∩ S(A)) ∼= (S(X − U ) ∪ S(A))/S(A)
