奥 山
佳 史・ 竹 森
史 暁
知能情報工学科
(1993年9月 1日受理)A Condition for the Number of Characteristic Roots Existing on a Specified Disc
and its Applications to ContrOI System Design
by
Yoshifumi OKUYAMA and Fumiaki TAKEMORI
Department of lnformation and KnO、 vledge Engineering (Received September l,1993)
In this paper, we derive a criteriOn for the number of characteristic roots on a
specified disc in the complex s‐ plane,The criterion is originated from the principle of the argument in complex variable theories First,the equation of a circle in the s‐plane is substituted into the characteristic polynoHlial The division algorithm is apphed to
the numerator polynoniial with complex coefficients which is obtained in this M/ay Then, it is drived by using the extended SturHl's theorem that the number of sign
changes of these coefficients equals to the number Of characteristic roots on the disc
The criterion is apphed to the disign of feedback control systems A method of
parametrization of a proper stable compensator that holds characteristic roots on the specified discs(the per■ lissible regions of poles)iS diScussed The robustnetts of control
systems郡′ith plant uncertainty is also investigated Fina■ y,silnple numerical exanl‐ ples are given tO illustrate these results
1.ま
え が き フィー ドバ ック制御系の近十ヽ的 な設計法は,2次
形 式評価関数 を最小化す る とい う考え方 に基づ く,最
適 制御理論 による線形 レギュ レータの構成が一般的であ つた。その ような制御系の設計問題 に関連 して,オ
ブ ザーパ,カルマ ンフィル タなど,状
態の観rll・ 推定理 論が開発 され ,フ ィー ドバ ック制御系,広
く動的 シス テムの設計理論体系は完結 された とされ る。さらに, その よ うな設計論は,結
局,極
(特性根)配
置の問題 に,あるいは多項式表現 によるモデルマ ッチング問題 に帰着す るとい うことで ,そ の面か らの研究 も多数発 表 されている問・ しか るに,こ の種の理論において常に忘れがちなの は,数
式モデル と現実のそれ とのギ ャッブで ある。い いかえるならば,数
式モデルにおける不確定性 (表現 を変えれば非線形特性)をいかに取 り扱 うかである. 一般 に動的 システムにおいては,その特性が周波数に 依存す ることか ら旧来の伝達関数,複
素関数論 に基づ く展開 が不可欠 となる。 とくに安定性の保証の もとで の伝達関数上での制御系設計の必要性か ら,Hardy空
間 とくに伝達関数の上限 に注 目す るH∞制御理論が ロ パ ス ト(強籾)な制御系の設計 に有効で あ る とされ回, い くつかの適用例 も発表 されている。 この論文は,こ の ような制御系設計論の現状 と問題 点を踏 まえ,近
代的制御理論 と不確定性 を考慮す るロ バ ス ト制御理論の接点 とい う意味で,特
性根 (極,零
点)の配置の問題 における許容度 について記 したもの で ある。すなわち,特
性根が複素平面上 の指定 した領 域 (円板内 )に 入 るための特性多項式の係数間の条件, その数 の判定法 についての結果 を示す とともに,その 不確定性 を伴 う制御系の設計への応用 について述べて いる。2.基
礎 となる理論 (偏 角の原理) 問題 とす る特性多項式 F(3)=00,・ +α ェ・δ1+・ … +α “_1,十 α. (2.1)
につ いて,ぃ
ま,F尊
1に示す よ うなo平面上 の円板 内にその特性根が μ個存在す る場合を考え る。す ると, 中心PF=σF+デωl,半 径 狩(`=1,2,…・,ν)の円上 を反時 計方 向 (角度正 の方 向)に一回転す る軌跡(contOur)の 式 は, S='iC″+Pi (2.2)
(θ:一π→π) で与 え られ る。 この円内 に特 性根 が μ個 存在 す る とす れば,特
性多項式(2.1)の一巡 軌跡 に対 す る偏 角 の変 化 は,2μTとな るはずで あ る.(S=σ
+ブω,す =マー1)Fig,l Characteristic roOts and a circle cOntOtttr
ここで
,次
の よ うな変 数 変換 を行 う,α
=tan(θ/2) (23) 明 らか に θ=―T,α=_∞
θ=0 ,α =o
θ=+π
iα=+∞
の対 応 関 係 が あ る.さ らに, 〆= =鵠
四 と書けるから,問
題は特性多項式(1)に 坤 号 拍 ッ 四 を代入 した とき,α:一∞→+∞ に対 し,偏
角の変化 が 2,ι″ となるための条件を定めることとなる。 なおこの条件は,s=σ+Jωに対 し特性多項式(1)を実 数部 と虚数部に分け, F(3)=P(σ,ω)+JO(σ
】ω) (2.6) と置いて考えるならば,P/c(あ
るいは-9/P)の
ゼ ロをよぎる符号変化数が -2μであることと等価であ る。ここで,符
号変化数 とは負から正への符号変化が あつた場合に1,正
から負への符号変化があった場合 には-1と
数え,その和をとったものである。 (2.5)式は tB+υα 1-すαただし,
V=特
+σ :+す ωl υ=ω l+す (駒 一σf) と書けるから,特
性多項式(2.1)に (2.5)すなわち(2.7)式 を代入すると,変
数sについての多項式F(3)よ り変数 αについての複素係数の分子多項式 Φ(すα)=(1-す
α)'F(デα) (2.8) が得 られる.(2.6)式 と同様,そ れを実数部 と虚数部に 分けて表現するならば, Φ(すα)=P(α
)+す 0(α) (2,9) こ こで,P(a)=α
。 1。・。 +αO,ュ・α 1+Ⅲ … +C01.lα +α01■ 9(α)=b。,。α“+bO,lα・ 1+・ … +b。 ,._lα +う0,■ である。ただし,さ きの偏角の変化2μTは ,こ のΦ (すo) については,明
らかに(1-すα)・ の偏角の変化分一れπを 加え合わせることにより,(2μ―れ)「となることがわか る.P/9(あ
るいは-9/P)に
ついていうならば, α:一∞→+∞ に対するゼロをよぎる符号変化数は, したがって れ-2μである.3.Sturmの
定理 による判定 ここで, Jo(α)=P(α
) (3.1)
デ1(a)= 9(a) とおき,P(α)/o(α)=デ0(α )/∫1(a)に
関 して,次
のよ うな連除法 ん(α)=デ1(a)?1(α)― デ2(α) デュ(α)=r2(a)T2(α) デ3(α) (3.2) r2■ 2(a)=r2■ 1(α )T2■-1(α)一 r2■(α ) を適用す る. 免(α),デュ(α)が αにつ いて れ次で互 いに素であれば, デ2(a),r3(α),中
●,r2■はすべて存在 し, r2ん(α),んi+ュ (α)(ん =0,1,一 ・,,-1) はαについて π一ん次の多項式,r2れはゼ ロで ない定数 と なる.す
なわち,r2(α),y3(α), ',九
.は 丁2(α)=CI,lα“ ユ+
…・ +αl,. え(α)=bl,lα' I+…
・ +bll. r2■-2(a)=α..1._lα+α ■_1,. '
r2■-1(α)=う..1.lα +b._1,. r2ぉ=α ■[“ と表される. いま,デ0(α)/丁1(a)のα:α l→α2に 対す るゼ ロをよぎ る符号変化数を∬(aュ ,α2),そ して数列 rO(a),デ1(α),'…
,√2, の符号変化の回数を7(a)と記すならば,拡
張 された Sturmの定理倒倒ょり ∬(αl,CV2)= 7(αl)- 7(a2) (3,4) と書 ける こ とが知 られ て い る。 こ こで は, ∬(―∞ 1+∞)=,-2μ
が その条 件で あ るか ら,明
らか に 7(―∞)-7(+∞
)=れ
-2μ(3.5)
とな る。 ところで,(29),(3.1),(3.3)式 よ り嵐器
=希
α
咀辞告―器
(3.6)α
4七
締 三
一
±
≒
】
与
F生。
地器
=器
α
地辞告
=器
。
吼 締
=等
と書かれ るか ら,(3.5)式 の条件 は,これ らの比 の うち の偶数番 目(異なった次数の多項式 に対す る比)が負 となるか どうかに注 目すればよい。 いま,α
岨 鵬
,…・
,。
吼 締
について考える。これ らの うち負 となるものの個数 を●
,3)∬
,正
となるものの個数を 'とおけば,(3.5)式 より P一 ∬=れ -2μ (3.り しかるに,P+Ⅳ
=れ でぁるから,こ れらより Ⅳ=μ (3.8) ん(a),rl(a)は αにつ いて,次
の多項式で なければな らない。少 な くとも(2.7)式における υが純虚数で な い,す
なわち,ωl≠0でぁ るこ とが必要である。ただ し, この ことが この定理の一般性 を失 わせ ることにはな ら ない。ω∫=0を 指定 したぃ場合,完
全 にゼ ロで はな く, 誤差 として許 され る程度の微小量 を与 え計算すればよ いか らで ある。この ことに注意す るな らば,定
理 にお いて示 された判定法,そのアルゴ ヅズムは容易に計算 機上 に置 き換 えるこ とがで きる. なおそ こでの(3.10)式の係数の計算 は,(2.7)式 よ り 0(すα)=Σ
αた(tt+υα)R-1(1_す 俊 )た (3.13) た=o で あるか ら,それぞれ展開 して白ご羞札撃湖
側
←
が
あ嗚…
遠
。
Ё腹
≧
札生
れ
,側
←
Dψ
4Jデ
ー
n■・
α
n 町“コ 町れ竜f五
札 生准]冊
口 ψ 4■ ヂn引 (3,14) で与 え られ る同,rig.2 The spёcirled discs,
4.制
御系設計への応用 フィー ドバ ック制御系の設計は閉 ルー プ系の特性た とえば極 を指定 し,それ に基づ いて必然的 に コン トロ ー ラが定 まる と考えるか,コ ン トロー ラを惨正 して行 を得る.以
上の結果を定理の形でまとめると,次
のよ うになる. [定理](判
定アルゴ リズム) 特性方程式 F(S)=cOs・+αtt ・δ 1+.… +αれ_ls+α.=0 (3.9)
中心Pi=σl+すωi,半径 特 の円板,す
なわ ち坤 号 指珈
(at―∞ →+∞) の中に μ個存在す るための必要十分条件は,F(d)を (3.8)式により変数αについて書 き換えた分子多項式 Φ(すα)=(1-テ
α)'F(すα)=(αO,0+すbO】0)α・ キ,・・・,+(c01.+すbO,.) (3.10) について
,係
数比牝
°町
転
群
凹
°111 ' α2,2 ' ' ( ただ し,勾
P=呵
等
￨―吼
P,・=LЪ
…
ち
→
喝=輛
￨ギ
1対的XP=中
J
・(3.12)
中的
・
1掃
卜 … …翔
鳴ま
い
,仰1汁1蜻
"・
=年
一
D
呻軋
画
1掃
卜
(ただ し,αgi・■1=0)
を順に計算 したとき,それ らの うちで負 となるものの 数が μ個であることである. (証明 )(17)式 の誘導の過程 より明かである.□
この定理の適用にあたっては,さ きに記 したようにき,F 9票の閉ルーブ特性になるように調整することを よしとす るかは
,意
見の分かれ るところであるが,こ の両者の妥協はあ りえないか, とR/hうのがこの論文のもう一つの視点で もある.
Fig,3 Feedback cOntrol system.
ところで
,仮
に極指定か ら出発す るに して も,厳
密 にその値で なければならない とい うことはまれである. そ こで ここでは,δ平面上 の円板で それ を指定す るこ とを考える。た とえば,Fig.2の ようにで ある。 簡単のために問題 をFilg.3に示す ような 1入 カ ー 1出 力系とし,ブ
ラント(制御対象)ら
とコントローラ Gじを分子・分母多項式鳴
=寺
,Cc=≒
律
→
で表現して考える
.ただし
,ら
は真にプロパー
(,PLP=∂げち
),・ ,=∂(DP),れP<れ,),Cc
はプロパー
(mc=∂(比),れc=∂ (Dc),Pltc≦,c).明
らかに特性多 項式 はF(3)=Iprc+DPDc
これは,(=■,十πc)次であ リモニ ックで あるとすれば , F(じ)=(S―
,1)(S― P2)・・・(d―P.)(4.3)
となる。 いま,極
P,(ど=1,2,… 。理)を指定,す
なわちF(s)
を指定すれば,コ ン トロー ラは rpχ+つ
pr=F (4,4)
となる適当なχ=塊
0,y=DcOを
まず定め,次
に 特 ズ+D,y=o (4.5)
を満たすズ=△堤0,/=△
DcOをもって, ∬c=IcO+△
∬cO,Dc=DcO+△
つcO (4.6) と設計す ることになる. これ らの考え方 は,多
項式 だけで はな く一般 に安定 な有理関数 に もあてはまる。た とえば,△ 比。,ΔつcO が適当な極 をもつ安定な有理関数で もよい (その場合 系の次数が上が るが,結
局,F(゛)とその極の集合和 に (4,2) より極を指定 したことになる).た
だ し,こ のような 手続 きで定めた (4.5),(4.6)式に基づ くコントローラは 必ず しもプロバーにならない。また,プ
ロパとになる ように定めると,積
分特性Dc(低
周波域における低感 度特性)が不十分 とな り,その改善のためにコン トロ ーラの次数を必要以上に増大させ ることになる回. そこで この論文では,特
性多項式F(3)に不確定項△F
を考慮 し,(4.5)式に対 し Ipχ+D″y=△ F
(4.7) となる,メ=△
Ⅳcl,r=△
Dclをもって ∬c=∬
c。+△
Ⅳcl,つc=つ
c。+△
つ。1 (4.8) とお き,コン トロー ラを設計す る161.特性根が少 な く ともさきの円板内に入 り,指
定 され た過渡特性に準ず るような制御系 を実現 を しようとす るのである。た と えば,ん を任意の実数 としてχ =んDPと選ぺば,打 を 適当 な安定多項式,ε を正数 としてr=―
んIp+ε
打(4.9)
と記す こ とがで きる。ただ し,この場合△F=ε
D,汀 で あ る, この ように して得 られた,プ
ロバ ーで しか も要求す る積分特性を もつ コン トロー ラ(4.8)式に よって構成 さ れた閉ルー ブ系の極 が,指
定 した極 Pf(￨=lP,… ・,■) を中心 とした半径 乳(j=1,2,… ',,)の許 された円板 の 中に入 ってい るか どうかの判定 につ いては,次
の三つ の方法が考え られ る。 (a)特性根 の直接 の数値解 法, (b)円軌跡の写像が原点 をまわる回数 を直接 カウン ト す る方法,そ して(C)さ きの定理 の半J定アル ゴ リズムに よる方法である。 しかるに,等
根,近
接 した根 な どの あ る高次系 ,さ らに制御系設計 において′くラメーテ惨 正量 を見積 りたい よ うな場合には,本
論文 の ような特 性多項式の係数 の連除 に よる手法 もそれな りに有効で ある と考 える。なお,この(b),(C)の間 の関係 は,明
ら かに,安
定判別 にお けるNyqutttとRoutil‐Hurwttzの そ れ に相当す る.5.簡
単な数値例 ここで,指
定す る公称系の極 が '1,'2= 0・5士,0.866,P3= 2
特性多頂式が れを任意の実数 として, F(S)=そ(s3+3o2+3d+2) (5.1)
と書ける場合について,さ きの定理の制御系設計人の 適用例をいくつか示す. (例
1)制
御対象がCPldl=武
(5,2)すなわち1ち
=1,Dp=d2+43の
場合
,(4,4)式より
, 生。=7,+2,DcO=d-1で
コン トローラは不安定 となる. そ こで,(4.7)式に基づいて △Ⅳcl=―d2_4d,△
Dcl=1+ε
32 (5.3)
と選ぺば, ∬c=一
s2+3d+2,Dc=゛
+εs2(5.4) であ り,ε>0な らば安定 なコン トロー ラとなる。この とき,特
性多項式 は F'(d)=F(゛)+△
F(3) =δ3+332+33+2+ε
(34+4s3)(5.5) となる。rま,c=0.2と す ると,半
径,1,,2=0・3の円内 の根は不変であ り,他
は半径9,中
心 (-10,0)の 円内 にあることをさきの定理 より容易に判定することがで きる.も っとも,こ の例はコン トローラが右半面ゼロ をもつ非最小位相系 となるので,制
御系 としては必ず しも望ましい応答 とはなっていないことに注意 したい。 (例2)(例1)とは逆に,対
象が不安定系箪→
=★
(5.6) すなわち,PVP=1,つP=s2_sの場合 を考 える。明 らか に(4.4)式よ り,札
。=7d+2,Dc。=s+4である。そ こで, (4,7)式において △ⅣcI=2δ'-2,,△
つ。1=-2+ε
32 (5.7)
と選ぺば, Ic=2●2+5s+2,つ
c=d+2+ε
s2(5,3) であ り,コ ン トローラの積分性が向上 した と考えるこ とがで きる,こ の とき,特
性多項式 は となる特=1-d,Dp=S2+sの
場合について考える。明 らかに,た=2に 対 し,比
0=3●+4,Dc。=23+7で
ある。 そ こで ,(4.7)式 において △射Л=3と2+3s,△
D。ェ=-3+3s+じ
,2(5,11) と選べば,Ic=3,2+63+4,Dc=53+4+c32 (5,12)
で あ り,コ ン トローラの積分性 は向上 したことになる。 この とき,特
性多項式 はF(3)=233+6,2+63+4+ε
←4+,3) (5.13)
となる.こ の場合ε=0.4で も,(例2)と 同 じ円板条件 を満たしている.6.あ
と が き この論文では,極
配置の問題における許容度 という 意味で,特
性根 (極)が
複素平面上の指定 した円板内 に入 るための特性多項式の係数間の条件,その数を判 定す るアルゴリズムを示す とともに=不
WE定性を伴 う 制御系の設計への応用について記 した。 数値例において示 した制御系は低次のものであるが, さらに制御対象の次数に不確定性,た とえばD,=DP(1+Td),T>0と
なるよ うな場合 について1 特性根が円板内に保持 され るか どうか,その ロバ ス ト 性 についての検討 も行 ってみた。 さきに記 した よ うに,本
論文 の よ うな特性多項式の 係数の連除 に よる判定法 は,等
根,近
接 した根 な どの ある高次系 ,さ らに制御系設計においてパ ラメータ修 正量 を見積 りたいよ うな場合に有効で ある と思われる. 実際 に,こ こに示 した判定アルゴ ノズムは高次,た と えば20次の特性多項式 について も判定で きるようプロ グラムされ ,ワ ークステーション上 において短時間で その数が出力 され るよ うになっている。 参 考 文 献 9/12(1979)神〕
奥山住史
:第32回自動制御連合講演会
(1989)F(d)=,3+332+3,+2+ε
(34_33)(5.9) 1lI W'W°
bVtth:Linear Muitiva able Control,とな る。ε=0.2とす る と
,半
径Tl,″2=0・2の円内の根 はSp
nger_vedag(1974)不変であり
,他
は半径9,中 心
(-10,0)の円内にある pl M.Ⅵ
dyasagar i ControI System Synthes指 :こ とを (例1)と同 様 に して半J定す る こ とが で き る。 A FactOrization Approach,MIT Press(1985)
(例
3)最
後に,対
象が非最小位相系同 高本貞治:代数学講義
,共
立出版,改
訂版(1965)釘 →
