RLC 共振回路概要 RLC 回路は, ラジオや通信工学, 発信器などに広く使われる. この回路の目的は, 特定の周波数のときに大きな電流を得ることである. 使い方には, 周波数を設定し外へ発する, 外部からの周波数に合わせて同調する, がある. このように, 周波数を扱うことから, 交流を考える

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ＲＬＣ共振回路

概要

ＲＬＣ回路は，ラジオや通信工学，発信器などに広く使われる．この回路の目的は，特定の周波数のときに大きな電流を得ることである．使い方には，周波数を設定し外へ発する，外部からの周波数に合わせて同調する，がある．このように，周波数を扱うことから，交流を考える．特に，Ｃ（キャパシタ）とＬ（インダクタ）のそれぞれが，周波数によってインピーダンス＊１）が変わることが回路解釈の鍵になることに注目する．即ち，ＲＬＣ回路の理解は，Ｒ,Ｌ,Ｃの合成インピーダンスによる回路挙動を理解することである．本実験では，部分回路としてのＲＣ回路とＲＬ回路の動作を確認した後，ＲＬＣ回路の構成別（直列，並列）の回路挙動および共振ピークの鋭さについて学ぶ． *1) インピード（impede）：妨げる，邪魔する

ＲＬＣ回路の基本的な考え方

周波数の低い交流では、回路は直流回路に似た応答をするはずである．キャパシタについては，あまりに周波数が小さい場合，開放とみなすことができ回路に電流は流れず，高周波の場合は短絡とみなすことができ回路に電流が流れる．インダクタについては，周波数が小さい場合，短絡とみなすことができ回路に電流が流れ，高周波の場合は開放とみなすことができ回路に電流は流れない．即ち，次のように解釈される．Ｃ･･･低い周波数 → オープン，高い周波数 → ショートＬ･･･低い周波数 → ショート，高い周波数 → オープンそこで、周波数を低周波から徐々にあげていけば、どこかでバランスがとれた点が見つかるはずである． ※ ＬとＣのバランスがとれた周波数で大きな電流が流れる → これを「共振」という基本的な記号と意味について基本的な記号と意味について基本的な記号と意味について基本的な記号と意味について ω = 2πf ･･･（ f：周波数(Hz)，ω：角周波数(ラジアン／秒) ）抵抗 → レジスタンス（Ω）･･･周波数に左右されないキャパシタによるリアクタンス → （容量リアクタンス）（Ω）･･･周波数によるインダクタによるリアクタンス →

ωL

（誘導リアクタンス）（Ω）･･･周波数によるＲＬＣ直列回路の合成インピーダンス(Z) = R + ωL −

(2)

Ⅰ

Ⅰ．

．

．ＲＣ回路の理解

．

ＲＣ回路の理解

Ⅱ

Ⅱ．

．

．ＲＬ回路の理解

．

ＲＬ回路の理解

ＲＲＲＲＣＣＣＣ発信器発信器発信器発信器 (V (V (V (VPPPP----PPPP)))) CH1 CH2 特性の傾向：・周波数 f → 大（ZL→大）⇒ CH2 の電流,電圧は f,L の関数 ⇒ ゲインは低下していく・周波数 f → 小（ZL→０）⇒ CH2 の電流,電圧は R 値で決まる ⇒ ゲイン０（ = 1） ※ ｆ＝０のときは，ZLがゼロすなわち短絡と同じ．データ表 20 log (dB) ﾌｧﾝｸｼｮﾝｼﾞｪﾈﾚｰﾀ（CH1）観測点（CH2） f(Hz) 振幅(v) 振幅(v) ゲイン(dB) 1 20 30 ．．．データ表 20 log (dB) ﾌｧﾝｸｼｮﾝｼﾞｪﾈﾚｰﾀ（CH1）観測点（CH2） f(Hz) 振幅(v) 振幅(v) ゲイン(dB) 1 20 30 ．．． 100₁₀1₁₀2₁₀3₁₀4₁₀5_(Hz) 周波数特性（片対数グラフ） 20 0 -20 -40 -60 -80 20 0 -20 -40 -60 -80 100₁₀1₁₀2₁₀3₁₀4₁₀5₁₀6_(Hz) 周波数特性（片対数グラフ）特性の傾向：・周波数 f → 大（ZC→0）⇒ CH2 の電流,電圧は R 値で決まる ⇒ ゲイン０（ = 1）・周波数 f → 小（ZC→大）⇒ CH2 の電流,電圧は f,C の関数 ⇒ ゲインは低下していく ※ ｆ＝０のときは，ZCが∞すなわちオープン（C 無し）と同じ．観測（オシロスコープ）ＲＲＲＲ L L L L 発信器発信器発信器発信器 (V (V(V (VPPPP----PPPP)))) CH1 CH2 観測（オシロスコープ）コイル

(3)

Ⅲ．

Ⅲ．ＲＬＣ直列共振回路，Ｑ値

ＲＬＣ直列共振回路，Ｑ値

１．電圧平衡 v t = v! t + v" t + v t (1) i t = I sin ωtとして，

∴ v t = RI sin ωt + ωLI cos ωt − I cos ωt (2)

２．電圧と電流の関係

式(2)は，v t = RI sin ωt + ωL − I cos ωt

= R + ωL − I sin )ωt + tan+ )

"+_-.,

! // (3)

（公式： a sin θ + b cos θ = √a + b sin θ + φ , tan φ =

5 6，より．また，θ = ωt， φ = tan+ ) "+_-., ! / ）インピーダンス（ＺＺＺＺ）の考え方：式(3)を， R + ωL − I = V と見る．ＺＺＺＺは次のように考える．３．インピーダンス（ＺＺＺＺ）の変化 = R + ωL − (4) ωL 1 ωC φ 9 X リアクタンス部分X は，条件によって正負に変化する発信器発信器発信器発信器 (V (V (V (VPPPP----PPPP)))) i t v t v! t L L L L ＣＣＣＣＲＲＲＲ v" t v t インピーダンスＲ：レジスタンス ωL：誘導リアクタンス：容量リアクタンス ωL >_ωC1 _{ωL =} 1 ωC ωL <ωC 1 ωL 1 ωC φ 9 ωL 1 ωC φ = 0 9 = 9 ωL 1 ωC φ9

(4)

４．共振回路を流れる電流の変化は次の要因の変化による．・インピーダンスＺＺＺＺの値（Ω）・角周波数ω（ラジアン毎秒）

I =

!<_{= "+}, -. < (5) 電流を最大にするには，インピーダンスＺＺＺＺを最小にすればよい

ωL −

= 0

このときの角周波数

ω

>

=

√" ･･･共振角周波数 → 共振周波数

f

>

=

?

=

?√" （確認：

tan φ =

"+_-., ! だから，φ = 0 ） ∴

ω =

√" のとき最大の電流が流れる (7) ５．共振実験 (6) 共振回路の周波数特性（横軸は対数）データ表発信器観測点(CH1) f(Hz) 振幅(v) v! n(v) 0 100₁₀1₁₀2₁₀3₁₀4₁₀5_(Hz) 周波数特性（片対数グラフ）発信器 (VP-P) L L L L ＣＣＣＣＲＲＲＲオシロスコープ GND 信号 (CH1) v! R大 R小 ω I

(5)

６．Ｑ値

共振周波数特性のピークの鋭さ（尖鋭度）を表す値．（Q factor, Quality factor）

定義：共振角周波数における値が √ になるときの角周波数を

ω

,

ω

(

ω < ω

)とし， ∆ω =

ω

2

− ω

1 を半値全幅としたとき，共振角周波数と半値全幅との比をＱ値という．

Q =

B ∆ 算出：共振角周波数における値が √ になるとき，インピーダンスZは√2倍になる．次の表現． √2Zとは，±45°方向へのベクトルになることが条件．共振角周波数時のZはRに等しい（ZDE = RDDE）．つまり， ωL − = R と ωL − = −R 上記は，次に変形される． LCω − RCω − 1 = 0 LCω + RCω − 1 = 0 上記の２次方程式より，ω > 0を念頭に置いて，

ω

と

ω

が判断される． ! =F ! <_=G" " →

ω

と判断される +! =F ! <_=G" " →

ω

と判断される ∆ω =

ω

2

− ω

1を求めると， ∆ω =RC+ RC_2LC2+4LC

−

−RC+ RC_2LC2+4LC

=

R_L 従って， Q = B ∆ = , √I. J I =! "

(8) 別の形での表現として，

ω

>

=

√" を用いて， Q =_! "= B" ! = B ! (9) （L で Q 倍の電圧が現れる）v"= ω>LI = ω>L K= ω>L!= QV （C で Q 倍の電圧が現れる）v = B I = B K= B != QV ※ Ｑ値 → 抵抗の両端の電圧の何倍の電圧が L または C の両端に生じているかを表す．ここで，抵抗両端電圧は，電源電圧の位相と大きさが同じ． ωL 1 ωC 45° 9 ωL ₁ ωC 45° 9

(6)

Ⅳ．ＲＬＣ並列共振回路，Ｑ値

１．共振考え方並列 RLC 回路は，共振周波数付近の帯域をブロックする役目を果たす．電流が最小になるときが共振．求め方： ①インピーダンスから直接考えるアドミッタンス Y =_M=_!+_{N "}+_+N, -.=!+ j ωC − " |Y| = _! + ωC − _" 電流が最小になる条件は，アドミッタンスが最小になることつまり，ωC − "= 0 共振角周波数は，ω>= √" 共振周波数は，

f

>

=

?

=

?√" ②キルキホッフの法則から考える v = v!= v"= v = V sin ωt i = i!+ i"+ i ･･･（キルキホッフの法則の電流についてを使用） =_!sin ωt + _"sin ωt −? + , -.sin ωt + ?

= V Q_!sin ωt + _"sin ωt −? + ωC sin ωt +? R = V Q_!sin ωt + ωC − _" sin ωt +? R 周波数に対するインピーダンスＺ ω Z ω0 発信器発信器発信器発信器 (V (V (V (VPP----PPPPPP)))) ＣＣＣＣＲＲＲＲ IR IL IC I L LL L I = IR + IL + IC IL < IC ，ωL > I θ IR IC IL V I I は V より進むリアクタンスは容量性 IL = IC ，ωL = Iは最小，θ = 0（同位相）リアクタンスは抵抗分のみ I=IR IC IL V I IL > IC ，ωL < I θ IR IC IL V I I は V より遅れるリアクタンスは誘導性電流について：コイルは位相を ? 遅らせるコンデンサは位相を ? 進める電圧について：コイルは位相を ? 進めるコンデンサは位相を ? 遅らせる (10)

(7)

= V Q_!sin ωt + ωC − _" cos ωtR = V _! + ωC − _" sin )ωt + tan+ ₎ +-I, , J // 従って， ! + ωC − " =M → = , J < = +_-I, < 電流が最小になる条件は，ωC − "= 0 共振角周波数は，ω>= √" 共振周波数は，

f

>

=

?

=

?√" ２．Ｑ値並列回路でのＱの定義 → 共振時に L または C に流れる電流と抵抗に流れる電流の比（解釈）｢回路の良さ（損失の少なさ）｣を表す指標 → 抵抗値が大きいほど，L,C に流れる電流よりも，無駄に抵抗に流れ熱になってしまう電流が少なくなる，という良さ． Q =SI SJ= T -BI T J = ! B" (12) （式(9)と異なる）

Ⅳ

Ⅳ_2

_2

_2．並列共振回路

．並列共振回路

．並列共振回路-

．並列共振回路

-

-2

2

並列 RLC 回路は，共振周波数付近の帯域をブロックする役目を果たす．電流が最小になるときが共振．アドミッタンス Y =_M=_!+ , , U-IV_{WU ,}, -. =_!+_{N "}+_+N, -.=!+ j ωC − " |Y| = _! + ωC − _" 電流が最小になる条件は，

ωC −

"

= 0

共振角周波数： ω>= √" 共振周波数： f>= ?= ?√" = I 周波数に対するインピーダンスＺ ω Z ω0 発信器発信器発信器発信器 (V (V (V (VPPPP----PPPP)))) ＣＣＣＣＲＲＲＲ L L L L 電流について：コイルは位相を ? 遅らせるコンデンサは位相を ? 進める電圧について：コイルは位相を ? 進めるコンデンサは位相を ? 遅らせる (11) (13)

(8)

２．Ｑ値並列回路でのＱの定義 → 共振時に L または C に流れる電流と抵抗に流れる電流の比（解釈）｢回路の良さ（損失の少なさ）｣を表す指標 → 抵抗値が大きいほど，L,C に流れる電流よりも，無駄に抵抗に流れ熱になってしまう電流が少なくなる，という良さ． Q =SI SJ= T -BI T J = ! B" (14) （式(9)と異なる）

レポート

①提示されたＲＬＣ回路１（Ｌが未知）について，(1)～(3)を行い(4)でＬを求める (1)共振周波数の測定 (2)データ表の作成 (3)周波数特性の作成 (4)Ｌの値を求める ②提示されたＲＬＣ回路２（Ｃが未知）について，(1)～(3)を行い(4)でＣを求める (1)共振周波数の測定 (2)データ表の作成 (3)周波数特性の作成 (4)Ｃの値を求める