【論 文】
UDG :624
.
042.
7 ;550.
34.
09日本建築学会構造系論文報告集 第418 号
・
1990尓12 月Juurnul of Struat
、
Constr、
Engng,
AIJ,
No.
418,
Deu.
、
19YO地 盤
・
建
屋
相 互 作 用 系
の
時 刻歴 解析
と
周 波 数 解 析
の
等価性
に
関
す る
基 礎 的研 究
STUDY
ON
THE
TIME
−
DOMAIN
RESPONSE
ANALYS
工S
METHODS
CONSIDERING
SOIL
−
STRUCTURE
INTERACTION
EFFECTS
IN
COMPARISON
WITH
FRE
Ω
UENCY
・
DOMAIN
METHODS
林
康 裕
*,勝 倉
裕
* *Yasuhiro
HA
YASUI
andUiroshi
KA
TUKURA
We
present various types of evaluation methods of causaldiscre
七e impulse resp 〔mse of unbound.
ed soil,
which are necessaryfor
the substructure approaches working in the time−domain
nonlinear response analysis considerlng the soil−
structureinteraction
effects、
The
discrete
impulse
re.
sponses are obtained eitherby
the Hiibert transform usillg the FFT algorithm (Causal FFTtreatment >of the
flexibility
of soil calculatedin
thebandlimited
frequency
range orby
thediscre
.
tisation of the continuous impulse response
formulated
in the limedomain.
Thedynamic
prQpertyof the
impulse
responses and their effects to the response analyses are examinedby
comparing theasympt 〔}tic property of the
flexibility
soil in thefrequency
with the asymptotic properヒy ‘)f theim.
pulse response in the time
domain,
and through earthquake response analyses,
KegwerdS
:soil−
structureinteraction
,
厂esPonse analcrsis method,
time・
domain,
freeuencydOmain
,
llil
・
be厂ごtransform
,
FFT1.
序 近 年 まで,
建 屋・
地 盤 系の応 答 解 析 を行う場 合,
周 波 数 領 域で解析 を行うこ と が一
般 的で あっ た。
こ れ は,
地 盤の特 性が周 波数 依 存 性 を有してい る の で, 解 析 結果の 考 察が周 波 数 領 域の方が容 易であり,
数 値 解 析 上の定 式 化 も周 波 数 領 域の方が容 易である た め と考え ら れ る。
し か し,
建 屋 や建 屋 近 傍の地 盤の非 線 形 性 を 考慮 し た応 答 解 析につ い ては時 間 領 域で行 う方が容 易であり,
時 刻 歴 応 答 解 析の重 要 性を無 視する ことは で き な い。
本 来,
周 波 数 領 域の情 報 と時 間 領 域の情 報は フー
リエ 変換を介して理 論 的に等 価で あり,
時 間 領 域で得ら れ た 過 渡 応答 解 析 結 果1],
また は,
過渡応答 実 験 結 果21か ら 周波数領域の情報を導き だ すこ と が可 能で あ る と同 時 に,
無 限 振 動 数ま で考慮す れば周波 数解析で得ら れ た地 盤の周波数応 答関 数 を も とに, それ を 用い た 地 盤・
建 屋 連 成 系の周 波 数 解 析と等 価な解 析を, 時間 領域で行うこ と がで き る3 )−
r,
) 。 し か し,
周 波 数 領 域で応 答 解 析 を行う 場合,
建屋・
地 盤 連 成系の卓越振 動 数が 地震 波と同程 度 に低 振 勤 数領域に 帯域 制 限 さ れてい ること か ら,
地 震 波 の時 間 刻み に対 応す るナ イキス ト振 動 数 以下の振 動数 範 囲で解 析が行わ れ ること が多い。
こ れ に対して,
地 盤の 周波 数 応 答関数のよ うに周波 数 広 帯 域な関 数を,
周 波 数 領 域で応 答 解 析 を行う際に用い ら れ る よ う なナ イ キス ト 振 動数で帯 域 制 限す る と,
そ の フー
リエ 逆 変 換と して得 られる イン パ ル ス応答は時 間に関す る因果律を満足 し な い。 非 因 果なイン パ ル ス応 答は,
外 乱が加わ る以前に応 答が生 じて いることを意 味し,
時 刻 歴 応 答 解 析に用い る こ と がで き ない。
さ ら に,一
一
般 の時 刻 歴 応 答 解析 手法で は,
運 動 方 程 式の時 間 積 分の精 度 を確 保す る た め に,
線 形 解 析で も地 震 波 を より細かい時 問 刻み に補 間し て解 析 を行う、
一
方,
地 震 波や建 屋・
地 盤 系の応 答 波の よ う な周 波 数 帯 域 制 限 関 数の場 合に は,
適 当な時 間 間 隔でサ ンプリン グし て もそ の スペ ク トル特 性は ほと ん ど変わ ら ないが,
地 盤の周 波 数 応 答 関 数は非 常に広 帯 域で, これ を 逆 フー
リエ 変 換 して得ら れ るインパ ル ス応 答の継 続 時 間は 短 い。
周 波 数 応 答関数の ス ペ ク ト ル特 性を ゆ がめな いた め に は, 地震波に比べ て は るかに小さ な時 間 間 隔でサ ンプ リング する必 要 が ある。
特に, 加 振 点近傍の インパ ルス 応 答は,
衝 撃 力が加わっ た瞬 間に応 答 を生じ る。
し た がっ 本 論 文 中の Fig.
4は,
文 献1]1の Fig.
7の 再掲載で あ る.
* 満 水建 設 (株1大崎 研究室・
工修 * * 清 水 建 設 (株1
大 崎 研究室・
二L博Ohsaki Research InstLtu[e
。
Shimizu Corporation,
M.
Eng.
Ohsaki Rじsea 【ch Institute
,
Shimizu Corporadon,
Dr.
Eng.
て その 変 化は急 峻で あり
,
通常の 地 震 波に対し て行わ れ る よ う な時 間 刻み でサ ンプリングを す ることには疑 問が 残る。 以上か ら,
地盤・
建屋相互 作 用系の時刻 歴解 析と 周 波 数 解 析の関係を考え るうえで , (i
) 時 間領域の解 析と 周波 数 領 域の解 析に 必要な周 波 数 範 囲 (対 応す る時 間 刻み)の関 係を明ら かにする こと と,
(ii) 解 析 的に得られ る連 続 的なイン パ ル ス応 答の特 性 と時 刻 歴 応 答 解 析で用い る離 散 的なイン パ ル ス応 答の特 性の差を把 握す ること,
が重要と な る が,
こ のよ う な観点か ら考察を行っ て い る 研 究は ない。 本 論 文では,
周 波 数 領 域で帯域 制 限さ れ た シス テム関 数より得ら れ るイン パ ル ス応 答の物理的 意 味と,
そ れを 用いたサ ブス トラ ク チャー
法による建屋・
地 盤相互 作 用 系の時 刻歴地 震 応 答 解 析手法につ いて考察し て, 時 間 領 域の 定式 化と 周波 数 領 域の定 式 化の 関 係 を 明らか にす る。
そ して,
時 刻 歴 応 答計算に必要と な る離 散 的なイン パル ス応 答の評 価 法につ い てtFig.
2
に示す よ う に, 帯 域 制 限され た シ ス テ ム関 数か ら FFT を用い て定め る方 法 (hc
[n]は除く) と,
解 析 的に求め たイン パ ルス応 答 か ら評 価する方 法を提 案し,
そ れ ら が時 間領 域と 周 波 数 領 域で持つ特 性 を考 察すると と もに,
既往の 方 法 との 相 違につ いて言 及する。
なお, 本 論 文での考 察は,
特 性の 明 快さ と考 察の容 易さ か ら,
Table lの よ うに地 盤系を ユ自由 度 系に モ デ ル化 し て行っ て い る。
また,
本論 文で の議論は,
建 屋・
地 盤 連 成 系 を対 象に して行っ て い る が,
一
般の動 的サ ブス トラクチャー
法に も適 用して 考え るこ と ができ る と考え てい る。
r
「
叮
¶
一
rー
昏
}
} 1ー
幽
ーー
幽
1 − II−
5〜OII
−
StrUCtUre lntera 匸tlOn SyStemStrucしure 1
x _ _
潛
s 厂 !ノ
B:Artificial Bound戲ry「
1ー
ー
ー
ー
II − IIIIー
ー
1ー
一
一
し
_
一
一
一
_
_
一
_
_
_
一
一
一
一
一
一
_
_
一
一
一
一
,
一
,
一
一
一
一
一
一
一
一
_
鬩
P−一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
凾
Jv
+
▽
\
丿
7
・
/
−
Input mott 。n Flexibility matrix [F(ω 】。 ・匚Fω】 {嚇ω}。r{UG(t)} Fig.
1 Schematic view of analysls and concept of substructure rnethod2.
解 析 対 象と解 析 手 法 2.
1
動 的サ ブス トラ ク チャー
法に よる時 刻 歴 応 答 解 析 と インパル ス応 答の評 価 解 析 対 象を,
Fig.
1に示す よ うな建屋・
地 盤連 成 系と し,
建屋およびその 周 辺 地 盤の 非 線 形 性ま た は不 均 質性 を考 慮し た時 刻 歴 応 答 解 析を行う問題 を考え る。
解析に おい て は,
建屋・
地 盤 連 成系に仮想境 界を 設 けて,
遠 方 地 盤と建 屋および周 辺 地 盤に分 離す る。 な お,
遠方地盤 は線 形と仮 定す る。
建屋 とそ の周 辺 地 盤 を有限 要 素 等 に よっ て離散化 し た 場 合,
その第 n ス テップ (時刻t=
n△T ;△T は応答 計 算の時 問 刻み)に お け る絶対 変 位 系の釣 合い方程 式は 次 式で表 さ れ る。
隠
:
ll
瀏
雛
1
・[
ll
:
:
1
ll
:
:
1
]
繍
・
騾
1
鐸
:
1
鵬
ll
・ 、晶ト
棚:
…・
…・
…………・
………
(1 } こ こ で,
[M ],
[C ],
[K ]は,
そ れ ぞ れ質量,
減衰,
剛性 行 列,lu
(t)}は応 答 変 位ベ ク トル で,
添 字B
は境 界上の 自 由 度,
添 字S
は その他の 自由 度を表す。1P
(t)1
は,
建 屋お よ びそ の周辺 地 盤の非線形性を表す た めの外 力 項 で,
線 形の 時にはio
}で,
非線形 化 し た 時に は 不 釣 合 力 (;
(線形時の復 元 力 )一
(非 線 形 時の復 元 力 })と な る。 また,
IR
(t)1
は仮 想 境 界に働く遠 方地 盤 との相.
彑作 用力 で あ る。
IR
(胡 をフー
リエ 変 換した}R(ω)1
は,
遠方地 盤 の境界に お け る柔 性 行 列 [F(ω)]と,
建 屋お よ び周 辺 地 盤 が ない時の応 答 変 位IUc
(副 を用い て次の よ うに表さ れ る。
lu
(tU)}; [F
(ω)]・
IR
(tO>1
・
・
………・
………・
……・
〔2) ただし,
IU
(tO)}・
=
IUB
(ω}}−
1U
,,(ω)}である。 ま た,
フー
リエ 変 換場 に お け る時 間 項を exp けω の と す れ ば,
(2
)式の両辺の時 間 微 分に相 当する周 波 数 領 域の関係 式と して次式が得ら れ る。 た だ し,
」=
(−
1) v2 であ る。
j
・・lu
(ω)1
−
j
ω [F(t・)]’
IR
(ω〉レー …一 …・
…
(3) (2),
(3 )式よ明R(甜 が評 価で き れ ば,
(1
) 式 を解 くことによ り時 刻 歴の応 答 解 析を行うこ と ができ る。
こ こ で,
[F(ω)]お よ び ノω [F
@ )]の フー
リエ 逆 変 換 は [F(t)]お よ び [F
(t
)]で,
遠 方 地 盤の境 界を周 波 数 領 域 で単位 加振し た時の変 位ベ ク トル ま た は速 度ベ ク トル を,
逆フー
リエ 変 換し て得られるイン パ ル ス応答で構成 さ れ てい る。
(2 )式の逆フー
リエ 変 換は次式で表 さ れ る。
1
・(・)1
−
f
:
[・(・)]IR
(t− ’
・)ld
・一 一 …・
…
〔4).
ヒ式は,
[F(t)]と {R(酬の時 間囚果 性,
す な わ ち,
[F(t}]
=
[0], IR
(t)}= }0}(tく0}
・
・
・
・
…
一…
(5 ) が 成 り立っ てい る の で
,
次の よ うに書き換え ら れ る。・・ω・
イ
… r・]・1
・・t−
r)1
…’
・
・
…・
一 …・
・
・
・
…書
碧
瓢
鱗
驚 認
灘謙
留 二
扇
こ こ で,
時刻歴 応 答解析を行う場合,
解析結 果と し て求 いt
時間 刻み を △t
(=
π/ω κ)とすれ ば,
時 刻t=
め ら れ るIR
(t)i
の 時間 因 果性は常に満足 さ れ る。
[F
(t)ユ n△t
で の値を意 味してい る。 離 散 イン パ ル ス応 答の時 の 時 間 因 果 性は, 時間 領域で [F
(t)]を直接 定 式 化し た 問 刻み △ tは, 応答計算の時 間 刻み △T
よりも大き く,
場合に は自動 的に満足 さ れ る。
し か し,
周波 数 領域の定 1以 上の整 数 m と, 式 化に よ り算 定され る [F
(ω)1
は非 常に広 帯 域の関数で △ t=
m・
△T ………・
…・
・
…・
…・
…………・
・
《8) あ りt フー
リエ 逆変換に よっ て [F (t
)]を求める場 合は,
の 関係が ある と す る。
上 式は, 時刻歴応 答 計 算で必 要と 無 限振 動 数ま で[F
(ω)]を 考 慮し た場 合に の み[F
(t}]の な る振 動 数 範 囲が,
地 盤 柔 性の周 波 数 依 存性を考慮す る 時 間 因 果性が満足 される。
し か し,
有限 要素 法や 境 界要振動数 範 囲の m 倍である こと を意 味す る
。
素法を用い て [F(ω)]を 計算する場合に は, 無限振 動数he
[n],
h
。[n], ht。.[n]は, シ ス テム 関数H
(ω}の 実 まで計 算する ことは不 可 能である し,
さ らに, メ ッシュ 部だ け,
虚 部だけ,
および両 方 をFFT
で逆 変 換し た も 分割 等の モ デ ル化上 の 制 約に よ り,
高 振 動 数領 域の の であ る。
し たがっ て,
時 間に関し て he[n]は偶関 数,
[F(ω)]の 精 度を保 証する こと がで き な い。
有限の振 動he
[n]は奇 関 数であ る。
数 範 囲で計 算 を打ち切っ た[F(ω}]をフー
リェ逆 変 換 し ま す, 周 波 数 領 域で定 式 化し た システム関tw
H
(ω)か て近 似 的に求め ら れ る [F(t)]は,
非因 果 と なっ て し ま ら求ま る 因果的な離散イン パ ル ス応 答につ い て説 明 す う。
[F(t)]が因 果 的で な い場 合 (例え ば, 後 述のFig.
4 る。
(b
)参 照 ),
ある時 刻t=t
。の応 答iu
(酬 を 求め る た め (の 飯[n]とh
,[n] に はt
>t
。のIR
(朗 が必 要と な り, 逐 次 時 刻歴応答計算h
,[n]とh
,[n]は,
各々 he[n],
h。
[n]の 因 果的な部 を行うこ と が で き な いe もし, [F (t)]の非因果な部 分を 分 を2倍 して取り出 した もの であり,
次 式で表さ れ る。
無 視す る と,
後 述の例 題で 示す よ うに低 振 動 領域のh
,[n]=
2U [n]・
he
[n]…・
…’
…’
………
(9 ) [F(ω)]が ひずん で し ま う。
し た が っ て, 有限の振 動数ht
〔n]=
2 U [n]・
h。
[n]十h窄δ* [n]……・
……
(10 ) 範 囲で定 義された地 盤柔 性を,
そ の低 周 波 数領域の ひずここ で
,
δ* [h
],U
[h
]は次 式で定 義される。
み を出 来る だ け小さ く抑え て,
かつ,
インパル ス応答がδ* [
k
]==1
(k=0
},
0(
k
≠0)………・
・
’
…’
”
(U ) 時 間閃 果となる よ うに変換 す る,
次節で示 すような方 法U
[h
]=
0(
k
<0),
0.
5(
h=
0),
1(k>O)
.
が不 可 欠とな る。
・
……・
…・
…・
…・
…__.
_.
(12) 2.
2離 散 インパル ス応 答の評価 方法
飯 [n]は
H
(ω)の実 部 だけ か ら定 まり,h,
[n]はH
(ω}のシ ス テ ム関数
H
(ω)の入 力 をx
(ω〉,
出 力 をy
(ω)と す虚 部だ けか ら定まる
。
毎[n]は,H
(ω)の実部お よ び実 れ ば,
(2}, (3 )式と 同形の次の関係が成り立つ . 部とヒ ル ベ ル ト変 換 対 61・
η を 構 成す る虚 部か ら定ま るイY
(ω)=H
(ω)・
X
(ω〉……・
………・
…・
……・
…・
・
(7
) ンパ ル ス応 答に相 当し,hl
[n]は,
H
(ω)の虚 部お よび Fig.
2 に,
帯 域 制 限され た シス テム関 数H
(ω)か ら因 果 虚 部とヒ ルベ ル ト変 換 対 を構 成する実 部か ら定まるイン 的で離 散 的なイン パ ル ス応 答を定める幾つ か の方法 を示パ ルス応 答に相 当 する。 そ して
,
△t→
0の場 合に は, す。
図 中の FFT は,
ナ イ キス ト振 動 数 をtON, フー
リh
(t)との間に,
次の関 係か成 り立つ。
h
(n△t
)=h
,[n];2
he
[n](n≧O
}.
_…駕
1”ve「seFF 「
跚
………・
・
…・
…
(13 )1
一盤
撥
一鑠
钁
∵鬻 驚
1
;
;
臨
轟騨
靆 肺 醸 醵…
農 齢 島 野 灘 難 覊 Fig.
2韈
韓 難
聾
灘
羅
∴
;
1
, 周波数領 域の実 部の平 均i
i
:i
i
値に対 応 する n・
=
O でh
,[0
]=h
。[O
]…O
h.
,。]igl
。m、。、i
と な り・
… [・・(・)]の低 振 轍 領 域の誤躍
継
’
鋼
・
・
… :…
聯
石ヂ…
蕉
力矯
畿
轟瓣 膿
岩
早
Evaluati。n 。f causal discrete impulse respQnse る関 数 h*δ*
[n]が周波 数 領 域で
一
定の実数 値に対 応する性 質を利用 して
,
平 均 値 0と して求まっ た実 部の値に対 し て一
定 値 を 加え, ω=
ω。近傍で誤 差 を小 さ く して いるこ とに相 当 する (後 述のFig.
6(b
)t(c) 参 照 〉。
(ii)hc
[n]とhCN
[n]hc
[n]は,
次式の よ う に,
実部・
虚 部 両 方を用い て計 算 し たhc
。.
,
[n]の 因果的 な部 分を取り出 し た もの で あ る。
hc
[n]=
σ* [n]・
hω.
[n]一
凾
幽
・
・
…一 …………
(16) こ こ で,U
*[ic
]は,
次式で定義 さ れ る。
U
* [k
]=
0 (h
<0>,
1 (h
≧0
)・
・
・
…
一・
・
・
・
…
(17)hc
[n]は,
Q)N を十 分大き く し て 逆変換し た場 合に (△t
→ 0 )時 間 因 果 的 と な り,
デ ジ タル 信 号処 理の分 野で し ば し ば 用い ら れ る もの であ る。hCM
[n]はhc
[n]の0
秒の値を が に修 正 したもの で あ り,
hCN
[n]=
(1− U
* [−
n])・
hc
[η]十h
*δ*[n]…
(18 ) で与え ら れ る。0
秒の値h
* は,h
,[n]の場 合と同 様に,
Re .
[HCM
〔ω o)]=Re .
[H(ω o)]…・
……・
・
・
……’
(15)’
を満足 す る よ うに決め る。 ω。=
0の場 合,
こ の 修 正は 妬.
[n]の非因果な部 分の特性を失わ ないように,hc
[n] に対して,h
、、.[n]の非 因 果な部 分の総 和を hc [0 ]に加 え たこ と に相当 する。 そ して,
後の例 題でも示す よ う に (Fig.
4(b
>参 照),
イン パ ル ス応 答の非 因 果な部 分VSO
秒 近傍に集 中す ること か ら,
直感的に も諾け る近似と なっ て い る。 な お,hCN
[n]はh
,[n]とh,[n]の平均値 と なっ て いる。
(iii) ん皿 [n]一
方,
△ t間 隔の離 散 イン パ ル ス応 答は,
時 間領 域で 定式 化し たイン パ ル ス応 答h
(t)か ら作ることもで きる。
Fig.
2の 妬 [n]は,
△ t間 隔でh
(i
)の平 均 値を言1
.
算 し た もの で,
次 式で表され る。h
・[n]一
郡
:
野
・(曲・
……・
…一 ・
……
(19) Fig.
2に示し た5つ の離 散 イン パ ル ス応 答を総 称し て ん臥[n]と 呼 び,
そ れ らをFFT
で周波 数 領 域へ 変 換し て一
tUN≦ω 〈 ω N の範囲 で 求ま る帯 域 制 限 シス テムHc
(ω),HCM
(ω),HR
(a)),H
,〔ω)お よ びHm
(ω〉を総 称 し て H:.,
(ω)と呼ぶ。
こ こ で 注 意を要すべ きこ とは,
H(ω〉とh
(t)をH 臥(ω)や ん鋲[n]に置 換 し た の で は な く,
次 式 の よ う なH
(ω)の 周 期 化 関 数 H 翫(ω)と デル タ関 数 列 硯呈ω に 置換し たことで あ る。
H 讖(ω)=
Σ 瑞 .:
(ω+2iω.)………・
・
…
(20) ‘=
−
anh
::(t)=
Σ △ t・
h:,
,圃 δ(t−
k△ 診)…・
・
…
(21) 配己
一
qt 2.
3
相互作用 力の評 価 シ ステム に対する入力が帯 域 制限 関 数 (X
(w)=
O(1
ω1
> WN )) と み なせ,
I
bl1
〈 a)N の範囲でH
(ω)定H
(ω〉な ら ば,
次 式が成り立つ 。y
(ω)− H
(ω}・
X
(ω)=H
(ω)・
X
(ω)=
HX ζ
(・・)・
x
(ω)…・
・
…・
:t……・
…一 …・
(22) (22 )式をフー
リエ 逆変換して (21)式を代入 し,
嬬,
N [n]の因果性の条件を考慮し,IAt
を イン パ ル ス応答の 継続時間 (ん [k
]=OU
〈h
≦N
/2
))と す れ ば,
ly [n]
;
Σ△ t・
x [n−
hm ]h:.
,
[h
]・
……・
・
…
〔23) 尾一
〇 の 関 係が得ら れ る。
ただし,
イン パ ル ス応 答 硝.[n]の 時 間 刻み は前 述の よ うに.
△ tで あ る が,
その他の時 系 列 関 数の時 間 刻み は △T
(△t=
m △T
)で あ る。
例え ば, X [n]は t=
n△ T での値を 表 してい る。
(23 )式 を (2)式に適 用 し,
iR
[n]}につ いて整理 す る と次 式が 得ら れ る。
IR
[n]μ
盤 亨
1(
lu
[n]}一
船 丁自
[F 剛
IR
[n−
mi ユ1
)
・
…
∵
・
・
・
・
・
・
・
・
…
7r・
r…
r・
・
・
・
・
・
・
・
…
(Z4) 通 常の時 間 領 域の定 式 化S)
・
9)で は,
まず変位 イン パ ル ス 応 答 [F(t
)]を 直接 計 算 し,
’
(61 式を時 刻 歴 応 答 解 析の 時 間 刻み △T
間 隔で離 散 化す ること に よ り,
(24
)式で m=
1とお い た場 合と同 型の 式を得る。 ま た,Wolf
の 定 式 化勘 ま,
周 波 数 領 域で定 式 化し た[F
(ω)1
を用い て [F(t)]を計 算す る以 外は,
基 本 的に時 問 領 域の定式 化と 同じ である。
す な わ ち,
既往の定 式化は,
(24 ).
式で m=
1と おい た場 合に相 当し,
時 刻 歴応答 解析の時 間刻み △T
を小さ く す る と, 非 常に.
高い振 動 数の [F
( ω)]を 用 い て時 刻 歴 応 答 計 算 をして い る こ とに なる。
これ に対し て, (24 )式の定 式 化は, 離 散 イン パ ル ス応 答の 時 間 刻 み △t
を 時 刻 歴 応 答 解 析の 時 間 刻み △T に比べ て m 倍にする ことがで きる の で,
時 刻 歴 応 答 解 析で必 要と な る [F(ω)]の振 動 数 範 囲を,
m 分の 1に抑える こ と がで きる。
一
方,
(24}式の誘 導と同 様に,
(23 >式を (3 )式に 適 用す れば次 式を得る。lk
[n]ト[罧 亨
1(
la
[n]}−
m △ 丁盞
[lf・
[i
]]IR
[n−
mi ]})
・
・
・
・
・
・
…
7・
…
r・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
(25) な お,.
林ら の 定 式 化4 )は,
(25)式で m=
1と おい た場 合に相 当す る。 ま た,
以 下で は,
(24}式を相互作 用 力 の変 位 定式 化.
(25>式を速 度 定 式 化と呼ぶ。
(24),
(25)式の [F [O ]] K’
[F [0 ]]は,
衝 撃力 が加わっ た 瞬 間の 応 答 に相 当 し,
時 間 刻み △ tが十 分小さ け れ ば対 角マ ト リク ス とな るが,
応答 解 析の時 間 刻み △Tに対 し て十 分に大き く △ tを取る こ とに よ り対 角マ ト リク スとみ なせ な く な る。 この時
,
逆マ トリク スを 計 算 するた めに三角 分 解の必 要が生 ずる。
ま た,
(24>式の [F
[o ]]−
1/m △T
は, (1 )式の右辺の [κ副に足 しこ ま れ る付 加 剛 性 行 列 で あ る が, (25 >式 の [F
[0
]]一
’ /m △T は,
(1>式の 左 辺の [CBB
]に足しこま れ る 付 加 減 衰 行 列と な る。
そ し て, 離 散 イン パ ル ス 応答 [F
[n]], [F
[n]]は, 小さ な n に対し て急 激な変化をす る ことが予 想され る か ら,
[F [0]」や[F [0 ]]の精 度確 保 が, 応 答 解 析の精 度の確 保上, ひ い て は応 答計算の 安 定 性 を 保 証する上で重 要な意 味 を 持っ てい る とい え る。
一
方,
(24),
(25>式 中の ( ) 内 第Z項は,
過 去に 生 じ た相互作 用力に起因す る t=
n △ T に おける仮想境 界の変 位 (速 度 )を意 味して い る。
こ の項は,
イン パ ル ス応 答の継 続 時 間の間,
m △T
間 隔でIR
[nl}と [F
[n]] の合 成 積の計 算を行っ て評 価する必 要が ある。
し た がっ て, 本 手 法は,
応 答 計 算の時 間 刻み △T
に比べ て離散 インパル ス 応 答の 時 間 刻み △t
が大きい 程 効率 的で,
イン パ ル ス応 答の継 続 時 間が短く な るほど効 率 的で あ る。
以 上か ら, イン パ ル ス応 答のt=o
近傍の特 性と継 続 時 間 特 性は,
応 答計算 手 法の精 度 と 効率 性を議 論す る.
ヒで重 要な意 味 を持つ こと が指摘でき るc、
3,
イン パ ル ス応 答の構 造 と応 答 解 析 手 法 3.
1 地 盤 柔 性の構 造と インパ ル ス応 答の漸近特性 本 節では, 周 波 数 領 域での地 盤 柔性の特 性と,
Fig.
2 の フ ロー
に従っ て得ら れ る離 散 インパ ルス応答の特性を 対応づ けて, 体系的な考 察を行う、 考察は,
簡 単 さのた め に, 地 盤系をTable
1
に示す よ う な1
自 由度 系に モデ ル化して行う。
周波 数 領域の動的剛性S
(ω)は次 式の運 動 方程式 moU 〔t
)十Co血(t
)十h
。u(t
>;
δ(t
)・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
〔26) を解い て,S
(ω)= (−
toemo 十j
ωCo十k
。)と なる。
ただし,
δ(t)はDirac
の デル タ関 数で,
対 象と して い る地 盤 系は, 逸散 減 衰 特 性を有してい る と仮定 して c。≠0と する。
動 的 柔 性F
(ω)はS
(ω)の逆 数で あ る。F
(ω)の ω→
。。 に おける漸 近特性は,Table
1
に示し たよ うに,
遠 方 地 盤 の解 析 手 法やモ デル化に よっ て次の よ うな差異が あ る。
す なわ ち, 質 点 系や FEM 等の離 散 系の方 法に よっ て 求ま る動 的 柔 性F (ω)は,
m 、≠0の場 合に相 当し, ω の 増 加に伴っ てCase
I
,
fi
の よ うに ω’
2の オー
ダー
で減 衰して い く。
また, 境 界 要 素 法 等の よ うに連続 体系の手 法で得られる F(ω }は m 。=
Oの場 合に相 当し,
ω → ・ ・ に お け る漸 近 特 性はCase一
皿,IV
の よ うに な り,F
(ω) は ω一
’のオー
ダー
で減 衰して い くと言わ れ ている10}。一
方,
臨=
0と な る例と して は,
遠 方 地 盤 を有 限要素等で モ デル化し,
そ の 逸 散 減 衰を表 現する境 界 処理 と して ダッ シュ ポッ トを用い る場 合な どに生ずる。 こ の よ う な 地 盤 柔 性 F(ω)の漸 近 特 性の差 異は,
理論的なイン パ ル ス応 答の初 期 値 と最 終 値に以 下の よ うな影 響を及ぼ す。ま ず,
F
(t
)の初 期 値Fi
。itは,
ラプラス変換の初期値 定理か ら次式で表され る。
F
,.
、,=1im
F
(t
)・
・
1im
lf
ωF(ω)ト1
IF
(ω)i
t−・
o+4co
ゆり
on・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
’
(27
) す な わ ち,Finit
はF
(ω}の ω → OQ に お け る挙 動に よっ て支 配さ れ てい る。 そ して, m 。=0
の場 合に はF1
.itは 1/Coに な る が,
Mo ≠0の 場 合に はFinit
=
Oと な る。
F
(t
)の初 期 値Finit
につ い て も 同様に,
m,
≠0
の 場合は1
/m 。で有限値で あ る が, 肌。=0
の場合に はF
(ω)が ω → ・・ で一
定値 1/c 。に収 束す る か ら,
時間領 域で δ(t
) の 構 造の特異性 を 持つ。
以 上の こと は,
m、
が 十 分 小 さ い場合の解析対 象振動 数 領域の システム関 数の特性は,
m 。;
Oの 場 合と ほ と ん ど同 じで あ る が,
解 析結果に ほ と ん どの 影 響 を及ぼ さ ない 高 振 動 数領域で は両者の特 性 に 差 が生じ,
イン パ ルス応答の 初期値も異なっ て し ま う ことを意味して い る。
次に,F
(t
)の最 終 値 FE。
tiは,
次 式の よ うに プωF(ω〉 の ω=0
に お ける値 と一
致 する。Table l Snffness and flexibility coefficients of one degree of f[eedom system S雌ness S〔ω)
=
(−
02mo 輔 ol+eo町’
〔CO≠D) Classification Case I (mo ≠0,
愚o≠O) Case i【 (mo ≠0.
陀0=
ω CaseHl (尻0
=
0,
々0≠0) Case[V (肌0=
0,
矗0=
D)Variation and physical
image of each ease
1m躅 sysbem ⇔ 偲轗鰯職懸
,
・
疲
醗 醐 羅蠱顧鞭、
脚
.
滞
濁.
簾 蟹 思 糖 笥 野F
FEM⇔
1−
Dsoilcol n昂
,
・
1−
Dsoilcolumn印
■ 「
昌 ・
Flexibility F(ω=
S仙).
L (if8〔ω)≠0} 1虐 (ω) 1!S(ω)+認 (ω)1Co 1〆S(ω 1/s(ω)+πδ(ω)〆Co F 【。
iL二
列ε=
o+
} 0 0 1/CO 1/CO FE。
d=
F〔ε=ワ
゜
) 0 11Co 0 1/CO 戸 正。
iL=
恥三
〇+
) 11 0 11瓰一
堀eo2 + δ〔D+yσo δ 〔0+ycO 戸 躙=
即二
。。1 0 0 0 0一 101一
FE
。α=hm
F
ω=lim
{ゴωF
(ω)トF
(ω=0
) tオ
co wイ
o・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
P・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(28> 解 析モ デル が静 的 剛 性 を持つ場合, すな わ ち,h
。≠0の 場 合には,FE
.d は0
とな る が,k
。=0
の場合に は永久 変 位 1/c。 (≠O) を 生 ずる。
また,.
FO
)の最 終 値FE
。d に つ い て は, c。≠0を仮 定し て い る の で, 必ず 減衰して 0 に収 束する。
つ まり, 対 象と している系が減 衰を有す れ ば,
インパ ル ス応 答はt
→ ・D で一
定 値に収 束す る。
以上 を ま と める と, イン パ ル ス応 答の初 期値 (t
→0
の 漸 近 特 性 )は動 的 柔 性 F(ω)の ω→
。 。 の漸 近 特 性に , イン パ ル ス応 答の最 終 値 (t→ 。。の漸 近 特 性 )は動 的 柔 性の ω→0
の 漸 近特性か ら定まる。
この よ うに して得られ たイン パ ル ス応答の漸近特性をTable
ユ に.
整理 し て示す。
3.
2 離散イン パ ル ス応答の 特性Table lの地 盤 柔 性 を もとに
,
Fig.
2の フワー
に従っ て計 算し たhe
[nユとh
。[n]の 時 間 因 果な部 分 (n≧O) の例 を, 解 析 解 h(t}と比 較し て Fig.
3に示す。
FFT
で 用い た時間 刻み は,
図中に示 し た無 次元化 時間 t’ に対 して 0.
2,
フー
リエ 項 数 は128で あ る。
ま た,k
。=
0の 場 合に は,F
(ω)は δ(ω〉の構造 を有し てい るの でF
〔ω;
O)≡ 0 と おい て算定 して い る。一
方,h
(t)が δ(t)の 構 造 を 持っ Fig.
3(b
)のCase一
砠,
IV
のh
(O
>は,
便 宜 的にh
(t)の.
t;0
近傍の平均 的な値と し て,h
(0
)=
妬 [ 0 ]と して図示し た。
〔9),
(10) 式 と Fig、
3 か ら,
離散インパ ル ス応 答の 形 状につ い て以 ドのこと が指 摘で き る。
・
(ilh 。;
0 の 場 合に は,
イン パル ス 応 答F
(t
)は Fig.
3
(a)の Case−ll,
W
の よ うに永久変 位を生 ずる。
he
[n]は,
F
〔ω=
q
)は0
と おいて.
求め たの で,he
[nl の平 均値 LS Oとな る よ うに零軸が シフ ト して い る。
一
方,
he
[nj につ い ては零 軸は シフ ト しないが,
直 線の トレ ン ドを持 ち 永 久 変 位が隼じ ない1% (ii} Fig.
3(b
)の Case−
M
,
W
の よ う に,
h〈t)が δ(t) の構 造 を 持つ 場 合で も he[n]は t=
・
Oで 発 散せ ず,
h
, 0,
3 D.
20 ζ 囗・
取§
。.
。一
〇.
1 L5 1.
Os 』 0,
58 0.
口一
〇.
5 1.
0 D.
5s80.
o一
〇.
5 1.
5 1.
0 ε 覧 o・
5 り O.
Dh
(n△t) he[n] o 2CaseI4
6・
0 2CaseII4
6 0一
〇.
5 日 2CasenI4
6 2CaseIV4
(a)
lnpulse
displacement
response Fig.
3 6 1.
0 00.
5・
ζ o 建0.
0一
〇.
5 LOSo
・
5’
%
建0.
0h
。[n] 0一
〇.
5 0 5.
0 4.
D(
3.
D ご’
k2 .
Doe l.
0 0.
0 2Case 艮 4 6一
t.
0 0 5.
0 4.
OS3・
o’
k2.
08 t.
0 0.
0 2CaseIIA
6一
Lo D 2Case llI4 6 2CaseIV4
(b
〕Impulse
velocity response Impulse responses obtained from the corresponding frequeRcy functio皿s[0]窟 編 [0]とな っ て い る
。
つ まり,
(9), (19)式より,
h
,[0]はt=
O近 傍の平 均 的な値 を評 価して い るとい える
。
(iii) t>
o
に おいてh
。[nコとh
。[n]に差が ある の は,
t
=0
近傍で不連続と な るFig.
3(a)のCase一
皿 とFig.
3
(b)の
Case− 1 ,
H
の場合で あ り,
そ の差は主と して t=
・
O近傍に集 中し てい る。
t=
・
O近 傍の差は,
(27)式か らも容 易に想 像で きるよ うに,
ナ イ キス ト振 動 数 近 傍の 高周波 数 領 域の特 性の差に起 因し (後 述の Fig.
6で は (a)と (c}の差に相 当す る ),
t≡
O近 傍で急 激に変 化 す る加 振 点 近 傍の インパル ス応 答に特 徴 的に現れ る。
ま た,
時 刻 歴 応 答 解 析 手 法の観 点か ら,
(24) 式の変 位 定 式 化と (25>式の速 度 定 式 化 を 比 較し て以 下の点が 指摘で き る。
(11k。
=0
の場合,
変 位 イン パ ル ス 応 答は永 久 変 位を 持つ か ら, t△ tが応 答 計 算の継 続 時 間と同じだ け必要 と な る。
これに対して,
速 度 イン パ ル ス応 答の継 続 時 間 は,k。
; 0の場合で も有 限で あ る。
特に,
地 盤の インパ ル ス 応 答の継 続 時 間は,
地 震 波に比べ て は る か に短く, ’△t
を 必 要 以 上に大 きくする必 要 が ない ので,
変 位 定 式 化に比べ て効 率 的で あ る。
〔ii
)F
(ω)か らFFT
を 用い て算 定され る離 散 イン パ ル ス応 答に は,F
(ω)を 算 定す る際の誤 差やFFT
に ょ る変換時の誤差が含まれ る。
m 。≠0の 場合に は,
理 論 的な変位 イン パ ル ス応 答 F(t)は, t=
0 で 0で,t=
O“ で急 激な増 加 を始める。
し たがっ て,
変 位 定 式 化 ((24
} 式) 中の [F
[0]]は [F [h
>0]]に対 して小さ く,
[F
[0
]]の相 対的な誤 差を小さ く する こと が難し い。
そ して, [F
[0 ]]は, その逆マ トリク スを計 算 し な ければ な ら な いの で,
応 答 計 算を行う と発 散し て し ま うこ と も少な く ない。一
方,
速 度 インパル ス F(t
)の場 合は,
常にt=
0 近 傍で最 大値を と り,
徐々 に減少して い くの で, 速 度 定 式 化 ((25
) 式)中の [F
[0
]】は 比較 的精 度よ く求め る こ と が で き る。
し たがっ て,
速度 定式 化のほ う が応答 解 析の精 度と安 定 性に優れて いる といえ る。 3.
3 地 盤 剛性がCase−
1
の場合 Table 1のCase− 1
の よ うに,
地 盤の 動的剛 性が静 的 0.
5 0.
4 o.
ヨ 扈腎
。.
2 0,
1 ん尺圄 or 九〇岡一一一
一
hl [司一…齢
}
heM[n] hm圄 0.
0 0.
001 0.
002 0.
OO5 0,
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02 △t(sec ) (a > cono ]’
,
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、
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二・
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001 0.
OO2 0,
005 0.
Ol O.
02 △t(sec ) (b) moi 「[0ユFig
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5 1nitia且values of causal discrete impulse responses1
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一
一
一
一
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75 D,
5D O.
50 囗.
50 D.
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覧 0、
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00 0.
DO O.
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囗.
25L−
一 L− 一一
」(c) Causal discrete impulse responses
Fig
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4 Discrete impulse responses丿ωF(“)CO1
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40.
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砧 500Hz jωKan)co120.
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6 Frequency.
dependent characteristics H塁.
〔ω)of ん翫[n]地 盤剛 性 κo
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2.
5× IO7 t/m,
減 衰係 数 c。=
6.
0× IOs t・
sec /m,
付 加 質 量 m 。;
1.
6× 103 t・
sec2 /m で モ デル化 で き た場 合 を想 定し,
時 刻 歴 応 答 解 析 手 法に関す る基 本 的 考 察を,
速 度 定 式 化 を 中心 に行う。
離 散 イン パ ル ス応 答の時 間 刻み △t
をパ ラメー
タ と し て, Fig.
2
のフロー
か ら求 められる速 度 インパル ス応 答 をFig.
4 に 示す。
また,
離 散 イン パ ル ス応 答の初 期 値につ いて は変位イン パ ル ス応 答の初 期 値 と 比・
tt
し て Fig,
5
に示 し, 離散イ ン パ ル ス応 答 を周 波 数 領 域に変 換して得ら れ るH
撫ω) をFig.
6に示す。
な お,
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リエ 項 数N は,
N△ tが0
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512sec ま た はO.
64 sec と な る よう.
に設 定し た。.
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