1
論 文1
UDC ：624．
042．
7 ：624．
131．
2 日本建築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第 394 号・
昭和 63 年IZ月粘弾性 薄
層 地 盤
モ
デ
ル
に
お
け る
境 界 積 分 方 程 式 法
の
利
用
水 平 ・回転 振 動
の場合
正 会 員 正 会 員 正 会 員藤
吉
藤
井
田谷
＊ 料 ホ ホ ホ 地
行
信
大
長
義
L 序前 論 文1〕に おい て ， 薄 層 法 グリ
ー
ン関数 2）・
3L4） を利用 し た境 界 積 分 方 程 式 法に よっ て，
掘 削され た粘 弾性 多 層 地 盤の解 析を行 うに際し て重 要とな る 二 つ の問 題， す な わ ち，
内 部 領 域 （排 土 地 盤 ）の共 振と グリー
ン関 数の応 力 解の加 振 点近傍での 精度の悪化を解 決する方 法を提 案 し， 軸 対 称問題の ね じ れ動インピー
ダンス 解 析に よっ て その有 効 性 を検 討 し た。
前論文の方法は， 内部領域の共 振に対して は， 複 数の 内部 拘 束 面 を内部 領域に配置す る ことによっ て内 部 共 振 振 動 数を解 析の対 象と な る 振 動 数 の上 限よ りも高い領 域に上昇さ せ る こ とで，
ま た，
グリー
ン関 数の応 力解の加 振 点 近傍に お け る精度の悪化に対し て は， 内部 拘 束面 を加振 さ せ て も掘 削面を静止 さ せて い れば外部応 力が発生 し ない という条件か ら応 力マ トリ ク ス を修 正す ることで，
そ れ ぞ れ対処するもの であっ た。
ところで，
文 献5）， 6 ）によ れ ば，
この よ う な イン ピー
ダン ス関 数の解 析 手 法の改 良に当たっ て は， 次の条件が 考 慮さ れ ること が望ま しい と さ れて い る。
地 盤の成 層性が考 慮で き るこ と。 埋 込み基 礎の解 析が可 能な こ と。 地 盤の半 無 限 性を考 慮して い ること。 高 振 動 数におい て も精度よ く，安 定し た結果が得ら れ ること。 計 算 速 度 が 早 く，
計 算 費 用 が 安 価なこと。
境界面 で の変位境界条 件あ るい は応 力境界条件の いずれもが取 り扱え ること。
こ の よ う な主旨に沿っ た解析手 法と して は，Karabalis
とBeskos7
） に よ る動的ケル ビン解を用い た時 間領域の 境 界積分方程式法や 三田とLucos
［に よ る 境界積 分方程式 法と有限要素法を結 合し たハ イ ブ リッ ド 法などが挙げ ら れ る。一
方，
薄層 法 グリー
ン関 数 を利 用 し た境界 積 分 方 程 式 法も， ，，
，
の条 件 を満 足し得る解 析 法であり， さ ら に内 部 領 域の共振と応 力 解 の精 度の悪 化の 問 題 を解 決すれ ば，，
の条件を満 足 する こと も可 能とな る。 前 論 文で も示し た通り， こ の 二つ の問題に対す る前 論 文の手 法は，
ねじれ動 インピー
＊ 広 島 大学 大学院 生・
工修 t＊ 広島大学 助手・
工博 ＊il 広 島 大学 助 教 授・
工博 （昭和 63年3月9日原稿 受理） ダン ス解析に関して は極めて有効であり，
高 振 動数域ま で非常に精 度のよい解 析 値が得 られ ること が確か め ら れ た。
さ らに， 前 論 文の手 法 は，
ね じれ 動 以外の運 動モー
ドに対して も適 用が可 能で あ る。
し か し な が ら，
ね じ れ 動 以 外の運 動モー
ドで は， 応 力マ トリクス の修 正精度 が 若 干 減 じ る傾 向に ある。
ま た，
前 論 文の手 法は，
内 部 拘 束 面の加 振によっ て応 力マ ト リク ス’
を修 正する ため， 内 部拘束面の配 置は，
でき る だ け均 等にする必 要がある。 そ れ ゆ え，
ね じ れ動以外の運動モー
ドにおい て も応 力 解 の精度 が さ らに 改 善 さ れ，
，
の 条 件を高 水 準で満 足 す る よ う な，
よ り制約の少ない手 法の 開 発が課 題と な る。 本 論 文の 目的は，
ね じ れ動 以 外の運 動モー
ドにお け る 解析 精 度を さ らに一
層 改 善 する新たな 応 力マ トリクス の 修正法を提案し，
前 論 文に引き続い て，
埋込み 円筒 剛 基 礎の水 平・
回転動 連 成系の高 振 動 数 域にわた る動 的 相互 作用解析を試み ること に あ る。 本論 文に提 案 する応 力マ トリクス の修 正 法は， 外 部 領 域に加 振 点を もつ グリー
ン 関数 （点 加 振 解，
リング状 線 加 振 解 ）が内部領 域で満足 すべ き境 界 積 分 方 程 式 を導 出し ， こ れ を新た な応 力マ ト リ クスの修正条 件とするもの であり，
修 正 精 度は， 内部 拘 束 面の配置には依 存し ない。 本論 文の 2章，
3章に お い て，
その手法の定式 化と離 散 化につ い て述べ1．
5
章 第2
節に おい て， この手法を半 無 限一
様 地 盤における堙
込 み 円筒剛基礎の水平・
回転動 連 成系の イン ピー
ダン ス解 析に適用し，
既 往の解 析 値および前 論 文の手 法に よ る結 果と の比較によっ て その有 効 性 を検 証 する。
なお，
内 部 領 域の共 振の処 理，
およびインピー
ダン ス と地 震 強 制 力 の解 析 法につ い て は，
前 論 文に示され て い る もの に し た が う。
本 論 文において対 象と す る 埋 込 み基 礎は，
地表 面 基礎 に比し て イン ピー
ダンス が増大する こと と， 高 振 動 数域 で の地 震 波の入 力 損 失が側 壁で も生じる た め， 地 震 作 用 時に よ り大き な制 震 効 果が期 待 され る。
イン ピー
一
ダンス の増大 は，
埋込み深さに比例 し て基 礎の底 板と側 壁の両 部 分に おい て生 じ る が9〕，
理 論 的に は，
側 壁 部 分の増 大 が よ り顕著で あ る。
しか し，
側 壁 部 分で は，
地 盤 との は一
84
一
〈離や滑 動 等の非 線 形 現 象が発 生し
，
上に挙 げた制 震 効 果が必 ずしも十分実現 さ れ る と は 言い難い 。一
方 ， こ の よ うな地 盤の非 線 形 動 的 相 互 作 用 を 分 析する ための実 用 的な解 析 手 法は，
現 段 階では未 だ 開 発されてい ない。
し たがっ て，
側 壁の は く離や滑 動の動 的 効 果に対する定 性 的な議 論も十 分 成され て い な い のが現 状である。
そ こ で， 本 論 文では，
前 述の解 析 手 法の応 用 例と して，
基 礎の側 壁の寄 与 率を表す簡 単なパ ラ メー
タ を導入 し た線 形 解 析 に よっ て，
．
地 盤一
基 礎一
上 部 構 造物 系の応 答に対す る 基 礎 側 壁の効 果を定性 的に検討す る。本論文の4
章におい て，
基 礎の側壁の寄与率を表すパ ラメー
タの導入法につ い て 説 明し，
地 盤一
基 礎一
上部 構造 物系の 応答を求め る定式化 を行う。 5章 第3
節におい て粘弾 性二層地盤にお け る埋 込み円筒剛基 礎の水平・
回転 動連成 系の インピー
ダン ス と鉛 直 下 方か らのS
波入射に対す る基 礎入力 動の解 析 を行い，
上記のパ ラ メー
タを，
側 壁 と地 盤の完 全 密 着，
側壁 全 体の 滑 動， 側壁 と地 盤の完 全は く離に対 応す る よ うに設定し た場 合の結 果を示 す。
5章 第4節において，
上 部 構 造 物 を単 純なせん断一
質 点系にモ デル化 し， 上部 質 点の最 大 応 答に対する基礎側 壁の効 果につ い て検 討す る。 なお， 5章 第1節で はt 以 上の解析 例の解 析 地 盤モ デル につ い て説 明す る。
2．
定 式 化 2−
1 境 界 積 分方程 式 図一
1は，
掘 削 地 盤の解 析モ デル を示して い る。 こ こ に，
図中の記 号は以 下の もの を表 す。y
：掘 削 地 盤 （外 部 領 域），
V’
：排土地 盤 （内 部 領 域 ），
S1
：自 由 地 表 面，
Sd
：掘 削 面，
S
。；内 部 拘 束 面，
n（ni， nz， n、）：領 域 V’
内に向かう法 線ベ ク トル 。 半 無 限 粘 弾 性 地 盤の x 点にお ける i方 向 点 加 振に ょ る ξ点で の ノ方 向 変 位をUt、（x ；ξ）とする。 変 位を観 測 点であ るξ点の座標で微分 し て得ら れ る ひずみ を e、
丿魔〔二じ ；ξ）＝ （1
／2
》｛∂Uw （x ；ξ）／∂ξit 十 ∂Uilt（コc ；ξ）／∂ξ∫｝……・
…・
・
…・
……・
・
・
・
・
…
（1） と する。 こ れ らの ひずみ か ら応 力 を 次の よ うに表す。 ∂I」iC（x ；ξ）；
λ（ξ＞Eimm
（x ；ξ）δハ 十2μ（ξ）a
‘Jk （x ；ξ）…………・
…・
…・
・
……・
（2） こ こ に，
δ∫κ は クロ ネッカー
の デル タ記 号，
λ（ξ），
μ （ξ）は ξ点の ラー
メ の定 数で あ る。
ま た，
λと μは 地盤 の 粘 性 を表 現す る ため，
虚 数 単 位 iを用い て λ＋2μ；
（h
＋2μ。）（1＋2hpi），
μ＝
μ。（1＋2hsi
）と与えられ る。ロ
Sf 図一
1 掘 削 地盤の解 析モ デル 上式よ り，
ξ点で法 線 n を 有 する面のj
方 向 表 面 力 は次 式とな る。i
）t」（ユ：；ξ）＝
∂∬ iC（X ；ξ｝niC（ξ）・
・
一
・
・
t・
・
…
tt・
・
t・
…
（3 ） 加 振 点 x が領 域V
内に ある とする。
こ の と き，
領 域 V 内の変 位 Us と表 面 力p
‘の間に は次のよ う な関 係 1°）が あ る。 ・・ω ・鵡
齢 ・ξ）u’（ξ）・S
（ξ）、
＝fSd
Uw （x ；ξ）P」（ξ）dS
（ξ）・
・
・
・
・
…
9・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4）一
方 ， 領域 ゾ 内の変位 ul と表 面力 plの間に は次 式が 成 立す る1）。
五
齢 ξ鵬 ・8
‘ξ〉一
五
砺 （Xl ξ）・，（ξ）dS
（ξ）・s
・−
s
・＋s
・」
・
・
・
・
・
…
s−・
…
一・
・
・
・
…
一・
・
−
t・
−
t…
（5）Sa
上で U」＝
u；として （4）式か ら （5 ）式 を差し引 く と，
u・（・）
一
五
蝋 ・ ・ξ＞r・J（ξ）・・（ξ）・
…………・
（・） こ こに，
η丿は次 式で定 義さ れ るソー
ス （加 振 強 度）分 布で あ る。
P
，（ξ）一
ρ；（ξ）；ξ∈Sd
・
・
・
・
…
（7 ） η」〔ξ）＝−
i
ρ；’ （ξ）十pl−
（ξ）｝；ξ∈Se
こ こ に，
p；’
と p7 は そ れ ぞ れ S，
の上面と下面に お け る表 面 力である。
相 反 定 理により，
点 加 振 解には次の関 係 が ある。 u‘丿（x ；ξ）＝
u丿‘（ξ；x）・
・
9・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（8） こ の関係を （6
）式に用いれば，Ut （・c）
一
か
・（ξ・コc）・・（ξ）・・（ξ）…・
……・
…
（・） 上式に お け る x 点 をSt
（＝ ・Sd
＋S
。）上に移 動す れ ば，
変 位に関す る境界 積 分 方 程式 が得ら れ る。
（9 ）式か ら，
（1 ），
（2 ＞，
（3
）式の過程を 用い るこ と によ り，
法 線 n を有する面上の x 点に お ける i方 向 表 面 力 が 次のように求め ら れ る。
・・（x）
一
ρ
・1（ξ… ）nJ（ξ）・・（ξ）・
・
…………・
（1
・） （10＞式の x 点をS
，上 に移 動す る と次式と な る。
P・（・）
・
＝
・’・（x）・… （・）・か
・（ξ・コc）・’（ξ）・S
（ξ）…・
…・
一 一 一 ・
・
…
t………・
（ll
） x 点近 傍が滑ら か な境界で は，
cノ‘＝
（±1
／2
）δ」iと な る。
± は x 点がS
，上に領 域V
より近づ く と き 正 を とり，
領 域V ’
よ り近づ く と き負を と る。 内 部 共振解の除去法につ い ては，
前論文と 全 く 同様で あるの で，
こ こ で はその記 述 を省 略す る。
2−
2、
応 力 場の修正条 件 再びx 点 を 加 振 点と し，
図一
1に示 す よ うに，
本 節で はx 点が領 域v ’
内にあ る と す る。 領域v’
内の変位・
ul一
85
一
と表 面 力 p ｛を
，
そ れぞれ領 域 V 内の ζ点に お けるh
方 向 加 振に よ る ξ点でのi
方 向 変 位 Ukt（ζ；ξ）と，
これ か ら （1）， （2 ）， （3
＞式の過程に よっ て得ら れ る表 面 力 倉紙ζ；ξ）に とる。一
方，
領 域V
内の変位 Ut は，
Sd
上 で， UE（ξ）罵
π訊 ζ；ξ）とな る境界条件を課す散乱 場の 変 位で ある とし，
こ れ に対 応す る表 面 力をp 紙ξ）と す る。 この と き，
加 振 点x が V’
内にあるこ とを 考 慮して （5 ）式の 関 係を用い ると，
一
Unt（ζ謝か
’（x ・ξ）・u・・（ζ・ξ）・S（ξ）｛
… （x ・ξ〉鮒 ξ）・・（ξ）・
一 ・
……・
…
（・2
）一
方，
外 部領域V
では，
（4
）式の 関係より，
か
’（x ・ξ）・・ （ζ・ξ）・S（ξ）−
4
吻 （x ・ξ｝P・ （ξ）・・（ξ）一・
一 ・
…・
・
一…・
（13） （12 ）式か ら （13 ）式を差し引く と，
磁 ・）一
か
・（x ・ξ）・・ （ξ）・dS
（ξ）……・
・
（・4） こ こ に，
P． （ξ）
−
f
》彫 （ζ；ξ）；ξ∈Sd
ワke（ξ〉＝
−
1f
）も〔ζ；ξ）十P
面（ζ；ξ〉｝＝
o；ξ∈Se
・
・
…
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
…
（15
＞ 上式 中， 第 2式の右 辺の関係は， 領域 V 内に加 振 点 を 有する点 加 振 解の応 力は，
領 域V
’
内で連続であるこ と による。
（8 ）式の 関 係 を用い れ ば 〔14 ｝式は，
次式の よ う に も書ける。礁 ・）
一
か
・（ξ・x）・・ （ξ）dS
（ξ）・
・
……
（16） 上式に お け る x 点をS
，上に移 動 すれ ば，
（9＞ 式に お い て， Ut（x）＝
Ubl（ζ；x）と し た方 程 式が得ら れ る。
（16
） 式に （1），
（2 ），
（3
）式の過 程 を 用いる と，
多・ 〔ζ… ）
一
魚
（ξ・x ）・n・ （ξ〕・dS
（ξ）…・
・
tt
・
・
（17） 上式の x 点を St上に移 動 する と，
Pkt
（ζ・・）去
動・ω ・・ ω．
・
五
φ・ （ξ・x）・・ （ξ）dS
（ξ〕・
・
……・
…一
一
（18） （16）式と （18）式は， （ll＞式 を 離 散 化して得ら れ る応 力マ トリク ス の修 正条件とし て用い ること が で き る。3．
離 散 化 以 下の記 述で は，
方 向 を表す下 添 字は 1，
2，
3をと り，
総和 規 約に し た が う もの と す る。 （9），
（ll），
（16），
（18＞ 式に示し た境界積分方程 式は， 次に説 明す る離 散 化 手 法 に よっ て近 似 的に評 価さ れ る。
まず，
掘削面Sd
を簡単 な幾何形 状を持つM
個の 平面パ ネル Sn （n−
1，
2，…，
M
）に分 割す る。
Sn と面積が 同程度の内部拘束 面L
個一
86
一
を 内 部 領 域y’
内に配 置 する。
各パネル 上の ソ・
一
ス分布 を一
定と し，
その強 度 を η，とする。
観 測 点の位置 （選点 ） をパ ネル 8m の重心点 ♂ に とり，
（9），
（11）式 を離 散 化し，
ベ ク トルマ トリク ス表 示する と，
H＋LIum
｝＝
Σ：｝［Gmn
］1
ηn1
；77L＝
1，
2，
…
，
M 十L
ne1・
・
…
t・
nyt
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
t・
・
・
・
・
・
・
…
（19
）lP
・1
一岩（
｝
［lma
］＋［H
・ ・ ］）
げ ｝・m−
・，
2，…，
M・
・
…
（20） こ こ に，
lu
”
1
「＝
LU1 （♂ ），
u，（xM），
u3（xM ）1，
1pM
IT
＝
LPI げ ）， P2 （xm ）， Ps （コc ” ）」 ，｛ηm ｝7
＝
Lη
1
ト，
η号
，
η
呈
」 ［G・ ・ ］・成 分 ・トひ
（ξ・・cm）dS （ξ） ［H
・ ・ ］・成 分H
：一
魚
（ξ・… ）dS
（ξ｝ ［∬nt’
1 ］の成 分1
摩言 驫π
δ ‘」 （19
）式をm・
＝1 ， 2，…
，M
十L
につ い て ま と める と 次の よ うな全 体マ トリクス表 示 を 得る。
［G
］｛η｝＝
lu
卜・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
曾
・
・
・
…
（21） こ こ ‘こ，
1
η｝T＝
■
1
η匚｝T，
102
｝「’
■
一
「
’
1
ηM＋
Llモ」，
lulT
＝
LI u’1
’，lu21T
，…，
luM
’LIT 」，
［
G
・・
＝
＝
［
：
1
∵
1
：
：
：
1
∴
］
同 じ く，
表 面 力を知る必 要の ある Sd上の m・
・
1，
2，
…，M
につ い て （20）式 をま と めると，（
去
［・］・［H ］）
1
・｝−
1
・・卜・
・
…………一 …・
・
《・2） こ こ に，
ゆ諾＝
Ll pi ｝T，
1P21
「，…，
1P
”E
」，
［1］は，
3M 行 3M 列まで の対 角 項の み 1で，
そ の ほ かの 成分 は すべ て0
で あ る3M
×3
（M
＋L
）の マ ト リ・
ク ス，
［H・
一
［
：
1
：
∵
：
：
：
：
：
：
：
1
：
凱
］
（21 ）式の ［G
］を変 位マ ト リ クス，
（22）式の ［H
］を 応 力マ トリクス と呼ぶ ことにする。 同様に，416
）， （18）式 も次の よ うに離 散 化さ れ る。
［ucm
］；
Σ ［Gmn
］［Nn
］…・
・
・
………・
・
…・
…・
一
（23
） η±
1 η＝
1 ；m＝
1，
2，
…
，
M・
・
・
・
・
・
…
（24） ［ucm
］の成 分σ留＝ 娠 （ζ；コじπ） ［
PCm
］の成 分P
留＝ β譲ζ罵 解） η顎レ（ξ）；n；1，
2，
…
，
M
［Nn
］の成 分 N2＝
0；n＝
M 十1，…
M 十L ［P
四一£
（
・去
［鬥 ・［肥）
［・r
薄 層法に よっ て求め た点 加 振解の応 力は加 振 点 近 傍で 乱れ を生じ
，
精 度も著 し く低下 す る。
し た がっ て， 応 力 マ ト リ クスの対角 部分に あ る ［H
鬥 に は大き な誤 差が 含ま れて い る。
そ れ ゆ え，
（2Z ）式よ りSd
上の表 面 力 ｝ Pdl を求め る前に，
（23
），
（24
）式 を条件式 と し て応 力 マ ト リ クスの対角 部分 に あ る ［HmtU
］（m ；1
，2
，…
，M
＞ を修正す る。
（23
）式よ り ［Nn
］を求め， こ れを （24》 式に代入 す る と，
各 m につい て次 式 を得る。
（
一
｝
［鬥 ・［画
）
［・・ ］撫
・一 ］囲一
［班・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
−
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（25） これより，
［H
叫 の 修 正値は次 式 とな る。［
H
・ ・ ］三書
［刑（
［P
伽 ］一
Σ ［Hnv
’ nzl，
処 幸 胃乙 ］囲）
［lv
・ ］一
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（26
） 以上の議論は，
リン グ状線加振解を用いた軸 対称問 題に おいて も同様に展開 す るこ と が で き る。
4，
地 盤一
基 礎一
構 造 物系の応 答 地 盤と軸対称剛 基 礎， お よ びせ ん断 質点系によっ て モ デル化され る上 部 構 造 物か ら なる系の運 動 方 程 式 を誘 導 し，
その系の応 答 を求 める。
［M ］を基 礎の質量マ ト リク ス，
［K］をイン ピー
ダン ス マ トリク ス，
IFI
を地 震 強 制 力ベ ク トル と す る と，
基礎上端 中央に お け る周 波数領域の運動方程 式は次式の よ うにな る。 （一
ω2［M
］＋［K
］）IA
｝＝
IF
卜・……・
………一
（27）こ こに
，
IAIT
＝
LA．，
φ”1で
，
A
．，
伽 は，
そ れ ぞ れ，
軸 対 称 剛 基 礎上端 中 央の並 進量 と回 転量 を表 す。 （27＞ 式 を成 分 表 示 する と，
（
−
t・t［
漁
：
甑］
・［
甑甑］
ll
一罫
ニ
……・
……・
・
一 ……・
……・
…
（28 ） インピー
ダンスマ ト リ クスお よび地 震 強 制 力ベ ク トル の解 析法は， 前 論 文の 4章，
5章に示 して ある の で，
こ こでは省 略する。
また， 本 論 文で は， 埋 込み基 礎の側壁 に おけ る地 盤 とのはく離 や 滑 動な どの非 線 形 現 象を簡 便 に模 擬 する ため，
側 壁 インピー
ダン スお よ び地 震 強 制 力 は， 解 析 値に寄 与 率を掛け たもの を用い る。 す な わ ち，
解 析に よっ て得 ら れ る全 インピー
ダン ス ［KZ
は，
底 板 イン ピー
ダン ス ［K『亅と，
側 壁の 法 線 方 向の 表 面 力 に よる イン ピー
ダン ス ［κ門， お よ び側 壁の 接 線 方 向 の表 面 力に よるインピー
ダン ス ［κ門 の和 として，
［K7
］； ［KB
］十［KSI
］十［KST］・
・
9・
・
・
・
…
一一・
・
・
・
・
・
…
（29＞ と表さ れるが， こ こ で は， 側 壁の イン ピー
ダン スへ の寄 与 を検 討 する ためt 全 インピー
ダン ス ［K］を側 壁 イン ピー
ダン ス の寄 与率を表すパ ラ メー
タ ζ．，
ζ，を導入 し、
て次のよ うに評価す る。
［K
］； ［K
『1
＋ζ．［KSN
］＋ζ7［KST
］・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
…
（30 ） 同様に地震強制 力も次式に よっ て評価す る。lF
｝＝IFRl
＋ζ膚FSNI
→一
ζ ．iF
・
ST ｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（31
） （27）式 か ら，
無質量 基礎 （［M
］己0
）の応 答，
す な わ ち基礎入力 動 レADI
は次式と な る。 レ1
° ｝＝
［K
］−
tlFl……・
…………・
…一 ・
……・
（32）IA
° ｝を 用いるこ とに よって （27）式は次の よ うに も書 か れ る。
（
一
・・ t ［M ］＋［K］）揺一
［Kl4 °1
・
・
………・
・
…・
（33） 上部 弾 性 構 造 物をせ ん断 質点系に モデル化 し，
各 質点 の絶 対変位 を表 すベ ク トル を ｛d
、1
，
基 礎との相 対変位 （弾 性 変 位 成 分 ｝を表 すベ ク トル をldl
とす る と，
その 運動 方 程 式は，
次の よ うにマ ト リク ス形 式で 表 さ れ る。
一
ω2［仏］脇1
＋（∫ω［Cb
］＋［K
，］）ldl
＝ O……
（34 ） こ こ に，
［M
，］は，
上部 構 造物の 質量マ トリクス，
［Cb
］，
［K，］は，
そ れ ぞ れ基 礎 固 定の条 件を導入 し た上部 構 造 物の減 衰，
剛 性の各マ トリクスである。 変 位ベ ク トルld
，1
は，
弾性変位 成 分ld
｝と基 礎の 運動に よ る剛 体変位成分の和と して，
idb
｝＝fd
｝十［A
］IA
ト・
’
・
・
・
・
・
・
・
・
…
”・
…
一
・
・
t−・
・
・
…
（35 ） の よ う に表 現さ れ る。
こ こに， ［A
］は， 上部質点の剛 体 変 位モー
ドマ トリクス である。
（35
）式 を （34
）式に 代入 する と， （一
ω 2 ［M
，］＋ ‘ω ［C
、］＋［κ日）ldl
一
ω 2 ［M。］［A］Ml
……・
・
1……・
・
…・
………・
……
（36
＞ 上 式 をldl
に関し て解く と次 式を得る。 ｛d
｝＝
［P
］［M
，］［A］11t
｝・
・
・
…
7・
7『
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（37
） た だ し， ［P
］；
ωz（一
ω2［M、］＋iω［C 日＋［K，］）−
t’
（35
），
（37）式によ り上 部 構 造 物の全 慣 性 力lF
，1
は次 式 とな る。
1F
，1
＝一
♂ ［Aユ 7 ［M 、ユld
，1
＝一
ω ’ ［M引 Al…
（38） こ こ で，
［M
』＝
［A
］T（［M
，］十［M
，］ 「 ［D
］［M
，］）［A
］ ［M
』 は，
Lucou ）に よっ て示 された 上 部 構 造 物の剛性と 質量分布を考慮 した等価 質量マ ト リク ス である。
基 礎の運 動 方 程 式である （33） 式に上 部 構 造 物から作 用するlF
，1
を 足し込む と，
〔一
ω 2 （［M ］＋［醐 ）＋［K ］〕IAI
−
［K］1A
° ｝……
（39） 上 式 を解くと，．
圏
IAI
＝
〔−
tp’［K］−
1（［M
］＋［〃』｝＋【1
］〕一
’IA
° ｝・
・
・
・
・
・
・
・
…
r・
・
・
・
・
・
・
・
…
−r…
r・
・
・
…
（40） 以 上か ら上 部 構 造 物の剛体変 位は，（40）式か ら得ら れ，
弾性変位は， （37
）式か ら得られ ることにな る。
5．
解 析 例 5−
1 解 析 地 盤モ デル まず，
以 下に示す解 析 例の解 析 地 盤モデル につ い て説一
87
一
に
R°一
］
噛
圏中 † 一
一 噸 一
D
一 一 噸
！ n巨
．『
＝
Ls！6x6 HALF SPACE 図一
2 掘 削 地 盤の離 散化モデル 26 明す る。
境界積 分 方 程 式に は，3
次 元薄層法によっ て得 ら れ た リング状 線 加 振 解12吃 用い る。
た だ し，
薄 層 要 素 は， 二 次の変 位 関 数を用い て離 散 化さ れて い る ものと す る13） 。 薄 層 要 素 分 割，
境 界 要 素 分 割，
および内 部 拘 束 面 の配 置は図一
2に示す と お り であ る。 図に おい て，R
。 は基礎 半径，D
は 埋 込 み 深 さ を表す。
DIRo
＝ 1で あ る。
掘 削 面の境 界要素 数は， 均等分割で20，
内 部拘束 面は 9 個と して い る。
21層 以 下に は，
層厚がLs
／6 （L
。；S
波の波長 ）の もの を6
層 設け てい る。
た だ し，
こ の層 厚 は，5R
。を超え ない も の と す る。 最 下 面に は，
均一
な 半無 限弾性 体の剛 性マ ト リク ス を波 数が十 分小さい と し て波 数に関し て テー
プ展 開したもの を付加す る14〕。
応 力 修正に用い る外 部 領 域の加 振 点 ζの位 置は，
掘 削 面に 近 す ぎ る と，
各 境 界 要 素 上で の修 正 精 度が ぱ らつ き， 解 の精度が悪 化 す る が，
あ る程 度 離せ ば， そ の位 置に よっ て解の精 度が左 右さ れ るこ と は ない。
本 論 文の場 合，
そ の点は第 13節 面の基 礎中心 か ら5R
。離れ た位置に設け て い る。 パ ネル Sn 上の積分は， 円 筒 側 面の要 素と 円筒 底 面の加 振 点 を含 まない要 素で は要 素 両 端と中点の値を 二次の補間 関数で結ぶ ことによって積 分し，
円 筒 底 面の 加振点を含む要 素で は，
要 素 を二 分し， 各辺の端 点と中 点の値を計 算 する ことに よっ て同様に積分 す るe 解析 値 は，
無 次 元 化 振 動 数a。＝
ωR。！
Vs
（Vs；せ ん断波 速度 ） に関し て 6．
0ま で求め る。
イン ピー
ダン ス の解析 手 順は 前論文の6
章に示さ れ て い るもの に し た がう。 水平動，
回 転 動，
お よ び水平・
回転連 成の 各イン ピー
ダン ス は，
そ れ ぞ れ，
KtiH
（α。）；2
πμR
。lk
。。（α。）＋ia
。CHH（α。）I
K
． 。（a。）＝
2πμR呂｝煽 （α。）＋ia
。c。N （α。）1
κ。H（α。｝＝ 2πμR引煽 （α。）＋ia。 c。H（α。）｝一
88
一
・
・
・
…
●
・
・
t・
・
99・
・
一一
一
・
…
一・
・
・
・
…
−s
《41
） と表し た場 合の無 次 元 化 量馬， Cw を示す。 地震 強 制 力 の解 析に必 要と な る鉛 直 下 方か らのS
波入射に対す る 入 反 射 場の 変 位uf は，
そ れ ぞ れ の地盤種 別につ いて，
各々一
次 元 波動論に よっ て求め る。
水 平，
回転の各 基 礎 入 力動は，
そ れ ぞ れ 蹣，
鵐 と表す。
5−2
既往の解
析値と の比 較 最 初に本解 析 法の精 度を調べ るた め， 半 無 限．
一
様 地 盤 にお ける無 質量の 円筒 剛 基 礎の水 平・
回転 動 連 成 系の イ ンピー
ダン ス を解 析 する。
な お，
ねじれ動に対．
する本 解 析 法の精 度は，
前 論文の方 法の ものと同 程度であ る。 図一
3一
・
図一
5は，
本 解 析法 （Methood− 2
｝と前 論：文 4．
0 3．
口 2，
D LO 0．
0 口 4．
0 3．
O 2．
0 L．
D、
0 1．
0 2．
0 3．
0 4、
Q 5，
D 6．
O a♂ω
R。
！Vs 図一
3 水 平 インピー
ダン ス の比 較 （一
様 地 盤 ） 0．
0 0．
O l．
0 2，
0 3．
0 4．
D 5．
0 6．
0・
。
re
’
R。
1Vs 図一
4 回転 インピー
ダン ス の比 較 （一
様 地 盤 ） 4，
0 3．
e 2．
D 1．
o hs」
o・
Ol・
hp’
o・
oo5一
一
k 団H−
1
−
一
一
一
鹵
G HH：
：：
・
・
e ・…
・
…
咄 → ω 蜥 梅 罫 離一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
一
唱
丶い
邑巳
し
hDd−
2 DLrettし Int．
1 ロ’
鬼
』1
．
02
．
e3
、
。4
．
D5
．
06
．
Oeo■
w 艮 o！VS 図一
5 水 平一
回転連成インピー
ダン ス の比 較 （一
康地 盤）の方法 （
Methood−
1）， お よ び加振 点を含む要 素上の グリー
ン関数の応 力解を直接積分す る方法（Direct
lnt．
） に よっ て求め た イン ピー
ダン ス値をApsel と Lucols〕の 解 析値と 比較し たもの であ る。 地 盤の減 衰 定 数と ボ アソ ン比は，Apse1
とLuco
の設 定 値と等し く と り，
そ れ ぞ れ，h。
＝O．
Ol，
hp
＝0．
005，
v＝0．
25
と し た。
こ れ らの図か ら， 本解析法によ る値は， 前論 文の方 法 に よ る値よ りもApse1
とLuco
の値に近く，
高 振 動 数 域 ま でApsel
とLuco
の値に良 好に一
致する こ とが わ か る。
直接 積 分に よる値は， 特に水 平と回 転 イン ピー
ダン ス関 数の高 振 動 数 域におい て値が悪 化 する。
5−
3 二層 地 盤に おけるインピー
ダンス と基 礎入力 動 次に図一
6の左に示す よ うな粘 弾 性二層 地 盤モ デル に おけ る無 質 量の 円筒 剛 基 礎の水 平・
回 転 動 運 成 系の イン ピー
ダンス と， 鉛 直下方か らのS
波入射に対す る水 平，
回転 基 礎入力 動 を解析する。
地 盤 定 数は， 図に示す とお りで あ る。
た だ し，
p は 地 盤の密 度を表 す。
図一
7〜
図一
14 は，
表層の厚 さ と 埋 込 み 深 さの比で あ る H ，ID
を 1．
O， 2．
0， QO の 3通りに変化させ， （30 ）式の側 壁の寄与 を 表 すパ ラメ
ー
タを ζ〜＝
ζ7＝LO ，
ζμ ＝1．
O，
ζ7・
＝
O．O，
SJ
．；
ζ7＝
O．
0に とっ た場 合の水 平 動， 回 転 動，
水平・
回 転 連 成の各 イン ピー
ダン ス を示す。
こ こ に， ζ．＝
ζ。＝
1．
0
は，
基 礎 側 面と地 盤が完 全に密 着し ている状 態 を 示 し，
9
＝
1，
0，
ζr＝
0．
0は，
側 面 全 体が滑っ ている状 態を，
ζ，＝ ζ，＝ 0．
0 は，
側 面が地 盤か ら完 全に は く離して い る 状態を想定して い る。 な おt 蜘＝
ζr＝
1．
0
以 外で は，
煽 と砺M は等しく なら な い の で，
こ こ で はその両 方の図を 示 して い る。 図一
15， 16 は， （31 ）式の パラメー
タを同 様な値にとっ た場 合の水 平，
回 転 基 礎入力 動の絶 対 値 を 示す。
図 中 無 次 元 化に用い た u。は， 半 無限 層における 入 射S
波の振 幅の 2倍である。
こ のよ うな成 層 構 造に 対す る 円筒 剛 基 礎の イン ピー
ダン ス関 数の周 波 数 特 性 は，
すで に長 谷 川と中 井le〕 に よっ て調査さ れて い るが，
そ の場 合の解 析 対 象 振 動数 は，
無 次 元化 振 動 数で α。＝
2．
0程 度ま でであ る。
本 論文で は， α。＝
＝
6．O
ま で の値を 示してい 6Sまず
，
イン ピー
ダン ス関 数につ い て考 察すると， 層境 界に お け る反射屈折の影 響は，
先の文 献］6）にも述べ ら れ て いる ように H，／D＝
2．
oの場 合に特に顕 著で あるが， aD＝
・
6．
o まで に範 囲 を広 げる とH ，
／D
＝1、
o
の場合に も， 多 少 影 響 が あるよ うに思わ れ る。H
，ノD
＝2．
O
の場合は， 高振 動 数 域 まで実 部，
虚 部 共に一
様地 盤の値の近傍を変 動し，
実 部は，
高 振 動数 域に おい て，
虚 部は低 振 動 数 域 におい て，
波打 ちの振 幅 が 大き く な る傾 向が あ る。
特に， 低 振 動 数 域における虚 部は，一
様 地 盤の値に比 較してか なり低い値とな る。 側 壁の寄 与 率を表すパ ラ メー
タ の変 化につ い て見る と， 虚 部は，
完 全 密 着，
滑 動，
は く離の 順に比 例 的に減少し てい くの に対し，
実 部の方は，
例え ば，
水 平 インピr ダン スの実 部の ように高 振 動 数 域に お い て，
は く離の インピー
ダン ス の方が完 全密着よりも高 く な るよ うな場 合があり，
そ の傾 向は一
概に は言え ない。 次に基 礎入力 動につ い て考 察 する。 図一
15の水 平基 礎入 力動の絶対 値につ い て見る と，
まず，
完全密 着の場 合，H
，／D
＝ 1．
0
の 場 合は， 全 体 的に一
様 地 盤の値よ り も高い値と な る。H
，／D ・
！2．
o
の場合は，
低振 動 数 域で 大き く盛り上 がり，
一
様 地 盤よ りもか な り高い値 とな る が， 中振 動 数 域 以降で は一
様地 盤の値に近い値と な る。
側 壁がは く離する場 合は， どの成 層 構 造に お い ても，
低 振 動 数 域におい て は，
完 全 密 着に比 較 して低い値 とな る が， 中振 動 数域か ら高 振 動 数 域に か けて は， 非 常に高い 値と な る。
側 壁が滑 動す る場 合は， 中 振 動 数 域 （H
，／D ‘ 1．
0の場 合は中 振 動 数 域か ら高 振 動 数 域 ）で， 完 全 密 着の場合よ り も高い 値と なる。
しかU．
， その値は， は く 離の場 合に比べ ると 小さい。
図一
16の回 転 基 礎 入 力 動 の絶対 値に つ いて見 る と，
完 全 密 着の 場合は，
全 体 的に 成層構造に よる違い はあ ま り見られ ない が， H，／D＝ 2．
0 の場 合は， α。＝
2．
5
付 近に突 出 が 見ら れ， そこで は一
様 地 盤の値よ りもか な り高い値 とな る。
側 面がは く離する 場 合は，一
様 地 盤で は， ao が1，
0〜
6．
Oで， H 且／1）！
1．
0 で は，
O．
O−
4．
5で，
H，ノD＝
2．
O で は，
O．
O−
3．
O と4．
5 以 降で完 全 密 着の場 合 よりも低い値と な る。
した が っ て，
低 振 動 数 域か ら中 振 動 数 域にか けて は，
側壁の は く離に よっ て 回 転 基 礎 入 力 動が か な り低 減さ れ るこ と が わ か る。
これ に対 して，
側 壁が滑動す る場 合は，H
，／D ＝
2，
0，
。。 の場 合におい て全 体 的に非 常に高い値と な る。 これ は， 基 礎 側 壁の接 線 方 向 インピー
ダン スが存 在し な い状 態で，
法 線 方 向地 震 強 制 力が作 用す る た め，
回 転し や す くな っ た もの と考えられる。 以 上か ら，
イン ピー
ダン ス に 関しては，
虚部は，
側 壁 の完全密 着，
滑 動，
は く離の順に比例的に減少し，
実 部牛
，
H1 VSI・
Pr り 1 VS2・
ρ2・
り2 S wave Ψ Sl！Ψ s2・
1〆21iiiiiii
：
：
s◎
m圏
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k＝
20oV
自
300m／sSlPl冨
L・
8［！囗
’
DtRQ＝
】 Hb／D＝
】 P’
／Pl・
3！5mb ／・
‘
2！コ hb．
O・
02 図一
6 二層地盤にお け る解 析モ デルTHb
亠 † D ⊥一
89
一
一
・
CV・
C了… 。…一
一
一
C，
・
1・
°・
C・・
°・
°一’
−
CH’
CT’
O・
° 6．
0 4，
0 2，
0 D．
0−
2．
O O．
O l．
0 2．
0 3．
0 4，
D 5．
0 6．
0噌
R。ノVS1 図一
7 水平インピー
ダン ス実 部 ｛k．．）一
；Pt・
CT−
L °一
一
…−
CH・
1・
o・
らT冒
o・
°一齟
一
｛N叫丁’
°・
° 4．
0 3，
0 2，
0 LO 0，
0 0．
0 1．
D 2，
0 3、
0 4．
D 5．
0 6．
O ee・
凵
E。
iVs」 図一
8 水 平 インピー
ダン ス虚 部 （CHH＞−
CN・
CT−
］・
〇一
’
一
一
一
一
碼
1・
O・
CT’
O・
O− ’
−
CN’
CT−
D・
0 0S0 0 峭 叶 ゴ ； 5 鹹「
゜ 部 4 実 ス S ン o 謬 ダ ー 呱一
％ ビ ン 0、
イ 2OL → 図 0 O、
o 曾 0161 転 ゜ 回 4 腎 ゴ 蹴 0410 へ四
ρ 0一
ニ ニ
；
〆
一
冖
．
、
一
一
［
O8110 馬一
一
「
’
’
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＝ご
｝
一
ρ
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〆 冫’
一
’
一
ノ
噛
丶 −N
、
誉
、
0一
7じ
6o … 臥 C （ 部 o 虚 も ス ー ン ダ謁
匹。
ン 0 イ 氤．
転 回 0L0 9 』 6 0 0 00 軌 ＆曹
0 0 0 0 0 臥一
30
00 Q 4 3 2 1 0一
Hllo・
L・
° 11N
H 邑’o匚
2・
o ノ阪ロ
亡
臥肖、
丶丶
丶
丶、
一
一
一
一
一
皿
一
齟
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．
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一
一
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一
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一
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一・
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／．
〆 二．
．
一
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LO−一
一
…
CN’
巳・
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0・
〇一一
『
CN卩
〔．
r’
°・
° 4，
5 3．
o 且．
5 口．
07 r
−
−
L．
5 0．
0 且．
0 2rO 3．
0 4．
O S．
0 6．
O臼
o冒
巴
Ro ！VS1 図一
11 水平一
回転連成 インピー
ダン ス実部 （h
． ．）−
CN・
CT・
【・
0−一
一
曽
凾
一
Cn−
1・
°・
CT’
0・
D− ’
『
CH’
CT’
°・
0 4，
0 3．
O 2．
O l．
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．
0 0．
0 1．
0 2．
0 3．
0 4．
0 5，
0 6．
O s。
叩
R。
fVs1 図一
12 水 平一
回 転 連 成 インピー
ダン ス虚部 （d：NH）−
CH’
CT’
！・
O曹
’
一
幽
’
−
CN’
1・
0・
Cre・
0『’
−
CN’
CT’
e・
0 4．
5 3．
o l．
5 0．
0 ）一
且．
5 0．
0 且，
0 2．
0 3．
0 4．
0 5．
G 6．
0団
o圏
diRo 〆VSl 図一
13 水 平一
回転連 成 インピー
ダンス実 部Ub
κ．｝一
［NtCT’
T・
°’
一
一
−’
−
CN”
t・
°・
CT”
O・
O− ’
−
eN・
CT・
O・
0 4．
0 3．
0 2．
0 1．
00
．
0 070 且．
0 2．
0 370 9，
0 S．
0 6rO ao．
uRo 〆VS 正 図一
14 水 平一
回転連 成 インピー
ダンス虚部 （CHN）2
