バイリニア型履歴をもつ1自由度系のランダム応答

【

論

　

文

I

UDC ：624

．

042

．

7 ：624

．

04

　 　 日本建築学会構造 系論 文 報 告 襲 第 420 号

・

1991

年

2

月

Journal

　of　

Stmc

し

Constr

・

Engng

，

　

AIJ

，

　

No

：

420

，

　

Feb

・

，

1991

　　

バ

_イ

_リ

＿

_ア

_型

_{履 歴}

_{を も}

つ

1

自由度 系

の

ラ

ン

ダ

ム

応

_答

RANDOM

　

RESPONSE

　

OF

　

A

　

SINGLE

−

DEGREE

−

OF

−

FREEDOM

　

SYSTEM

　　　 　　　 　　　 　　 　

WITH

　

BILINEAR

　

HYSTERESIS

　　 松 島 　 豊

＊

Yutaka

　

MA

　

TSUSHIMA

　This

　

paper

　

deals

　with 　

the

　nonlinear 　random 　respQnse 　of　

the

　single

・

degree

−

of イreedom 　system with 　

elasto

・

plastic

　

hysteretic

　characteristic

_，

　when 　subjected 　

to

　

Gausslan

　white 　excitations

．

1The

analysis 　ajms 　at　

flnding

山e　app 【oximate 　solutions 　

for

　

displacernent

，

　velocity

，　

ductility

　

factor

　and

cumulatlve

　

ducti1ity

〔acto 【

in

　clQsed 　

fQrms．

　

The

　

displacement

　

is

　

deco

_興

_posed

　

into

_．

the

　shift 　of 　

the

center 　of 　osciUatiQn 　alld 　

the

　

deformation

　

about

　

its

　

displaced

　

center

．

　

The

　

former

　

is

　regarded 　as 　

the

diffusion

　

_process

　and 　

6stimated

　

by

　

the

　random 　wa 且

k

　

theory

．

　

The

　

latter

　

is

　evaluated 　

by

　

taki

皿

g

．

account 　of　

the

　equivalent 　

frequency

　

together

　with 　

the

　concept

．

　of　

the

　energy 　

balance

，

　

The

　approxi

−

mate 　solutions 　are　compared

』

with 　

the

　

digital

　

estimates

．

　

The

　agreemen ヒs　

be

しween 　

the

　

both

　are satisfactory 　

in

　most 　cases

．

　

The

　relations 　

between

　

the

　

ductility

　

factor

　and 　

the

　cumula 巨ve 　

ductility

factor

　are　

investigated

．

　

The

　relations 　

between

　

the

　maximum 　elastic 　

and

　

inelastic

　responses 　are　ex

−

amined

．

　　 　 　　 　　

．・

　KeyWO

，rlS ：random 　response

_，

　nbnlinea 厂resPonse

，

励 near 　

hyste

厂esis

，

励 ‘’

6

競 58

_，

　seismic 　

design

1．

序

　 非 線 形

の

履 歴 復 元 力 を も

つ

振 動 系

に

地 震 動

の よ

う

な ラ ン

ダ

ム入

力

が

作 用

し た

場 合

の

応 答

を

解 析 的

に

求

め る こ と は

難

し い

』過 去 多

くの

努 力

がな されて お り

，

近 以 的

で は あ る がい くつかの

有 効

な

解 法

が

提 案

さ れ

，

相 当

な

成

果

が

得

ら れ て き て い る

。一

っ の

有 力

な

流

れ は

T

，

S．

　

Atalik

と

S

．

Utku

に よっ て

提 示

さ れ た

等 価 線 形 化 法

1 ）に よるも の で あ る。

T ．

　

K ．

　

Caughey

がバ

イ

リニ ア

型 履 歴 を も

つ

系

の ラン

ダ

ム

応 答 辷 応

用 した よ う な

従 来

の

_{等 価 線 形 化}

法

2） で は

，

非

線

形 性が弱い 場 合に

し

か精 度の よい解 が 得 ら

れ

ない

。

しか しこ の

新

しい

方 法

は

非 線 形 性

が

強

い場

合

に

も適 用

で きる こと が

示

され て い る：〕

−

5 ） 。 こ のと き

，

履

歴 を もつ

_復

_元

_力

は

微 分 方 程 式

の

形

で

表 示

さ れ る こ と に な る。

多

くの

履

歴モ デル に

対 す

る

微 分 表 示 も提 示

さ れて お り6｝

，

応 用

範

囲

が

広

い。

も う

一

つ の

流

れ はマ ル コ フ ベ ク トル

過 程

論

に

基

づ く より

直

接 的

な もの であ る。

状 態 変 数

を

支配 す

る

確 率 微 分 方 程 式

の

中

に この

微 分 表 示 を組

み こ み

，

対 応

す るモ

ー

メ ン ト

方 程 式

を

確 率 密 度 関数

の

近似 関

数 形 を導 入

し て

．

解

く とい

う方 法

が

よ

い

精 度

の

解 を 与

え る こ

と

が

示

さ れて い る7 ）。

　

こ の

よ う

に

最 近

で の こ の

方 面

の

進 歩

は

注 目

に

値 す

る が

，

どの

方

法

に よ るに し ても

解

は

閉

じ た

形

で は

得

られな い_。

_導

か れ た

微

分

方

程 式

は

数 値 的

に

解

か れ るこ とにな る の で

，

解

の

基 本 的

な

性 質

を

一

見

し て

知

る こ と は

難

し い 6 そこ で

本 論

で は

解 を初 等 的

な

関 数 を 用

い て

陽

に

表 示

す る こと を

目指

す

。

関 与

す る パ ラ メ

ー

タ が

各 種

の

応 答 量

に ど うい う

形

で

寄 与

する か

，

例

えば

比 例

する の か

_平

方 根

に

比

例

す るの か

と

い

う

よ う なこ

と を

，

近

似

的

にで

も知

り たい と

思

っ た か らであ る

。

複

雑 な 問 題に対 してこう し たこと が

簡 単

に

可 能

であると は

考

えら れ な いが_，

厳 密

さと

精 度

を

多 少犠 牲

にす れ ば

，

物 理 的

な

直観

と

考 察

に

よ

っ て

あ

る

程 度

目

的

を

達 成

す ること ができ る

。

　

筆 者

はすで に こ のよ うな

意

図に基づ い て

，

ス リッ

プ

型

履 歴 特 性 を も

つ

1

自 由 度 系

にラン

ダ

ム ノ

イズ

が

地 動

と し て

作 用 す

る

場 合

の

非 線 形 応 答

の

解 を 近 似 的

に

求

め たs）

−

le） 。 ス リッ

プ型 覆

歴 は

延 性

に

乏

し い

構 造 物

の

復

元

力

特

性

に

典 型 的

に

現

れる。

延 性

に

富

ん だ

構 造 物

の

復 元 力特

性

の

代表

はバ

_イ

リニ ア

型 履 歴

であ る。 こ こ ではこれ を

取

扱

うこと と す る。

基 本

的

な

考

え

方

は

前

の

場 合

と

変

わ ら な いが

，

履 歴

に

特 有

な

性 質

を

解 析

の

中

に

適 切

にとり こむ 工

夫

が 必

要

であ る。 ス リッ

プ型 履 歴

で はル

ー

プ

が

重

な ら な い の で

解 析

は

容 易

とな るが

，

み かけの

固 有 振 動 数

が

時 間

と と

も

に

変 化 す

る

と

い

う厄 介

な

問題 も現

れる。 バ

イ リ

ニ ア 型

履

歴で はル

ー

プ

は

局 所 的

には

重

なっ ており

，

その

成

分

の み か けの固

有振動

数

は

変化

し ないが

，

逆に

履

歴の

中

心が

_時

_間

と と もに

_{移 動}

す る。 1 _{筑 波 大 学 　 教 授}

・

_工博

_Professer

　

変 位 応 答

を

履 歴 中

心の

移 動

量 と その

_履

歴

中

心 ま わ りの

変 位

か ら

成

るとす る

考

え 方 は 以 前 か ら あ り

，

そ れ ぞ れに

特 有

な

解 析

が な さ れて いる11Lltl

_。

_{し か し} ，

履

歴

中

心の

移

勤 量

は正

負

の

累

積

塑

性変

形

の

差

に

基

づ く ラン

ダ

ムウォ

ー

ク と み なすこと ができる の で

，

その考 えによれ ば単 純に

応 答

が

評 価

で き る。

本 論

の

一

つ の

特 徴

は そこ に あ る

。

中

心

ま わ り の

変

位

を

振 動

す る

成

分 と し

，

み か けの

固 有 振 動

数

を

閉

じ た 形で

表

現 す る

。

変 位

と

速 度

の

分 散

，

最 大 変 形

と

累 積 塑 性

変

形

の

期待

値

と 分

散

も

単 純

な

関 数

で

陽

に

表 現

す る

。

得

ら れ た

近 似 解

は シ ミュ レ

ー

ショ ン に よ る

数 値

実

験

によっ て

検

証 さ れ る

。

シ ミュ レ

ー

ショ ン の

値

は正

解

で あ り

，

これ も で き る

だ

け

実

用 的

な

形

で

と

り

ま と め

る

よ う

にす る。

　

こ こで取 扱っ た

対 象

は

特 殊

な もの である

。

系

の

減 衰

が

無 視

さ れて いること

，

バ イ リニ _ア

_{型 覆 歴 が 完 全 弾 塑 性 型}

であ るこ と

，

入

力 が

ホ ワ

イ ト

ノ

イ

ズで

あ

ること な ど が そ れ である

。

と り あえ

ず 基 本 的

な

表 現 式

を

得

るこ と を 目

的

と し たか らで

あ

る

。

同 様

な

考 察

を

す

ることによっ て

，

こ こ で

述

べ _た

_{方 法}

_{を よ り}

一

_{般 的}

_{な 場}

_合

に

拡 張

す るこ

と

は

可

能

である。

2．

入

出 力 系

　 静 止

し てい る

非 減 衰

1

自 由度 系

の

基 部

に

，

突 然

ガ ウス 型 ホワイ トノ

イ

ズが

地 動 加 速 度

と し て

作 用

する場 合 を 扱 う

。

質

点

の

変 位

x

は

次

の

運 動 方 程 式

に

支 配

さ れ る。

　　　

to

＋

f

（

x

．

　

th

）

＝

一

　

U

（

t

）

W

（

t

＞

・一 …・

…………

（

1

）

こ こ で

， ・

は

_{時 間}

t

に

_関

する

微 分

を

表

す。

U

（

t

＞

は

単 位

階 段 関 数

，W

（

t

）

は

一

定

スペ _{ク ト}ル

密 度

∫o

を も

つ

平 均

値

ゼロ の

定 常

ホワ

イ

トノ

イ

ズ と する

。

f

（

x

，

鋤

は

復 元

力 関 数

を

表

し，

Fig．

1

の よ うな

完 全 弾 塑 性 型

の バ

イ

リニ ア

履 歴 を も

つ

_も

の と

す

る。

弾 性 時

の

固 有 角 振 動 数

をω 。

降 伏 変 位

を

A

と し

，

降伏 加

速

度

α

（

＝

ω

訟

）

で

完

全 な 塑

性 流

れ を 起 こす。

3．

変位

応

答

　

（

1

_）

式の

初 期 条 件

は

，

t

＝

0

で x

＝

dr

＝

0

である

。

応

答

は

_非

定

常

と な り，

系

は

あ

る

時 間 内

で は

弾 性 的

に

挙 動

す る

。

弾性

限 界

に

達 す

る

ま

で の

時 間

の

期 待 値

t

。 は

近 似 的

f

α 圏 ， ， ， 1 「 ■ ■

o

_∠

3

∠

・

’

一

_α

1

Fig

．

1

　

Blllnear

　

hysteresis

　with 　zero　

plastic

　stiffness

一

₁₀₂

一

に

次式

で与 え ら れ る8）

_。

　　　

T・一 、

冫

ξ

・

…一 ……・

…・

一 …・

……・

・

一

_川

こ こ で

，

　　　

・

一

裂

一

讐

・

・

…

　

……・

…・

…・

・

一 …・

（

・

）

　　　

ξ

。 ω・

孛

・

・

…・

・

・

・

…



…・

・

…・

……

_（

_・

_）

　 　 　 a で あ る。

以

後

一

般

に，

記 号

の τ は

弾 性

時の固 有 周 期 丁。 で

基

準

化

さ れ た

無 次 元 時 間 を表 す

。

ξ

は

構

造 物

の

強度

に

対

す る

入 力

の

強 度

の

比

に

相 当 す

る

無 次

元 量 で あ る

。

　t

が

t

。よ り

大

き く な る と，

系

は塑

性

域に入 る

。

系

に

供給

さ れ るエ

ネ

ル

ギ

ー

と履 歴

に

よ

っ て

消 費

さ れ るエ ネル

ギ

ー

は

釣

り

合

う

が

，

完 全 弾 塑 性 型 履 歴

の

場

合

に は

応 答変

位

が

定 常

になる こ と は ない _。

_履

歴ル

ー

プ

の

_中

心

が

原 点

か ら

移 動

し

，

質 点

は

移

動

し た

中

心の まわ りで

振 動

する。

時

間

t

’

（

≡

t

−

t

、

）

に お け る履

歴 中

心の

移 動 量

を Xc

，

その

中心

ま わりの

_{変 位}

を

x

。と する と，

近 似 的

に

，

　　 　

」じ

＝

コじc十

Xo

・

・

・

・

…

　

一…

　

一

…

　

『

『

・

・

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

tt・

（

5

）

である

。

x

、

は

非 常

に

低

い

振 動

数 を もつ

成

分

，

コ

c

。は

時 間

に

依 存

し な い

，

あ る

等

価 な 固 有

角 振 動 数

ω

。

を もつ

成 分

で

あ

る。

供 給

さ れ たエ

ネ

ル

ギ

ー

は もっ ぱ ら Xo に

基

づ く

履 歴

ル

ー

プ

によっ て

消

費

さ れ る

。

　

（

5

）

式の

_両

辺 を

A

で除 して無

次

元

化

する と

，

　　 　

η

；

ηc十 ηo

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

9

（

6

）

こ こ で

一

般

に

，

η は

x

／

A

で

定 義

さ れ る

変 位

の

無 次 元 量

を表

す

。

　

以 後

の

考 察 も

，

と くに

断

ら ない

_限

り， 〆

（

≡ τ

一

τ。

）

≧

0

の

場 合

につ いて の も の と す る

。

4

．

　

履 歴 中 心

の

移 動

量の

_期

_待

_値

と

分 散

　

履

歴の

_中

心 が

移 動

する の は

，

th

＞

0

に おけ る

塑 性 変 形

と

th

＜

0

に お ける

塑 性 変 形

が

異

な る ことに よっ て も た ら さ れる。

質 点

が

f

＝

±α の

線

上 を

移

動 す る 量 を 塑

性 変

形 xρ と し

，

x。の

絶 対 値

の

総 和

を

累 積

塑

性

変

形

Xa

と

定

義

す る と

，

　 　 　

x

．＝＝

xl

−

xi

…………・

………・

・

…・

……

（

7

） で あ る。 ここで，

右

上 添

字

の ＋ と

一

は そ れ ぞ れ

th

が 正 と

負

にお ける

累

積

塑

性 変

形

であ るこ と を

表

す

。

Xa

は

蝿

十 xE に

等

しいe

　 　 　

λ≡ Xa

／

A ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

8

）

とい う

無 次 元 量 を定 義 す

る

。

λ は

累 積 塑 性 率

といわ れる

。

λ

＝

λ

＋

＋

N

である か ら

，

λ

†

と λ

一

が 確

率 的

に独 立で ある と

す

ると

，

　 　 　

Vk

‘VA

＋十

VA−・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

9

）

し た がっ て （

7

） 式 よ り

，

η。の分 散は

，

　 　　

V

η c；

　

V

民

＋十

　

Vx−＝V

ぺ

・

・

・

・

…

　

一…

　

一

・

一…

　

一

一

・

…

　

tt・

一

（

10

｝

で あ る

。

こ こで

V

は

分 散 を 表

す

。

λ＋

！

・

λ

一

で

あ

るか ら

，

η

。

は

平 均 値

0

，

分 散 玖 を

もっ ラ ン

ダ

ム ウォ

ー

クとみ な さ れ る

。

こ こ で

上

つ きの

一

は

_{期 待 値}

を

表

す。

5

．

　 履 歴 中心 ま わ り

の

振 動 成 分

　

履 歴 中

心 まわ り の

振 動 成 分

x。

を近 似 的

に あ る

等 価

な

期 待 固 有 角 振 動 数

ω。

を も

つ

正 弦 振 動

で あ る と み な す。

等 価

な

期 待 周 期

Te

（

亟

2

π

／

ω

∂

あた り のエ

_ネ

ル

ギ

ー

の 釣 り

合

いは

，

　　　

di

。1 α

＿

。

S

。

旦

丑

・

・

……・

・

鹽

鹽

・

・

…・

…………・

鹽

…・

_（

_ll

_）

　 　 　 ωθ で あ る

。．

ここ で

，

th

_。1 は

1

周 期

Te

間

で の

累

積

塑

性

変 形

の

_{期 待 値 を表 す}

_。

　

履 歴

ル

ー

プ

が その

中心

に

関

して

対 称

で

，

ル

ー

プ

の

_{対 角}

線

の

勾 配

が

雌

に

対応

す るもの とすると，

　

　　

・

乙

一

轟

。

…一 ……・

・

…・

…・

・

…・

…・

…・

tt

_（

_・

₂

_）

と な る

。

（

11 ）

・

式

よ り

得

ら れ る

di

ρ

1 を

（

12

）式

の

右

辺 に

代

入 し

，

（

4

_）

_．

式 を

使

え ぱ

，

β （

≡ ω。

／

ω。

）

の

値

が

次

の よ

う

に

求

め ら れ る

。

　

　　

β

一

吉

←

n・

ξ

・

V

_{… ξ}

・

t16

）

・

・

・

……一 ……・

（

13

）

β

_嫉

ξ だ けの

関 数 と

なる

。Fig．

2

の

実 線

は

（

13 ）

式で

_表

さ れ る

_β

一

_{ξ関 係}

_を

示

す

。

　

よ く引用

さ れ る，

従

来

の

等

価

線

形

化

法

に よ る

完全弾

塑

性 履 歴 系

の

等 価 角 振 動 数

は

次式

で

与

え ら れ るts）

_、

　

　　

β

一

t

（

・

−

s

’

〜

2

θ

）

…・

…・

…………・

…・

・

…・

_（

14

_）

こ こ で_，

　

　

　

・

一

・・

S

“

1

（

17

誰

β

）

一 ・

・

…・

・

…………

_・

₁₅

_）

β

は θだ けの

関 数

で あるが， θは

ξ

と

β

に

依 存

す るの で

，

〔

14

）式

は βの

陽

な

表 現 と

はなっ ていない

。

_β

の

値

を

得

るには 反

復 計 算

が

必 要

で ある

。

（

14

）

，

（

15

）式

で

与

え ら れ る

β

を

，

比

較

の た め に

Fig

．

2

に

点 線

で

示

し た

。

実

線

と

点

線

の間 に

大

き な 差 は ない の で

，

より

簡 単

な

（

13

）

式

の

_{方 を β}

の

_{表 現 式}

と して

使

う。

6．

速

度

応

答

の

分

散

　

th

。 は 島 に

比

べて十 分

小

さい か ら

，

（5

） 式

よ り

，

　

th

0

86

42

1

β

OO

OO

　 O 　

’

　 0

．

02 　　0

．

04



α

06 　　0

．

08 　　alO 　　O

．

12

　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 ξ

Fig

_．

₂



Equlvalent

　

frequency

　of 　 oscillating 　compQnent

は

近 似 的

に 島 に

等

しい

。

t

’

≧

0

では 島 は 振 幅 ω。

（

1

ρi

／

4

＋ △

）

の

正 弦 振 動

を し てい る と み な さ れ る ので

，th

の

分

散

は

，

　　　

Vt

一

撃俘

_＋

4

）

t

・

…・

…………・

・

……一

_（

_・

₆

_）

と書

け る

。

〔

11

）

式

で

与

え ら れ る

X

ρ，を

（

16 ）式

の

右

辺 に

代

入し

，

無 次

元

表

現に

書

き改 めれ ば

，

　　　

蝪

（

π2

ξ

＋

_β

2

）

2

_…・

一

…………

・

・

……・

_（

₁₇

_）

と

な る

。

こ こ で

，

h

は

釧 （

ω。

A ）

で

定 義

され る

速 度

の

無

次

元 量 を

表

す。

7．

累積

塑

性率

の

期待値

と

分 散

　

ピ ≧

0

に お け る

累 積 塑 性 率

の

期 待 値

は_，

　 　 　

λ

＝2

π2

ξ

τ

’

……・

…ttt

−

…・

…・

・

……・

…・

…・

・

（

18

）

で

あ

るs）

_。

（

18

＞式

は どの よ う な

履

歴

特 性

に

対

し て も

成

り

立

つ

。

　

履 歴 吸 収

エ

_ネ

ルギ

ーE

の

分 散

VE

は

，

　 　 　

v

・

＝2

π

s

・

Vi

　

t

’

_・

_・

_・

_……・

_………・

_…・

_・

_…

t

−

t

……

_（

19

_｝

と なる か ら川

_，

_{こ れ}

を無 次

元

表

現

に

_書

き

改

めれ ば

，

　 　 　

V

気

＝

4

π 2

ξ

τ

’

Vh ・

・

r…

　

r…

　

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

20

＞

で

あ

る

。

8．



変 位 応 答

の

分

_敬

　

ηc と η。が

確 率 的

に

独 立

であ る と す る と

，

（6

）式

よ り

，

　 　　 Vn

＝

Vnc

十

Vn

_。

・

………・

…………・

………一 ・

_（

_{21 ）}

と書

け る

。

　 　 　

Vh

　　　

v

・・

＝

ア

… ’

”… ’

’

’

’

’

”… … … ’

’

’

’

’

’

’

’

”鹽

（

22

）

と して よい

が

ら

，

（

ユ

0

_＞

式 を

使

え ば

，

（

21

）式

は

，

　 　 　 　

Vh

　　　

v

・

＝

v

・＋

ア

… ”

… ’

鹽

’

… … ’

… ’

’

’

”

（

23

）

と な る。

上 式

の

V

λ に

（

20 ）

式 を適 用

す れ

ば

，

　

　

　

Vn−

_（

・π2_ξ

酵

）

V

・

……・

・

……・

∵

……・

・

…

（

24

）

と

書

く ことが できる_。

9．

塑 性

率

の

期 待 値

と

分 散

　

η，と η。が

独 立

で あ る と す る と

，

（

6

．

）式

より

，

塑 性 率

μ≡

1xlmax

_／

_△の

期 待 値

は

近 似 的

に

，

　　　

酉

＝

　

　

　

1

ηcIkax 十

T

玩

丁

max

　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

…

　

（

25 ｝

こ こで

，

添 字

max

_．

は

最 大 値

を

表 す

。

　

η，は

平 均 値

0，

分

散 澱

の ラン

ダ

ム ウ

t

一

ク と み な せ る か ら

，

　

　

　

和

一

み

・

…・

・

…・

・

…・

・

…

…・

…・

……

…

61

であ る15）

_。

こ こ で

記 号

の σ は v7 と 同 じ もの で

，

標 準

偏 差

を

表

す

。

（

20

）式

より

，

　　 Mo

． ＿

一

_罐

・

h

…………・

……・

・

…一

（

27

）

と書

くこ

と も

で き る。

　 （

22

） 式

より

，

σ”o

＝

σ

h

／

β なの で

，

　

　

1

_可

一 一 ・a・

・

一

 

……一 ・

…一 ………・

（・

8

） と

書

くこと ができる

。

こ こ で_{， ρ は}いわ ゆ る ピ

ー

クフ ァ ク タ

ー

を

表

す

。

τ

〆

が

あ

る

程 度 大

き けれ

ば

，

近 似 的

に

_，

　

　

・

一蔽

・

万

i

話

・

…………・

……・

…

（

・・

）

で あ る16 ）。 こ こ で， γは オ

イ

ラ

ー

の

定 数

で， γ＝

O

．

5772

であゐ 。 ピ が

小

さい 場

合

は，

p

は

非 減

衰 系

の ホ ワ イ ト ノ

イ ズ 応

答

に お け る

ピ

ー

ク ファ ク タ

ー

17〕

，

2

．

348／

te

＝

1．660

に

_近

い

値

にな るであ ろ う。

（

29

）式

におい て

，

p

がこ の

値

と な る と きの ピ は

1．

970

／

β

と

求

め ら れ るの で

，

こ こ で は

（

29 ）

式

の

適

用

範

囲

を

τ

’

≧

1

．

970／

_{β と す}る

。

これ よ り

小

さい τ

’

で は

系

の

_変位

はま だ

弾 性

の

_{近 傍}

にあ るので， と く に その

挙 動

に は

言

及 しない

。

　

（

27

）

，

（

28

）式

を

（

25

ウ 式

に

代

入す れ ば

，

酉

の

表 現 式

が

次

の よ うに

得

られる

。

　

　

　

・

一

・nS

・

・＋

茅

一

一 ・

…一 ・

一 …

（

…

　 （

30 ）

式

の

右

辺に

（

18 ）

式

を

適 用

する と_，

_戸

と λ の

_関

係

が

次

の よ うに

求

め ら れ る

。

　

　

　

・

一

λ

・

茅

・・

………・

…一 ・

・

…・

・

31

・

　

ラン

ダ

ム ウォ

ー

クで は，

最 大 値

の

2

乗 平 均 値

は

分 散

の

2c

_倍

で あ る

。

こ こ で

，

　

c

は カタ ラン の

定 数

で

，

C

＝

O

．

9160

で

あ

る。 よっ て

，

1

η。

lm

。 ．の

分 散

は

（

26

＞

式 よ り

，

玩＿

一

（

2

・

一

晋

）

VA

・

…一 ・

一………

（

・・

）

と なる こと が

分

か る。

　

1

捌

  x の分

散

は

2

重 指 数

分

布

か ら

得

ら れ る

値 と

して

，

　　　

V・

n

・

1・nnx

−

₁₂₁

言

β

。 T　

V

_・・

…− tt

・

・

…・

・

……・

……

（

33

）

と す るこ と が で きる

。

（

20

）式 と （

22

）式 を 使

っ て

，

上

式

の

_{右 辺}

を

肱

で

表

せ ば_，

　 　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

…

　

r…

　

tt・

・

・

・

・

…

　

（

34 ）

　 　 　

Vln

。IPt

＝

　 　 　 　　 　 48

π

ξβ

tτ

’

Ln

β

τ

’

（

34 ）式

の

適

用

範 囲 も

，

p

の

場 合

と

整 合

する よ うに

少

な く と もτ ’ ≧

1

．

970

／

β と

すべ _きで

あ

る。

　

よっ て μ の

分 散

は

，

近 似 的

に

，

　 　 　

y

声 “

η。瞭 ＋

Vln

。 

．

　　　　

一

（

_・・

−

9

_・ 、

8

。

ξβ

1

．

1

研

）

Vx −……・

（

・・

）

と

書

け るが

，

実 際

に

_{計 算}

して み る と 分 か る よ うに

，

τ

’

の 非 常 に 小 さい

範

囲 を

除

き

，

（

34

） 式

で

与

え ら れ る

V

η

。

1

 

ぽ

（

32

）

式

の

Vln，

tUx よ り

十 分 小

さい

。

し

た

が

って

，

蝋

・・

一

矩

一

・

・

26

ユ

琳

・

……・

・

…・

…・

・

（

・・

）

一 104一

とし て も よい。

（

36

＞

式の両 辺の

平

方 根 を と る と

，

　 　　

a．＝

O．

5

ユ

10aA

・

・

・

…

　

−t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

．

（

37 ）

と な る

。

塑 性 率

の

標 準 偏 差

は累

積

．

塑 性 率

の

標 準 偏 差

の

約

半

分で あ る

。

10．

シ ミ

ュ レ

ー

シ

ョン によ る

検 証

と

考 察

　

以

上の

近 似 的 表 現 式

の

妥 当

性

を

検 証

す る た めに

，

モ ン テ カル ロ

・

シミュ レ

ー

ショ ン に よ る 数 値 実

験

が

行

わ れ た。 ホワ

イ

トノ

イ

ズのサン

プ

ルは

，300

個

で あ る。

　

ホ ワ

イ

トノ

イ ズ

は

1

ω

1

≦ω u の

範

囲で

一

定

の ス ペ ク ト ル

密 度

を

も

ち

，

そ れ

以 外

は ゼ ロと なる よ う な もの で

，

tOu の

値

は

5

ω。

と し

た。

各 小 片

の

振

動 数

幅

A

ω が ω

。

／

2000

と なるよ うに

上 記

の

振 動 数

を

等 分 割

し

，

‘

番 目

の 分

割 点

ω_{t が}

支 配

す る

範 囲

を ωi

−

AtO

／

2

≦Wi ＜ ω‘＋ △ω

／

2

とみ なし た。 サン

プ

ル の

作 成

は

振

動

数

の

支 配 面 積

に

対 応

する

振 幅

を

も

ち

，

0

と

2

π の

範

囲で

一

様

に

分

布

す る 乱 数 を 位 相 角 と す る 正 弦 波 を全 分 割 点に わたっ て重ね

合

わ せ る とい う

方 法

に よっ てい る

。

ホ ワ

イ

トノ

イ

ズの

本

来

の

性 質 が 損

な わ れ るこ

と

の ない よ

う

に

，

サ

ン

プ

ル ご

と

の ゼロ

線 補

正に

類

する

操 作

は

一

切

行

わ れ て い な いが

，

サ ン

プ

ル

数

は

十 分 大

きい の で

，

サ

ン

プ

ル

平 均

E

［

W

（

t

）

］

は

事 実 上

ゼロ で

あ

る

。

サ

ン

プ

ル の

時 間 刻

み は

O

，

02T

。と し，

中 間 点

は

直 線

で

補 間

さ れ た

。

応 答

の

時 間 刻

み は

0．005To

と

し，

剛

性

が 急 変

す る

領 域

で は

さ

らに その

1

／

10

に

分 割

さ れ た

。

微 分 方 程 式

の

解 法

は

線 形 加 速 度 法

であ る

。

　

Fig．3

にσ_厂 τ

関 係 を示

す

。

4

つ の

実 線

は

（

17

）式

の

平

方 根

で

与

え られ る

近 似 解

で_，そ れ ぞ れ

ξ

＝

0

．

025

，

0

．

05

，

O

．

　

075

お よび

0

．

1

に

対

す るもの である。 そ れ ら に

近 接

す る

細

い

線

で

結

ば れた

黒 丸

が シミュ レ

ー

ショ ン の

結 果

を

表

す

。

実線

は

黒

丸

と 必

ず

し も よ く

一

致

し ない

。

そ の

差

異

を より

詳

細

に

調

べ _{る た め}に_，

速 度 応 答

が

十

分

定 常

と な る

範

囲

，5T

。＜τ≦

40

で，

数 値 実 験

の

平

均 値

を

各 ξ

に

対

し て

計

算

し， そ れ ら

を

Fig

．

4

に

黒 丸

で

示

し た。 こ こで

．

τo と は

，

μ

＝

1

と なる

時 間 を各

サン

プ

ル ご

と

に

求

め

，

それ らの

_集

合

平均

か ら

計 算

さ れ た もの である

。

図

中

の

_実線

が

近

似 解

で，

黒 丸

との

姜

は

大

き く は ない

が

，

ξ

が

小

さい

場

1

．

21

．

oO

．

8O

．

6O

．

4O

．

2

ξ

昌

O

．

1



0

．

075

O

．

05

　 　

0

，

025

一



_PREDICTION

−

　 　

IMU

し

ATION

0510152025505540

　 　 　 τ

　 　

Fig

．

3

　

Standard

　

deviation

　of　velocity

1

．

2LO0

．

80

、

6O

．

4O

．

2

　　　　

゜

　

O

・

°

20

・

04

°

・

°

60

・

°

80

・

1

°

ξ

O

・

12

Fig

．

4



Standard

　

deviation

　of　velocity 　versus 　

input

　

intensity

70

天

605040302010

σk

051015

「

_．

20255055

τ

40

Fig

．

5

　

Expectation

　of　cumulative 　

ductility

　

factor

1412108

642

　　 0 　　　

5



10

_{15　　20 　　25}

5Q

　　

55

τ

　

40

Fig

．

6

　

S

亡andarddeviatlon 　ofcumulatlveductitityfactorincase

　 　 　o 正　σ わ　

predicted

　

by

　

Eq

．

（

17

） 合に過 大 評 価

，

ξ

が

大

きい 場

合

に過

小 評 価

と なる

傾 向

に あ り

，0．

025

≦

ξ

≦

0．1

の

範 囲

で

最 大

9

％

の

相 対 誤 差

が あ る。 その 理

由

は

必 ず

し も

明

．

らか でない が

，

い

ず

れ に し

て

も

th

と し て

6

章

で

考

え た よ う な 正

弦 振 動

は

粗

い 近

似

であ る。 ah は

各種

の

応

答

量 を

直

接

支

配 す る

重

要

な 量 な の で

，

よ り

精度

の

高

い

表

現 式 を

得

るこ と が

望

ま しい が

_，

これは

将 来

の

課

題 と してお き

，

と り あ え

ず

こ こで は 近

似

解

の

形 式

を

借

り て

，

ah を

次式

の よ う

_．

におい てみ た。

　　 　

σ

h

＝

α

ξ十

わβ

・

…・

……．

…・

………・

・

…・

…・

（

38

）

上 式

中

の パ ラメ

ー

タ α

，b

を

数 値 実 験 値

に よ く

合

う よ う に

，

反

復代

入

法

に よっ て

求

めて みる

と

，

　

14

σx 　

12108642

　 　

0

　　　

5

　　　

10



15



20



25



ヨ

0



55



_τ

40

Fig

．

7

　

Standard

　

deviation

　ofcumulative 　

ducIlhty

　

factor

　

i

ロcase

　 　 　

of σ

h

　

predicteCl

　

by

　

Eqs

．

_（

381

　and

噛

_〔

39

_）

50

　 　

　

40

50

20

10

　 　

Q

　　 　

5

　　

10

　　

15

　 　

20

　 　

25

　 　

30

　　

55

　 　

40

　 　 　 τ

Fig

．

8　Sta

且

istical

　

i

皿

dependence

　Qf　_{cu 甲 ulative}　

duct

．

ility

　

factoTs

　 　 　of　

both

_s廴

des

，．

　

α　

＝

5

．

3

ユ

，

　

b

三 〇

．

597

・

…・

…

　

…・

・

・

…

　

……

　

…一・

・

（

39

）

・

とい う

値

が

得

られ た

。

こ の

場 合

を

図

中

に

_点線

で

_示

す。 こ う すれ ば

_ξ

の

_{広 い 範 囲}

で より

精 度

の

高

い

値

が

得

ら れ る こと が 分 か る

。

　

Fig

．

5

に λ

一

τ_関

係

を

示

_す

。

実 線

が

（

18

）式

で

与

え ら れ る

近 似 解

，

黒 丸

がシ ミュ レ

ー

_{ショ ン で}

_，

いず れ も

異

な る

4

つ の

_ξ

に

対

して

描

か れて い る。

近 似 解

は

数 値 実 験

値

とよく

一

致

し て い る

。

　Fig

．

6

はaA

一

τ

関

係 を 示 し た もの で

，

表

現の

仕 方

は λ の

場

合

と 同

様

で あ る

。

実

線

は

（

20

）式

で

与

え ら れる

も

の で， ah の

評 価

に は

（

17

＞式

が

使

わ れ てい る

。

実

線

と

黒 丸

は

大 体 似

た

値

と なっ て い るが

，

Fig

．

3

の

場

合

と

同

様

な

差

異 が 認

め ら れ る

。

（

20

）式

に

よ

れ ば aA はah に

比 例 す

る の で

，

_砺

と

して よ り

精 度

の

高

い

（

38

）

，

（

39

）式

を

（

17

｝

式

の か わ りに

使

っ て

改

めて aA を

評 価

し て み た。 それ が

Fig．

7

の

実 線

で

あ

る

。

黒 丸

は

Fig

．

6

の

場 合

と

同

じ

も

の

．

で

あ

る

。

実 線 と黒 丸

はよ く

一

致 す

る

 

で

，Fig．

6

にみ

ら

れ る 不

一

致

は

（

17 ）

式

に

少

し

問 題

が

あ

る せ い で

あ

る こと が 分 か る

。

そこ で，

以 後

はah の

近 似 解

と して

（

17

＞ 式

の

代

わ りに

（

38

）

，

（

39

）式 を使 う

こと と

す

る。

　

λ＋ _と パ が 確

率 的

に

独 立

で

あ

り

，

し たがっ て

（

9

＞式

が

成

り

立

っ こ と

を数 値 的

に

確

か め た

1

例

が

F

・

g

．

8

であ

る

。

ξ

が

0．05

の

場 合

で

あ

る

。

　

Fig

．

9

に σn

一

τ

関 係 を示

す

。

（

24

） 式

で

与

え ら れ る 近

似 解

は

，

_ξ

≦

0

．

075

で は

数 値 実 験 値

と

大 体 合

うが

_，

_ξ

が

も

っ と

大

きい

場 合

には その

精 度

に

問 題

が あ る。

　

Fig．

10

は 万

一

τ

関

係

を

示

し たもの であ る。

実線

は

（

30 ）

式

で あ る。

近 似 解

が

成 立

す る

範 囲

をは

ず

れ る

小

さい τ の

_部

分 は

適

当

に

点

線

で

_結

んであ る

。

実 線

と 黒

丸

は お お む ね よ く

一

致

して いる

。

　

Fig．

U

に σ μ

一

τ

関

係 を示

す

。

実 線

が

（

35 ）

式

で， τ の

小

さい

範 囲

に お け る

点 線

の

意 味

は

Fig

．

10

の

場 合 と同

様

で

あ

る

。

_ξ

が

大 き

く な る と

，Fig．

9

の σ

。

の

場 合

と

同

様

に シ ミュ レ

ー

シ ョ ンの

値

が

近 似 解 を相 当 上

ま わ るよ う にな り， こ の

解

は

あ ま

り

適 切

で ない こ

とが 分

か る

。

こ の よ うに ση と a、、の

解

が

ξが 大

きい

と

きに

過 小 評 価 と

な る理

由

は

_今

の ところ よ く

分

か ら ない

。

これ は

_将来

の

_課

題 で あ る

。

ξ

が あ る

程 度 小

さ け れ

ば

，

両 者

が

一

_致

_{す る}

_{度 合}

い は

大 体

において

良 好

で

あ

る

。

　

な お

，

（

Z4

）

，

（

30

）

，

（

35

）式

に よ れ ば

，

　 aA の

場 合

と

同

様

に σ n

，

P，

　a“ は いず れ

も

σh に

比 例

する の で

，

以

上の

3

つ _の

_図

で も しah の

評

価

に

（

17

）

式

を

使

っ て

実線

を

描

けば

Fig

．

7

の実 線に対 す る

Fig

．

6

の そ れ と 比 例 的に同 じ もの が

_得

られ るこ とになる

。

　

Fig．

12

は

戸 と

λの

関 係 を示

し た

も

ので

，

実 線 が （

31

＞

式

である

。

近 似 解

と

数 値 実 験 値

の 間に は

多 少 差

のあると ころ も ある が_，

_解

は お お む ね

_妥

当

である こ と が分か る

．

（

31

）式 を参

照 し て

，

試

み に シ ミュ レ

ー

ショ ンの

値

が

次

の よ う な

簡

単

な

関係

，

　　　

許

d

δ

＋

1……・

…・

…・

…・

・

…………・

・

……

（

40

）

に あ る もの と し

，d

の

_値

を

各 ξ

に

対

して

最 小

2

乗

法で 求 めて み た

。

使 用 され た デ

ー

タはそれぞ れ τ＝ ユ

，

2

……，

40

の

場 合

の

40

個

で ある

。

そ の

結

果が

Fig．

13

に黒

丸

で

示 さ

れて い る。

d

は

ξ

に

対

して

直 線 状

に

増 加

する ので，

更

にこ れ を

，

　 　 　

d

＝

9

_ξ

_十

h・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

…



t−・

・

・

・

…



一

_（

41

_）

と

書

き

表

し

，

再

び

最

小

2

乗

法

に よっ てパ ラ メ

ー

タ の

値

を

決 定

す る と

，

　 　 　g

＝

11

，

5

，

　　

h

＝＝

0．

649

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

…

　

（

42

）

と なっ た

。

これ が 同 図の

上 方

に

位

置 す る

実

線

で あ る

。

実

用 的

に は

_，

（

40 ）

〜

（

42

）式 を

P

一

λ関

係

を

表

す

近

似

式

と しても よい

。

　

ス リッ

プ

型

履

歴では

，

ξ

の

値

に か か わ ら

ず

，

戸

と λの

間

に

次

の

直線関

係

が

成

り

立

つ ］ω

。

　 　 　

71

辭

0

．

633

_λ十

1

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

…



t・

・

・

・

・

…



tt・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

43

_）

バ

_イ

_リニ _ア

_{型 履 歴}

の場

合

に はス リッ

プ型 履

歴の

場

合

と

異

なる

傾 向 を も

つ こ と が

分

か る

。

　 Fig

．

14

に σ_μ と σλの

関 係

を

示

す

。

実 線

が

（

35

）

式 を

表 す

。

近 似 解 と数 値 実 験 値

の

対 応

は

必 ず

し

も

よ く ない

。

一 106一

　

14

　 　 　

On

　 　 　

12lo

864

2

1412

一

μ

108642

20

一

芦

864

2

0



5



10



15



₂₀



₂₅



₅₀



₅₅



τ

40

　

Fig

，

　

g

　

Standard

　

dev

】atiQ冂 of　

displacement

05101520255055

τ

40

　 　

Fig

．

10

　

Expectation

　of 　

ductility

　

factQr

7654521

0

　

5

　

10

　

15

　

20

　

25

　

50

　

35

τ

40

Fig

．

11

　

Standard

　

deviation

　of　

ductility

　

factor

0

　 　　

5

　　

10

　 　

15

　 　

20

　 　

25

　 　

5055

−

40

　 λ

Fig

．

12

　

Re

且atio皿

between

　expectationsof 　

ductiLity

　and　cumula

．

　 　 　

tive



ductility



factor

実 線

は

．

_ξに

よっ て あ ま り

変

わ ら ない が

，

黒 丸 は

ξ

に

依

存

して い るよ うに み える。

試

み に

，

シ ミュ レ

ー

ショ ン の

値

が

次

の よ う な

簡

単

な

関 係

，

　　　

a。≦

e

・．

…・

・

_∵

・

・

……・

・

…・

………・

・

…．

…・

・

（

44

）

に あ る

も

の と し

，

前

の

_{場 合}

と

同

様

な

手 法

に

従

っ て

e

の

値

を

求

め て み た

。

そ

Q

結

果 が

Fig．13

に

白

丸 で

示

さ れて いる

。

e

も

ξ

．

に 対 して 直 線 状に増 加 す るの で

，

　　　

e

＝

r

_ξ

一

トs

・

・

…



tt・

…



．

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

45

_＞

と書

き

表

し

，

同様

にパ ラメ

ー

タ

．

の

値 を 決 定

す る と

，

　 　 　

r

＝

2

．

ユ

4

，

　　

s

＝

O

．

406

・

・

…

　

∵

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

46

）

となっ た

。

こ れが

同 図

の

下 方

に

位 置

する

実 線

で

あ

る

。

実

用 的

に は

（

44

）

〜

（

46

＞式 を

a、1

−

aA

関 係 を表

す

近 似 式 と

し て

も

よい

．

（

37

） 式

に よ る と

，

『

ξ

に か か わ ら

ず

e

＝

O

．

　

511

．

で ある

。

_屯

れ が

点 線

で

示

さ れ て い る

。

_ξ

は e に

対

して

あ ま

り

強

いパ ラメ

ー

タで はな

い

の で

，

こ の

一

定

値

を

e

の

値

と

考

え ても

大

き な

誤

りは ない

。

　

ス リップ

型 履 歴

で は， σμ と aA の

間

に、

　　　

au

＝

＝

0

．

647

σλ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

9・

・

∵

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　

（

47

）

の

関 係

が あるlb ）

。

σλ に対 する Ou の比 は

，

バ イ リニア型

履

歴の

場 合

の

方

がい く ぶ ん

小

さ目と な る こ と が

分

か る

。

　Fig

．

15

に φ と λの

関 係

を

示 す

。

φ

は

線 形 応 答 値

か ら

非

線

形

応

答

値

を 推

定

する とき に

使

わ れ る

量

で

，

線 形

な

系

　　　　　　コ

の 最 大 応 答 加 速 度の期 待 値に

対

す る

非 線 形

な

系

の

降 伏 加

速

度

．

の

比

と し て

定 義

さ れ る。

φ

は ま た

研

に

等

し い1°）

。

数 値 実 験 値

は

_，

_万

＝

ユ

_と

な る よ う な

時 間

T。 を

求

め て おいて

Vii71

を

φ

と みな し， その τ に お け る λの

値

と

組

み に し

_て

プ

ロ ッ ト さ れ た も ので

，

ξ

に よっ て

異

な る

記号

が

使

わ れている

。

近

似解

は

（2 ）式

と

（

18 ）

式

より

，

ξ

にか か わ ら

ず

，

　

　

　

・

一

万

詣

　

…・

…

L

・

…一 ・

…・

……

・

48

・

と な る

。

これ が 図 中の

実

線であ る

。

シ ミュ レ

ー

シ

ョ ン の

値

は 近

似

解

よ り や や

大

き 目 で あ る が，

両 者

は 互い に

似

た

値

とな っ て いる。

　

Fig．

16

は φ と

p

の

関 係

である

。

こ の

場 合

に

・

は

解

は

_ξ

に

依 存 す

る。

近 似 解

が

数 値 実 験 値

と

一

致 す

る

度 合

い はお お む ね

良 好

であ る

。

（

40

）

式で

表

さ れ る 双

一

λ

関 係

を

（

48

）

式

に

適 用

してみ る と

，

　 　 　

d

　 　 　 　

・

・

tt・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

一

（

49

う

　 　 　 φ

＝

　　　 　　 2

（

万

一

1

）

1十〔

lt

とな

る

。

（

41

）

，

（

42

） 式 を

_（

49

） 式

に

_週

用 す れ ば

，

φ と

p

の

関 係 を表

す

実

用

式

を

得

ること がで き る。

11．

要 約 と結 び

　

完 全 弾 塑性 型

の バ

イ

リニ ア

履

歴

特

性

を もつ

1

_{自 由 度 系}

に

_ホ

ワ

イ

トノ

イ

ズ

が地 動 加 速 度

と

し て

作

用 し た 場

合

の

非

線 形

ラン

ダ

ム

応 答

の

特 性 を考 察

した

。

変 位 応 答 を履 歴 中

心の

移 動 量

と そ の

中

心 ま わ り の

変 位

か ら

成

る もの とし

，

2

．

5d

．

e2

．

0

1

．

5

1

．

0

O

．

5

O



O

，

02



0

ρ

4



0

．

06



0

．

08



0

．

10

_ξ



Qj2

Fig

．

・

13

　

d

　

and



e　versus



input

　

intensit

_γ

　

5

．

　 　 σ_P



　

4

3

2

Q

　 　

12

　　 　　 　 　

5

　 　　 　

4

　 　　 　 　

5

　 　　 　 　

6

　 　　 　 　

7

8

　 　 　 　

σ_λ

Fig

．

14

　

Relation

　

between

　standard 　

deviations

　of　

ductility

　and

　 　 　

cumu 且ative 　

ducti

］

ity

　

factor

Q81

φ

00

．

6o

．

4

’

02

0

　　

5

　　

10

　　

15

　

20

　

25

　

50

　

55

　

40

　

45

　

50

　 　 　 　τ

Fig

．

15



No

ロ

dimensio

皿al　

y

孟e［

d

　strength 　ve ［sus　cumulative 　

duc

．

　 　 　

tility





f4ctor

0

8

1

φ

0

0．

6

O．

4

02

0

2

4

6

8 ．

10

　

P

　

12