梁の横座屈問題に関する確率論的考察
平島健一 多田博義 （昭和51年8月31日受理）
Probabilistic Approarch Concerning with Lateral Buckling
Problems of Beam
Ken-ichi HIRASHIMA HiroyoshiTADA
Abstract In establishing a theory of structural safety， it is necessary to relate loading effects to structural response． The nondeterministic character of loading and structural response requires that the chance of the response being unacceptable must be evaluated． In the丘rst part of the present paper， some probabilistic considerations are made for the lateral buckling problem of a beam when the unloaded beam have a random initial deflection shape． In the second part， coupling of load effects such as lateral loads and end moment is illustrated by considering the probability of failure of an elastic beam．
1．緒
言 構造物の安全性に関する問題は構造工学における最 も重要なテーマである。現実の構造物を形成する構造 体とその基礎ならびにこの構造物に作用する荷重を含 めたいわゆる構造環境には多くの不確定要素があり， その主要なものとして統計的分布をする使用材料の変 形形状，強度特性あるいは外荷重等が考えられる。し たがって，近年，荷重および構造材料等の統計的ぼら つきを考慮して，確率論的手法を用いて構造物の安全 性を合理的に決定しようとする関心が急速に高まって きている。 一・方，梁の横座屈は棒や板の通常の座屈とは異な り，ほぼ梁の最大耐荷力を決定するものであるから， 構造物の設計上非常に重要な問題である。このため， 多くの研究者により種々の条件のもので決定論的な梁 の横座屈問題が取扱われている1）。 本論文は以上のような事柄を考慮して，面内に単純 曲げを受ける両端単純支持の短形断面梁の問題を確率 論的な立場から検討したものであり，つぎのような二 つのケースに分けて理論的な考察がなされている。 （a）任意の初期たわみを有する矩形断面梁の横座屈 問題 （b）単純曲げと横荷重との連成を考慮した矩形断面 梁の安全性 2． 任意の初期たわみを有する矩形断面梁の 横座屈問題 ＊現在（株）清水建設 柱の座屈についての確率論的な研究は最近注目を集 め，randomな初期変形の影響のもとでの柱の座屈問 題および時間的に変動するrandomな軸荷重を受ける 動的問題等が取扱われている2）。特に前者の問題に対 してはBoyce3）， Fraser and Budiansky4）， Bernard and Bogdanoff5）およびJacquot6）の研究を列挙する ことができる。ここでは上記の研究成果をふまえて静 的な梁の横座屈問題を取り上げ，定常過程でないran・ domな初期たわみをもつ梁の平均自乗たわみをGreen 関数による方法を用いて検討したものである。 2．1決定論的アプローチ いまFig．1に示すように単純支持の矩形梁（b×h× 1）の両端に純曲げモーメントMが作用するものとし， 直交デカルト座標系（x・y・z）および梁の任意の断 面上にとった座標系（ξ，η，ζ）を設けるものとすれ ぽ，梁の横座屈を支配するねじれ角q（Z）に関する基Fig．1 礎微分方程式は次式で与えられる7）。 豊＋k・・一一k・vv（・）・le2一轟 ここに， w（・）＝＝…＋芸・漂・ち一芸・ C一ｾ（1−…63・膓）G E［・（・）］＝＝E［∫IG（…）w（t）dt］ 一Vo （2．7） をとって梁の平均的なたわみを考えること にする。上式中のグリーソ関数G（Z，のは 決定論的な関数であるから（2．7）は次のよ うに書き変えられる。 E［・（・）］一∫IG（・…）・E［w（t）dt］ Beam with initial deflections and end loading． （2．8） したがって，平均初期たわみが知られてい るならば，面内の単純曲げを受けた梁の平均付加たわ みは（2．8）で計算されることになる。 （2．1） スパソ上の任意点zの自乗平均たわみはその積： o・2（・）一∫ld’推G（…tl）G（乙’珊ω眠）］ （2．2） u。，Voおよびg。はFig．1に示した任意の初期たわ みおよびねじれ角である。 いま，基礎方程式（2．1）を境界条件： g（z）・＝0：z−0，1のとき （2．3）
のもとで解くと，ねじれ角q（z）はGreen関数G
（z，めを用いて次式のように求められる。 ・（・）一轤hG（・…）w（t）dt （2・4）
ここに， 〃 G（z，t）≡G1（2， t）＝ sin〃1 ×sin〃z・sinゐ（1−t）2〈t ゐ ≡G2（z，の＝ sinゐ」 ×sinカ（1−z）・sinゐτ ’＜z （2．5） 梁の横座屈を支配するねじれ角ψは曲げモーメント Mが座屈条件式：仏一πv
cちc （2．6）
に近づくにつれて限りなく大きくなる。 2．2確率論的アプローチ 前節では初期にたわみの形状が既知の決定論的な関 数であるとして導びかれたものであるが，実際問題と して標準的に作製された部材は初期的に不完全な形状 をしているものであり，かつその不完全性は必ず個別 的であって同一のものは存在しないのが普通である， すなわち製造のために供された梁の集合は初期たわみ の確率的変化の母集団を形成すると考えられる。 そこで，いま（2．4）の数学的期待値 ×dt2 （2．9） で表され，その数学的期待値は E［・2（・）］一轤撃яｶ・・G（る顕易・D ×Rw（t、， t2） （2．10） ここに， Rw（tl， t2）：W（t）の自己相関関数 となる。 このことよりW（t）の自己相関関数が何ら かの方法で知られれぽ（2．・10）が積分できて梁の平均 自乗たわみが求められることになる。 初期のたわみU。，V。， qoのうち， U。は梁の両端（Z ＝0，1）において零にならなければならないことを考 慮して O・・一・・n・t’・U（・）一・・i・三・ を仮定するとRル（tl， t2）は R・（tl，…）一（・・一・÷・71・i・三・り・（ぽ言・i・詞
ここに，4＿旦
le M
と書き表すことができる。 （2．11） （2．12） Green関数ならびに自己相関関数の対称性を利用す れぽ，（2．10）は最終的に E［q2（z）］＝ 112十21112一ト122 （2．13） ここに， ・、＝＝ A㍑“Z・i・〃（1−・）・（・一・・s・le・）＋：・71×s’蕊z）｛晋ト2一亘警｝・
・2− A￡“τ・i・k・｛1−…le（1−・）｝＋芸・芸 ・量惣S’n（kl−k2zle2）S’n（警）｝・ k・一為＋手k・−le一子 平均自乗たわみの分布を荷重パラメータ IM lel＝ ㎡E1，C の幾つかの値に対して，梁の2の位置の関数として図 示したものがFig．2である。 klが大きくなるにつ れて，梁のスパン上のすべての点で平均自乗たわみが 増大していることがわかる。Fig．3は鋼材料の梁と して一応妥当と考えられる具体的な数値を仮定してス パソ中央点の平均自乗たわみを荷重パラメータの関数 として図示したものである。これは（2．6）で示され た決定論的な座屈荷重（i．e． le l＝ nr）の値よりはるか に小さな荷重で平均自乗たわみが大きくなることを示 E〔92（z）〕 s10−2 E＝2．1×106 kg／cm2 1＝10．om go＝0．1047 b＝0．75cm， h＝50cm ｛ τ＝0．1cm， M−O．1tm 10 3 10 4 10−5 0 0．11 0．21 0．31 0．41 0．51 Fig．2Mean square（slope）deflections as func− tion of position for several values of load・ ing Parameter kl． 0．08 0．06 1＝10．om，￠b＝0．1047 レ＝0．30，τ；0．2cm b／九＝0．01 2（1−O．63b／h） 0．04 ＝0．8088 0．02 0．00 kt Fig．3Mean square（slope）defiection at center of beam as function of loading parameter kl． 1．0 0．8 0．6 0．4 0．2 Pr。b［92（1／2）＞ngo］ 0
0
Fig．4 1 2 3hl Probability of（slope）deflection at center of beam exceedingηψo． している。 いま，W（z）がGauss過程とした分布をするもの とすれぽ，q（z）はW（2）の線形関数であることか ら，q（z）もGauss過程となるので，変形に対する 確率密度関数ゾ（ジ：，のは次式で与えられる。 畑「2。誌コ｝丁臼中｛ 一X22E［q2（2）コ｝ （2．15） 9CP（z）の値があるnq。より大きくなる確率は P・・b［｜・（・）1＞碗一・∫二！伽）d・ 一・・f・・｛識訂｝（2・・6） と計算される。Fig．3に用いた数値をもとに， nの 幾つかの値に対して梁の中央点での（2．16）の値を計 算してプロットしたものがFig．4である。 上述の解析で考察したことは，荷重（端曲げモーメ ソト）を受けていない梁がrandomな初期たわみ形 状を有する場合の梁の横座屈問題であるが，初期たわ み形状は梁の境界条件を満たす非定常過程の集合のサ ンプル関数として取り扱われている。 ここで用いられた手法を矩形断面以外のより実際的 な1型，Channel型等の各種の断面梁に適用し，また， 各種の荷重状態および境界条件を想定して上記の解析 手法を適用拡張し工学的設計資料を蓄積してゆくこと が今後の課題である。 3．単純曲げと横荷重との連成を考慮した矩形断面梁 の安全性 構造物の安全性を論ずるためには，使用材料OD”確率 的強度分布を検討することはもちろんのこと，作用荷 重下での構造物の応答を取り扱わなければならない。 すなわち，安全性のためには，作用荷重の影響が構造 物にとって受容可能な応答を生じるものであるか否か の検討が必要である。構造物の安全性への確率論的アM↑y
トー一一一一一一1−一一一一→
1ジ
Fig，5 Beam under end moment M and lateral load Po． ブローチはかなりの研究者によって取組まれている が8−’1°），作用荷重の連成を考慮して構造物の安全性を 検討したものはきわめて少ない。例えぽBrown and Evans11）が軸荷重と横荷重の連成を考慮して柱一梁 （beam−column）の破壊確率を研究しているのが目に つく程度である。ここでは節のタイトルに示したよう な標題の問題について検討考察することを目的とした もので，とくに複合荷重による連成項（非線形項）の 確率論的取扱い方法が示され，その結果，単純曲げに よる応力と等分布横荷重によるそれとを線形的に重ね 合わせて求める通常の方法のものに比して梁の安全性 は低下することが示される。 3．1単純曲げと横荷重を受ける矩形梁 Fig．5のように複合荷重（単純曲げモーメントM と等分布横荷重p。）が作用する矩形断面の梁の基礎 方程式は前節と同様の座標系を設けるものとすれば次 式で与えられる7）。 ；き＋殉一一昔・21・（1−・） （3．・1） ここでも前節と同じように単純支持の場合について考 えるものとすれぽ，（3．1）を境界条件（2．3）のもと で解けぽ次式が求められる。 ・（・）一轟・1三i譜1・i・le・＋“嘉…le・ ＋嘉プー謡・−Ee． liM （3．2） η軸のまわりの曲げモーメントM，を求めると Mn−E壌一農（・・n♀・・i・le・・＋…le・−1） （3．3） ’をうる。 Mvの最大値（Mη）m、．はz−1／2で生じるが，これ をTaylor展開し，（2．6）の横座屈荷重M。rを用い て表すと次式のようになる。（Mv）…一乎＋38篭C・［：（1三銑。
（3．4） したがって，面内曲げMと横荷重Poとによって生じ る曲げ応力は・・一誓・＋与
であるから最大曲げ応力amはam一荒棚＋le2、一援㌃）、・硫く1
（3．5） となる。ただし，上式においてW・一竿島一8㌃・彪一384毒酩
Wx一芋…一誓・ち一・笠 （3．・6）
とおいた。 3．2 信頼性解析 いま，任意部材に対し，荷重およびその強度を確率 量とした信頼性解析を行うことを考えよう。破壊は単 一のモード（現在の場合は，横座屈による破壊）で起 こるものとすれば，部材力（応力）Sと耐荷抵抗力 （応力）Rを確率量とした場合の破壊の確率は 1）f＝1）rob（R＜S） （3．7） で与えられる。 ところで，弾性設計においては今考えている梁は （3．5）で計算した砺がある極値に達したとき破壊（不 安定化）することになる。したがって材料の破壊なら びに幾何学的安定性はこの応力によって定義されると いい換えてもよいことになる。一般にMとPoは時間的にrandomに変化する関数
であり，p。はさらに空間的にも変化が考えられるも のである。また梁の幾何学的および力学的特性値 （W。，Wy，ゐ、， le2およびMcr）も決定論的に既知と はいえないものである。そのことは例えぽM，rは初 期たわみによって影響を受ける確率的性質のものであ ることは前節で考察したとおりである。しかしながら， 原理的には（3．5）の変数の確率分布が既知ならぽ， Omの確率分布を見出すことができ，したがって（3．7） のPfが決定できるようになる。そのことを以下に示 そう。いま，鋼材の引張圧縮試験のデータから降伏応 力σ。に対する確率密度関数fs（s）がえられ，かつσm に対する確率密度関数fs（am）が定められるものとす れセま， （3．7） ｛：よ‘ P・−求D（・）fs（s）d・ （3．・）
ここに， F・（・）一轣Fゾ（・）dr・累融撒 のように書き表すことができて破壊（不安定化）の確 率が求められる。したがって，fsを既知の関数と考 えるならぽ，問題は作用荷重ならびに梁の断面特性量からfxを決定することに帰着される。ここでは（3．5） の第3項で導き出されるMとPoとの連成作用の影響 に興味があるから，断面特性と横座屈荷重が一定であ るような場合に対するfxを求めることにする。さら に，上で指摘したように本来M，Poは時間的，空間 的に変動するものであるが，ここでは簡単のためそれ らに対して不変であるとしておく。 荷重Mならびにp。は独立に作用することから，こ れらの同時確率密度関数f〃，p。は次式で与えられる。 fM，P。（m，P）＝＝f〃（m）fp。（ク） （3．9） ここに，九およびfp。はそれぞれ荷重Mならびにρo に対する確率密度関数である。したがって，今の場合 の累積密度関数FΣは F・（・m）一編σ＜・m）一轣v。f・’ ・・（m，P）d卿 （3．10） と書き表される。ここに，aは曲げ応力Omより小さ い応力E（i．e．Σ＜Om）である領域の面積を意味する。 σ。、はMとp。に対して単調に変動する（（3．5）参照） ことから，（3．10）の場合は次式のようになる。 F・（・・）一轤P⑭・∫1∫μ（P）dP・dm・ A−＝（ Mσm−wy）／｛le・＋le・M・P・／（・一（荒）り） B・＝
o鷺鴬㍑霊∵
（3．11） したがって，求めるべきfs（am）は上式をamに関し て微分すれぽよく，最終的に次のようにえられる。 f・（・m）一轤撃?E（m）・f・・ω・㌔d祝 σバ▽ （3．12） 3． 3適用例 次のような例題を考えよう。すなわち，ルfおよび Poの確率分布fM（m）， fp。（p）がFig．6のように fM（m） 珊 M Mcr＝2班 Wy夫1 ム（P）m
P 0 鋤／W西 Fig．6 Assumed probability density functions for end moment M and lateral load po． 一様で，Mによる密度とPoによるそれとが一致する ように上限をえらぶものとする。ここではM一珊一
似ﾕ
とした。ところで，（2．6），（3．6）より醐・一旦＿1．02808
k， 48 となるが， （3．13） この値は1にきわめて近いので，近似的に 1とすると（3．5）は次のように簡単になる。 ・m一r＋1一謡吃）・ （3・・14）
（3．5）の代わりに（3．14）を用いると，（3．8）を閉 じた形で評価できることになり，かつ，そのことはえ られた結果の有用性を損うものではない。 まず最初に（3．5）の連成項を無視した場合（i．e． le2・＝O）について考え，その記号を∼を付して区別す る。Fig．6の確率分布に対し（3．11）は積分できて 次のように求められる。竺籔㌫璽1為｝
（3．15） この場合のamの平均（数学的期待値）：E（み）およ び標準偏差δを求めるとそれぞれ E（5m）一￨S−・・4・82跳 （3・・16）
となる。 他方，（3．5）の第3項を無視せずそのまま用いると （3．11）は最終的に次式となる。⑭鷲1携）／
璽1欝；｝㍗
0 Fig．7 1 2 Derived probability density function for streSS．f／（肌／Mmax） lll 階／°m 0 1 3 5 7 9 Fig．8 Changes in safety measurement for cou− pled and uncoupled load effects． ここに， α一
