擬斉次孤立特異点の標準形に対する双対基底の計算
田島慎
–
(新潟大学工学部) (
$\mathrm{S}.$Tajima)
中村弥生
(
お茶の水女子大学大学院
)
(Y.Nakamura)
$X=\mathrm{C}^{n}$
に対し
,
$\mathrm{O}_{X}$を
$X$
上の正則関数の層とする.
与えられた擬斉次多項式
$f(z)$
に対して
,
$I=$
$\langle f1, \ldots, f_{n}\rangle,$
$f_{j}:=\partial f/\partial z_{j}$
とおく.
本稿では
,
グロタンディックの双対性によって与えられる局所環
$\mathrm{o}_{x}/I$
の双対基底を
, 微分作用素を用いて具体的に計算する方法を与える.
それを用いて
,
擬斉次孤立特異点の標
準形の代表的なものに対し
,
その双対基底を計算する.
key
words: 擬斉次孤立特異点,
代数的局所コホモロジー類
,
グロタンディックの双対性
1
擬斉次多項式と代数的局所コホモロジ
$-$
類
$f(z)$
を重み
$w_{1},$
$\ldots,$
$w_{n}$
, 擬次数
$d_{w}$
の擬斉次多項式とする
.
$f(z)$
が次の微分方程式を満たすことはよく
知られている
.
$( \sum_{j=1}^{n}wj^{Z_{jj}}\partial-d_{w})f(z)=0$
ここで,
$\partial_{j}:=\partial/\partial z_{j}$である.
これに対し, 微分作用素
$P$
を
$P= \sum_{j=1}nw_{j}Z_{jj}\partial+(nd_{w}-\sum_{j=1}^{n}w_{j})$
とおく.
微分作用素
$\partial_{j}$の重みを
$-w_{j}$
とおくと
$\rangle$微分作用素
$P$
は擬次数
$0$
となる.
この時
,
原点に台を持つ
代数的局所コホモロジー類
$[1/f1\cdots fn]\in \mathcal{H}_{[0]}^{n}(\mathrm{o}_{x)}$
,
$f_{j}:=\partial f/\partial Z_{j}$
は,
次を満たす
.
Lemma
1
$P[1/f_{1}\cdots f_{n}]=0$
.
Lemma
1 により,
代数的局所コホモロジ一戸
[
$1/f_{1\cdots f_{n}]}$
は擬斉次となり
,
その擬次数は
$-nd_{w}+ \sum_{j=1}^{n}w_{j}$
となる
.
$\prime D_{X}$
を微分作用素の層とする.
$Ann$
を
$[1/f1, . .f_{n}]$
の
annihilator
からなる
$D_{X}$
のイデアルとする
.
$n$
次
コホモロジー類について,
次が成り立つ
.
Proposition
1([9])
$\{\eta\in \mathcal{H}_{[0]}^{n}(\mathcal{O}_{X})|R\eta=0^{\forall},R\in Ann\}=\{c[\frac{1}{f_{1}\cdots f_{n}}]|c\in \mathrm{C}\}$
.
$f_{j},$
$j=1,$
$\ldots,$
$n$
が擬斉次なので
,
次が成り立つ
.
Proposition 2
$Ann=\langle P, f_{1)}\ldots, f_{n}\rangle$
.
擬斉次多項式の場合に関する
$Ann$
のグレブナ基底については
, [3]
を参照されたい. これらにより
,
次を得る
.
.
$P\sigma=0,$
$f_{j}\sigma=0,$
$j=1,$
.
$..\cdot,$$n$
,
.
$\frac{\partial(f_{1},...’f_{n})}{\partial(z_{1},..,z_{n})}\sigma=\mu[\frac{1}{z_{1}\cdots z_{n}}]f$但し,
$\mu=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}(\mathrm{O}x/I)$はミルナー数.
このとき
,
$\sigma=[1/f1\cdots \mathrm{A}|$
である
.
2
グロタンディックの双対性による双対基底
$\{b_{1}, \ldots, b_{\mu}\}$
を
,
局所環
$\mathrm{O}x/I$
の単項基底とする.
$\{\eta_{1}, \ldots, \eta_{\mu}\}$
を次で与えられるグロタジディックの双対
性による
$\{b_{1}, \ldots, b_{\mu}\}$
の双対基底とする
.
$\mathcal{O}_{X}/I\cross \mathrm{c}xt_{o_{x}}^{n}C(\mathrm{O}_{X}/I, \mathrm{O}_{X})arrow \mathrm{C}$
.
このとき
,
各コホモロジー類
$\eta_{j}$は擬斉次であり
,
対応する
$b_{i}$と
$\eta_{i}$の擬次数
$\deg_{w}b_{i_{)}}\deg w\eta i$
に関し,
次が
成り立つ
.
Theorem 2
$\deg_{w}b_{i}+\deg_{w}\eta_{i}=-\sum_{j=1}^{n}w_{j},$
$i=1$
,
.
..,
$\mu$.
次のようにして
,
双対基底
$\{\eta_{1}, \ldots, \eta_{\mu}\}$
を求めることができる
. (cf.
[8])
$\bullet$
$\zeta=(\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{n})$
を不定元とし
,
各
$f_{j}(z)$
の
Hefer
分解
$f_{j}(z)-f_{j}( \zeta)=\sum_{k=1}^{n}q_{j}k(z, \zeta)(Z_{k}-\zeta_{k})$
を計算する.
.
$q(z, \zeta)=det(qjk(Z, \zeta))_{1\leq}j,k\leq n$
とおく
.
.
$\mathrm{O}_{X}/I$
の単項基底
$\{b_{1}(z), \ldots,.b_{\mu}(Z)\}$
を用いて
,
$q$を
$q(z, \zeta)=\sum_{i=1}^{\mu}h_{i}(\zeta)b_{i}(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I$
の形に書きな
おす
.
.
$\eta_{i}=[h_{i}(z)/\prod_{j=1}^{n}f_{j}]$
とおく
.
このとき
$\{\eta_{1}, \ldots, \eta_{\mu}\}$
は
$\{b_{1}, \ldots, b_{\mu}\}arrow$
の双対基底となる
.
次の節でみるように, Theorem
1
を利用するこ
とにより
,
各
$\eta_{j}$の具体的表現を得ることができる.
注意
:
$q$は擬斉次であり
,
その擬次数は
$nd_{w}-2 \sum_{j=1}^{n}w_{j}$
となり,
よって
$\deg_{w}h_{i}+\deg_{w}b_{i}=\deg_{w}$
Jac,
$i=1,$
$\ldots,$
$\mu$が成り立つ
.
ここで,
Jac
$=\partial(f1, \ldots, f_{n})/\partial(z_{1}, \ldots, z_{n})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I$
である.
3
計算方法
$f$
を重み
$w_{1)}\ldots,$
$w_{n}$
,
擬次数
$d_{w}$
の擬斉次多項式とし,
$I=\langle f1$
,
. .
.,
$f_{n}\rangle,$$f_{j}=\partial f/\partial z_{j}$
とおく
.
$m_{j}=$
$\min\{m>0|z_{j}^{m}\in I\}$
とおく
. このとき
,
$P= \sum_{j}^{n}=1wj\partial j+nd_{w}-\sum_{j1}^{n}=w_{j}$
に対し
,
$P\sigma=0$
である.
よっ
て,
$\Lambda=\{(l_{1}, .
\mathrm{v}\cdot, \ell_{n})\in \mathrm{N}^{n}|0\leq\ell_{j}<m_{j}, \sum^{n}j=1wj\ell_{j}=nd_{w}-\sum_{j=1}^{n}w_{j}\}$
に対し
,
$\sigma$は
$\sigma=[\sum_{L\in\Lambda}\frac{a_{L}}{z^{L}}]$
と表される.
ここで,
$L–(l_{1}, \ldots, l_{n})\in\Lambda$
に対し
,
$z^{L}=z_{1}^{l_{1}}\cdots$
z
糸とし
,
$a_{L}\in \mathrm{C}$
はパラメタである
.
さら
に
, 各
$i=1,$
$\ldots,$
$n$
に対し, 条件
$f_{j}\sigma=0$
を満たす
$a_{L},$
$L\in\Lambda$
を求める
.
これにより
)
$\sigma$
は定数倍を除いて
意に求まる
.(Proposition
1 による) 最後に条件
$(\mu=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{C}[z]/I)$
により
)
コホモロジー類
$\sigma$の表現を得る.
(Theorem
1 による)
このようにして求めた
$n$
次代数的局所コホモロジー類
$\sigma$の表現に対して,
Hefer
分解により求まる係数
$h_{i}(z)$
を乗じることにより
,
$b_{i}$の双対基底
$\eta_{i}$の表現を得る.
注
:
この方法は半擬斉次多項式に対しても有効であり, 適当な微分作用素を与えることにより,
コホモロジー
類の具体的表現を計算することができる.
なお,
半擬斉次多項式の場合に対する微分作用素系
$Ann$
の構成
法については,
研究中である
.
4
擬斉次特異点と不変量
この節では
,
次の
simple
singularities
と
unimodal
singularities
を取り上げる.
(i)
2
変数の
simple
singularities
$A_{k}$
$z^{k+1}+1Z^{2}2$
’
$k\geq 1$
$D_{k}$
$z_{1^{Z_{2}+}}^{21}z^{k}2-$
,
$k\geq 4$
$E_{6}$
$z_{1^{+}2}^{3}z^{4}$
$E_{7}$
$z_{1}^{3}+Z_{1}z_{2}^{3}$
$E_{8}$
$z_{1}^{3}+z_{2}5$
(ii)
2
変数の
unimodal singularities
$J_{10}$
$z_{1}^{3}+az_{12}2_{Z^{2}+Z_{2}}6$
,
$4a^{3}+27\neq 0$
$X_{9}$
$z_{1}^{4}+az_{12}2_{Z^{2}+Z_{2}}4$
,
$a^{2}-4\neq 0$
$Z_{15}$
$z_{1}^{3}z_{2}+aZ^{23}12z+z^{7}2$
’
$4a^{3}+27\neq 0$
$W_{15}$
$z_{1^{+a}}^{4}z_{12}^{23}z+z^{6}2$
’
$a^{2}-4\neq 0$
$K_{16}$
$z_{1}^{3}+az_{12}2_{Z^{3}+Z_{2}}9$
,
$4a^{3}+27\neq 0$
$N_{16}$
$z_{1}^{4}Z_{2}+az_{1}^{3}z_{2}^{2}+bZ_{1}^{2}z_{2}^{3}+z_{1}z_{2}^{4}$
,
$4(a^{3}+b^{3})-18ab-a^{2}b^{2}+27\neq 0$
$K_{12}$
$z_{1}^{3}+Z_{2}^{7}$
$K_{13}$
$z_{1}^{3}+z_{12}z^{5}$
$K_{14}$
$z_{1}^{3}+z_{2}^{8}$
$W_{12}$
$z_{1}^{4}+Z_{2}^{5}$
$W_{13}$
$z_{1}^{4}+z_{1}Z^{4}2$
$Z_{11}$
$z_{1}^{35}z_{2}+Z_{2}$
$Z_{12}$
$z_{12}^{3_{Z+z}}1z^{4}2$
$Z_{13}$
$z^{3_{Z+Z^{6}}}122$
(iii)
3
変数の
unimodal singularities
$P_{8}$
$z_{1}^{2}Z_{3}+z+2z_{2}az\mathrm{s}2\mathrm{s}+Z_{3}^{3}$
,
$4a^{3}+27\neq 0$
$Q_{14}$
$z_{2^{Z_{3}^{2}}}+z^{3}+1oz_{1^{Z}}^{2}2^{+Z_{2}^{6}}2$
,
$4a^{3}+27\neq 0$
$S_{14}$
$z_{1^{Z_{3}^{2}}}+z_{1}Z_{2}+aZ_{1}2z^{3}+2z_{2}\mathrm{s}$
,
$a^{2}-4\neq 0$
$U_{14}$
$z_{1}^{3}+Z^{3}+2Z1z_{3}^{3}+az_{2}z^{3}3$
’
$a^{3}-1\neq 0$
$V_{15}$
$z_{1}z_{3}^{2}+az_{2}z_{3}^{2}+z_{1}^{4}+bZ_{1}^{2}z_{2}^{2}+z_{2}^{4}$
,
$(b^{2}-4\mathrm{I}(a4+a^{2}b+1)\neq 0$
$Q_{10}$
$z_{1}^{3}+Z_{2}^{4}+z_{23}Z2$
$Q_{11}$
$z_{1}^{3}+z^{2}2z_{3}+Z_{13}z^{3}$
$Q_{12}$
$z_{1}^{3}+z_{2}^{5}+z_{23}z^{2}$
$S_{11}$
$z_{1}^{4}+z^{2}z+23z1z_{3}^{2}$
$S_{12}$
$z_{1}^{2}z_{2}+z_{2}z3+z_{1}z_{3}^{\mathrm{B}}2$
$U_{12}$
$z_{1}^{3}+z^{3}2+z_{3}4$
基底に対して, グロタンディックの留数で与えられる双対基底を計算する
.
そのためにまず, 次の不変量を計
算する
.
$\bullet$
$f$
の擬斉次多項式としての重みと擬次数
$\bullet$
$I=\langle\partial f/\partial z_{1)}\ldots, \partial f/\partial z_{n}\rangle$
と各
$\partial f/\partial z_{j}$の擬次数
$\bullet$
$I$
の辞書式順序
$z_{1}\succ\cdots\succ z_{n}$
に関するグレブナ基底
Gb
$\bullet$
Jac
$=\partial(f_{1}, \ldots, f_{n})/\partial(z_{1}, \ldots, Z_{n})$
mod
Gb
とその擬次数
.
$f$
のボアンカレ多項式
.
$n$
次代数的局所コホモロジー類
$\eta=[1/f1\cdots f_{n}]$
の表現
そして,
Gb
に基づく単項基底とその擬次数
,
Hefer 分解により得られる係数
$h_{j}$,
グロタンディックの留数
で与えられる双対基底とその擬次数を求め,
表として与えることにする
.
なお
,
単項基底は
[1]
と
–部異な
る.
座標変数は
$z=(z_{1}, \ldots, z_{n})$
を用いるが, 混乱を避けるため, Hefer
分解で現れる係数
$h_{j}$の変数には,
$\zeta=(\zeta_{1},$
$\ldots$
,
\mbox{\boldmath $\zeta$}
のを用いる
.
計算は,
パラメタ
$a,$
$b$に対し
,
nondegenerate
condition
を満たす適当な値を与
えて行うことにした
.
Example 1
$f(z)=z_{1}^{4}+z_{1}z_{2}^{2}+z_{2}z_{3}^{2}$
は重み
4, 6,
5
に対して擬次数 16
をもつ擬斉次多項式であり
,
$S_{11}$
型特異点と呼ばれるものである
(添え字はミルナー数
$\mu=\dim \mathrm{C}[Z]/I$
を表している.
)
イデア
ル
$I=\langle 4z_{1}^{3}+z_{2}^{2},2_{Z}1Z_{2}+z_{3}^{2},2\chi_{2}Z_{3}\rangle$
に対する辞書式順序
$z_{1}\succ z_{2}\succ z_{3}$
によるグレブナ基底は
Gb
$=$
$\{z^{3}, z2Z3_{)}Z^{4}232’ 1zz2+z_{3}^{2}, -2_{Z}2z^{2}13+z_{2}^{3},4Z_{1}^{3}+z_{2}^{2}\}$
である
. この順序に基づく局所環
$O_{X}/I$
の単項基底は,
$b_{1}=z_{1^{Z_{3}}}^{2}$
,
$b_{2}=z_{1}^{2}$
,
$b_{3}=z_{1^{Z^{2}}}3$
’
$b_{4}=z_{1}Z_{3}$
,
$b_{5}=z_{1}$
,
$b_{6}=z_{2}^{3}$
,
$b_{7}=z_{2}^{2}$
,
$b_{8}=z_{2}$
,
$b_{9}=z_{3}^{2}$
,
$b_{10}=z_{3}$
,
$b_{11}=1$
で与えられ,
擬次数は
13, 8, 14, 9,
4, 18, 12, 6, 10, 5,
$0$
となる.
$\zeta=(\zeta_{1}, \zeta_{2}, \zeta_{3})$
を不定元とし 7
$f_{j},$
$j$
.
$=1$
,
...,
$n$
の
Hefer
分解を計算することにより,
$q=(-8\zeta_{1}z1-8\zeta^{2}1)_{Z_{3}}2+(-8\zeta_{3}Z_{1^{-8}3}2\zeta\zeta 1^{Z_{1}}-8\zeta 3\zeta 12)_{Z_{3}}-4z\zeta 2^{-4}2z-3242\zeta^{2}2Z_{2}-8\zeta^{2}31-8\zeta^{23}3z^{2}\zeta_{1}z1^{-4}\zeta_{2}$
を得る
.
よって
$h_{1}=-8\zeta_{3}$
,
$h_{2}=-8\zeta_{3}^{2}$
,
$h_{3}=-8\zeta_{1}$
,
$h_{4}=-8\zeta_{3}\zeta_{1}$
,
$h_{5}=-8\zeta_{3}^{2}\zeta 1$
,
$h_{6}=-4$
,
$h_{7}=-4\zeta_{2}$
,
$h_{8}=-4\zeta_{2}^{2}$
,
$h_{9}=-8\zeta_{1}^{2}$
,
$h_{10=}-8\zeta 3\zeta_{1}^{2}$
,
$h_{11}=-4\zeta_{2}^{3}$
となる.
今
,
$P=4z_{1}\partial 1+6z2\partial_{2}+5_{Z_{3}}\partial 3+33$
とおくと
)
$\eta=[1/(4z_{1}^{3}+z_{2}^{2})(2_{Z_{1}z_{2}}+z_{3}^{2})(2_{Z_{2}Z}\mathrm{s})]$
の
annihilator
イデアルは
,
$Ann=\langle P, 4z_{1}^{3}+z_{2}^{2},2_{Z_{1}z_{2}}+z_{3}^{2},2z_{2}Z_{3}\rangle$
で与えられる.
よって.
コホモロジー類
$\eta$は
$\eta=-\frac{1}{4}[-\frac{1}{4}\frac{1}{z_{1}^{4}Z_{2}^{2}z_{3}}+\frac{1}{z_{1}z_{23}^{4_{Z}}}+\frac{1}{2}\frac{1}{z_{12}^{3_{ZZ_{3}^{3}}}}]$と表すことができ
る.
そして,
$\mathrm{t}b_{1},$$\ldots,$
$b_{11}$
}
に対する双対基底は
$\eta_{1}=[\frac{1}{32}]$
,
$\eta_{2}=[\frac{1}{z_{11^{2}}^{3_{ZZ_{3}}}}]$,
$\eta_{3}=[-\frac{1}{2,1}\frac{1}{z_{1}^{3}z\mathrm{f}^{2_{Z_{3}}}}+\frac{1}{z^{2}z_{1}Z^{3},123}]$,
$\eta_{4}=[\frac{z_{13}z_{1^{2^{Z}}}}{22}]$,
$z_{1}z_{2}z_{3}11$
1
$\eta_{5}=[]\overline{z_{131}^{2_{Z_{2}Z}}}$,
$\eta_{6}=[-2_{\mathcal{Z}Z13}\frac{1}{2}\overline{4}\overline{z_{1}^{4_{Z}}}11^{23}\overline{\mathrm{f}^{4}}++\frac{1}{z_{12}^{3_{ZZ_{3}^{3}}}}zZ]$,
$\eta_{7}=[-_{\overline{4}\overline{Z_{1}^{4}z2Z13}}+\frac{1}{z_{1^{Z_{2}^{\mathrm{s}_{Z}}}3}}]$,
$\eta_{8}=[]\overline{z_{1}z_{3}^{2}Z_{3}}$,
$\eta_{9}=[-+]\overline{3})\overline{2}z_{123}^{\overline{2_{Z}2}}z_{3}Z_{1}Z_{2}Z$
$\eta_{10}=[]\overline{z_{1^{Z}23}z^{2}}$
,
$\eta_{11}=[\overline{z_{1}z_{2}z_{3}}]$
となる.
(
$S_{11}$
に関する計算は
,
\S \S 4.3.9
にまとめ直してある
)
代数的局所コホモロジー類をこのように表現することにより
,
コホモロジー類の汎関数としての作用の具体
的表現を得たことになる.
つまりこの表現により
,
グロタンディック留数
${\rm Res}_{[0](\omega,\eta}\mathrm{I}$の計算を即座に行うこと
ができる.
例えば上述の例に対して,
$\omega=55Z_{1^{Z}2}^{2}-9Z^{322}2+73z1z2^{-}4$
とする
. 今
,
$\omega=-\frac{55}{2}z1z3^{-94}2\sim 3\sim\prime 2-$
mod
Gb
である
. このとき
,
$\eta=-\frac{1}{4}[-\frac{1}{4}\frac{1}{z_{123}^{42}Zz}+\frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}Z_{3}}+\frac{1}{2}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{23}z^{3}}]$であるから,
${\rm Res}_{[0]}( \omega, \eta)={\rm Res}[0](-\frac{55}{2}z1Z3^{-9z_{2}^{3}-4,\eta}2)=\frac{9}{4}$
が直ちに従う.
4.1
2
変数の
simple
singularities
411
特異点
$A_{2k}=z_{1}^{2k+1}+z_{2}^{2},$
$k\geq 1$
に関する計算
$\bullet$
重み
$(2, 2k+1)$
,
擬次数
$4k+2$
$\bullet$
$I=\langle(2k+1)z_{1’ 2}^{2k}2z\rangle$
, 擬次数
$(4k, 2k+1)$
$\bullet$
Gb
$=\{z^{2k}, Z\}12$
$\bullet$Jac
$=4k(2k+1)_{Z_{1}^{2k-1}}$
,
擬次数
$4k-2$
.
ボアンカレ多項式
$\sum_{j=1}^{k}t^{2}j-2$
$\bullet$ $\eta=\frac{1}{4k+2}[\frac{1}{z_{1}^{2k}z_{2}}]$, 擬次数
$-6k-1$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}^{2k-1}$
,
$4k-2$
,
$4k+2$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2k}z_{2}}]$,
$-6k-1$
$z_{1}^{2k-2}$
,
$4k-4$
,
$(4k+2)\zeta 1$
,
$[ \frac{1}{z^{2k-1}z_{\mathrm{Q}}}]$,
$-6k+1$
$z_{1}$,
2,
$(4k+2)\zeta_{1}^{2}k-2$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-2k-5$
$1$,
$0$
,
$(4k+2)\zeta 12k-1$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-2k-3$
412
特異点
$A_{2k+1}=z_{1}^{2k2}++z_{2}^{2}$
に関する計算
.
重み
$(1, k+1)$
,
擬次数
$2k+2$
.
$I=\langle(2k+2)z^{2k+1},212z\rangle$
,
擬次数
$(2k+1, k+1)$
.
Gb
$=\{z_{1’ 2}^{2k+1}Z\}$
.
Jac
$=2(2k+2)(2k+1)z^{2k}1$
’
擬次数
$2k$
$\bullet$ボアンカレ多項式
$\sum_{j=0}^{k}t2j$
$\bullet\eta=\frac{1}{4k+4}[\frac{1}{z_{1}^{2k+1}z_{2}}]$
擬次数
$-3k-2$
単項基底
擬次数
$z_{1}^{2k}$,
$2k$
,
$z_{1}^{2k-1}$
,
$2k-1$
,
$h_{j}$$4k+4$
,
$(4k+4)(_{1}$
,
双対基底
擬次数
$[ \frac{1}{z_{1}^{\circ k+1}z_{2}\sim}])$$-3k-2$
$[ \frac{1}{z_{1}^{2k}z_{2}}]$,
$-3k-1$
$z_{1}$,
1,
$(4k+4)\zeta_{1}^{2k-}1$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-k-3$
$1$,
$0$
,
$(4k+4)\zeta^{2k}1$
’
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-k-2$
413
特異点
$D_{2k}=z_{1}^{2_{Z_{2}}}+z_{2}^{2k-1},$
$k\geq 2$
に関する計算
$\bullet$重み
$(k-1,1)$
,
擬次数
$2k-1$
.
$I=\langle 2z_{1^{Z}2}, Z^{2}1+(2k-1)z_{2}^{2k2}-\rangle$
, 擬次数
$(k, 2k-2)$
$\bullet$Gb
$=\{_{Z_{2}^{2k-}}1,z_{1}Z_{1}Z2,+(22k-1)z_{2}^{2k-}\}2$
$\bullet$Jac
$=4k(2k-1)z_{2}^{2}k-2$
, 擬次数
$2k-2$
.
ボアンカレ多項式
$\sum_{j=}^{2k-2}\mathrm{o}tj+t^{k-1}$
$\bullet$$\eta=\frac{1}{4k-2}[\frac{1}{z_{1}z_{2}^{2k-1}}-(2k-1)\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$
, 擬次数
$-(3k-2)$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}$,
$k-1$
,
$-2\zeta_{1}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-(2k-1)$
$z_{2}^{2k-2}$
,
$2k$
–2,
$4k-2$
,
$[_{z_{1}z_{2}}\neg_{2\overline{1}}--1(2k-1)_{\frac{1}{z_{1}z_{2}}}])$
$-(3k-2)$
$z_{2}^{2k-}\mathrm{s}$,
$2k$
–3,
$(4k-2)\zeta_{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2k-2}}]$,
$-(3k-3)$
.
..,
$z_{2}$,
1,
$(4k-2)\zeta_{2}2k-3$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-(k+1)$
1,
$0$
,
$(4k-2)\zeta_{2}^{2}k-2$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-k$
414
特異点
$D_{2k+1}=z_{1}^{2_{Z_{2}}}+z_{2}^{2k},$
$k\geq 2$
に関する計算
$\bullet$重み
$(2k-1,2)$
, 擬次数
$4k$
.
$I=\langle 2z_{1}z_{2}, Z^{2}1+2kz_{2}^{2k-1}\rangle)$
擬次数
$(2k+1,4k-2)$
.
Gb
$=\{_{Z_{2}^{2k},z_{1^{Z}2}}, z_{1}+22kZ-1\}22k$
.
Jac
$=4k(2k+1)z_{2}2k-1$
, 擬次数 $4k-2$
$\bullet$ボアンカレ多項式
$\sum_{j=0}^{2k-1}t2j$
$\bullet$ $\eta=\frac{1}{4k}[\frac{1}{z_{1}z_{2}^{2k}}-2k\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
擬次数
$-(6k-1)$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}$,
$2k-2$
,
$-2\zeta_{1}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-4k$
$z_{2}^{2k-1}$
,
$4k-2$
,
$4k$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2k}}-2k\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-(6k-1)$
$z_{2}^{2k-2}$
,
$4k-4$
,
$4k\zeta_{2}$
,
$[,., \frac{1}{2k-1}]$
,
$-(4k-3)$
$z_{2}$,
2,
$4k(_{2}^{2k-2},$
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-(2k+3)$
1,
$0$
,
$4k\zeta_{\sim},2k-1$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-(2k+1)$
415
特異点
$E_{6}=z_{1}^{3}+z_{0,\sim}^{4}$
に関する計算
$\bullet$
重み
$(4, 3)$
,
擬次数
12
$\bullet$
$I=\langle 3z_{1}^{23},4z_{2}\rangle$
,
擬次数
$(8, 9)$
$\bullet$
Gb
$=\{z_{1}^{23}, z_{2}\}$
$\bullet$Jac
$=72Z_{1}Z^{2}2$
’
擬次数
10
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{10}+t^{7}+t^{6}+t^{4}+t^{3}+1$
$\bullet$ $\eta=\frac{1}{12}[\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{\mathrm{s}}}]$,
擬次数
$-17$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}^{2}$,
10,
12,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}])$$-17$
$z_{1}z_{2}$
,
7,
$12\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-14$
$z_{1}$,
4,
$12\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-11$
$z_{2}^{2}$,
6,
$12\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-13$
$z_{2}$,
3,
$12\zeta_{1}(_{2},$
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-10$
$1$,
$0$
,
$12\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-7$
416
特異点
$E_{7}=Z_{1}^{3}+z_{1}z_{2}^{3}$
に関する計算
$\bullet$重み
$(3, 2)$
,
擬次数
9
$\bullet$
$I=\langle 3z_{1}^{2}+z_{2’ 12}^{3}3zZ^{2}\rangle$
,
擬次数
$(6, 7)$
$\bullet$
Gb
$=\{z_{2}^{52}, Z_{1}Z2’ 3Z_{1^{+z_{2}^{3}}}\}2$
$\bullet$Jac
$=-21z_{2}^{4}$
,
擬次数
8
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{8}+t^{6}+t^{5}+t^{4}+t^{3}+t^{2}+1$
$\bullet$ $\eta=-\frac{1}{3}[\frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}-\frac{1}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
擬次数
$-13$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}$
,
5,
$9\zeta_{1)}$ $[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-10$
$z_{1}$,
3,
$9\zeta_{1}(_{2},$ $[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-8$
$z_{2}^{4}$,
8,
$-3$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}-\frac{1}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
$-13$
$z_{2}^{3}$,
6,
$-3\zeta_{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}-\frac{1}{3}\frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-11$
$z_{2}^{2}$,
4,
$-3\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-9$
$z_{2}$,
2,
$-3\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-7$
$1$$0$
,
$-3\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-5$
417
特異点
$E_{8}=Z_{1}^{3}+z_{2}^{5}$
に関する計算
$\bullet$重み
$(5, 3)$
,
擬次数 15
$\bullet$
Gb
$=\{z_{1}^{24}, z_{2}\}$
.
$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{c}=120_{Z_{1}}z_{2}^{3}$, 擬次数
14
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{14}+t^{11}+t^{9}+t^{8}+t^{6}+t^{5}+t^{3}+1$
$\bullet\eta=\frac{1}{15}[\frac{1}{z_{1}z_{2}}]$擬次数
$-22$
単項基底
擬次数
$h_{j}$訳対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}^{3}$,
14,
1155,,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}]$,
$-22$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
11,
$15\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}]$,
$-19$
$z_{1}z_{2}$
,
8,
$15\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-16$
$z_{1}$,
5,
$15\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-13$
$z_{2}^{3}$,
9,
$15\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-17$
$z_{2}^{2}$,
6,
$15\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-14$
$z_{2}$,
3,
$15\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-11$
$1$,
$0$
,
$15\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-8$
4.2
2
変数の
unimodal
singularities
421
特異点
$J_{10}=z_{1}^{3}+z_{1}^{2}z_{2}^{2}+z_{2}^{6}$
に関する計算
$(a=1)$
$\bullet$重み
$(2, 1)$
,
擬次数
6
.
$I=\langle 3z_{1}^{2}+2z_{1}z_{2}2,2z_{12}^{2}z+6z_{2}^{5}\rangle$
, 擬次数
$(4, 5)$
.
Gb
$=\{z_{2}^{7}, -2Z_{1}Z^{3}Z^{5},+2z_{1^{Z_{2}}}\}2^{+93z_{1}}222$
$\bullet$
Jac
$= \frac{2790}{3}z_{2}^{6}$,
擬次数 6
$\bullet$
ボアンカレ多項式
$t^{6}+t^{5}+2t^{4}+2t^{3}+2t^{2}+t+1$
$\bullet$ $\eta=\frac{1}{93}[_{z_{1}z_{2}}1\neg+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}-3\frac{1}{z_{12}^{\mathrm{s}_{z}\mathrm{s}}}+2\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]$,
擬次数
$-9$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}^{2}$,
4,
$-4\zeta_{1}+18\zeta 22$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{\mathrm{s}}}-\frac{2}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-7$
$z_{1^{Z_{2}}}$,
3,
$-4\zeta_{1(_{2}+}18\zeta 23$
,
$[_{z_{1}}1arrow_{z_{2}}]$,
$-6$
$z_{1}$,
2,
$-4\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}+18\zeta_{2}^{4}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-5$
$z_{2}^{6}$,
6,
93,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{7}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}-3\frac{1}{z_{12}^{\mathrm{s}_{z}\mathrm{s}}}+2\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]$,
$-9$
$z_{2}^{5}$,
5,
$93\zeta_{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}-3\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}])$$-8$
$z_{2}^{4}$,
4,
$18\zeta_{1}+12\zeta_{2}^{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}]$,
$-7$
$z_{2}^{3}$,
3,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}+12\zeta_{2}^{3}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-6$
$z_{2}^{2}$,
2,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}^{24}+12\zeta 2$
’
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-5$
$z_{2}$,
1,
$93\zeta_{2}^{5}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-4$
$1$,
$0$
,
$93(_{2}^{6},$
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-3$
422
特異点
$X_{9}=z_{1}^{4}+z_{1}^{2}z_{2}^{2}+z_{2}^{4}$
に関する計算
$(a=1)$
.
重み
$(1, 1)$
,
擬次数
4
.
$I=\langle 4_{Z_{1}^{3}}+2_{Z_{1^{Z_{2}}}}2,2z_{12}^{2_{Z}}+4z_{2}^{\mathrm{s}}\rangle$
,
擬次数
$(3, 3)$
$\bullet$Gb
$=\{z_{2’ 1^{Z_{2},zZ+,z+}}^{532}z122_{Z_{2}}3232\}1z1z_{2}$
$\bullet$Jac
$=-216z_{2}^{4}$
,
擬次数
4
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+2t+1$
$\bullet\eta=-\frac{1}{24}[\frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}-2\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{3}}+\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$擬次数
$-6$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}^{2}$,
2,
$8\zeta_{1}^{2}+16(^{2}2’$
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-4$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
3,
$12\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}-\frac{1}{2}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]$,
$-5$
$z_{1}z_{2}$
,
2,
$12\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-4$
$z_{1}$,
1,
$12\zeta_{2(_{1}}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-3$
$z_{2}^{4}$,
4,
$-24$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}-2\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{3}}+\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$,
$-6$
$z_{2}^{3}$,
3,
$-24\zeta_{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}-2\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
$-5$
$z_{2}^{2}$,
2,
$16\zeta_{1}^{2}+8\zeta_{2}^{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-4$
$z_{2}$,
1,
$-24\zeta_{2}^{3}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-3$
$1$,
$0$
,
$-24(_{2}^{4},$
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-2$
423
特異点
$Z_{1}\mathrm{s}=z_{1^{\mathcal{Z}}}^{3}2+z_{1}^{2}z_{2}^{3}+z_{2}^{7}$
に関する計算 $(a=1)$
$\bullet$重み
$(2, 1))$
擬次数 7
$\bullet$
$I=\langle 3z_{1}^{2}z_{2}+2z_{121}Z^{\mathrm{s}}, Z^{\mathrm{s}}+3z_{12}^{2}z^{2}+7z_{2}^{6}\rangle$
, 擬次数
$(5, 6)$
$\bullet$
Gb
$=\{z_{2}^{9}, -2Z_{12}Z+59z_{2}^{7},3\mathcal{Z}^{23}1^{Z_{2}}+2_{Zz}12’ 1-2zz31z^{4}+27z_{2}6\}$
$\bullet$
Jac
$= \frac{3255}{2}z_{2}^{8}$
,
擬次数
8
.
ボアンカレ多項式
$t^{8}+t^{7}+2t^{6}+2t^{5}+3t^{4}+2t^{3}+2t^{2}+t+1$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}^{2}$
,
4,
$-3\zeta_{1}^{2}-2\zeta 1\zeta_{2}^{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-7$
$z_{1}z_{2}^{4}$
,
6,
$- \frac{14}{3}\zeta_{1}+21\zeta_{2}2$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}-\frac{2}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{3}}+2\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]_{1}$$-9$
$z_{1^{Z_{2}^{3}}}$,
5,
$- \frac{14}{3}\zeta 1\zeta_{2}+21\zeta_{2}3$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}-\frac{2}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
$-8$
$z_{1}z_{2}^{2}$
,
4,
$-2(_{1}^{2}-6\zeta 1\zeta 22+21\zeta_{2}4,$
$[_{z_{1}z}=^{1}\mathrm{R}]2$’
$-7$
$z_{1}z_{2}$
,
3,
$- \frac{14}{3}\zeta_{1}\zeta_{2^{+\zeta_{2}}}^{3}215$,
$\cdot$ $[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-6$
$z_{1}$,
2,
$- \frac{14}{3}\zeta_{1}\zeta_{2}^{4}+21\zeta_{2}^{6}$,
$\cdot$.
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-5$
$z_{2}^{8}$,
8,
$\frac{217}{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{9}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{7}}-3\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{5}}+2\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{3}}-\frac{75}{2}\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$,
$-11$
$z_{2}^{7}$,
7,
$\frac{217}{2}\zeta_{2)}$ $[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{8}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{6}}-3\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}}+2,\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{2}}]$,
$-10$
$z_{2}^{6}$,
6,
$21\zeta_{1}+14\zeta^{2}2$
’
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{7}}-7\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}])$.
$-9$
$z_{2}^{5}$,
5,
$21\zeta_{1}\zeta_{2}+14\zeta_{2}3$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{6}}]$,
$-8$
$z_{2}^{4}$,
4,
$21(_{1}\zeta_{2}2+14\zeta_{2}4,$
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}]$,
:
$-7$
$z_{2}^{3}$
,
3,
$21\zeta 1(_{2^{+}}314\zeta 25,$
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-6$
$z_{2}^{2}$
,
2,
$21\zeta 1\zeta^{4}2^{+\zeta_{2}}146$
,
$r$.
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-5$
$z_{2}$
,
1,
$\frac{217}{2}\zeta_{2}^{7}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-4$
$1$
,
$0$
,
$\frac{217}{2}\zeta_{2}^{8}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$\cdot$.
$-3$
424
特異点
$W15=z^{4}1+z_{1}^{2}z_{2}^{3}+z_{2}^{6}$
に関する計算
$(a=1\rangle$
$\bullet$
重み
$(3, 2)$
,
擬次数
12
$\bullet$
$I=\langle 4z_{1}^{3}+2_{Z_{1^{Z_{2}^{3}}}},3zz^{2}122+6z_{2}^{5}\rangle$
,
擬次数
$(9, 10)$
$\bullet$
Gb
$=\{z_{2’ 2}^{85}z_{12}z, Z_{1}z^{2}2+2_{Z_{2}}5,2z_{1}^{3}+z_{12}z\}3$
$\bullet$
Jac
$=-540Z_{2}^{7}$
,
擬次数
14
$\bullet$
ボアンカレ多項式
$t^{14}+t^{12}+t^{11}+t^{10}+t^{9}+2t^{8}+t^{7}+2t^{6}+t^{5}+t^{4}+t^{3}+t^{2}+1$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}^{2}z_{2}$,
8,
$12\zeta_{1^{+\zeta_{2}^{3}}}^{\sim}’ 24$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
$-13$
$z_{1}^{2}$
,
6,
$12\zeta_{1}^{2}\zeta 2+24\zeta_{2}4$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-11$
$z_{1}z_{2}^{4}$
,
11,
$18\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}-\frac{1}{2}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{2}}]$,
$-16$
$z_{1}z_{2}^{3}$
,
9,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[_{zz_{2}z_{1}\overline{z_{2}}} \pi_{1}^{1}\neg-\frac{1}{2}\neg]1$,
$-14$
$z_{1}z_{2}^{2}$
,
7,
$18(_{1}(_{2}^{2},$
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}]$,
$-12$
$z_{1}z_{2}$
,
5,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-10$
$z_{1}$,
3,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-8$
$z_{2}^{7}$,
14,
$-36$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{8}}-2\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{5}}+\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}^{2}}]$,
$-19$
$z_{2}^{6}$,
12,
$-36\zeta\circ\sim$’
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{8}}-2\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}}+\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$,
$-17$
$z_{2}^{5}$,
10,
$-36\zeta_{2}^{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{6}}-2\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{3}}]$,
$-15$
$z_{2}^{4}$,
8,
$24\zeta_{1}^{2}+12\zeta_{2}^{3}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}]$,
$-13$
$z_{2}^{3}$,
6,
$24\zeta_{1}^{2}\zeta 2+12\zeta_{2}4$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-11$
$z_{2}^{2}$,
4,
$-36\zeta_{2}^{5}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-9$
$z_{2}$
,
2,
$-36\zeta_{2}^{6}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-7$
$1$
,
$0$
,
$-36\zeta_{2}^{7}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-5$
425
特異点
$K_{16}=z_{1}^{3}+z_{1^{Z}2}^{p3}+z_{2}^{9}$
に関する計算
$(a=1)$
$\bullet$
重み
$(3, 1)$
,
擬次数
9
$\bullet$
$I=\langle 3z_{1}^{2}+2z_{11}Z_{2}^{3},3z^{2}z^{2}2+9z_{2}^{8}\rangle$
,
擬次数
$(6, 8)$
$\bullet$
Gb
$=\{_{Z_{2^{1}}^{1}},$
$-2z1Z^{5}+9Z_{2},3Z^{2}2_{Z}8z_{2}21^{+\}}12$
$\bullet$
Jac
$=2232z_{2^{0}}1$
,
擬次数
10
$\bullet$
ボアンカレ多項式
$t^{10}+t^{9}+t^{8}+2t^{7}+2t^{6}+2t^{5}+2t^{4}+2t^{3}+t^{2}+t+1$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}^{4}$,
7,
$-6\zeta_{1}+27\zeta 23$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}-\frac{2}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
$-11$
$z_{1}z_{2}^{3}$,
6,
$-6\zeta_{1}\zeta_{2}+27\zeta 24$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}-2\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-10$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
5,
$-6\zeta_{1}\zeta_{2}227+\zeta_{2}5$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{\mathrm{s}}}]$,
$-9$
$z_{1^{Z_{2}}}$,
4,
$-6\zeta_{1}\zeta_{2}327+\zeta_{2}6$
,
$[_{\overline{z}_{1}^{\tau_{z}^{1}=}2}]$,
$-8$
$z_{1}$,
3,
$-6\zeta_{1}\zeta_{2}427+\zeta_{2}7$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-7$
$z_{2}^{10}$,
10,
$\frac{279}{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{11}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{\epsilon}}-3\frac{1}{z_{12}^{\mathrm{s}_{z}\mathrm{s}}}+2\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{2}}]$,
$-14$
$z_{2}^{9}$,
9,
$\frac{279}{2}\zeta_{2)}$ $[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{10}}+\frac{9}{2}z_{1}^{2}\neg-1z_{2}3\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}}+2\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]$,
$-13$
$z_{2}^{8}$,
8,
$\frac{279}{2}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{9}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{6}}-3\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{3}}]$,
$-12$
$z_{2}^{7}$,
7,
$27\zeta_{1}+18\zeta^{3}2$
’
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{8}}]$,
$-11$
$z_{2}^{6}$,
6,
$27\zeta_{1}\zeta_{2}+18\zeta^{4}2$
’
$[_{z_{1}z_{2}}1\neg]$,
$-10$
$z_{2}^{5}$,
5,
$27\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}+18\zeta_{2}^{5}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{6}}])$$-9$
$z_{2}^{4}$,
4,
$27\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}+18\zeta_{2}^{6}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}]$,
$-8$
$z_{2}^{3}$,
3,
$27\zeta_{1}\zeta_{2}^{4}+18\zeta_{2}^{7}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-7$
$z_{2}^{2}$,
2,
$\frac{279}{2}\zeta_{2}^{8}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$\cdot$$-6$
$z_{2}$,
1,
$\frac{279}{2}\zeta_{2}^{9}$,
$[_{z_{1}z_{2}}=^{1}]$,
$-5$
$1$,
$0$
,
$\frac{279}{2}\zeta_{2}^{10}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-4$
426
特異点
$N_{16}=z^{4}z12+z_{1}^{3}z_{2}^{2}+z_{1}^{2}z_{2}^{3}+z_{1}z_{2}^{4}$
に関する計算
$(a=b=1\rangle$
$\bullet$重み
$(1, 1)$
,
擬次数 5
$\bullet$
$I=\langle 4Z_{1}^{3}z_{2}+3z_{1}^{2}z_{2}^{2}+2z_{1}z_{2}^{3}+z_{2}^{4}, z_{1}^{4}+2z_{1}^{3}z_{2}+3z_{1}^{2}z_{2}^{2}+4z_{1^{Z_{2}^{3}}}\rangle$
,
擬次数
$(4, 4)$
.
Gb
$=\{_{Z_{2}^{7},Z}1z,525z_{12^{+10z}1^{Z_{2}}2}2_{Z^{3}}4-z^{5},4z_{11}3_{Z2+}3Z^{2}z+2Z21Z+22+23443z2z,2Z_{11^{Z}22}+26Z_{1}z^{\mathrm{s}}-z^{4}\}2$
$\bullet$
Jac
$=-64z_{2}^{6}$
, 擬次数 6
$\bullet$
ボアンカレ多項式
$t^{6}+2t^{5}+3t^{4}+4t^{3}+3t^{2}+2t+1$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}^{3}$
,
3,
$-4\zeta_{1}^{3}-3\zeta^{2}1\zeta_{2}-2\zeta_{1}\zeta_{2}2-\zeta_{2}^{3}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]$,
$-5$
$z_{1}^{2}z_{2}^{2}$,
4,
$\frac{25}{4}\zeta_{1}^{2}+\frac{25}{2}\zeta 1(2-\frac{5}{4}\zeta_{2}^{2},$ $[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{3}}-\frac{3}{4}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{1}^{2}}-\frac{3}{2}\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$,
$-6$
$z_{1^{Z_{2}}}^{2}$,
3,
$-3\zeta_{1}^{3}+4(^{2}1\zeta_{2}+11\zeta_{1\zeta}22-2\zeta_{2}3,$
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
$-5$
$z_{1}^{2}$
,
2,
$\frac{25}{4}\zeta_{1(_{2}^{2}+\frac{25}{2}(_{1}}^{2}\zeta^{3}2-\frac{5}{4}\zeta_{2}4$,
$[_{z_{1}} \urcorner\frac{1}{z_{2}}]$,
$-4$
$z_{1}z_{2}^{4}$
,
5,
$-20\zeta_{1}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}-2\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}}+\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{3}}+5\frac{1}{z_{1}^{6}z_{2}}]$,
$-7$
$z_{1}z_{2}^{3}$
,
4,
$\frac{25}{2}\zeta_{1}^{2}+5\zeta 1\zeta 2-\frac{5}{2}(_{2}^{2},$ $[_{\overline{z}_{1}z_{2}}1=4- \frac{1}{2}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{2}}-3\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$,
$-6$
$z_{1}z_{2}^{2}$
,
3,
$-2\zeta_{1}^{3}+11\zeta_{1}2\zeta 2+4\zeta 1\zeta_{2}^{2}-3\zeta^{3}2$
’
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}]$,
$-5$
$z_{1}z_{2}$
,
2,
$\frac{25}{2}\zeta_{1}^{2}\zeta_{2^{+}}25\zeta 1\zeta^{3}2-\frac{5}{2}\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-4$
$z_{1}$
,
1,
$-20\zeta_{1}\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-3$
$z_{2}^{6}$,
6,
$-4$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{7}}+\frac{1}{5}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{\mathrm{s}}}-\frac{2}{5}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{4}}+\frac{1}{5}\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}^{3}}+_{z_{1}z}\sim]12$’
$-8$
$z_{2}^{5}$,
5,
$-4\zeta_{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{6}}+\frac{1}{5}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}}-\frac{2}{5}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{3}}+\frac{1}{5}\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}^{2}}]$,
$-7$
$z_{2}^{4}$,
4,
$- \frac{5}{4}\zeta_{2}^{2}-\frac{5}{2}(_{1}\zeta_{2}-\frac{15}{4}\zeta_{2}^{2},$ $[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}-\frac{1}{4}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{2}}+\frac{1}{2}\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$,
$-6$
$z_{2}^{3}$,
3,
$-\zeta_{1}^{3}-2\zeta^{2}1\zeta_{2}-3\zeta 1\zeta_{2}2-4\zeta_{2}3$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-5$
$z_{2}^{2}$,
2,
$- \frac{5}{4}\zeta_{1}2\zeta^{2}2-\frac{5}{2}\zeta_{1}\zeta 23-\frac{15}{4}\zeta_{2}4$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-4$
$z_{2}$
,
1,
$-4\zeta_{2}^{5}$,
$[_{\overline{z}_{1}z_{2}}1=]$,
$-3$
$1$
,
$0$
,
$-4\zeta_{2}^{6}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-2$
427
特異点
$K_{12}=z_{1}^{3}+$
$z_{2}^{7}$に関する計算
$\bullet$
重み
$(7, 3)$
,
擬次数 21
$\bullet$
$I=\langle 3z_{1}^{2},7Z^{6}\rangle 2$
’
擬次数
$(14, 18)$
$\bullet$
Gb
$\pm\{z_{1}^{26}, Z_{2}\}$
$\bullet$Jac
$=252z_{1}Z_{2}5$
,
擬次数
22
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{22}+t^{19}+t^{16}+t^{15}+t^{13}+t^{12}+t^{10}+t^{9}+t^{7}+t^{6}+t^{3}+1$
.
$\eta=\frac{1}{21}[\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{\epsilon}}]$,
擬次数
$-32$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}^{5}$,
22,
21,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{6}}]$,
$-32$
$z_{1}z_{2}^{4}$,
19,
$21\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}]$,
$-29$
$z_{1}z_{2}^{3}$,
16,
$21\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}])$$-26$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
13,
$21\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}]$,
$-23$
$z_{1}z_{2}$
,
10,
$21\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-20$
$z_{1}$,
7,
$21\zeta_{2}^{5}$,
$[_{\overline{z}_{1}z_{2}}1=]$,
$-17$
$z_{2}^{5}$,
15,
$21\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}])$$-25$
$z_{2}^{4}$,
12,
$21\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}]$,
$-22$
$z_{2}^{3}$,
9,
$21\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-19$
$z_{2}^{2}$,
6,
$21\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-16$
$z_{2}$,
3,
$21\zeta_{1}\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-13$
1
$0$
,
$21\zeta_{1}(_{2}^{5},$ $[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-10$
428
特異点
$K_{13}=z_{1}^{3}+z_{1}z_{2}^{5}$
に関する計算
$\bullet$
重み
$(5, 2)$
,
擬次数 15
$\bullet$
$I=\langle 3z_{1}^{2}+z^{5},5z21Z^{4}2\rangle$
, 擬次数
$(10, 13)$
$\bullet$
Gb
$=\{z_{2’ 12}^{94}Zz,3Z^{2}\}1^{+z_{3}^{5}}$
:Jac
$=-65\mathrm{z}_{2}^{8}$
,
擬次数
16
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{16}+t^{14}+t^{12}+t^{11}+t^{10}+t^{9}+\partial^{8}+t^{7}+t^{6}+t^{5}+t^{4}+t^{2}+1$
$\bullet$$\eta=-\frac{1}{5}[\frac{1}{z_{1}z_{2}^{9}}-\frac{1}{3}Zz_{2}]134$
, 擬次数
$-23$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}^{2}z_{12}z^{3},$’
$119,$
’
$15\zeta_{1}\zeta 215\zeta_{1},$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}]$,
–1188
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}]$,
–1166
$z_{1}z_{2}$
,
7,
$15\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{\bigwedge_{12}\sim^{2}z^{2}}]$,
$-14$
$z_{1}$,
5,
$15\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
–1122
$z_{2}^{8}$,
16,
$-5$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{9}}-\frac{1}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}}]$,
–2233
$z_{2}^{7}$,
14,
$-5\zeta_{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{8}}-\frac{1}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{3}}]$,
–2211
$z_{2}^{6}$,
12,
$-5\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}-\frac{1}{3}\overline{z}_{1}rightarrow_{z}]12$’
$-19$
$z_{2}^{5}$,
10,
$-5\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{6}}-\frac{1}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-17$
$z_{2}^{4}$,
8,
$-5\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}])$$-15$
$z_{2}^{3}$,
6,
$-5\zeta_{2}^{5}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
–1133
$z_{2}^{2}$,
4,
$-5\zeta_{2}^{6}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-11$
$z_{2}$,
2,
$-5\zeta_{2}^{7}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-9$
$1$,
$0$
,
$-5\zeta_{2}^{8}$,
$[_{7}.\underline{1},]\wedge$’
$-7$
429
特異点
$K_{14}=z_{1}^{3}+z_{2}^{8}$
に関する計算
$\bullet$重み
$(8, 3)$
, 擬次数 24
$\bullet$
$I=\langle 3z_{1}^{2},8z^{7}\rangle 2$
’
擬次数
$(16, 21)$
.
Gb
$=\{z_{1}^{27}, z_{2}\}$
.
Jac
$=336z_{1}z_{2}^{6}$
, 擬次数 26
.
ボアンカレ多項式
$t^{26}+t^{23}+t^{20}+t^{18}+t^{17}+t^{15}+t^{14}+t^{12}+t^{11}+t^{9}+t^{8}+8^{6}+t^{3}+1$
.
$\eta=\frac{1}{24}[_{z_{1}^{2}z_{2}}1\neg]$, 擬次数
$-37$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}^{6}$,
26,
24,
$[_{z_{1}^{2}z_{2}}\perp\neg]$,
$-37$
$z_{1}z_{2}^{5}$,
23,
$24\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{\mathrm{x}^{z_{2}}}^{26}}]$,
$-34$
$z_{1}z_{2}^{4}$,
20,
$24\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}]$,
$-31$
$z_{1}z_{2}^{3}$,
17,
$24\zeta_{2}^{3}$,
$[_{z_{12}}=_{z}^{1}\nabla]$,
$-28$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
14,
$24\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}]$,
$-25$
$z_{1}z_{2}$
,
11,
$24\zeta_{2}^{5}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-22$
$z_{1}$,
8,
$24\zeta_{2}^{6}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-19$
$z_{2}^{6}$,
18,
$24\zeta_{1}$,
$[_{z_{1}z_{2}}=^{1}]$,
$-29$
$z_{2}^{5}$,
15,
$24\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{6}}])$$-26$
$z_{2}^{4}$,
12,
$24\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}]$,
$-23$
$z_{2}^{3}$,
9,
$24\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-20$
$z_{2}^{2}$,
6,
$24\zeta_{1}\zeta_{2}^{4}$,
$[_{z_{1}z}=_{2}^{1}]$,
$-17$
$z_{2}$,
3,
$24\zeta_{1}\zeta_{2}^{5}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-14$
$1$,
$0$
,
$24\zeta_{1}\zeta_{2}^{6}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-11$
4210
特異点
$\nu V_{12}=Z_{1}^{4}+z_{2}^{5}$
に関する計算
$\bullet$重み
$(5, 4)$
,
擬次数
20
$\bullet$
$I=\langle 4z_{1}^{3},5z^{4}\rangle 2$
’
擬次数
$(15, 16)$
$\bullet$
Gb
$=\{z_{1}^{34}, z_{2}\}$
$\bullet$Jac
$=240z^{2}1z_{2}^{3}$
, 擬次数 22
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{22}+t^{18}+t^{17}+t^{14}+t^{13}+t^{12}+t^{10}+t^{9}+t^{8}+t^{5}+t^{4}+1$
$\bullet$ $\eta=\frac{1}{20}[_{z_{1}^{3}z}1\neg]2$’
擬次数
$-31$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}^{2}z_{2}^{3}$,
22,
20,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}}]$,
$-31$
$z_{1}^{2}z_{2}^{2}$,
18,
$20\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{3}}]$$-27$
$z_{1^{Z_{2}}}^{2}$,
14,
$20\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
$-23$
$z_{1}^{2}$,
10,
$20\zeta_{2}^{3}$,
$[_{z_{1}\overline{z_{2}}}=^{1}]$,
$-19$
$z_{1}z_{2}^{3}$,
17,
$20\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}]$,
$-26$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
13,
$20\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}]$,
$-22$
$z_{1}z_{2}$
,
9,
$20\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-18$
$z_{1}$,
5,
$20\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-14$
$z_{2}^{3}$,
12,
$20\zeta_{1}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-21$
$z_{2}^{2}$,
8,
$20\zeta_{1}^{2}\zeta 2$)
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-17$
$z_{2}$,
4,
$20\zeta_{1}^{2}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-13$
$1$,
$0$
,
$20\zeta_{1}^{2}\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-9$
4211
特異点
$W_{13}=z_{1}^{4}+z_{1}z_{2}^{4}$
に関する計算
$\bullet$
重み
$(4, 3)$
,
擬次数 16
$\bullet$
$I=\langle 4z_{1}^{3}+z_{2’ 2}^{4}4Z_{1}Z^{3}\rangle$
,
擬次数
$(12, 13)$
$\bullet$
Gb
$=\{z_{2’ 1}^{7}zz_{2}^{3},4Z_{1}+3Z^{3}\}2$
.
Jac
$=-52z_{2}^{6}$
,
擬次数 18
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{18}+t^{15}+t^{14}+t^{12}+t^{11}+t^{10}+t^{9}+t^{8}+t^{7}+t^{6}+t^{4}+t^{3}+1$
$\bullet$ $\eta=-\frac{1}{4}[_{\neg_{z}}z_{1}-12\frac{1}{4}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{3}}]$,
擬次数
$-25$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z^{2}z^{2}$
,
14,
$16\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{3}}]$,
$-21$
$z_{1^{Z_{2}}}^{2}$,
11,
$16\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
$-18$
$z_{1}^{2}$,
8,
$16\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-15$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
10,
$16\zeta_{1}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{\mathrm{s}}}]$,
$-17$
$z_{1}z_{2}$
,
7,
$16\zeta_{1}^{2}\zeta 2$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-14$
$z_{1}$,
4,
$16\zeta_{\overline{1}}^{z}\zeta^{l}2$’
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-11$
$z_{2}^{6}$,
18,
$-4$
,
$[_{\neg}z_{1}z_{2}-1 \frac{1}{4}\overline{z}z_{2}]\tau^{1}\mathrm{Y}1$’
$-25$
$z_{2}^{5}$,
15,
$-4\zeta_{2}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{6}}-\frac{1}{4}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}^{2}}]$,
$-22$
$z_{2}^{4}$,
12,
$-4\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}-\frac{1}{4}\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]$,
$-19$
$z_{2}^{3}$,
9,
$-4\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-16$
$z_{2}^{2}$,
6,
$-4\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-13$
$z_{2}$,
3,
$-4\zeta_{2}^{5}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-10$
$1$,
$0$
,
$-4(_{2}^{6},$
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-7$
4212
特異点
$Z_{11}=z_{1}^{3}Z_{2}+z_{2}^{5}$
に関する計算
.
重み
$(4, 3)$
,
擬次数 15
$\bullet$
$I=\langle 3z_{12}^{23}z, z_{1}+5z_{2}^{4}\rangle$
,
擬次数
$(11, 12)$
$\bullet$
Gb
$=\{_{Z_{2}^{523}}, Z_{1}z2, z1+5Z_{2}^{4}\}$
$\bullet$
Jac
$=165Z_{1}z_{2}^{4}$
, 擬次数 16
$\bullet$
ボアンカレ多項式
$t^{16}+t^{13}+t^{12}+t^{10}+t^{9}+t^{8}+t^{7}+t^{6}+t^{4}+t^{3}+1$
単項基底
擬次数
$h_{1}.\cdot$双対基旧
擬次数
$z_{1}^{2}$,
8,
$-3\zeta^{\frac{2}{1}}$,
$[ \frac{1}{\approx_{1^{\sim 2}}^{3_{7}}}]$,
$-15$
$Z_{1}z_{2}^{4}$,
16,
15,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}-5\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$,
$-23$
$z_{1}z_{2}^{3}$,
13,
$15\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}]$,
$-20$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
10,
$15\zeta_{2}^{2}$,
$[_{\overline{z}_{12}^{\mathrm{R}_{z}}}1]$,
$-17$
$z_{1}z_{2}$
,
7,
$15\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-14$
$z_{1}$,
4,
$15(_{2}^{4},$
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-11$
$z_{2}^{4}$,
12,
$15\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}-5\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]$,
$-19$
$z_{2}^{3}$,
9,
$15\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-16$
$z_{2}^{2}$,
6,
$15\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}]$,
$-13$
$z_{2}$,
3,
$15\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-10$
$1$,
$0$
,
$15\zeta_{1}(_{2}^{4},$ $[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-7$
4213
特異点
$Z_{12}=z_{1}^{3}Z_{2}+z_{1}z_{2}^{4}$
に関する計算
$\bullet$重み
$(3, 2)$
, 擬次数 11
$\bullet$
$I=\langle 3z_{1^{Z_{2}}}^{2}+z_{2}^{4}, z_{1}^{3}+4z_{1}z_{2}\rangle 3$
,
擬次数
$(8, 9)$
$\bullet$
Gb
$=\{_{Z_{21^{Z^{4}}}^{7}}, Z2’ 2+Z2’ Z^{3}4_{Zz_{2}}3z_{1}z1+243\}1$
$\bullet$Jac
$=-44z_{2}^{6}$
,
擬次数
12
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{12}+t^{10}+t^{9}+t^{8}+t^{7}+2t^{6}+t^{5}+t^{4}+t^{3}+t^{2}+1$
$\bullet\eta=-\frac{3}{11}[_{z_{1}z}=^{1}-2\frac{1}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}}+\frac{4}{3}\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$擬次数
$-17$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}^{2}$,
6,
$-3\zeta_{1}^{2}-\zeta_{2}3$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-11$
$z_{1}z_{2}^{3}$,
9,
$11\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}-4\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]$,
$-14$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
7,
$11\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}]$,
$-12$
$z_{1}z_{2}$
,
5,
$11\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-10$
$z_{1}$,
3,
$11\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-8$
$z_{2}^{6}$,
12,
$-_{3}$
,
$[z_{1}=^{1}z_{2}- \frac{1}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}}+\frac{4}{3}\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$,
$-17$
$z_{2}^{5}$,
10,
$- \frac{11}{3}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}-\frac{1}{3}\pi_{z_{1}z_{2}}^{1}\tau]$,
$-15$
$z_{2}^{4}$,
8,
$- \frac{11}{3}\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}-\frac{1}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}}]$,
$-13$
$z_{2}^{3}$,
6,
$-\zeta_{1}^{2}-4\zeta_{2}^{3}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}}]$,
$-11$
$z_{2}^{2}$,
4,
$- \frac{11}{3}\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}}])$$-9$
$z_{2}$,
2,
$- \frac{11}{3}\zeta_{2}^{5}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-7$
$1$,
$0$
,
$- \frac{11}{3}\zeta_{2}^{6}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-5$
4214
特異点
$Z_{13}=z_{1}^{3}Z_{2}+z_{2}^{6}$
に関する計算
$\bullet$重み
$(5, 3)$
,
擬次数 18
$\bullet$
Gb
$=\{z_{2’ 1^{Z_{2}}}^{6}z^{2}, Z^{3}+16z\}25$
$\bullet$Jac
$=234z_{1}z^{5}2$
’
擬次数
20
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{20}+t^{17}+t^{15}+t^{14}+t^{12}+t^{11}+t^{10}+t^{9}+t^{8}+t^{6}+t^{5}+t^{3}+1$
$\bullet$ $\eta=\frac{1}{18}[\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{6}}-6\frac{1}{z_{1}^{5}z_{2}}]$,
擬次数
$-28$
単項基底
, 擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}^{2}$,
10,
$-3\zeta_{1}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}}]$,
$-18$
$z_{1}z^{4}z1z_{2}^{5}2,$’
$2017,$
’
$18\zeta_{2}18,$,
$[ \frac{1}{z_{}^{2}z^{6},12[},\frac{1}{]z_{1}^{5}z_{2}}]\frac{-61}{z_{1}^{2}z_{2}^{5}}$,
$-25-28$
$z_{1}z_{2}^{3}$,
14,
$18\zeta_{2}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{4}}]$,
$-22$
$z_{1}z_{2}^{2}$,
11,
$18\zeta_{2}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}}])$$-19$
$z_{1}z_{2}$
,
8,
$18\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{2}}]$,
$-16$
$z_{1}$,
5,
$18\zeta_{2}^{5}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}}]$,
$-13$
$z_{2}^{5}$,
15,
$18\zeta_{1}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{6}}-6\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}}]$,
$-23$
$z_{2}^{4}$,
12,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}}]$,
$-20$
$z_{2}^{3}$,
9,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}^{2}$,
$[_{z_{1}z_{2}}1\neg]$,
$-17$
$z_{2}^{2}$,
6,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}^{3}$,
$[_{z_{1}z_{2}}=^{1}]$,
$-14$
$z_{2}$,
3,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}^{4}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}}]$,
$-11$
$1$,
$0$
,
$18\zeta_{1}\zeta_{2}^{5}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}}]$,
$-8$
4.3
3
変数の
unimodal singularities
431
特異点
$P_{8}=z_{1}^{2}Z_{3}+z_{2}^{3}+z_{2}^{2_{Z_{3}}}+z_{3}^{3}$
に関する計算 $(a=1)$
.
重み
(1, 1, 1),
擬次数 3
$\bullet$
$I=\langle 2z_{1}z_{3},3Z2+2z_{2}Z_{3}z_{1})2+z_{2}^{2}+3z_{3}^{2}\rangle$
,
擬次数
(2, 2, 2)
.
Gb
$=\{_{Z_{3}^{4}}, -2z_{23^{+}}z^{2}9z^{9},3z_{2}+22Zz_{2}3, z1Z3,3z^{2}-2z_{2}z_{3}31+9Z_{3}^{2}\}$
$\bullet$
Jac
$=744z_{3}^{3}$
, 擬次数 3
..
$\bullet$
ボアンカレ多項式
$t^{3}+3t^{2}+3t+1$
$\bullet$ $\eta=\frac{1}{3}[\frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}^{4}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}z_{3}^{3}}-3\frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}z_{3}}+2\frac{1}{z_{1}z_{2^{z_{3}}}^{4}} -\frac{31}{2}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}z3}]$
,
擬次数
$-6$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}$
,
2,
$-6\zeta_{1}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2^{z}}^{2}3}]$,
$-5$
$z_{1}$
,
1,
$-6\zeta_{1}\zeta_{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}}]$,
.
$-4$
$z_{2}z_{3}$
,
2,
$-4\zeta_{2}+18\zeta_{3}$
,
$[_{\overline{z_{1}}z_{2}z_{3}}1R^{-} \frac{2}{3}\neg_{z_{1}z_{2^{z^{-+\frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}}]}}}}13\frac{2}{3},$$-5$
$z_{2}$
,
1,
$-4\zeta_{2}\zeta_{3}+18\zeta 32$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}z_{3}}]$,
$-4$
$z_{3}^{3}$,
3,
93,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}^{4}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}z_{3}^{3}}-3\frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}z_{3}}+2\frac{1}{z_{1}z_{2}^{4}z_{3}}-\frac{31}{2}\frac{1}{z_{1}z_{2}z323}]$,
$-6$
$z_{3}^{2}$,
2,
$18\zeta_{\underline{2}}+12\zeta 3$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}^{3}}-3\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}z_{3}}]$,
$-5$
$z_{3}$,
1,
$18\zeta_{2}\zeta_{3}+12\zeta^{2}3$
’
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}^{2}}]$,
$-4$
$1$,
$0$
,
$93\zeta_{3}^{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}}]$,
$-3$
432
特異点
$Q_{14}=z_{1}^{3}+z_{1}^{\sim}’ z_{\tilde{2}}^{\circ}+z_{2}^{6}+z_{2}z_{3}^{2}$
に関する計算
$(a=1)$
.
重み
(4, 2, 5),
擬次数
12
.
$I=\langle 3z_{1}^{2}+2_{Z_{1^{Z}2}}2,2_{Z_{1}z_{2}}2+6z_{\underline{9}}^{5}+z_{3}^{2},2z2z3\rangle$
,
擬次数
(8, 10,
7)
$\bullet$Gb
$=\{_{Z_{3’ 3,2132}^{3}}Z_{2}zz^{8}, Z\sim+31z^{7}, -4Z_{1}z_{2}^{3}+18z^{5}2+3z_{3},3Z_{1}^{2}’+222Z1z_{2}\}2$
$\bullet$Jac
$=2604Z^{7}2$
’
擬次数
14
$\bullet$ボアンカレ多項式
$t^{14}+t^{12}+2t^{10}+t^{9}+2t^{8}+2t^{6}+t^{5}+2t^{4}+t^{2}+1$
$\bullet$ $\eta=\frac{1}{186}[\frac{1}{z_{1}z_{2}^{\epsilon}z_{3}}-31\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}z_{3}^{3}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{6}z3}-3\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}z3}+2\frac{1}{z_{1}z_{2}z423}]$, 擬次数
$-25$
単項基底
擬次数
$h_{j}$双対基底
擬次数
$z_{1}z_{2}^{2}$,
8,
$-8\zeta_{1}\zeta_{2}+36\zeta^{3}2$
’
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{3}z_{3}}-\frac{2}{3}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{23}z}]$,
$-19$
$z_{1}z_{2}$
,
6,
$-8\zeta_{1}\zeta_{2}236+(_{2}4,$
$[ \frac{1}{z_{12}^{2_{Z^{2_{Z}}}}3}]$,
$-17$
$z_{1}z_{3}$
,
9,
$-6\zeta_{3}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}z_{3}^{2}}]$,
$-20$
$z_{1}$,
4,
$-6\zeta_{3}^{2}$,
$[ \frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}z_{3}}]$,
$-15$
$z_{2}^{7}$,
14,
186,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{8}z_{\mathrm{s}}}-31\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}z_{3}^{\mathrm{s}}}+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}^{2}z_{2}^{6}z3}-3\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{4}z_{3}}+2\frac{1}{z_{1}^{4}z_{2}2z_{3}}]$,
$-25$
$z_{2}^{6}$,
12,
$186\zeta_{2}$
,
$[_{z_{1}} \neg_{z_{2^{\overline{z_{3}}}}}1+\frac{9}{2}\frac{1}{z_{1}z_{2}z253}-3\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{8}z3}+2\frac{1}{z_{1}z_{2}z423}]$,
$-23$
$z_{2}^{5}$
,
10,
$186\zeta_{2}^{2}$,
$[_{\overline{z_{1}}z_{2^{\overline{z_{3}}}}}1 \mathrm{T}+\frac{9}{2}=_{z_{1}z^{7}2^{\overline{z}}}^{1}3-3_{\mathrm{T},zz_{2}z\overline{\mathrm{s}}1}1B]$,
$-21$
$z_{2}^{4}$
,
8,
$36\zeta_{1}\zeta_{2}+24\zeta_{2}^{3}$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{5}z_{3}}]$,
$-19$
$z_{2}^{3}$,
6,
$36\zeta_{1}\zeta_{2}^{24}+24\zeta 2$
’
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2^{Z_{3}}}^{4}}]$,
$-17$
$z_{2}^{2}$,
4,
$186\zeta_{2^{+\zeta_{3}}}^{5}272$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{3}z_{3}}])$$-15$
$z_{2}$,
2,
$186\zeta_{2}^{6}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}^{2}z_{3}}]$,
$-13$
$z_{3}^{2}$,
10,
$-6\zeta_{1}+27\zeta 22$
,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}^{3}}+\frac{3}{4}\frac{1}{z_{12^{Z}}^{2_{Z^{4}}}3}-\frac{1}{2}\frac{1}{z_{1}^{3}z_{2}^{2}z\mathrm{s}}]$,
$-21$
$z_{3}$,
5,
$-6\zeta_{1}\zeta_{3}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}^{2}}]$,
$-16$
$1$,
$0$
,
$186\zeta_{2}^{7}$,
$[ \frac{1}{z_{1}z_{2}z_{3}}]$,
$-11$
433
特異点
$S14=z^{2}Z21+z_{1}z_{2}^{3}+z_{1}z_{3}^{2}+z_{2}^{5}$
に関する計算 $(a=1)$
$\bullet$重み
(4,
2,
3),
擬次数 10
$\bullet$
$I=\langle 2Z_{1}z_{2}+z_{2}^{3}+z_{3’ 1}^{2}z^{2}+3z_{1}z_{2}^{2}+5z_{2}^{4},2Z1z3\rangle$
,
擬次数
(6, 8, 7)
..
$\bullet$Gb
$=\{-z_{3}^{5}, -Z2Z3’+z^{3},3z_{2^{-Z}2}^{5}z, ZZ_{3},2Z1z2+z_{2^{+z_{3}^{2},2Z}}7z_{2^{-}}^{4}3Z_{2}z_{3}\}3Z_{2}Z_{3}33223131^{+}22$
$\bullet$
Jac
$=140z_{3}^{4}$
,
擬次数
12
$\bullet$
ボアンカレ多項式
$t^{1}2+t^{10}+t^{9}+2t^{8}+t^{7}+2t^{6}+t^{5}+2t^{4}+t^{3}+t^{2}+1$
$\bullet$
