TRU Mathematics 22・・2 〔1986）
ON PR（〕U II CTIVE KILL工NG P−FORMS 工N U）CA1』LY PRODUCT
RI㎜IAN MANIFOIDS Jae−Bdk JUN （Received October 6， 1986〕 §0． 工n七rOduction． The concep七（）f a projee七ive Mlling p−fom in a Riema㎜nian manifold was defined by S． Tachibana ［8］ and he proved 曲e foUowings： Theorem A・∫n a co叩act or呈e就abヱe Rie囮annゴan切8nエfbld・aρroゴectゴve κi11エngρ一f・r田is aκi11エng。ne if the ass。cゴated fbmエs cl・sed・ Theorem B． 1h a comρact orientable Riemannian manifold’ a coclosed ρroゴective Kiヱ1ingρ一formエs aκilling one・ The pLrr「p◎se of 七his peper is 七◎ discuss the non−existence of a projec七iveKMng p−fom（p≧2）whi（辻1 is no七Kl−i㎎in a loc証Lly produc七Riema㎜ian
manifold and s加dy a proper七y of a cer七ain（pl）−fom血ch is cons七ructed fr。m a proj ec七ive K皿ing p−form．！［he foコユ。wing七heorem is weコユー㎞own［6］． Theorem C． In a co叩act orien亡abヱeヱocallyρr。duc亡Rエemannエan manifold 〃，aρroゴecti・veκエ11ing vector field is necessarilyκiヱ1ing・ We wiコユgeneralize七his七heorem t◎七he case◎f degree p（p≧2）under a c◎ndi七ion． Nameユy， we wi−pr◎ve七he fonown9 ： The。rem 1． ln a co叩ac亡orientable loca1ヱyρrodロc亡Riemannian囮nifoヱd〃，adeco叩。sableρr・jectiveκ口五n8ρ一form（ρ≧2）エsκiヱling・
Recentユ．y， the f・ll・砿㎎the。rem was PS。ved in［1］・37
38 J。−B．JUN Theorem D． 1h an n−dゴ田ensゴoηaヱR立e囮annエaη田an工fbld〃， fbr anyρrojec亡工ve
Killingρ一fbmロfρ≧2♪8nd i ts essociated formθ・w呈s a closed conformal
kiヱ1エng（P−1ノーfbr田曲・se ass・cieted f・rq is一δθ・where’ we力ave put w＝ δu ＋ （n一ρ＋2）e． βyconcemi㎎The。rem D and a result（）f S． Sa七〇［4］， we wコユ1 prove曲e following： Theorem 2・ Let〃be an n−dゴ田eηsゴoηaヱcomρact or工en亡θbヱe Rieωann工an 肥nエfbヱd which is 1。caヱヱyρroduc亡of an見一d加eηsエ・ηaヱィ兄≦n／2）Riemannian mani・fold 8nd anでn−2♪−dimensional one． Le亡ロbe aρroゴec亡i veκエ11ゴn8ρ一fbr田 （ρ≧2）andθbe並きass・cゴa亡ed fbr囮． lhen亡力eでρ一1）−fbr加wゴs Paralleヱ ρroγ工ded 亡hat 3（ρ一2） ＜ 2免， wカere we haye ρロt w ＝ δロ ＋ 〈n一ρ＋2）θ◆ We will devo七e §1 七〇 no七a七ions and defini七ions◆ Some opera七〇rs wi七h respec七 七〇 p−forms in a localユy product Riemannian mani eold will be introduced in §2． ［［lhe proofs of lheorem l and Theorem 2π1ユユ be given in §3 and §4 respectiveユy・ The au七hor expresses his sコ且cereand N・Abe曲o gsLve h㎞mary valuable
prepara七ion of tllis paper・蜘ks七〇Professors S・Yamaguchi
suggestions in 七he course of the §1． Conformaユ and projec七ive Mlling pforms． Throughout七his paper， all manifoユds are assumed七〇be connec七ed and of co class C ． Let Pl be an n−dimen日ionaユ Riemannian ma刀ifold． Deno七e respectiveユyby・gbe・』e鋤㌔一R。』a伽峻i・・the一七ur…nd・th・Ricci・te・・。・・
。f a Rie㎜迦鵬ni e。ra in t・ms。f l・・Ul c・。rdi・ates〔xa｝，where la七in indices run over 七he range ｛1，2，．．．，n｝． We repr6sent 七ensors by七heir componen七s wi七h respec七 七〇 the na七ural basis and use七he sum皿ation conven七ion． For．adifferen七ia1 P−for囮ap
改
∧ oo ● ∧当
．血ap
⋮1
ua
−声
＝U
典』卿e七「’cc°eff’c’en七s
@ua1…ap・the c°eff’c’en七s°f’七s differential du arxl七he ex七erior cOdifferen七ia1δu are giv㎝by exヒeriorON「PROJECTIVE KILLI八「G P−FORMS 39 （du）・1…ap．1＝Σ呈・1（−1）’＋1▽a、ua1・・：、一・p．1・ ． （δu） ＝ 一 ▽「u ，
・ ’ a2…ap
「a2°”ap where▽「・9「s▽，・・。 d…tes・h・・pera・・r・f…ari・n・dif・・r・n七i・七i−・：、 ・・aS・i加b・d・1・七・d・We・alLl・pf・rm u t。 be・ヱ・・ed（re・p・・。cl・・ed）if du＝0 （resp． δu＝O）． ・ ・ Ap−f・rm u（P≧1）is said七・b・Killi・g if i七・a七isfies ▽bual…・p＋▽・1”ha、…・pニ゜’ Any Killing p卜form is coclosed， and i七is easy七〇 see 七ha七 七he equa七ion for a p−foエm u七〇 be Kilユing is equivaユent 七〇 （1’1）@− （du）da1…・p＝（P＋1）▽bua1…・p・ ．
’Ap−f・rm u（P≧1）is said七・be・・nf・r頑κゴ・ユi・g・if th・r・ ・Xi・七・ a （P−「）−form ρ called七he ∂ssocib亡e（7 form such 七ha七．．
@ ▽bU・1…・p＋▽・1Uba、…・p ． ・・
ロ ＝2ρ・2…・p・b・1一Σ鍵・2（−1）’（・ha、・・a、…p9・1・i＋P・1・・：、・・ap・ha、）・ especia1ユy u is Killing ifρ・vanis4es iden七icaユユーy． Moreover， a p−foym u （P≧1） is caユ1edρrojectlveκゴ11ゴηg if七here exis七s a （P−1）−formθ called七he associa七ed form such七ha七 （1・2）@2▽・▽bU・1…・p ’ 』』
＋Σ呈一1R・b・ieu・1・・・…pT（Rb・1 ce＋R・albe）…、…・p 一Σ‡一・（R・・i・ieu・a2・・・…；＋R・al・ieub・2−e・・ap） ・2Σ呈一1（−1）’−1（gcai▽bθ・1・・：、…p＋gb・i▽…1・・：、…p）・40
J．−B．JU［N §2． Lo（？ally produc七 Riemannian manifold and some opera七〇rs． Le七 us consider an n−di皿ensional loca1ユy produCt Riemannian manifoユd M． th・n， by・d・fi・i七i。・，“tih・r…Xt・七…y・七・・ゴb・a・・。・・血七es呼（・λ，瑚 ．・u・）h七h・七in e・・h UA七h・1i・e el・m・nt ，i・gi・㎝㎏the f°血 』（・・1） ・・2−9a、・Xad．b 、
． ・・｛，、．1、9、。（xv）・・λd・μ・Σ：，，＝、．19。，（xY）d・・αdx6 − ’ ・ （2 ＞ 2， In＞ 2， ￡＋m＝n），・鋤蝿（UB・he…rd血・加』f・Cmati・・（・λ・x°「）一→（yV・f）・・gi・・n
．㎏伽eq。a七i。n。出一出（・λ）and ’?E「諏xα）． H…㎝d垣伽se早・1，・・agree
七〇use 七he ranges of indices su（カaS 1≦λ，μ，v≦∫↓ （〈n）； 」1・＋1≦・，β・Y≦￡＋m（＝n）；1≦・・b・・…，≦n・Sq・h l・cal・。。・dina七es sy・t・m． （xλ，x°「）is Call・d・・eρ・・atゴ・9…rdi・…sy・t・・． 工fwe define ・ （2．2） （Fba）＝ λ＼
0 一δβソin・a・h UA・th・・U・ey d・fin・a七・n…field。f七ype
produc七 Riemannian manifold M and sa七isfy （1，1）・ver a l・ca1］−y（・・3） Fa「F。b・・。b・・。，・a「Fbs・9。b・・bFac・…
エfw・PSt・9。rF。「・F。6 ・nd ga「Frc一爵cﾕ・⊇・yぴs押・t…and・i七h・・d・
・ha七Fr「一・−m・Th・fi・・t・qu・七i・n・f（2・3）・h㎝・七』Wa assi四一記・・s七
produc七 s七ruc七ure 七〇 七he manifold． ． ・ The follo血g iden七i七ies are・㎞own： ．． （2．4） （2．5） ・。b，「dd・R。b。d・。「，・ab。d−R。b。，F。「Fds， Ra「・。d ・ ・b”R。b。d・ ・ON PROJECTIVE KILI、ING P−FORMS 工hroughou七 七his paper，］−e七Mbe arl n−dimensional locaユly produc七 Riemannian manifold． Ac°寧’an七te”s°「f’eld ual・…p’s． ca”ed pu「e ”ゴth「espect t°亡力e i・di・es ・k・・d・h［5］・］f i七・a七i・fi・・
u F「＝u F「．
a1”ah”「”ap ak a1”「”ak”ap ahFurtherm°「e ual…・p’s ca”ed pu「e ’f’七’s呼砒「espec七七゜a’1 the
indices・Th・ ・q・a七i・n・f（2・3）2・・an・th・七th・ me七・i・七・…ri・p岨・・Th・ ・q・a七i・n（2・4）2i・pli・・枷・七’tih・ ・urv・七ur・七・…r R。b。d i・P・r・with・re・pec七 七〇 七he indices c and d． The pαri七y of 七ensors is invarian七under raising （…p・…eri・・）・・岨・indices by・ab（・esp・・。b）・・・・…rfi・・d w・−・・ called decomposable if it and i七s covarian七 deriva七ive are bo七h pure． 工n pa「七i・u1・rs gab i・d…mp。sabl・・ Ihe opera七〇rsΦ， r and D for any p−form u are respec七iveユy defined by （Φu）・i…ap＝Σ呈・1F・i’ual ・・…ap・ コ （fU）・。…・p＝Σ‡⇒（−1）エF・i「▽・ua。・・a、…p・ （th） ＝FS▽u ． a2…ap 「sa2…ap Now， we wi］ユprove 七he following・ Le㎜a 2．1． For aηyρ一form u， we have （Φd −dΦ）u＝ ru． Proof． For a p−form u， from 七he definitions of opera七〇rs， we have お （d’m）・。…・p＝Σ呈司（−1）ユ▽・i（’m）・。・・a、…p ・Σ2⇒F・i「（du）・。・・・…p一Σ呈⇒（−1）zF・、「▽・ua。・・a、…p ＝（edu）・。…・p （fU）・。・…p・ ’41
42
J．−B．JUN which means 七ha七1e㎜a 2．1 holds． §3． Proof of Theorem 1． 工n 七his sec七ion， we consider a decomposab：Le projec七ive Killing p−fom u （p≧2） in an n−dimensional localユーy produc七Riemann ian manifold M． 工n七he firs七place， we will prove七he foユユowing． Lemma 3．1． ln aヱocallyρroduct Riemannian mani・foヱd M， the associa亡ed form θ of a decomposabヱe proゴec亡ive Ki1ヱゴn8 P−form ロ （ρ ＞ 2） satisfies the follow工ηg equa亡工ohξ ． Φdθ ＝prθ÷ ・・・…T・・n・vec七in・（1・・）・・th・。㌔，al ・n・螂…use・・（・・3），（・・4） and 七he purity of covarian七 deriva七ive of u， we find （・・1）2▽・▽・u・a2…・p−2R・・ceu・a2…・p＋Σ呈・・F・七F・dR＋2・・・…p 一Σ呈⊇R・・aieu・a2・・・…p一Σ呈一・F・七F・dR・d・ieu・・、・・…ap ・牢sc▽七θ・、…・p−2Σ呈一・（−1）’F・％七9・a、Vbθt・、・・：、…p ＋29r・▽・e・2…・p−2哩⊇（−1）’・・七・rai▽・eta、．．￡、．．・p・ f・。m・whi・h， by・。ntracting Fc「tO七hi・， we can 9・七 （…）・c「▽・▽・u・・2…・p・R・「u二・2…・P−9・‡魂・・「R・、・ceu・a2．．・．◆ap ＝2F「（dθ） ． ． ． s ra 2’”ap ㌔ご。il：㍑，（ ゆ2・5）・砲er…P・t ・Tra＿。・Frsu，a＿。・ibran。vecting，・b七。（1．；）㎝ぎ㎏輌i usep。，（、．4） and （2．5）， we can ob七ain’ ON PRCVECTrVE KILLING P−FORMS ・Cb・・▽bU・1…・p・R・1㌔㌔a2…・p一亮・2・・1rR・irceu。a、．．。．．。p ＝2（「θ）・1…ap・ from which 七〇ge七her wit力 （3．2）， i七 foコユows tha七 （3・3）
@ ㌧1「（呉…・p三（「θ）・i…・p・
取 in七erchanging aコユ 七he indices in （3．3） a1七erna七iveユy， we have our Lemma 3．1． ． Nex七， we will show the following・ 『 Lemma 3・2・エn∂ヱocally produtt Riemannian m∂nifoユd M， the associated form θ of a decomρosabヱe ρroゴective 燈ヱヱing P−form u 〈ρ ＞ 2） is closed． P・。。fL A七fi・・七・if・・七・an・vec七FasFba2七・（3・1）and七ak・・a・6・㎜七・f （2．3） and七he purity of u，七hen we have ・・▽ruab・3…・p−・2FasFbdRrsce・・d・，…・p ・ ＋FbdF・七R・七deua・a3…・p＋も・bdF・tR・七・ieuad・，・・・…p −・・『・bdR・・deucea，…・P−．Σξヲ・as隅dR・・aieu・d・3．．・．．・p 』 一蛭R・adeu・・a，…ap一も・bd・・七R・aaie・七d・3．・・．．・p −29a・FbdF・t▽七・da，・一．一・p．−2F晶・aa，…・p −2も（−1）’Fbd・・七9・ai▽七・ad・3・・a、…p＋2F・・Fbd▽・θd・，…・p −29・…e・a，…・p−2も（−1）’・bd・rai▽・ead・3・・：、・・ap， fr。m・whi・h， ty・・n七ra・t血9評七・七hi・， ve can。btain43
44
J．−B．JUN ． ▽・va2…・pニ（・−P＋2）F・2「▽・era，…・p＋F・、・（δθ）・，・…p −・呈夷「9ca、（δθ）・，∴・…p・ where wl∋ have put v＝Du． FUr七herlnore， 七his is rewri七七en qs ．（P’1）・・va2・・：・p＝（P“pt2）・・（・・）・2…・p＋Σ≒（−1）エF・、・（δθ）・2・・：、…p ．『 ＋・鍵⊇（一’）’9a、・（Φδθ）・2・・9、…p ．
by・in七9・・h・pging indices a2・a3・…・ap alterna七ively・M°「e°ve「・if we「 in七e「change i”dices c・a2・・∴・a]七eコmatively in七he ab°ve equati°n・七hen
七his is refor ned as ． （p−1）dv ＝ （n−p＋2）dΦθ．This equati°n七゜ge七he「with Lemma 2・1・and Le「nma 3・1 yields七haV 、「
（3．4） ’ dv ＝ （n−p＋2）11θ， because of p≧2・ ．Q…he・ther b・nd・ by …n・ve・tin・Fha1七・（1・・）…is』加see岨
． ・・va、…・P＝F・「・…、・’・．・p−・呈⇒（−1）ユgca、（D・）・、・・￡、…p ＋（2−m）▽・θ・2…・p−▽・（Φθ）・、…・p’ ． This can be wri七七en as − ’『 ’ 、 dv ＝ （2−m）dθ 一 （1｝−2）Fθ ‘ ・ by・in七・r・h・ngi・g・i・dices c・a2・…・ap a1七e「na七ively and using Lerrma．2・1 and Lemma 3．1． Thus， from 七he above equa七ion and （3．4）， i七 follows 七ha七 （￡−m）dθ ＝nre． ’ON PRCV圧iC7TIVE KILLING P−FORMS 45 This equa七ion 七〇ge七her wi仇 （3．3） means tha七 （3．5） （￡−m）（dθ） a1’”ap if・・tr・n・vect Fbal t・ ＝nF 「（dθ） ． 「a2’”ap al （3．5）， 七hen we ge七 （2”m）Fb「（dθ）ra、…・P＝n（dθ）ha、…・p・ This equa七i㎝七〇ge七her wi七h（3．5） Lemna 3．2 ho］−ds． and．by。i・七u・・。f。2≠（￡−m）2 i・plies七hat Le七M bO c・mpac七and・rien七able． making use of Theorem A and Le皿na 3．2． Then， we can conclude。ur The。re皿1by §4．Proof（）f Theorem 2． エnthis sec七ion， we assume tha七Mis the ndimensiona1 Rie皿a皿1an
manifold which is described in§2．1七is㎞own七ha七Mis localU isometric七〇
七he direc七 product of an 見一dimensional （￡≦n／2） Riemannian manifold and an （n一し）−dimensional one． No七e 七ha七 m＝n−∫↓． 工n［4］，S． Sa七〇studied whether a conformal K辺ing p−fom exis七s or no七 in a：Loea！ユy produc七Riemannian manifoユd M． She proved七he following： Theorem E． Le亡 M be an n−dimensionaユ compac亡 orien亡abヱe Riemannian m∂nifoヱd which is locaヱヱyρroduct of an ∫↓−dimensionaヱ （「兄≦n／2♪ Riemannian manifold and aη（n−2）−dimensionaヱone． Then M can no亡ad囮並aconformal Ki1ヱingρ一form sa亡isfying 3（ρ一1） ＜ 2∫↓which is no亡 Ki1ヱing・ As in Theorem 2， le七ube a pr’ojec七ive Killing p−form （p≧2） and θbe i七s associa七ed form． 西om Theorem D， we see 七ha七wis a conforlnaユKiコユing （p−1）−foエrn． By vir七ue of Theoreln E， w is Kiユling under七he condi七ion 3（p−2） 〈 2￡． Then， 七he e（lua七ion （1．． 1） for w is ． dw＝P▽w・ M）reover， Theorem D asser七s 七ha七w is cユosed． pr（）ves Theorem 2・ lhus w is paraユユeユ， whi（血46’ J．−B．JUN Remark． 工n ［2］， a p−form u is said 七〇 be ρrojectiVe Kiヱヱing of fi−rst （resp． second）kind if w in Theorem 2 does no七vanish （resp． vanishes） iden七ica］ユy． S㎝e resu1七s fbr such a p−fom U were respectiveユーy obtained血 Sasakian manifold ［2］． ［1］ ［2］ ［3］ ［4］ ［5］ ［6］ ［7］ ［8］ ［9］ ［10］ REE囲RENCES J．B． Jun．and S． Yamagu（hi‡．On proj ec七ive Killng p−forms in Riemanm tan mani folds， 七〇 appear in Tensor， N． S．． J．B． Jun and S． Ya田aguchi： On proj ee七ive Kiユユing P−forms in Sasakian manifolds， to apPear in Tens．or．s 亙・S・・ 、 ・ ． T． Kiishiwada ： On conformal KiUing tensor， Na七． Sci． Rep◆ Ochano血itU univ．， 19（1968）， 67−74． S． Sa七〇： On七he influence of a conformeユ Killing 七ensor on 七he reducibili『ヒァ of compac七Riemannian．spaces， Kodai Ma七h． Sem． Rep．，』 22（1970）．， 436−442． ・ 一 ＾． S・P；7識r差。8瓢’c tens°「鋤’七s gene「a’ttza七’°n・T°h°㎞．“Eath’ 1” S． Tachibana‡ So皿e theore皿s on loca1ユy produc七Riemannian spaces， Tdho㎞ Math．」．，12（1960），281−292． ＾ S． Tachibama‡ Qn conformal Killing 七ensor in a Riemannian space， TohokU Ma七h．・Jotm．， 21（1969）， 56−64． ’ S．Tachibana： On projec七ive Killing七ensor， M七． Sci． Rep． Ochanomizu univ．， 21（1970）， 67−80・ S． Yamaguchi： On some七ransforma七ions in locally pr◎duc七Riemannian spaces， Tensor， N．S．， vo1． 18（1967），227−238． K． Yano： Differen七iaユgeome七ry On complex and aユm6s七 complex spaces， Pergamσn Press， New York， （1965）・
