ARIEMANNIAN SUBMERSION W’ITH 2 DIMENSIONAI、 BASE SPACE
Kazuko IKUTA 〔Received October．21， 1982〕 §0． Introduction． A smooth ’mapping T from a Riemannian manifold M onto a Riemannian manifbld B is said to be a Riemannian submersion if it has maximal ran1くand preserves the lengths of horizontal tangent vector to M． In 1966， B．0， Ne i11 （［1】） intx℃duced a Riemannian submersion and in− vestigated its basic propert ies， ahd in 1960． C R． Hermann（［2］）showed that if the total space〃is connected and comPlete and the fibers are totally ’ geodesic， then 〔M，B，π〕 is a fiber bundle whose structure group is the Lie group of isometries of the fiber． Applying the above results in 1973， R． Escgbales 〔［3］，［4】，［5D classifed Riemannian submersions from spheres and complex proj ective spaces whos6 fibers are comected and totally geodes ic． Since a Riemannian submersion with totally geodesic fibers is a special one， in． thisl paper， we shall investigate a certain．Rie㎜迦submersion whose fibers are not totally geodes ic． In §1， we shall give some bas ic propert ies of a Riemannian sul）mers ion amd show s㎝e㎞own results s㎝e of which will be used in the r㎝aining portion of the paper． In §2， we shall study a Riemannian submers ion whose total space M has ． aconstant curvature and the normal connection on． the fiber induced fr㎝〃 is flat． In §3， we shall jnvest igate a Riemannian submersion from a space of constant curvature to a surface of constant curvature and show that the fibers of such Riemannian submers ion can not be a space of constant curvature． Throughout the paper， manifolds， vector fields and tensor fields are assumed to be C°°． ． ’ 、 ・ The author would l ike to thank Professor T． Otsuki for his constant encouragement and valuable suggestion． ． §1． Riemanllian sUbmers ion． L・t涯一♂＋㌔e・p．B・めb。㎝。・た〔resp．。）dime。，i㎝。・臣。＿i紐 manif61dξmd〔F〔M），M，9）（resp．〔F（8〕β，p）〕be the orthononnal frame bundle 89K．IKげ［A of M（resp・B〕．・ We shall make use of th6 fbllowing convention on the rahge of indices： 1≦ちゴ≦n，n＋1≦α，β≦n＋た，1≦α，ゐ≦n＋た， and use the Einstein convent i㎝． ・e・ωα皿dωα、（re・p・・、・・商）・・th・b・・i−・一・c・i・・f・rm・・f♂＋k （re・p． Bn）・n F（り〔resp． F（B〕），then the st・u・ture equ・ti・n・are a・f・11㎝・・ 〔1−1） ゐα＝Σoセ，∧｛『bα ， （1・2） ．鋤αゐ〒Σ ωαo∧ωoカ＋Ωαろ⊃ Ωαz，＝一；Σ 1？αz，odωo．Aω〈ヱ ， （1−3） dθz＝Σeiブ＾θゴゼ， 〔1・4） 〈ヨθ4ブ＝Σ eZk∧θ農7＋6zゴ ， ξ｛蛮ブ＝一；Σ 」…￡ゴた見eた＾θ兄 ・ F。r a・Ri。m。nni。n，ub鵬。，i。n。、♂＋⊆・B”，。。 d。n。t。 by〔N NF，M，q）・h。 f。11。w− ing sul）bundle of （F〔M〕，M，（7）： N F・｛〔x・・z・θα〕‘d〔〃〕1・・（・α〕・o・（・ω・π・（ei〕〕・F〔B）｝・ ぺ N N 皿・n・聡・孤induce a n・tu・al m・pPi・g・・F→F〔B）・u・h th・t・（…t・・α〕＝ N
盤霊㌶r㌶㌶1露；。in。・。，i。。 ／F讐
P 〔1・6） 碗α∼）＝Σ 苗αo∧dioヵ＋Stczb⊃ Ωαb＝一≒｝Σ Rαbαd dio＾a三d ， り where Rαh。4 is the「est「icti・n・f Rαb。d・n F・ 脆d・n・t・by脇”th・t・ng・nY・pace・f M・t x ・nd TM th・t・ng・nt b皿d1・・f M・ For any local cross−secpion φ of p， 1et 肇 be any local cross−section of ∂ which covers φ， then we have 〔碗一il★θi〕（li・X）＝dii〔転X〕−ei（φ燕X〕f・r X・ tl’xM・ Substit”ting X＝θゴ゜「X＝e。 dii−ff＊ei＝0 i皿to the above equati㎝， we obtain fbr any local cross−section 箏． ・ndi・〔『。，り N N Hence at any f of F， we haveARIEMANNIAN SUBMERSION
’ 碗一ff★θ・・° f・…宇一写〔fib6・・f a・・b・
Therefore from the continuity， it．holds that 〔1．7〕 ・ δ∼．一青★θ．＝O on 厄． ￠ t On the other hand， the system of Pfaff Jequations on矛： dii＝0 ト1・”・・n・ ・・ac・呼・。t・・。・。g励・。，，，t。唖。，e血，。gra・。ub。皿、f。・d、、 q−・（。一・（、）），。r カ of B． Hence it holds that ・ Σ diα＾diorZ＝o ’ ・mod 6∼工，・．●，din， f「°m（1・5）and the th・grem・f F・・b・n釦・・舳by・Vi・t…fth・C・・t…’・ 1e㎜a， we can put ・ 碗α＝Σ5zゴα㌧＋Σ㌧βαasβ・ hdlαβ＝％βα・ By the exterior differentiation of 〔1．7〕 and the above e（luation， we have Σ〔d6ic《一〒「★θゼニiブーΣSz，《αa三α〕＾δiE元＝o− Applying the Cartan，s le㎜a， we can put あ萄一行★θ㌘一Σ5㌘αdiα＝Σ□ぷ与・ 膓ゴk＝Ttkj’・ Therefore it holds that 3萄α＝−5元α・ 膓ぷ＝一「握た・ By the ab°ve a「騨ent・we°btam㌦＝0・ln suma「ry・we have （1・8） a∼zゴーff ＊θ ig’＝Σ5zゴα aiα， ε㍗ブα＝一σゴzα ， （1・9） 6izα＝Σぷiゴα 苗ゴ＋Σhiαβ δ三β3 hinβ＝hiβα ・ Gi・・n a Ri・−i・n・ub・…i。n。、f＋k− Bn， f。r、nyゐ。f B， th。 k 一工 dimensional submanifoldπ 〔b） is called a fiber， and a tangent vector of〃 is vertical or horizontal if it is tangent or orthogonal to a fiber with respect to the metric on〃． We shall denote by V the distribution of〃 composed of all the vertical tangent vectors and H the distribution of〃 composed of all the horizontal tangent vectors．1（．II（UTA ［［hen f「°m〔1・9）．・a1σng・fiber・一㌧。βi・the sec・nd㎞・㎞・nt・1 fbm of the fiber as k輌ensi㎝al sul）㎜ifbld of〃．with respect『to the nomal vect°「ei・Afibe「is said t・b・t・t・11y g・・d・・ic・ if hi。β疏i・h ide・tirally 飢dt・t・11y⑭ili・if仁（hi。β）i・e鴨殉ere p・・PO・ti・n・1 t・th・id・ntity matrix fbr ea（；h i． A vertical vector X＝ΣXCte is called an as》mptotic vecto「 ・f・f・ber p・…d・d 2・、。B子鵬・・f・r・・ach・・．αF・・m（・．・〕飢・〔・．・〕，聴・・v・ 碗α＝ Σ8zゴα diz＾苗ゴ＋ Σ （hi。β diz＋di。β〕＾diβ， ’ N hence， by the theorem of Frobenius， the system of Pfaff equations on F： 苗。＝o ・＝・＋1・…・・＋た・ h・・a・・1・ti・n if and・nly if 5⑳＝0・th・t i・th・h・「iz°ntal dist「ibuti°n ’s’n
ﾇe隠゜lly詩蕊。h。。se ac。。rd、 。n。、《。。d“。f
・u・hth・t｛π（の・〔bl・°°・・bn）｝i・a1・ca1…rdint・n・ig比・血・・d・f・（・・。）i・ φ四。＿＿。ke。・。ca・。。。rd・。tae（。，、，…，。。．、〕㎝・。・，h。，亮・。． L・tψb・a 10cak…ss−secti㎝・f∂・鴨・ぽd・upP・se that the fmcti°ns 5⑳ and hi。βv・ni・h id・ntically・・ぴ・n・・mce∬i・int・g「abl・・the ab°ve・・x，、 can be chosen such that （1．10〕 Hence， （1．11） diceδ三α＝ΣPαβ（Xl’°・・，Xn＋k）cl tβ・ th。 ki。m。nni。n。。t。i。 d。2。n♂＋k。。n b。 gi。。n by whe「e g。β＝ and 〔1．10）， dn the other hand， ds2＝ Σ≦7￠ゴ〔xl，・．．・，Xn〕《友Z〈ヱ苫ゴ＋ Σ9αβ（Xl，．◆・，Xn＋た）〈玩α〈友β， ΣpYαpYβ・Since％αand㌦βare identically ze「°・f「㎝〔1・9〕 we have ddi★diα＝ Σ箏★あαβ＾PβY・友Y・ from （1．10），we have ddi★δiα＝ Σdi）αβ＾deβ・ By means of E． Cartan，s lemma， from the above two equations， we can put dPαβ一Σ0★6∼αYPYβ＝ ΣQαBYciXY， Hence， it follows that 霊！一Σ」￥dil lS’9・p，，… QαβY＝ρB。Y・ARIEMANrglAN SUBMERSI㎝ thu・・f・・m th・d・finiti・n・f％β・鴨｝田・e 裏β・Σ畢・，，・Σ・ぷc ・Σ裂・〔P6。PYβ ’ Py。Pδβ）… Therefbre， we have PROPOSITI（別1．1． th・ t。t。Z。pac。 f＋k spaee♂． 1ア輪fibers ar，eカ0施ZZy geode8io and H is integrd，Ze． is ZocaZZy輪Rtemcznn伽pro‘imt Oアαア訪θr and砺bα8θ
Since鴫㎎y c°nsi由「おthe・ec・nd㎞㎞e・t・1 fbm㌦βi・a…ss−sec−
ti°n°f the vect°「bmd1・ぼ胴γ・鴨・四d th・int・grability t・…rS輌a
cross−section of the vector bundle H⑧冴oγover〃， their covariant derivative hi。β。飢d SZ」。。 a「e defined as fb11㎝・・ 〔1’12） ΣhiCtβadiα＝dhinβ＋ Σhkaβδiki＋ ΣhiYβdiYα＋ Σ）靴αY苗Yβ’ 〔1．13〕 Σ3ZJ（va6ia＝ζ15ゼゴα＋Σ5ヌヒ」ブαδikZ＋ΣSikCtdikゴ＋ΣSi］」βδiβCt・ By exteriorly differentiating〔1．8） and （1．9〕，we obtain へ k （1・14） ΩZJ一昔★ΩZゴ＝ Σ（S乞左α号兄α＋S￠ゴα5た鳥α〕dik＾苗兄＋ Σ（5ZJαk−5ン瓦βカZβα ＋sゼたβ乃」βα＋s￡ゴαs友βα）あk＾苗α＋ Σ（5zゴαβ＋SZkβ5kij’α ＋海ZYβ㌧Y。）diβ＾苗。・ へ（1・15） Ωゼα＝ Σ（5右《Ctk＋Skiβhinβ）dik＾苗ゴ ＋ΣhiαβYdiY＾δiβ ＋Σ〔S￠ゴαβ 一力￠αβ」 −Sik。s匂βづ。Y㌧Yβ）diβ＾苗」・ From （1．6） and （1．9），we can put diαβ一Σ苗αY＾苗Yβ＝一≒｛一ΣKαβabdiα＾あz， on 云・ Then if we put fiCtβ＝一 ÷ΣKCtβ．YεdiY＾diε on P・94 K．Ikt皿A ム is the fonns derived from the culvature foIms of theΩαβ sionπ． Hence， fr㎝〔1．6〕，we have fiber of the submer一 （1ユ6〕 らβ「6αβ＝ ΣhたαYhkβεdiY＾苗ε＋ Σ 〔Sikαぷゴたβ一 ÷」〈αβ云7〕dii＾∼5ゴ ＋Σ（SkiαhkβY−SkiBhkαY−xαβ￠Y〕苗z＾diY・ Fr㎝ 〔1．14），we have 〔1．17） へ
Rw一青★R㈱＝3 Ps鋤5碗・
、 and this shows that ／7 is integrαわZθ if and on Zy if the 6eotionaZ ourvatu㌘θ ・τf＋kf。一四・ぬ娠Z鞠・。t．pZan。 i．。q21al t。嚇力。f♂拘。 it． ρ幼・σ力伽力・♂（［1］〕．，、㎝；1灘f。三i蕊ζ覧。三、tl：二＝t：1：lrt：fblh惣1，1：me°
curvature tensor of the nomal connection vanishes identically． Then， from 〔1．9） and （1．14），we have 〔1．18） ♂1ゴαβ ＝5￡ゴαβ一Siゴβα〔Σ（sたiαSkij’β一5kzβ％佃〕 ・n4−1（・−1（b））． There fbre， if冴 is integraわZθ5 the ηoτ棚αZ conneσtion o了α 了乞Z）θ㌘ induc或f from 〃is 了Zαヵ． From （1．14〕 and （1．6〕， it holds that （1．19〕 KCtβiゴ＝Si三7αβ 一5￡ゴβα＋2Σ 〔5k毎5κ7β 一SkiBεkj’α）＋Σ 〔hiy，BhゴYα 一海ZYαカゴYβ）・ Comparing （1．18） and 〔1．19），we obtain 〔1．20） 穫ゴαβ＝καβ右《＋ Σ 〔花。％β一5螂％。）＋Σ（hiYβ元《Yα一んZYα方ゴYβ）・ Though the following two Propositions are partially shown by R． HeTmam 〔［2D，we give the proof in detai1． Ag・・d・，i・m〆i， ca11。d。h。ri・。n・al．9。。d。，i・if it， t。ng。n・ve・t。r 、 is always horizonta1． 卿mSIT・〔N・．2．（・〕49・。de。垣ぱ＋㌔苑。ε。鞠。。⇔。。鋤。鋤。 initiαZρo仇亡is horiaonta Z isαカ0㌘igon施Z geodeste．（b）効・P・・拠伽・f。h。？ig繭Z g。。吻碗。 f＋㌦。9④de。垣・Bη．
（・）卿励翻。Z Z碓。f。ge。4θ8碗。 Bn i。α9。。』垣。 f’k．
ARIEMANNIAN SUBMERSION
PROOF OF（・〕． let b・b・ ・g・・d・・i・i・〃＋㌦dカit。 arc・。。gth． th。n we have ． 鷲Ll｛一Σ㌧。，（∂〕・・、〔あ・・。，〔あ｝・，（あ・ ぺ where we choose a frame field along O and denote it by the same notat ion． る H・nce di。（C）can be c㎝・idered…1uti・n・f the sy・t・m・f th・h・mg・n・・u・ ordinary differential ecfuations of order l with． k unknown f㎞ctions as above． る ∩ei「eif it。h°1dS that di・（°〕＝°at the i”itial P・i”t・we have di。〔0）＝0・1・ng O・ PROOF OF（b〕． L・t∂b・ah。ri・㎝t・19・・d・、i。血f＋k。nd C。。m。。th ・u・v・i・♂・u・hth・t・・∂・0． F・㎝（1．8）飢d〔1．9），taking・・uit・b1・ frame field， we have エ 瑠L禦・2Σ・、ゴ。￠〕・ゴ〔句・。（あ・Σ㌦，〔∂）・，（さ〕・。（3）。 ゆ N where カ is an arc length of O． Since C is a horizontal geodesic， the right hand side of the above equation vanishes． Hence O is a gθodesic in♂． PROOF OF （c）． Let O be a geodesic in Bn and∂one of the horizontal lifts of C． Then， fr㎝（1．8〕｛md〔1．9），analogously as above， we have N N el・；；e；c）・響・Σ、h、。，（∂）・，（e）・・、〔あ・Σ・。，〔あ・，〔あ・・，・ ￡ 莇きlc〕・響L・Σ・、ゴ。（b）・ゴ〔あ・。〔あ一Σ・h、。，伽，〔〉）・。〔あ・・， where カ is an arc length． This completes the proof． Q．E．D． P即POS・TI（rv・1．3．方吻力。カ。Z。pa。。♂＋㌦。。』カ。．彬わ。。．．P。。．♂励砺醐・㌘・鋼・・ゆz・カ・．
PROOF． Let O be a geodesic segment in Bn and b its horizontal l ift in・f＋k． Then f。㎝〔・）。f P。。PO、iti。・1．2， b・i， ・g・。d・、i・in・f＋k 。nd。ince f＋ki， c，”，pl。t。， b。a。・b。 i。finit。ly eXt。nd。d． F㎜〔b）。f P。。p。。iti。。1．2， the projection of this extension is also a geodesic in Bn and it is an exten− si㎝・f O． Hence♂is c・rrPlete．K．1日皿A Ne・t・w・・de・・e by 4（怜・p．のth・di・t飢ce㎞・ti。・。n〃◆友（re。p．。 〃 F ． ． fiber） with respect to its Rie㎜ian metric． For any pointカofβ，1et
re，VJ，（慧漂蒜蒜。：・霊血S雲． By出。。…
…t・n・』・・f〃戒，｛㌔｝・㎝鴨・g・・t・a輌㌔in・“＋た．［1・en・w・・h・ve ’ b。・・（％）・・i・・（㌔）・ろ・H・ncex。 i・a輿血・・ffヤカ）・ 伽th・・th・r㎞d・“・飢・h…ea・ui励1・1・cql…「din・t・〔・、・…μ。．k） around xO such that ui＝ci（c㎝stant）・i＝1・°°’・η・gives a part of the fiber of ・・U・i・g・hi・…a・・…d皿・・， we・ee・ha・・㎞㌔・％加一1（b）・Iheref・re・rkb）i・c卿1・t・． q．E．D．
§2．Certain Riemannian submers ion． L。t・、♂＋k−♂be a随＿i孤、。bmer。i。。． F。㎝。㎝。。，鴫ass㎝。 th・t・・2， k・2孤d th・t・t・1。Pace〃÷瓦i・a、P。ce。f・㎝・t鋤t・。w。t。。e。． W。d㎝。t。 byぴ（。）。、pac。。f。㎝、t飢t。urvat。。e。．輪f。㎝〔1．14）， 〔1．15〕 and （1．16），we have the fbllowing eq皿tions 硫ich will be used in the rest of the paper． （2．1） （2．2） （2．3） （2．4） （2．5〕 （2．6〕 5云ゴαβ＝5￠ゴβα一Σ（ゐZYβんゴYα一hiYCthゴYβ）一Σ〔SkiαSkj・β一5kZβ5匂α）・ ・誠＝5w＋2 Y・ ・」kβ hi。β・ hi。βY＝hi。Yβ． hiαβj 38zゴαβ ＋Σ（SkiαSk《β一hiαy KαBiiタ＝Σ（Skin Sk《β一Skiβぷkゴα）・Substituting
（2・1） ｜illto ・膓。，・Σ（h、，α From （1．20） and （2．6）， 〔2．7） （1．18），we obtain h． −h iYβ ∂Yβ it holds that 4ゴ。β・・。β、」・ h． ）． JYCt ㌧Yβ）一・δzゴδ。β・ Fr㎝（2．5），〔2．6〕and（2．7），we obtain the following Proposit i㎝eas ily． PROPOSITI（別．2．1． Let。，f’k（。）一♂カ。。尻。＿i、加。加。。i。n． 効θη輪」5ZZα吻98α陀equivaZentカ0α1θ㎝0訪θr・ 〔。）励。。晒Z拠。。力伽。了。櫛。，i。dU。。dカ。耐＋麦（。）i。顕．ARIEMANNIAN SU螂ICN
（b〕K。βピo（・）τア’・・鋤・カ・Hi”（hi。β）・鋤・Zゐ輪力瑠ゴ＝悟・ ．
〔d）1ア『”θ』te SCt＝（S伽）二‥z4s微力
w・3β＝ぷβ5・・． Re。。rk． C。n，ideri。g。Ri。m、nn迦。⑰鵬・・i㎝・・ぴ（・）→f， f㎜〔2．6）， 〔2．7） and （2．1），we have the f6110wings． （i） 」：f the fiZbe？S are totaZZ！ダ ≦7θ0〈lesic， the η0τ初αZ eonnection ofα fiber is アZat． し ． （i〕・ft励・踊・Z・・・…ti・n・f・fib・r・i・ρ・ちit h・tds that Siゴ。β” Siゴβ。・ By the straightforward caluculation， we have the fOllowing Le㎜a． 皿鰍2．2． 五θカ∠1αnd B●θηoη一gero〕eeaZ sたθω一synenetコ㎡oη×ηlnat「iees ．吻微垣B・BA． th。。腕．力醐。鋤・θ碗・カ・宕・・∫bzあω吻・加・・吻θ・願Z N ハηatTix whioh カ㌘αη8」句捌S 4 into A3 where轡：：llll◎欝：；∴．
、・
掾k；Zl；；雪122ゴ〕一…・ρ・u・h・h・t
璃…一プ・ ・j−・…ち・9… ・戸・一・・
2・ wh・nλ乞＝一λゴ・bn．・。2ゴ．・＝一わ2ち2ゴ・b2i．・．2ゴ＝b2i，2ゴー・； ・れen λi≠±λゴ ， Bz」一〔8 ；〕 ・ 』 Fr㎝（1．17〕，we have the following Proposition． P即POSITION 2．3． L。t。、♂＋k（。）→♂（。）加α読一鋤・ub…s伽。屹。・Bn
k。）z・・了…st・tht・ur・・t・tre． lfα・ら砺・垣日i・t・g・mbZe・ PROPOSITI（Pt 2．4． L。t。，f＋k〔。〕→Bn（。〕わ。。鋤励伽・ubm…伽． ．sueh thatα≠。αnd協θhormaZ oonneetioη0アthe fiber induoed戸0ηf＋k is fZat． Thθn n isθvθn・ PROOF． From （1．17），we haveK．1】（σTA り 315⑭5・ゴ・＝α一゜ ．f°「皿y迦dゴ・t≠ゴ・°nF’ ・。・（s．．z∂Ct）are th・rea1・k・w−s卿・t・i・m・t・ices・aPd since a’c・ at leas： °ne ・f3。 i・n・n−ze・・m・t廊・lh・n・・m・y assume that Sn・・is n㎝ ｚ u°mat「u at a point i of i without loss of general ity and by replac ing 王by another ・n・・nth・fiber・f（fl， F（B），ff）th・・ughア， w・ ・aP’t・an・f・ym Sn．、麺t・the following matrix・． ．
⊆網一へλ・閤・a…孤・弓・・〔8
2ρ for λ≠μ， λ，v＝1，2，・・．，ρ． If 2ρ＜n， from the above equation， it follows that there is at least one of ・。．2・…・・。．k ・hi・h i・n・・−zer・mat・iX・t thi・p°int・Since・f「°m P「°p°s’一 ・i・n2…it h・・d・th・t S。5β＝5β5。・f・・m L・㎜・2・2・we have l5萄嚥＝° 翻≦’≦2ρ・2ρ＋1≦ゴ≦n・ 血ich contradicts to the previous equal ity． Hence n＝2P・ Q・E・D・ PROPOSITIO｝こ2．5． dnder the sαune oondition o了Propositi−on 2’43 7：f we NP・・ GCt−｛飴司ぷ。の・o｝・8θ。 z・』θ姫・ n（n−−1） PR・・F・Si・ce・。・fl−RT ar・c・n・i㎜・u・血・cti・ns， G。 a「e the°pen ・ubset・f互Since， f・r ・ny コ・f云，・here i・3。・u・h・h・t 5。⑦・°…have N uG＝F． α α N ・・r…fiX・dr。・f・fl…田・㎝・・i。」。・。げ。〕≠°皿dput Si。ゴ。β（f・）＝λβ・． th・n v−〔λ。．、・…・λ。．∂i・an・n−zer・ k di皿ensi°nal vect°「・ be・・ti・g・he right t・…1・・i・n c・r・e・p・・di・g B＝〔わ。β）・0㈹in the P輌・ip・1 fiber bund1・（fa， F〔B〕・ff）by RB・w・have S％ゴ00、〔1「Bfo〕；ΣわO・βλβ・ Since λ ≠0， we can choose B near the identity of O〔た〕 such that ・、。ゴ。。（RBfo）・・f・ra・・・・…cew・h・v・ R，f。眠・伽・＆・。・・d・n・e in矛’ Q．E．D． PROPOS ITION 2．6． deder がzθ same eondition o了Proposition 2・4・ For any n殉励・励・・d〃・ア卿ρ・仇力・・0・ff＋た〔・）・幼・r・is an・P・n・痂θ右％。fひ⊇鋤・・ean・h・・sθαZ・・αZ…8s−8e・鋤qs・f q・・θ・σ。・微
ARIEMANNIAN SUBMERSION
・・尻・子碗’ 刀C（6’cx））・毛（・）・。， an⑭・8・。鋤．卿・・f％，・． PROOF・F「°P〔・）・f P・・p・・iti・・？・・1・・U・f兎arC．．・掘・an・・鵬・y di・g輌1i・gd・t㊨．」。＝（・。・・」（x。）・∵…。．k．〔㌔））・f P・・ha・i・． サ ’hi。β（）b）・毛（％〕δ。β・ 、
First we consider the case that at least one of H． has distinct ’ t Neigenvalue・at㌔飢d聡・m・y…ume H、 is s・with・・tユ・…fg㎝・・ality・ F°「飢yn・ig吻rh・・d U df・。・1・tφb・1・ca1…ss−secti・n・P・ver・（の．砲i・h sati・fies．φ（・〔％））＝（・〔％）…ei（％〕・・‘・・π。・h（％〕）and・li。 b・a1㏄・1と・・ss二1 coinsides：with∬． ． 1． ． ． For aPy vertical ve（三tor fields LX＝Σ；rqeα‘ahd’Y＝ ΣyCXe（￡ on 〃， let ＜ ， ＞and〔，）be the fbllo輌g imer product： ” 1『
〈x，Y〉＝@Σ碧ヱα ダ （x，】つ＝Σ乃1αβ x”f・ te・…nd・y b・ve・・i・a・・ve・t・r fi・・d・…ぬi・h・a・i・fy〔・，・〕・も・X．・・飢d〔醐・
`・Y…f・・皿・ve・…a・ve・t・・fi・・d・，・h㎝i弍・ も・・e・h… ＜X，Y＞＝O and （x，y）＝0・ Taking accomt of definition， we have 』 ． （x・」つ一えくx・】r∼＝ Σ〔kiβY二たδβY）frY ・ −1：：：，1贈と霞゜t：ra；’㌶la遮゜1、：当㌫：1，、、y
孤d皿畑・1y d・t・nmingd． 9・r・pt it・dire・yig・・Taki・g th・・e X。．・li th・’・1・・6・t N ．θｿofτ：＝ψ（x） fOt any苫of〃・Hl ls diagonal izρd smqothly through O・ Then f「㎝〔・）・fP・・四・iti・n 2・1・鳩・飢珊・・thly“i・g・n・1i・ed司1・f Hi simultaneously on 〃throughΦ and by virtue of Proposition 2．5， such 〃canbe c加sen司〔の⊂8G。・，． −． ・ ．
Next lwe−consideT the case that， for eadh i， at least one of eigenvalues・f星・n・t・麺…t5・…駕b・the eig・nv…r・・f・、…h・h・t 』
丸．、㊥・…・ち．た（r） f・−y）・f・fa・・nd・・（」？）・b・th・・⑭…fdi・ti㏄・ ・ig・nva・ue・・f・、・・？・Smceもare c・n・m・・us，・㊦i・・㎝er・e血一 ・・nt血・・u・ at ？。．飢d h・nce th・r・i・． a n・ighb・由・両・f）。・・Ch・h…（r）・m〔㌔〕 f・t・ ・ny・？・f V・L・t・m、 b・thr㎜・㎞…ゆer・f m（r）・n ti and ）、 b・th・p・血t ・f∂…hth・t・（∼）・M、・th・n it・げ・b1・（r）・m、｝i・孤・p・n・ubset・f∂・K．IKt汀A T輌g㎝γ九・f tt ・nd P・t il（r、）＝・、…t・、・…・・。、 b・th・di・tin・・ eige卿alues°f聖atち・u山th・t n・（・・〕・’°’・n♂勾副・、・…・・。、 b・i・・ ㌔・ ・ mu〔1tiplicity at ・ Fo「any neighbOrhood”O of xユ in 4（鏡）・ 1et φbe a local cross「secti㎝ ゜fp°町π（％）such th・tφ（・（x、））＝（・〔x・）・…、＠、）・…・…。〔x、））皿d 6。 be a 1°cal c「°ss−secti…f4・ve・％砲id・wer・φ・lh・n・f・・any・x・f％・ we have 〔・、〔・〕一・）兄1…（・m、（・）一・）兄烏 1㌔，」…。，1・ Henceη1，・・●・nml are smooth fUnctions and ∼V兄‘（x〕＝｛xlΣ hlαβ（x）子＝ni（x）Xβ｝・ i＝1・…・m、・a「ea1・・・…th thm・thφ。・』t 6、 be a 1㏄・1…ss−secti・」n・f a°ve「％曲ich c・ve・・φ飢d fb・any・x・f％・ll、ω・（・・e、（・〕・…・・。．κω） is as飴11°噸9：θ…（x）・°”・θ。・・、〔・）d・、（・）；・。・昆、・、ω・…・・。．￡、．、、ω 』‘刀見2ω；’”；θ融一兄㌔÷1（x〕・”◆・θη＋kωぼ兄堺、ω・ Then H、 can be ・m°・thly・di・g・n・1i・ed ・n W。 th…gh・li、 and・inc・HユH2・H2H、・ through this di1 ’we have H ＝ 2 L21 五22 0 ． ● ．0 ・ L 兄坊 ゜n”Wo・ 曲e「e L2i・伺・…・㍗are th・￡i×兄パ㎜・t・i・mat・ice・・S’ince Hi d・・e n・t ch飢ge by the°「th°9°nal t「an・f・㎝・ti…f・。・ユgx）・’”・・。．2、〔・）f・r飢y…f ％・by the s輪盟y・the「e is飢・畑・Ubset U、 df V。・n曲i・h五兄、 c舳・ ・m・thly di・g皿・1i・ed・・nd・by・th・・㎝・r・a・㎝・there i・…P㎝・ubset％・f U、 °n・Which L￡、 c皿be sm・Othly di・g㎝・1i・ed・In thi・泌y・ぼ2・飢b・・m・thly
di・g。・ali・ed㎝諭・p・n・ub・et㌦、・f％・ ・
Si砲早3＝H3H2・日3・・i・・e・・1ved・・re fin・1y th飢∬2・・nd h旬ceエ・th・．一慨岬3c励e sm°°thly diag°nalied°n飢゜pen subset°f㌦、・．Hence㎝
acc°皿t°f㌘ゴ＝∬把Z・there i・an・Pe・・ubset％・f％0鴨・⑰i・h・e c釦
ch°°se a 1・cal cr・ss’secti㎝φ・f q・u・h th・t・th・・ugh li・・11・f告・孤b・ sm°°thly diag・nali・ed・㎞1t・n・・u・1y・By・i・t…fP・叩・siti・n 2・5・thi・％can be ch°sen such th・tφ（σ。〕・8G。・ Q・E・D・’
§3．RieTnannian sub．鵬rsion with 2：1dimens．ional base space． L・t・・ぴ（。）→B2〔。〕be a Ri。m。mi皿。Ub鵬。，i輌ith・k．2．・f。・e， fr㎝PropOsition 2．3，亙is integrable， hence we consider the caseσ≠o．ARIEMANNIAN SUBMERSION
Then fr◎m （1．17〕， we have（3・1） ・ 1（5⑳〕2・÷〔一・〕・燭・ ．
・血ce・。・（5．．τ♂α）一泣．・ke・・輌・・・・…ma…ces・鳩・飢・碇翻。〔．2；｝ 砲er・V、、 ・r・ ・…th㎞・ti。・…P・h㎝ce卿ti㎝．i3・1）tak・・t品・麺1・fbm
（3．2） Σ（μα）2＝÷（α＿o）： α Thi・・h㎝・th・t・t 1・おtα・e・fμ。 i・・㎝一・erσ・t each p・血t・f fa・（恒h・：le；瓢。＝h蹴。sgl・后矯願。p蕊’：㍍1。召。2㌫
on which we can dloose a local clross−section 60f 4 such that ． hi。β〔6ω）・亀ωδ。β飢d6（ze）・8∂。 f・−y・・f〃。・砲ere・。・｛矧・。（」）・・｝・ Through∼5， from （2．4），we． obtain（3・3〕 hi。βi＝μぷβ fb… β・
（3・4） hi。βゴ＝5⑳β f・rα・β飢di・あ
and fr㎝〔1．12），we have ■ の （3．5） ΣhiCtβαdiα＝（亀＿鬼〕δ∼αβ fbr α≠β on ”0° H・nce if ・S・％i・孤励i・ica・Pein・・f・h・f拓er・一’（・（x、））・w・・h・v・ ㌧。β。（li〔・、））＝Ofb「・≠β血i・h t・g・ther with（3・3）㎞Pli・・ ・。〔φ（xi））・β〔li〔・、）〕E・允rα・β・This c・n…di・1・…di（x、〕・a・。・th・t・』竺蕊）ells＝ll遮：。：蕊惣・1：；．H叢。t瓢、
a「ediag°nalized㎝”。 th・・ugh li・・qu・ti・・〔2・2〕㎞Plies・ ，
・、2。、〔li〔x））・一・・。（5（・〕〕もωf・・x・U。・ Diff6rentiat ing （3．1） and using the above eqUat ion， we have 晶ω｛・。（di（・））｝2・・釣…〃。・ By the same way， we obtain ■（…）1ち（・〕｛・。㈱）｝2・・f・・…。・
輪鴫d飢ea・ily・h・w・th・t th・f。nowing 2k ve・t。r fi。1d、 are a・卿t。ti。・ ， K．IKUTA ポ vector fields on％ and some たof them are linearly independent． ±μ3θ3±…±μ2．ke2．k・ 一 ． 、 7・
蒜濫｛㌔。lifx），IB；16．9；・∼（lll。㌔、；。：1。認，：e隠遮、le
血ず＋た（・）・・i・・h・諏垣・h・f・…w血9． 1・et｛P．be any local cross−section of∂ over 〃， and for any x of 〃， putψ〔x）＝〔x・εユ〔x〕・・°°・∂2＋k〔x））・ If we put θα＝ Σααβ診β and・ei＝ΣZ・Zゴεゴ on@［10 fヒ）r （ααβ〕∈0〔k）．and 〔々￡ゴ）ε0（2），we have l．iα〔正（x））＝Σlaβ 〔φ〔x））αβα fbr apy x of∼7（〕which shσws that Σμα（頑〔x〕）εα（x）＝Σμα （φ〔x））θα〔x’）．’Here ・ ・・U・ed・h・…m・y．・9・n・ider（わジi・p・・per・・…mm・ry…hと・・．田…0肥M3．1．．
ｳ。t．B・f’K（。〕→B2〔。）わ。。Ri。manni、m。uゐm。．。i。四鋤 a≠oαndた≧2・ 2ワzen we ハzαve カ12θ 」貨）ZZowin≦78．〔・）鋤WW晒・・…王・一％・王f＋た（・）． th・・…an・…subset
ひOof”on whieh we oan ohoose k ZinearZy independentαsymptotie vector fieZds and thecee exist no vanbiZioaZ points o了劫θfibers throughひ0・ （b〕M…t｛ゐ・B2（・）1・−1〔ゐ）鋤。t t。t。ZZ“鋤蹴。αZ｝τ。 an。P。。』。。。吻。t。餌2〔。）． ・
（・）tTV、er・ i。 an。，ympt。坑。。θ。カ。，醐4。ア抗。櫛。。。η〃2＋k（。）。h。se Z。鋤・ i・÷〔a−o）・ From now on， we suppose fUrthermore that the fibers of the Riemannian ・ub耐。i・nπ・評（。〕→B2（。）’are。f。。。，t。n・。urvat。re，。。d・f。r皿y p。i。tゐ ＿ユ （b〕． Then equat ion （1．16〕 takes theof B， 1et k〔●〕 be the curvatuτe o fπsi叩1e f・rm、 『
（3・7）@1㌦・㈱〕㌦（藪＠））＝k（・＠）〕一・f°「α≠β・
〔3・7つ Σ穐〔x）発＠〕・k（・〔・）〕一・f・r・・β・ fb・呼P・int°x・f％・By vi・tu・・f（b〕・f Th・・rem 3・1・・t lea・t㎝・・f ㌦・Σ彪i・n。・一・er・at・ach p・i…f〃。 and・h・nce t・k血9％・uffi・i・…y sma11・w・皿ay assu・ne th・tγ3 i・n・n−ze「・vect・「fi・1d㎝∂。 with・ut 1°ss°f generality． By means of the definitiOn of 6 in Propos ition 2．6， the horizontal bas is・・f…dby輌・・…噸・h・t・、＝−rl，li’i3i aP・・2 i−・・h・…㎝…vect・r
f…d・rth・g㎝・・t・・、・−Th・n，・h・・ugh・h・・い・h・・d・’・h・tち・・md 6・・ onひ ． ． ’ 0ARIEMANNIAN SUBMERS ION In the f°11・wiit・g・w・inv・・tig・t・・u・・ubmer・i・n・n，・U。 with’・5・［［［h・n from （3．7つ，we have
（3・8）・も＝
yf6壬β≧：4・．
Differentiating the above equatioh， β， Y distinct to each others． Hence equation 〔3．5〕 beco皿es ． （発一穐）diβ。㌔，。・吉。ββ ・・β・1㌦，渦・・r・・β・ ． 3・ ㎞・・ip・yin・・h・曲・ve e呼i・亘by亀皿d・−i・h re・p・ct t・ち…b・・血 （3・1°）÷（k一已）〔α一・〕〔、1子苗・α＝1㌧α』＋；㌧・・h・・ββ…膓・伽h…ゐ fbrα≠β by （3．7っ and 〔3．9）． 』 Letθβ〔μα）be the de「i・・tive・fφ㌔by・t・ng・nt vect・・fi・1d・β〔x）in σ・・砲e「eφω＝＠・e・〔勾・…・・2・た〔・〕）・lh・n diffe・㎝ti・t血9（3・9）by・β・ we obtain， fエて）m the left hand side， Hence equati°n〔3・5）坤1i・・th・t㌔β。＝OfO・．・≠β…3・β・3・and・thi・ t°gethe「with（2・3）・sh・w・th・t h、。βY＝°f・…β・Ydi・tin・t t・each・th・r・・ Thu・1・t㌔β（・〕b・the sec・nd fund・me・t・1 fbm・f・fiber with・espect t・a・・r…竺…Vect・r…eSee・h・t・…・・・・…〔k・・iい…・…
di・ti・・t t・each・thers・曲ere㌔β（・〕Y i・th・‘c・vari皿・deri…i…fh。β〔・）、 with「espect t°・Y・F・㎝（3・6）『・’a・id．〔3・7〕・f・r fi・・d・・…bt・in「@’
・・1〔 子or）29・・）2・（k−・）晶〔・・〕2・ then from （3．2），it holds that − （ コ R・9） Σ〔穐 t〕・・（著Uξ・（μ・）2・（e−k）iiil一σ）一（μ・）2｝． Tal・ingα＝3・we see that・−k≠0飢d henceΣ（矛α〕2≠Of・r a・・yα． This ㎞Pli・・th・d迦…i㎝・f・・pace・P・n・ed by ・3・…・長・t・a・h p・血・…f％ is 2飢d we卿ass㎝・th・t V4＝α・、ナゐ・2 fb…m・ real・㎞・ti・n・・and・b and everywhereカ≠Owithout loss of general ity． Then we ha⑰e『 ’ …β一早㌔・囲一；・・。，・ it h°lds that h、。βY＝Of・「α・K．IKσTA 21ゐ伽θβ（h． TCXOt）＝21カ㎞伍伽・’1ゐ・古（θβ）−2≧hi・α苗・α（θ・〕） ＝21㌧・・hin・xβ一2諮・・hk…d’ki・（e・） ＝21み拠h伽・・ and from the right h…md side 書⑭（・一・）（、i）・・β〔・・）・ ͡ using Proposition 2．6 and the fact k is constant on each fibers． Hence we obtain l・融・…÷（k−o）（・一・〕☆・・（・・〕；’ Therefbre equation （3．10） becomes as fbllows． 〔・…〕・，。・ e・Br・。）・。・〔、1鵠｛1㌧αα・ ・，・㌻αα㌧。、ゐ｝・
S血・e di。β㌔＝0・f・㎝〔3・11）・鵬・bt・m ．・
〔…2）（姦；：。）1・鋤h ・f・α〔・8）… ”
and （…3〕1｛（・・）㌔・〔・・）2乃幽・・ゴ・°・ Us ing〔3．3）and（3．4），equati㎝（3．13）can be e）Φressed as 〔1璃ぱ〕・〔1〕・欝二註：：）蕊le，鷲゜還r蕊鷲。19・va，襟：．
Accordingly， we obtail1 （…4）（・。）2ﾑ・一（・，）隔 ㊤・…3・
頭・』f・㎝（3．6）， 穂obtain −（k−2）（・3）2ﾑ・・，⊇麺・i・・．…
beca・se・，・・飢dち… ’
・・㎝〔…4）孤dち… w・・ha…H、・（・）皿d・hi・…g・th・・wi・h〔…〕・ARIEMANNIAN SU［BMERSION implies that h・・βα＝°f°「・≠β・H・nce by−・・f（3・3）・w・・h・v・P，、llβ・＝・ fO「°「xβ and thi・c・・t・adi・t・t・0（x〕・8a。・th・…h・v・p・・v・d・u・m・i・ theorem as follows． ［［HE・REM・3．2．鋤W・Z・−ian 。。bhe。。鋤。、f＋㌔）→B・（。）。鋤 α≠oCtndた≧2， it is impossibZe thαt eaeh fiz）θヱ。 is ofσonstant oureature．
