ON THE C-BOCHNER CURVATURE TENSOR

・

ON THE C−BOCHNER CURVATURE TENSOR

       BY

MAsATsuNE MATSUMOTO AND GoR6 CHUMAN

  introduetion． Recently in a Kahlerian spacC S． Tachibana［11］introduCed the Boclmer curvature tensor Kipprc which corresponds to the conforma1 cUrvature ten− sor m a Riemannian space， and proved   THEOREM A． lf a co〃iρac’頁励lerian space with vα加乃加9 Bochner curvature ten一 ぷ0ア可COπぷta〃t scalar C〃rva’鵬』ぷρ・甑ve吻拗εRicc」プ0現．1伽it is a complex ρ吻θcガツθspace with伽πα’〃ral〃letric．   Concemhlg the Bochner curvature tensor， one of the present authors［2］obtained   THEOREM B． ・ln a co〃rpact Ktihlerian space with．γαη」訪‘π9 Bochner c〃7旬ατ〃re ten一 ぷ0ち吻covarian’凌吻励εげ舵ぷealar curvature jぷa CO〃’脚鋤砺α〃alytic vector・   The s㏄ond Betti numbers of compact Sasakian spaces were studied by many au− thors． R㏄ehtly S． Tanno［13］’showed   THEOREM C．」lf a cαη餌c’＆zぷakian space M（π≧5）satisfies oπθげ・the／bllo｝ving coη謝’oηぷご ・）K、．・＋KA・・〉−3（c≡；μ）（espec・・lly Z・（Kx・＋K…）〉一・），

・）ぬμ一・・』《1砂吻・・ぴ勧・〉、（㌃㍉・

〃ien theハ2 ∫ぷ ηo ha〃non匡c 2r／brm げthe pure り「pe．   In this paper， after pre血血aries in§1， in§2 we shaU de丘ne the GBoc㎞er cur− vature tensor Babcd in a Sasakian噛space and consider sol皿e properties of the tensor Bab．d and obtai l an analogy of Theorem B．・h1§3 we shall discuss on the harmonic 2−forms in a compact Sasakian space with vanishing GBochner curvature tensor． §4is devoted to the main th㏄）rem which is an analogy of Theolem A・   The authors are very grate旬to Pro￡T． Adati and Mr． S． Yamaguchi for their valuable suggestions．   1． Preliminaries． Let M be an normal◎ontact metric space）［7］． satisfying

（L1）｛雛ξ三、㌶16’

n←2m十1≧5）d㎞ensional Sasakian space（or

Then there exists a unit Ki皿ing vector fieldξe   φ。b＝＝一φ5。，φ。カξ』0，φ∼η。＝0， 7。φヵ戸ηb9の一η、9。b，    ［21］

22

_{M．MATSUMOTO AND G． CH口MAN}

where 7。 denotes the covariant derivative with resp㏄t to the Riemannian conn㏄一 tion． Asφa「R，b＝一φ〆R．。 holds， if we put S。b＝φ。’R。b， then the fbUowhlg equations hold good． （1．2） where we used R。‘ξ゜一 ・・…lf・・m・一

噤x・∧dx

  （1．3）  7。Rbc−7ヵR。．   AC−harmonic 2−fbrm〃［3］is de血ed by

1−fb㎝uis called GK皿ng［4］

EspeciaUy if a C−Ki皿hlg 1一負）rm u satis丘es〆司（η）u＝const．， K且1ing． A contravariant C−analytic 1−fbrm s・b−一…，・bS・・一?ﾓ…．R＋（R−n十1）・。， Vdぷ。ゐ一η。Rr（n−1）9。dηb＋φ。’7dR。カ，     ’ φ♂J7・S・b−−OP。Sbc＋（〃−1）φ。cOPb＋￠。「φ。sク。R。カ， 一（n−1）ηa．Hereafter we w亘te Ta instead ofξσ． As the diifer−       bis closed［6］， it fbllows that    ＝一φ6夕7アSab十（n−1）（iPacηb一φbcTa十2φabOPc）−2SabOPc．       du＝O andδu＝e（？）∠u−（φabu。ヵ）η． A       if it is coclosed and leaves invariant gab−OPa27b．        it is．called sp㏄ial C−       〃［5］is defined by     7・Ub一φ。「φbsvシu。＋uア（φ．。ηδ＋φ．5η。）． For a harrnonic p−form u， the刷o∼励g theorems are weU㎞own．   THEOREM 1・1［8］・ Forα勿〃nonicクプb〃ηu，．ρ≦≦m， o〃acompact＆zぷakian sρace we加γθ       ．       OP”u・・2…・♪−0，φ”bu・b・、…ap−0．       コ   THEoREM L2［15］・・ln a compact R元θ〃απ〃‘〃2 space， thereαZぷ’∫〃o加朋oη元cρ一 ル〃nu吻c乃ぷatisfieぷFp（の≧O unle∬we have 7u−0励ψθπFe（〃）−0， where （1・・） 乃ω一R・bU−・一’・・ub・，…・，＋丁（・一帆・，・u・……醜、．。、． Especially if a Sasakian space admits a harm．onicクーform u satisfying 7u＝0， then we have u＝O by vh加e of the Ricci identity and Theorem 1．1． Hence in a com− pact Sasakian space there is no ha頂onicρ一fbrm u which satis丘es Fp（u）≧0．   A1）−homothetic defc）rmation［12］，［13］g→＊g is defined by       ＊9。F㎎励＋α（α一1）η。η6， f（）rapositive constantα， where 1）denotes the distribution orthogonal to a contact formη． （1．5） From＊8・ab we have ＊9”b一α一lgab一α一2（α一1）ησプ，  ＊Rab・d＝Rab・d十（α一1）（φa。iPbd一φb。φad十295abφ。d）十（α一1）2（27bδad−OPaδbd）η．         十（α一1）｛ησ（9b，opd−OPcδbば）一η6（9acopd一ηcδσり十η乙（tgbδ．d一ησδ㊨り｝，  ＊Rab＝．Rab−2（α一1）g藺十（α一1）｛（n−1）α十n十1｝ησηヵ，   R一α一IR一α 1（a−1）（n−1）．     ．        then （＊φ，＊ξ，＊η，＊9） If（φ，ξ，．η，9）are the structure tensors． of a Sasakian space， aTe also the stmcture tensors of a Sasakian space， where we put   （1・6）     ＊φ一φ， ＊ξ一α一1ξ， ＊η一αη， ＊9一α9＋α（α一1）η⑧η fbr a positive constantα［13］． In this case we say thatハ奴φ，ξ，η，8）is 1）−homo− thetic to」va（＊φ，・＊ξ，＊η，＊9）．      −

ON THE C・BOCHNER CURVATUR［E TENSOR

23 Concerning D−homothetic deformation S． Ta皿o prove i   THEoREM 1・3［13コ． 1アujぷaha〃ηo〃化P−for〃2 with」respee”o g on aω〃rpact ぷα磁翅wce， then it is alSO harmonic with respect to＊9．   By a 1）−homothetic deformation， we have for a harmonic p−form u   （1・7）＊乃ω一α一⑭［Fp（り一（α一1）｛2ua・“’α・〃・、…・r（P−1）φ∼φ，ば・・…’”・・…。3…。、｝コ．   An orthonoma1丘ame（ξ， el， eλ・一φελ）， whereλ一1，…， m， is ca皿ed aφ一basis［9］， ［13エ For aφ一basis non−vanishing components of g、め，φ助are g、Fδ、b，φλλ＊−φxλ＊＝1， φλ＊x＝φλ＊λ＝−1． Let 1【（三Y， Y）be the s㏄tional curvature f（）r the 2−plane detennined by X and Y， and we put」（oa＝K（ξ， ea），、K』a＊＝K（ξ，θλ＊），・Kaμ＝K（eλ，eμ）＝Rλμμλ（λキμ）， Kia ＝ KA＊A＊＝0， etc．；then we have Koa＝Kox＊＝1， Kx＊μ＊＝K2μ，」陥μ＊＝Kz＊μand        Rλλ＝Rλ㍉・−1＋Σμ（私μ＋Kaμ・）． Now ass㎜e that H and、L de血ed by        五一sup｛K（X，φX）；X∈1）。， x∈M｝，        L＝桓f｛K（X，φX）；X∈1）＝，x∈ルf｝ ・泊・t・nd丑＋・〉・・…n’

E・i・k…・h・・μ・・麺・y弓‡i・・an血va・・…

of the D−homothety class of M． And in this case it is called that M is pt−holomor− phically p桓ched［13］． Let＊．Kα， r）be the s㏄tional curvature by 1）−homothetic defbrmation， Which is detem血led by orthonormal v㏄tors．M，γ∈1）＝with respect to g． Then the fb皿owing relations are known：        ＊Ka・一α一iKx・，＊瓦。・一α一1｛Kx。・＋3（1一α）δa。｝， 丘om which，        Σμ（＊私μ＋＊・私μう＋3＝α一1｛Σμ（、Kaμ＋Kaμ・）＋3｝． On the other hand        Σμ（＊私μ＋＊K元μ・）≧（〃−1）（2μ一1）−1 holds good［13］． Therefbre we obtam   （1・8）      α｛1｛Σμ（私μ＋私μ・）＋3｝≧（π一1）（2μ一1）＋2．   2． The C・Bochner cur▼ature tensor． In an n−dimensional Sasakian space M we sha皿de丘ne the C−Bochner curvature tensor Bab。d by       Ba・’・−R・…＋“i、（R・・δ・・−R・・δ・・＋・轟・一翫R糾・。。φ・・一・・、φ。・＋φ。，・、・        一φb‘Sad十2ぷabφed十2φ姑ぷ｝d−RacOPあηば十1∼bcOPaηd−TaηeRbd十〇PbOPcRad）        」篇1（φ・・φ・・一繊＋・φ・φ・・）一㍍i（9・，・・d−・b，・。d）       〃       ’        ＋。＋3（9・・η・ηば＋η・η・δ・ば一9綱ば一η・η・δ・り・

w…e・」浩1・nd・R…h・・ca・a…・…e， w垣・h・iS・・n・・ru・・ed fr・m・h・

Bochner curvature tensor in a Kahlerian space by the丘be血g of Boothby−Wang・ ［1］，［3］．

、

24         M。MATSUMOTO AND G． CHUMAN

  If M（φ，ξ，η，8）is D−homothetic toハ4（＊φ，＊ξ，＊η，＊9）， then making use of（1・5） and（1．6）we have        ＊φ妨一αφ。あ，        ＊R∼＝α一1Rab−2α一1（α一1）δab十（〃十1）α一1（α一1）η却5，        ＊ぷαあ＝ぶab−2（a−1）diab，        ＊Sab＝・α一1Sab−2α一1（α一1）diab，        ＊k＝α一1〃． By virtue of（L5），（1．6）alld the above equations we can see        ＊β。o。6＝β。5，4， where＊B。b，6 is C一正bchher curvature tensor with respect to（＊φ，＊ξ，＊η，＊9）． Thus

we have

  THEOREM 2．1． The（］−Bochner curりature・tenぷor Babcばwith respect to（φ，ξ，η，9） coine匡des W励the Oηθwith respect to（＊φ，＊ξ，＊η，＊9）・       ．   COROLLARY 2．2． ∠4、Sasakian space with va〃ishing C」Boch〃er curvature’θηぷor is 1）一乃0〃iothetic’0αSasakian space with vanishing C−Boehner curvature tenぷor・   By straight fbrwaπI computations the fbIlowhlg identities are obtained．

（・・1）｛萱：1：ご完誰蕊㌫ξ㌶1で＋㌫三。．

  Now we shall introduce a tensorσあcばin M de丘ned by         こlabcd＝Rabcd−（ρ十1×9bcδαd−9a￠δbd） ．       一ρ（9acηbηd十〇Paηcδbd−9bcOPaopd−Tb？．δσば十φbcφaば一φacφbd−2φabφcd），

w…eρ＋1−

g奎1・・hi・・㎝・・…an、an・1・gy 6・・h…n…U・…［11コin・

Kahlerian space which corresponds to the concircular curvature tensor・If M（φ，ξ， η，9）is D・homothetic to M（＊φ，＊ξ，＊η，＊8）， then we can see＊［」・b・d− U・b・d・ Thus

we have

  THEOREM 2．3． The tb〃sor Uabcd・with」respectτo（φ，ξ，η，9）coincides with the o〃θ with respect to（＊φ，＊ξ，＊η，＊9）．

・f・h・Rjcc…n・…a・i・・e・・R。、−ag。b輌・， w…e・一“奎「1and・一奎1＋〃・

then M is called C」Ei皿stei l． By d丘㏄t calculations we can obtahl   THEoREM 2．4． The Gβoc加θr curvature彪〃ぷor eoincideぷ｝vith Uab』ばザa〃d o〃砂ヴ ハf匡ぷaCLEinstein space．   ASasakian space M is ca且ed locally C−Fubinian［14］if its U。bcd vanishes idel1− ticany． It is weU known that a loca11y C−Fubinian space is C−Einstein． As a coro1− lary of Theor㎝2．4， we have ． CoRoLLARY 2．5． The C−Bochner curvat〃re tenぷorげalocally C−Fubinian space ツanisheS ide〃tically．

ON THE C−BOCHNER CURVATURE TENSOR

25

In the next place if we calculate 7dBabed， then it follows that （2．2） where we use（1．1）and（1．2）． dices乃， f to b， ing equation to（2．2）， we五nd        7・3・・’ば＋φ・γφσ57・βアsc4−（7。Rbc−7bRac）一φ。アφ。・（7．R，σ一7，R．，）        ＋（n−1）（η。φb，一ηbφ。，）一η。s、。＋OPbS。，        ＋、（ 1n十3）（・・…一鋤・∀・R・ On ther other hand by virtue of（1．1）and（2．1）， the following equation holds good：       φ〆φ∼クdBr、，ば＝−7dβ。bcば． Thus we obta五1       ，        7・R・E一ク・R・．一φ。アφ・S（7rRsc−7、Rre）一η。Sb。＋η。∫。，        ＋、（ 1n十3）（・・…一副・閲（・」1X・・φ…・・φ。。）一・． Contracting the last equation with Ta， Opagbc respectively， we get after some calculations：       η77．R−0，η”7。Rbc＝0． Hence it fb皿ows that （23）一φ♂φ・S（7・R・c−7・R・・）一一（7・R后7・R。，）＋η。S、。・一・OPbぷ。。一（〃−1）（η。φbc一η、φ。。）．． Substituting（2．3）hlto（2．2）， we have     （〃十3）7dBabc∂＝（n十1）（7aRbc−7bRac）一（n十1）OPaSbc十（n−1）ηbSac十2（n十1）ηcSab       一ト（n−1）｛（n十1）ηaφbc−（η一1）ηめφα．−2（n十1）ηcφα∂｝       †、（n−11n十i）｛（・…・…）・・R−（͡・・）・・R       十（φacφb「一φbcφa「十2φabφcつ7夕R｝十2φ．sφ♂7sR，b． Changhlg the index a to c and subtracting the resulting equation from the last equar tion， we find （〃十3）7ばBαヵc∂＝（n十2）（」7α」Rbc−7bRα。）一φ！φbS（7γR．￠−7sRγε）        十2φ∼φa’7sRrb十ηγ（OPa7rRt，−OPb7rRac）        一（n十2）ηaSbe十nOPbSac十2（n十1）η￠Sab        ＋“÷1（・… 翻・▽．R      ．＋，（n−11n十1）｛（…一…c）・・R−（・……c）・・R        ＋（φ。cφb「一φ・。φ♂＋2φ。bφ。つ7．・R｝        十（n十1）｛（π十2）ηaφbc−nOPbφa．−2（π十1）ητφσヵ｝，       Transv㏄t欽1g（2．2）withφhdφ∼and changmg the m−   arespectively in the equation thus obtained and adding the result−・ 一（・＋・）・・β・・・」（〃−1）［（・・R…・・R・の＋・。｛・・、一（〃−1）φ・，｝ 十ηc｛S。b−（n−1）φαめ｝十2ηb｛51α￠一（π一1）φα￠｝ ＋、（ 1

誌¥1）｛』…）・・一偽・…）・・

＋φ・・φ・＋φ・’φ・＋・φ・・φ・つ・・R］，

26      M．MATSUMOTO AND G． CHUMAN

where we used（2．1）． If we change the indices c， a， b to a， b， c respectively and I）ut    Babc＝Va1∼bc−7あRac−02a｛Sbc−（n−1）φ5c｝十17b｛Sac−（n−1）diac［｝十2ηご｛Sab−（n−1）φab｝

        ＋縞（9ac−…c）・・一（・…・b・c）…＋醐一φ謝・φ瑚・・R・

then it fbllows that        n−1        7dB。b、d一        β藺，．        n十3     1n the rest of the present s㏄tion， we assume that M is a Sasakian space．with ’vanishing C−Bochner curvature tensor． Then making use of、B。b戸O and（1．3）， we can s㏄     φ。「17，S。b−OPbSac−OP。Sあ。       ＋耐（・…・…）…一（…一・・o・c）…＋φ・・φ・一φ・・φ・・＋・φ・・φ・γ｝・・R・ Transv㏄ting the last equation withφde and usingη「7．ぶ。ヵ＝0， we find （…） 7・S・・−O・・R・d−・・…＋耐鋤一￠・d・・r＋・il・・δd・        ＋（9bd−17bηd）φ。㌔（9。4−OP。OPd）φb’｝17。R． Applying the Ricci identity to（2．4）and contract血g the resulting equation with gda， we have ，     −Rc・S，b−R、db。Sd「−S。b＋（n−1−1∼）φ，b       ＋論「｛（n−・）・…R−…eR−（一・）φ〃…R＋φ・・・…R｝・ ・Changing the index c to b and addi皿g the resultklg equation to the last equation，

we get

       −Rc・s，b−Rb’Sr，−R，鋤sばアーRbd、rSd’        一、…毒31）（O・・7・R＋・b7・R−il・’・・7・R−￠・’・・7・R）・ ＜）nthe other hand the following equations hold good：       R。・ぷ．カ＋Rb’Src＝0， R。db，Sd「＋Rbdc．ぷd’−O． Thus丘nally we obtain the fbllowing fbrm：   （2．5）       φb「クc7rR十φcア7ヵ7rR＝ηcクbR十？7b7c1∼，   （〃≧二5）． 1f we put ub一φb’17．R， then（2．5）reduces to        J7bu，十7ζ〃あ＝2u「（φ，b17c十φアcTb）， 『from which，δu＝O and￡（gbc一ηbηc）＝O where￡denotes the Lie derivative with       ＃      u エesp㏄t to ua． Hence ub＝φb’7．R is special C−Kil㎞g． Thus we have   THEOREM 2．6． Inα＆zsakian sρaee（n≧5）with vanishing C−Bochner eUiツature ten− sor，φ。’7。R is special c−Killing．   Transvecting（2．5）withφac， we find        7。VbR一φ．・qsbsl7。7、R＋（7’R）（φ。a？7b＋φ。5η。）， mamely，7、R is C−analytic． Thus we have

ON THE C・BOCHNER CURLVATUR］E TENSOR

27

  T耳EOREM 2．7． In a＆1ぷakian space（n≧5）w励vanishing CLBochner c〃7旬ature彪〃− oち7。・Rjぷσα刀吻ガc．   3．Harmonic 2・fbrms． Let u be a hamonic 2−f（）㎝on a compact Sasakian space・ ハ4（π≧5）．Then u is decompOsed as u＝ul十u2， where u1 and u2 is a harmonic 2一負）rm． of the hybrid type and the pure type respectively［9］． With respect to a hamlonkン 2−fbml of the pure type， Theorem C is wdl known．   Assume that u be a harmonic 2−fbml of the hybrid type o皿Mwith vanish量ng C−Bochner curvature tensor． Then we have B．b，duabucd ・＝ O． Taking account of The− orem 1．1 and       φ。「φb’u。、−u。b，φ。，φbduabucd．＝u。bU”b，       s。。φヵばUtあucd−R。あu”’ubr， we obtah1       TR−u・・…一“辛、｛一・R…aru・・＋（・k＋・一・）u・・U・b｝・ Thus（1．4）reduces to       F・（・）一。』、｛（・−1）R・・…〃㌧＋（・k＋・一・）〃・・…｝・   On the other hand， there is aφ一basis fbr which only Roo＝〃−1， RAλ＝Rλ＊λ＊may be non−vanishing components of the Ricci tensor． We denote by（u，のthe local hmer product：        （・・り→，͡・・・…p・ Ifθis the smallest eigenvalue of the Ricci tensor， then       R。bua’ubr一Σλ，μRax｛（UAPt）2＋（UAμう2＋（uλ・μ）2＋（UA・μ・）2｝≧2θ（u，め， ’     ・R−n−1＋2ΣaRaa≧n−1＋2〃1θ＝（n−1Xθ＋1），       2（n−1）θ十〃2−9       2克十n−5≧        n十1 hold good． Thus we have        瓦ω≧2㌫P（・＋…≡1）（・，・）・ 、 By vi1加e of（i．7）we can see        ・昆ω≧21（Ilffn．i）α一・（・＋・一…圭｝・）（u・め・   LEMMA 3．1． Lθ’θ加the sma〃6st eigenvalue of the Ricci tensor．ザacompact Saぷakian space・M（n≧5） with vanishing （7−Bochner curγa’ure tenぷo’ ぷatisfies θ〉−2夕 then there is〃o harmonic 2−fo〃η of the hγbrid力，pe．   PRooF． Ifθ〉−2 holds， then there is a positive numberεsuch thatθ＝−2十ε．一 ・・w・・can…k・・ap・…iv・n迦』・α…h・・α＜…三｝・，・・d w・h・v・・F・（・）≧・・ Thus there is no harmonic 2−fotm of the hybrid type．

    ・    ：       Q・ED・

，

28

_{M．MATSUMOTO AND G． CHUMAN}

  LEMMA 3．2． ノt compactぷ’asakian sρaceハイ（n≧5）｝v励 vanishing C−Bochner cur− vature励ぷoちwhichぷatisj7eぷ        K・・＋Ka・・〉−3（2一δλμn−2）（esp・・i・lly 2。（Ka・＋K、・・）〉一・）， has no harmonic 2∂form｛ゾ〃2e hγbrid type．   PRooF． At first we haveΣμ（KAμ十Kiμ＊）〉−3． From the equation． Rλλ＝1十 Σμ（Kaμ＋Kλμう， we get R。。， Rλλ一Rλ・λ・〉−2． By virtue of Lemma 3．1， there is no llarmonic 2−fb皿of the hybrid type．        Q．E．D．   LEMMA 3．3． lf a co〃rρact＆zぷakian space M（n≧5）with vanishing Gβoc輪r cur−

…㈱・i・ ・・−h・1・m？・p…ally pin・・…励・〉，鵠）・the〃th・肥加・』・・

2｝ゾ6〃ηof the hγbcidり，pe．

・・…」f・・a…esμ〉、岸；）・・h・n・口11・w・th・・（・−1X・μ一1）＋・〉・・

According to（L8）， we obtainΣμ（、鴎μ＋KAμ・）〉−3． By virtue of LEMMA 3．2， there is no harmonic 2−form of the hybrid type．        Q．ED．   On the other hand， let u be a harmonic 2−fbrm of the pure type on a compact Sasakian space M（n≧5）with vanishing C−Bochner curvature tensor． Then we have 、R〃＝1＋Σμ（、Kaμ＋、私μ・）≧θ． Ifθ〉−2 holds， then it fbllows thatΣμ（1陥μ＋．私μ・）〉−3． From Theorem C there is no harmonic 2−form of the pure type． Taking account of Theorem C， Lemma 3．1， Lernrna 3．2， Lernma 3．3 and the above 血ct， we find   THEOREM 3．4． 」Let M（n≧5）加aco〃Tpact Saぷakia〃spaee withγα〃励加g C−Bochne芦 微螂re te〃皿・． Th・n th・se・・nd・B・tti〃〃励・r b、（M）・anishe・， if M・α励θ・・η・㎡ the／b〃o吻9 conditionぷ．・    i） θ〉−2，where θ de〃oteぷtheぷ〃la〃eぷ’eigenvalue ｛ゾthe R‘cc’τθ〃ぷor．

；織蕊嵩）蕊㍑鱗㌘一3）・

4．Ma麺theorem． At丘rst we shaU introduce the f（）Howing Theorem［3］，［10］．  THEOREM． 」rn a〃〃（＝2m十1）直〃lenぷional＆isakian spaee， wθhaye         ・・一・・−1…一・・・…≧1・（k−1・…・團）・         ・一・・一・≧・…一・・＋・・一・＋…＋・・一…（・∠・4m・・一［多］）・ w乃θ’εc♪＝dimσ（M），α（M）is the vec’or sρaceげC−』〃nonic」ρづfo〃ηぷ．   Let M be a compact． Sasakian space with vanishing C−Bochner curvature tensor． If M satisfies one of the fb且owing conditions：

ON THE C−BOCHNER． CURVATURE．

sENSOR

29 ●    i） θ〉−2，whereθdenotes the smallest eigenvalue of the Ricci tensor． li）K・・＋Ka・・〉−3（2一δ）．μ氏￨2）・（・・pec・all・Σ・（碑5・？〉一・）・ ma）Mi・μ一h・1・m°「頭cally pinched withμ＞2（“−r）一・ then b2（M）＝O by virtue of Theorem 3．4． Hence we have c2＝b2十bo＝1． The struc− ture tensorφ、あis a C−harmonic 2−fbrm． If the scalar curvature R is constant， then atensof Sab is a C−harmonic 2−fb㎝， b㏄ause S。b is dosed and       （δぷ）a＝−L7’Sra＝（R−n十1）ηα＝95bcSb，ηα＝（θ（η）ノIS）a， where we used（1．2）． Theref（）re there exists a scalar functionσsuch that Sbc＝oqsbc． Transvecting the last equation withφ、c， we丘nd       R       R。b＝σ9。b＋（n−1一σ）OP。OPb，σ一       一1ニconst．        n−1 Thus M is a GEinstein space． Tak加g a㏄ount of Theorem 2．4，丘nally we obtain        ●   THEoREM 4．1． lf a co〃rpact Saぷakian spac■M（n≧5）with vanishing C・Boch〃er cur− vature tensor q〆COηぷ’α〃’ぷCα1αr curvatureぷα珂》θぷ0πεof the∫following conditions・：    i） θ〉−2，whereθ denotes theぷ〃iallest eigenyalue of the Ricci tenぷor．

霊㌫蕊蕊慧慧〉−3）・

then M is loc助・C一施6Z〃ian．

REFERENCES

［1］ 12］ W．M． Boothby and H． C． Wang：On contact manifolds， Ann． of Math．，68（1958），   721−734． M．Matsumoto：On Kahlerian spaces with parallel or vanishing B㏄hner curvature   tensor， Tensor， N． S．，20（1969），25−28． ［3］Y．Ogawa：On C−harmonlc forms in a compact Sasakian space， T6hoku Math． Journ．， 19（1967），267−296． ［4］Y．Ogawa：On GKilling f（）rms in a compact Sasakian space， T△hoku Math． Journ．， 19（1967），467−484． ［5］ Y．Ogawa：On contravariant C−analytic 1−forms i皿a compact Sasakian space， T△hoku        Math． Journ．，20（1968），333−345． ［6］M．Okumura：Some remarks on space with a certain contact structure， T△hoku Math．        Journ．， 14（1962）， 135−145． ［7］．S． Sasaki：Almost contact manifblds I， Lecture note， T△hoku Univ．，（1965）． ［8］S．Tachibana：On harmonic tensors in compact Sasakian spaces， Tδhoku Math．        Journ．，17 （1965），271−284． ［9］ S．Tachibana and Y． Ogawa：On the second Betti number of a compact Sasakian        space， Nat． Sci． Rep． Ochanomizu Univ．，17（1966），27−32．． ［10］ S．Tachibana：On a decomposition of C−harmonic fbrms in a compact Sasakian space，        T6hoku Math． Journ．，19（1967），198−212． 111］S．Tachibana：On the Bochner curvature tenson， Nat． Sci． Rep． Ochanomizu Univ．，        18（1967）， 15−19．     ・ ［12］ S．Tanno：Partially conformal transfOrmations with’resp㏄t to（m−1）−dimensional

30 ［13］ ［14］ ［15］        M．MATSUMOTO AND G． CHUMAN  distributions of m−dimensio耳al Riemamian manifolds， T△hoku Math． Jou叫，17  （1965），358−409． S．Tamo：The topOloeV、of contact Rieman血n manifol（IS，1血ois Journ． Math．，12  （1968），7α｝」717． Y．Tashiro and S． Tachiba且a：On F㎞b皿an and C−Fubinian manifolds， K6dai Math．  Sem． Rep．，15（1963），176−183． K．Yano and S． B㏄㎞er：Curvature and Betti numb号rs， Am． of Math． Studies，32．  Pr血lceton（1953）．        SAGAMI INSTm理OF在CIボOLOGY       AND        NIPPON INSTITUTE OF TECHNOLOGY ■ ● 、