整数 の乗法、除法及 び小数倍 の意味指導 に関す る研究

整数 の乗法、除法及 び小数倍 の意味指導 に関す る研究

―小数 の乗法 や除法 の意味 を考 え説明す る算数的活動 の実現―

A  Study  on  the Instruction  of the General  Idea of the Measurement  and  the Ratio :For Mathematical  Activity in Multiplication  and  Division of decimal  fractions

松 丸 剛

Tsuyoshi  MATSUMARU

は じ め に

小 数 の 除法 の意 味 の理 解 に 関 す る調 査 は、 長 年 に わ た って東 京 都(註1)で も全 国(註2)で も実 施 さ れ、 い ず れ も正 答 率 は60%に 達 して い な い。 指 導 に大 きな 問題 が あ る と言 わ ざ るを得 な い。 この よ うな 中、 中央 教 育 審 議 会 答 申(2008)で 算 数 的活 動 の充 実 が指 摘 さ れ、 新 しい学 習 指 導 要 領 で は指 導 内容 と して位 置 づ け られ た。

本 稿 は、 小 数 の乗 法 、 除法 の意 味 を考 え、 説 明 す る算 数 的活 動 は どの よ うに行 わ れ る こ とが望 ま しい か を 明 らか に し、 そ の活 動 を支 え る素 地 的 な学 習 内容 は何 か、 そ れ を実 感 を伴 って理 解 出 来 るよ うに す るに は ど う した らよ い か と言 う観 点 で研 究 した もの で あ る。

Ⅰ 小 数 の 乗 法 ・除 法 の 意 味 を 考 え 、 説 明 す る 活 動 1.小 数 の 除法 の意 味

小 数 で割 る除法 の意 味 の導 入 は、4社 の教 科 書 が リボ ン、1社 が ひ も、1社 が ジ ュー ス とい う 身 近 な もの の単 価 を求 め る場 面 を用 い て い る。 しか し、 リボ ンな どの量 と値 段 は比 例 の 関係 に あ

る とは 限 らな い。 理 想 化 して考 え て も、 実 際 に確 か め る こ と もで きな い。

整 数 の 四則 計 算 を約 束 す る場 面 で は、 数 量 の 関係 が 明 瞭 で あ り、 実 際 に確 か め られ る場 面 を用 い て きた 。 「子 ど もが 実 感 を伴 って理 解 し、 説 明 出来 るよ う にす る」 と い う観 点 か ら、 小 数 の場 合 で も実 際 に数 量 の 関係 を確 か め られ る場 面 に す べ きで あ る。

具 体 的 に は針 金 や ひ も、 毛 糸 な どの 長 さ と重 さの 場 面 が 考 え られ る。 これ な ら、0.1ま で 表 示 で き るデ ジ タル秤 を用 い る こ とで実 際 に確 か め られ る。 一 般 に売 られ て い る もの で教 材 と して用 い るの に、 ほぼ満 足 で き る数 値 が得 られ るア ル ミの針 金 や毛 糸 もあ る。 これ らの素 材 を使 って、

どの よ うな算 数 的活 動 が期 待 で き るか、 ① 課 題 を発 見 し、 解 決 の見 通 しを立 て る段 階 か ら④ 振 り 返 り発 展 さ せ る段 階 ま で以 下 具 体 的 に述 べ よ う。

① 課 題 を 発 見 し、 解 決 の 見 通 し を 立 て る

「2.5mで12gの ア ル ミの 針 金 が あ り ま す 。 こ の 針 金1mの 重 さ は何gで し ょ う か 。」

子 ど も が こ の よ う な 問 題 に 出 会 っ た と き、 次 の よ う に 課 題 を 考 え る こ と が 期 待 で き る。

「2mで12gな ら 、12gを2等 分 し て1mの 重 さ が 求 め ら れ る 。 し か し、2.5等 分 と い う の は 考 え ら れ な い 。 長 さ が 小 数 で 表 さ れ て い る 場 合 も1mの 重 さ を 求 め る と き は 、 わ り算 で い い

の か 。 ど の よ う に 考 え れ ば12÷2.5の 式 で よ い と 説 明 で き る だ ろ う か 。」

数 量 の 関 係 を 図 や 表 に か き表 す 活 動 は 、 問 題 や 課 題 を 解 決 し た り、 考 え 方 や 解 決 の 仕 方 を 説 明 し た り す る の に 有 効 な 手 段 で あ る。 こ の 活 動 を 繰 り返 し経 験 さ せ た い 。

本 問 題 の 場 合 、 次 の よ う な 図 や 表 な ど を か く こ と が 考 え ら れ る。

図1の 右 の よ う に し て 、 長 さ を1mの い くつ 分 と と ら え る と 「2mで12gの と き、2mを2等 分 す れ ば1mに で き る。 重 さ も2等 分 す れ ば 、1mの 重 さ が 求 め ら れ る 」 と 判 断 で き る。 しか し、

2.5mの と き は 、2.5等 分 と 考 え る こ と が で き な い 。

図2〜 図4は 、2.5mを1mの2.5倍 の 長 さ と 見 て 「2.5mを1mに す る に は2.5で 割 れ ば よ い 」 と い う既 習 事 項 を 活 用 し て 、2.5mの 重 さ も2.5で 割 れ ば よ い と 判 断 して い る 。

問 題 を 解 決 す る の に ど の よ う な 図 を か く こ と が よ い か 、 あ る い は 、 説 明 す る に は ど の 図 が よ い か 、 こ れ につ い て は 、 子 ど も そ れ ぞ れ の 思 い を 大 切 に し た い 。 話 し合 い の 場 で そ れ ぞ れ の よ さ を 認 め 合 う こ と が 意 味 の 理 解 を 深 め て い く こ と に な る か ら で あ る。

言 葉 に よ る説 明 は 。 次 の よ う に な る。

「2.5mは 、1mの2.5倍 。1mに す る に は,2.5で 割 れ ば 良 い 。2.5mの 重 さ も1mの 重 さ の2.5倍 だ か ら、12gを2.5 で 割 れ ば1mの 重 さ を 求 め る こ と が で き る 。」

除法 を乗 法 の逆 演 算 と と らえ て い る と、 次 の よ うな説 明 が で き る。

「1mの 重 さ を□gと す る と 、2.5mで は 、1mの2.5倍 の 重 さ に な る 。 だ か ら 、□ ×2.5＝12と な る 。□ は 、12÷2.5で 求 め ら れ る 。」

ど ち ら の 説 明 も 、 「2.5mは 、1mの2.5倍 だ か ら2.5mの 重 さ は 、1mの 重 さ の2.5倍 で あ る 」 と

い う理 解 を も と に し て い る。

し か し、 小 数 の 乗 法 や 除 法 の 導 入 場 面 で 、 こ の よ う に 、 「小 数 で 表 さ れ て い る 長 さ が 単 位 とす る長 さ の 小 数 倍 に な っ て い る」 と い う考 え 方 を 用 い て い る教 科 書 は 、1社 も な い 。

小 山 、 松 丸 、 内 藤(2006)は 、 「1.5mは1mの1.5倍 と い う見 方 を 用 い て 」 と い う 副 題 の あ る 研 究 報 告 を し て い る。 こ の よ う な 数 量 の 見 方 が で き る よ う に す る研 究 事 例 は 少 な い 。

② 解 決 の 見 通 し に 従 っ て 実 際 に 調 べ 、 確 か め る

「2.5mは 、1mの2.5倍 。1mに す る に は 、2.5で 割 れ ば 良 い 。2.5mの 重 さ も1mの 重 さ の2.5 倍 だ か ら、12gを2.5で 割 れ ば1mの 重 さ を 求 め る こ と が で き る 」

こ の よ う な 見 通 し に よ っ て 、12÷2.5と い う 式 が 立 て られ た な ら、 「小 数 の わ り算 は ど の よ う に 考 え れ ば 答 え が 求 め ら れ る か 」 と い う新 た な 課 題 に 立 ち 向 か う。

計 算 の 仕 方 を 考 え る に は 、 数 の 意 味 や 計 算 の 意 味 、 そ し て 、 計 算 に 関 し て 成 り立つ 性 質 な ど を 活 用 し、12÷2.5=4.8と な る こ と を 見 い だ して い く。

次 に 、 実 際 に1mの 重 さ が4.8gか ど う か デ ジ タ ル 秤 を 用 い て 確 か め る活 動 を 行 う。 こ う し て 、 実 際 の 数 量 の 関 係 が 明 ら か に な り、 除 法 を 用 い て 表 現 して 良 い と判 断 し、 説 明 で き る よ う に な る 。

な お 、 針 金 の 長 さ と重 さ の 関 係 につ い て 理 解 す る こ と は 、 小 数 倍 の 意 味 を 理 解 す る活 動 以 来 繰 り返 し行 う必 要 が あ る。

③ 話 し合 い 、 ま と め る

算 数 的 活 動 は 、 自分 で 考 え 方 や 解 決 方 法 を 見 い だ せ れ ば よ い の で は な い 。 そ れ ぞ れ の 着 想 、 解 決 の ア イ デ ア や 説 明 の 仕 方 の 良 い

点 につ い て学 び合 う こ とが 「学 ぶ力 の育 成 」 とい う観 点 か ら も重 要 で あ る。 話 し合 い の方 法 や 内 容 につ い て は割 愛 す るが、 ま とめ は、 課 題 に立 ち返 り、 次 の よ うに な る。

○

2.5mを1mの2.5倍 と 考 え 、 重 さ も1mの2.5倍 に な っ て い る と 考 え れ ば よ い 。 そ う す れ ば 、 2.5mの 重 さ を2.5で わ っ て1mの 重 さ を 求 め ら れ る こ と が 分 か る 。

○ 数 直 線 、 線 分 図 、 対 応 表 な ど で数 の と らえ方 を表 す と考 え方 を説 明 しやす くな る。

④ 振 り返 り、 発 展 さ せ る

算 数 的活 動 で は、1つ の 問題 を解 決 した後 、 新 た な 問題 や課 題 を発 見 し、 発 展 的 に考 え る能 力 を身 につ け られ るよ うに す る こ とが重 要 で あ る。

新 し く見 い だ した小 数 の 除法 に つ い て、 次 の よ うに働 きか け、 振 り返 る活 動 を させ た い。

「2.5mで12gの と き は 、12gを2.5で わ れ ば よ い こ と が 説 明 で き ま し た 。 こ の 数 直 線(図6) に 、 こ の ほ か の 長 さ の 場 合 も書 い て 、 同 じ よ

う に 説 明 で き る で し ょ う か 。」 ―図6―

こ う す る こ と で 、1.5の よ う な1よ り 大 き い 数 は も ち ろ ん 、0.5の よ う な1よ り 小 さ い 数 で 表 さ れ た 長 さ の 場 合 も1mの0.5倍 と 見 る こ と で 説 明 で き る こ と を 見 い だ して い く。

以 上 、 小 数 の 除 法 の 意 味 につ い て 考 え 説 明 す る算 数 的 活 動 で は 、 ① か ら④ の4段 階 の 活 動 が 重

要 で あ る ことを 示 した。 結 果 、 この よ うな活 動 の実 現 に は、次 の よ うな内 容 につ い て理 解 した り、

経 験 した り して い る こ とが必 要 な条 件 で あ る こ とは 明 らか で あ る。

○ 「2.5mは 、1mの2.5倍 の長 さ で あ る」 と い うよ うな数 量 の見 方 が で き る

○ 「2mの ひ もを4等 分 した と き、1本 の ひ もの長 さ は何mに な る か」 とい う よ うな場 合 だ け で な く、 「4mで2gの 毛 糸 、1mで は何gか 」 と い う よ うな異 種 の2量 の 割 合 が 一 定 の 場 合 も除法 が用 い られ る こ とを理 解 して い る

○ 針 金 の よ うに 「長 さ が2.5倍 に な った と き、 重 さ も2.5倍 に な る」 とい う よ う な小 数 の乗 法 が用 い られ る数 量 の 関係 が あ る こ とを知 り、 乗 法 の意 味 を整 数 の場 合 か ら小 数 を含 め た場 合 へ とそ の意 味 を拡 張 した経 験 が あ る

○ 数 直線 、 線 分 図、 対 応 表 の よ うな2量 の 関係 を表 現 す る手 段 を知 り、 活 用 で き る

○ 除法 に 関 して成 り立つ 性 質 や 除法 の意 味、 数 の意 味 を根 拠 に して計 算 の仕 方 を考 え る こ と が で き る

2.小 数 の 乗 法 の 意 味

小 数 の 除 法 の 章 で も述 べ た が 、 小 数 の 乗 法 の 場 合 も そ の 意 味 を 考 え 、 説 明 す る活 動 で は 、 実 測 を 通 し て 実 感 的 に 理 解 出 来 る よ う に す る こ と が 重 要 で あ る。

① 課 題 を 発 見 し、 解 決 の 見 通 し を 立 て る 次 の よ う な 問 題 場 面 の あ る こ と を 知 る。

「1mで3gの 針 金 が あ り ま す 。 こ の 針 金2.5mで は 何gで し ょ うか 。」

こ の 問 題 を も と に 、 次 の よ う な 課 題 を 発 見 す る。

「2mな ら1mが2つ 分 な の で 、3×2=6と か け 算 で 重 さ を 求 め る こ と が で き る 。2.5mで は 、2つ と 半 分 な の で 、3×2.5と 立 式 して も い い の だ ろ う か 。 ど の よ う に 考 え れ ば 、3×

2.5と 長 さ が 小 数 の 場 合 も か け 算 で 表 して よ い と 説 明 で き る だ ろ う か 」

問 題 を 理 解 し た り、 解 決 の 見 通 し を 立 て た り す る の に 、 次 の よ う な 数 直 線 や 線 分 図 、 対 応 表 な ど を 用 い て 、 数 量 の 関 係 を 明 ら か に す る。

図10は 、 長 さ が3mの 場 合 に は 、3gが3つ 分 あ る こ と を 表 し、 こ の 考 え で は3×2+3÷2 と い う考 え は で き る が 小 数 の 乗 法 を 説 明 す る の は 難 し い 。

図7の 数 直 線 で 、 数 直 線 の 意 味 が 理 解 出 来 て い れ ば 、2.5mが 、2mや3mの 場 合 と 同 じ、1 mの 何 倍 か と い う数 量 の 関 係 を 読 み 取 り、 「長 さ が1mの2.5倍 だ か ら重 さ も2.5倍 に な る。」 と い う説 明 が で き る よ う に な る。

線 分 図 で 倍 の 考 え を 用 い て 表 現 す る と 図11の よ う に な る 。 こ の よ う な 図 か ら も 「2.5mの と き は 、1mの 長 さ の2.5倍 だ か ら 重 さ も1mの2.5倍 に な る か ら 、3

×2.5の 式 で 表 せ る 」 と 説 明 で き る 。

② 調 べ 、 確 か め る

2.5mの 重 さ が1mの 重 さ の2.5倍 に な っ て い る か ど う か 、 実 際 に 秤 を 使 っ て 調 べ る。

③ 話 し合 い 、 ま と め る

―図11―

ど の よ う に 考 え て 、 ど の よ う に 説 明 す る か は 、 一 人 一 人 異 な る。 そ れ ぞ れ の 考 え を 発 表 し、 考 え 方 の よ さ や 説 明 の 良 さ を 共 有 で き る よ う に す る。 数 直 線 と線 分 図 、 対 応 表 な ど を 比 べ な が ら、

そ れ ぞ れ の 良 さ につ い て 話 し合 う。

ま と め は 、 次 の3点 に な る。

○

2.5mを1mの2.5倍 と 見 れ ば よ い 。 長 さ が1mの2.5倍 に な る か ら重 さ も2.5倍 に な る の で 、 3×2.5=7.5の 式 が 成 り 立 っ 。

○ 長 さ が小 数 で表 さ れ た と き、1mの 長 さ の小 数 倍 と見 る こ とで、 か け算 を用 い て表 す こ と が で き る。

○ 数 直線 、 線 分 図、 対 応 表 な どを使 って、 何 倍 か が分 か るよ うに表 す と考 え方 が見つ け られ る。

④ 振 り返 り、 発 展 さ せ る

純 小 数 倍 とな る場 合 につ い て は、 特 に留 意 して指 導 す る必 要 が あ る。 問題 作 りな どで1よ り小 さ い場 合 を見 い だ し、 次 の よ うな課 題 を解 決 で き るよ うに した い。

「長 さが 小 数 で表 さ れ て い る と き、1mの 長 さ の小 数 倍 と考 えれ ば よ い こ とが 分 か った。 小 数 に は 、1よ り小 さ い場 合 も あ る 。0.5mの よ う な場 合 も 同 じよ うに 小 数 倍 と考 え て か け算 で 表 して い い の だ ろ うか。」

小 数 の乗 法 の意 味 を考 え説 明 す る活 動 も除法 の場 合 と同様 、 小 数 で表 さ れ た量 を単 位 の量 の小 数 倍 と見 る こ とや針 金 の長 さ と重 さ の よ うな異 種 の2量 の比 例 関係 につ い て の理 解 が そ の活 動 の 実 現 に重 要 な 関 わ りが あ る こ とは、 明 らか で あ る。

小 数 の乗 法 の意 味指 導 を小 数 倍 の考 え や数 直線 な どの 図 を用 い て指 導 す る こ とに 関 す る研 究 は 松 丸 ほか5名(1980)中 村(2000)田 端(2001)な どが あ る。1.5mを1mの1.5倍 と見 る見 方 を 指 導 す る こ とで、 小 数 の乗 除 の意 味 の理 解 が で き るよ うに な る とい う主 張 は小 山 ほ か(2006)の 研 究 報 告 が あ る。 な お、 小 数 倍 の考 え を紹 介 して い る教 科 書 は1社 で あ り、 他 の5社 は、 そ の よ

うな記 述 が な い。

次 に、 これ ま で述 べ て きた活 動 を支 え る素 地 的 な 内容 につ い て どの よ うに指 導 す るの が よ い か そ の要 点 を述 べ る。

Ⅱ 小 数 の 乗 法 ・除 法 の 意 味 を 考 え 、 説 明 す る 活 動 を 支 え る 内 容 1.整 数 の乗 法 の意 味(何 倍 か に 当 た る大 き さを求 め る)

乗 法 の 意 味 は、 初 め に(1つ 分 の大 き さ)×(い くつ 分)=(全 体 の大 きさ)と な る場 面 で約 束 す る。 次 に何 倍 か に 当 た る大 きさ を求 め る場 合 に もか け算 が用 い られ る こ とを指 導 す るの で あ

るが、 次 のA,B2つ の 問題 につ い て そ の意 味 を考 え て み よ う。

A長 さ5cmの ブ ロ ッ ク を 図12の よ う に3

つ

ぴ っ た り付 け て 並 べ ま し た 。 端 か ら端 ま で 何cmに な り ま す か 。 B赤 い テ ー プ の 長 さ は 黄 色 い テ ー プ の 長

さ3つ 分 で し た 。

黄 色 い テ ー プ の 長 さ が5cmの と き、 赤 い テ ー プ の 長 さ は 何cmで す か 。 Aの 問 題 は 、5cmの も の を3つ 並 べ た 場 面 で 「ミカ ン が1袋 に5つ ずつ 入 っ て い ま す 。 3袋 で は い くつ に な り ま す か 。」 と い う全 体 の 大 き さ を 求 め る 問 題 と変 わ り が な い 。

―図13―

Bの 問 題 は 、 「黄 色 い テ ー プ の 長 さ を 任 意 単 位 と し て 赤 い テ ー プ の 長 さ を 測 っ た 数 と 黄 色 い テ ー プ の 長 さ が 何cmか 分 か れ ば 、 赤 い テ ー プ の 長 さ も何cmか 分 か る」 と い う問 題 場 面 で あ る。 これ は 、 Aの 問 題 や み か ん の 問 題 と は 全 く異 な る 問 題 場 面 で あ る。

Aの 問 題 もBの 問 題 も 「5cmの3倍 の 長 さ を 求 め る 」 と い う点 で は 同 じ で あ る 。 日 常 生 活 で

「倍 」 は 、2倍 、 英 語 で もdoubleと 表 現 さ れ る 。Aの 問 題 は 、 こ の 考 え 方 に よ る。

こ の よ う な 考 え 方 で 「倍 」 を 指 導 す る と、 「何 倍 か す る こ と は 大 き く な る こ と で あ る 」 と い う メ ッ セ ー ジ を 強 く与 え て し ま う恐 れ が あ る。 現 実 に そ う な っ て い る よ う に 思 わ れ る。

こ れ に 対 して 、 「倍 」 を 基 準 と す る 量 を1と 見 た と き 、 比 較 す る 量 が ど れ だ け に な る か と い う

「同 種 の 量 の 割 合 」 「測 定 値 」 で と ら え る考 え 方 が あ る。Bの 問 題 は 、 こ の 考 え 方 に よ る。 こ の 考 え 方 は 、 比 較 す る こ と が 基 本 的 な 考 え 方 で あ る か ら、 倍 の 場 合 も1よ り小 さ い 端 が 出 る場 合 が あ る と い う こ と を 潜 在 的 に 許 容 し て い る。

Bの 問 題 で は 、 次 の よ う に 考 え 、 説 明 す る活 動 が で き る。

「赤 い テ ー プ の 長 さ は5cmの3つ 分 な の で 、5×3=15と か け 算 で 答 え が 求 め ら れ ま す 。」

「長 さ 比 べ を し て 、 も と に す る長 さ と そ れ が い くつ 分 あ る か が 分 か れ ば 、(も と に す る 長 さ)×

(い くつ 分)で(比 べ た も の の 長 さ)が 分 か り ま す 。」

子 ど も が こ の よ う な 説 明 を した 後 、 「5cmの3つ 分 の 大 き さ を5cmの3倍 と い い ま す 」 と い う

よ う に倍 を 約 束 す る の で あ る。 この よ うに比 較 す る場 面 で 「倍 」 を約 束 す る こ とで 、 「倍 」 を小 数 倍 を も受 容 で き る感 覚 で理 解 出来 るよ うに しな け れ ば な らな い。

しか し、6社 す べ て の教 科書 がAの 問 題 と同様 の 問題 場 面 を 用 い て い る。 乗 法 の 指導 の前 にテ ー プ の長 さを 比 べ る場 面 を用 い て 、2つ 分 の こ とを 「2ば い と い い ま す。」 とい うよ う に 「ば い」

を知 らせ て い る教 科 書 が あ る。 しか し、 か け算 を用 い る場 面 の指 導 は、Aと 同様 の 問題 場 面 な の で あ る。

「倍 」 を指 導 した後 、 消 し ゴム い くつ分 とい うよ うに、 任 意 単 位 で長 さ を調 べ た こ とを振 り返 らせ た い。 そ して、 手 元 に物 差 しが な い と き、 身 近 に あ る物 を使 って、 その 長 さの何 倍 か を調 べ 、 後 で使 った物 の長 さ を何cmか 調 べ れ ば良 い こ とに気 づ か せ て い くの で あ る。 こ う して、 任 意 単 位

で測 るよ さ や倍 の よ さ を感 じ取 れ るよ うに す るの で あ る。 端 が 出 た経 験 も思 い起 こさ れ るか も し れ な い が、 小 数 倍 を学 習 す る際 の素 地 的 な経 験 と もな る。

2.小 数 の意 味 と整 数 の 除法 の意 味

小 数 の 意 味 は、 「1に 満 た な い端 の 大 き さ を表 現 す るに は ど う した らい い か」 と い う問 題 意 識 と 日常 の生 活 の 中 で見 た り聞 い た り して い る小 数 は 「どの よ うな数 な の だ ろ うか」 とい う知 的好 奇 心 を生 か して指 導 す る。 これ ま で の指 導 で は、 加 減 の意 味 や計 算 方 法 、 乗 除 の計 算 方 法 を考 え るの に必 要 な十 進 位 取 り記 数 法 の理 解 に 関 わ る内容 につ い て は、 十 分 行 わ れ て い る。 しか し、1 の大 きさ を10等 分 す る活 動 や整 数 で割 って商 が小 数 とな る場 合 の計 算 の意 味 を考 え、 説 明 す る活 動 は十 分 指 導 さ れ て い な い。

(1)小 数 の意 味(0.1の 大 き さ をつ くる活 動) 1の 大 き さ を10等 分 す る活 動 を 重 視 し た い 。 例 え ば 、1の 大 き さ を5cmや

4cmに して 、0.1の 目 盛 り のつ い た 数 直 線 を か く活 動 が 出 来 る よ う に す る。

こ の 活 動 で は 、1の 大 き さ を も と に し た と き 、0.1の 大 き さ を 何cmに す れ ば い い か を 考 え る。

こ の よ う な 活 動 を す る こ と で 「5cmを1と 見 る と0.1は0.5cm、4cmを1と 見 る と0.1は0.4cm」

と い う割 合 の 見 方 を 自然 に 経 験 す る こ と が で き る の で あ る。

数 直 線 に0.1の 目 盛 り を 付 け る 活 動 を 採 り 入 れ て い る教 科 書 は1社 で あ る 。 し か し 、 物 差 し で は な く方 眼 を 使 っ て い る た め 、 「4cmを10等 分 す る 」 と い う よ う な 意 識 を 育 て る よ う に は な っ て い な い 。

(2)整 数 ÷ 整 数=小 数 と な る 計 算(1つ 分 の 大 き さ が 小 数 と な る 場 合 を 考 え 、 説 明 す る) 整 数 ÷ 整 数=小 数 と な る場 合 に つ い て 、 初 め に 次 の よ う な 問 題 と課 題 に よ っ て 、 そ の 意 味 を 考 え 説 明 す る活 動 が で き る よ う に し た い 。

問 題 「10cmの テ ー プ を4等 分 し た1つ 分 の 長 さ は、 ど の よ う な 計 算 で 求 め る こ と が で き る で し ょ う か 」

課 題 「これ ま で10個 の あ め を4人 で 同 じ数 ず つ分 け る と き、10÷4=2あ ま り2と 計 算 した。

10cmの リボ ンは、 あ ま りを 出 さず に4等 分 で き る。 ど の よ う に考 え れ ば、10cmを4等 分 した答 え を求 め る と き も10÷4の わ り算 で よ い と説 明 出来 る か。」

除法 の意 味 を整 数 の等 分 除 で考 え た 「同 じ大 きさ の もの が い くつ あ るか を求 め る こ と」 と と ら え て い る と、 上 記 の よ うな疑 問 が生 じ る。 この疑 問 を大 切 に し、 課 題 をつ く る こ とで子 ど もの感 覚 を大 切 に した指 導 が で き る。

離 散 量 の 問 題 場 面 か ら連 続 量 の 問 題 場 面 へ と解 決 しよ うと す る場 面 が 広 が っ た こ とで、 「等 分 して1つ 分 の大 きさ を求 め る」 とい う除法 の意 味 が どの よ うに変 わ った の か を具 体 的 に説 明 出来 る よ う に す る こ と が 大 切 で あ る。

実 際 に 図15の よ う に テ ー プ を 折 り 曲 げ10cmの テ ー プ を4等 分 し て そ の1つ 分 の 長 さ を 測 っ て 調 べ る と、2cm5mmに な る。

こ れ を 小 数 を 用 い て2.5cmに な る こ と を 根 拠 に 次 の よ う に 課 題 を 解 決 で き る よ う に す る。

「10cmを0.1cmが い くつ 分 と 考 え れ ば10÷4は10.0÷4＝2.5と な る 。 答 え は2.5cm」

「こ れ ま で の 整 数 の わ り算 の 考 え で は 、 整 数 だ け で 考 え て い た か ら等 分 で き な か っ た 。 長 さ の よ う な も の は 小 数 に で き る の で 、 等 分 す る わ り算 が で き る 。」

こ の よ う に 、 具 体 的 な 操 作 活 動 を 取 り入 れ る こ と で 、 小 数 ÷ 整 数 を 先 に 指 導 し な く て も整 数 ÷ 整 数=小 数 の 計 算 の 意 味 や 計 算 の 仕 方 を 考 え 、 説 明 す る活 動 は で き る。 さ ら に 、 整 数 を 小 数 と見

て い く ア イ デ ア は 新 鮮 で 創 造 的 で あ り、 感 動 的 な 学 習 が 期 待 で き る。

現 在 、6社 す べ て の 教 科 書 が 小 数 ÷ 整 数 か ら導 入 し て い る が 、 整 数 ÷ 整 数=小 数 の 指 導 を 先 行 さ せ 、 除 法 の 意 味 につ い て 考 え 説 明 す る活 動 を 重 視 し た 指 導 へ と転 換 す べ き で あ る と考 え る。

(3)整 数 ÷ 整 数=小 数 と な る 計 算 の 意 味(何 倍 か が 小 数 と な る 場 合 を 考 え 、 説 明 す る)

整 数 ÷ 整 数 で 小 数 倍 を 求 め る場 合 につ い て も、 実 際 に 操 作 し、 答 え を 確 か め ら れ る よ う に す る こ と で 、 実 感 的 に 理 解 出 来 る よ う に し た い 。

問 題 「赤 い テ ー プ の 長 さ は10cm、 黄 色 い テ ー プ の 長 さ は4cmで す 。 赤 い テ ー プ の 長 さ は 黄 色 い テ ー プ の 長 さ の 何 倍 で す か 。」

課 題 「赤 い テ ー プ の 長 さ が8cmな ら8÷4=2で2倍 、12cmな ら12÷4=3で3倍 と表 せ ま す 。 し か し、10cmは4で 割 り切 れ ま せ ん 。2倍 と3倍 の 間 で 、2.5倍 と な り そ う で す 。 ど の よ う に 考 え れ ば 、 何 倍 も小 数 で 表 し て よ い と説 明 で き ま す か 。」

こ の 問 題 は 、 図17の よ う に 実 際 の テ ー プ を 用 い て 、 長 さ 比 べ の 要 領 で10cmの テ ー プ に4cm毎 に 印 を 付 け た り、 ノ ー トに 実 際 の 長 さ で テ ー プ 図 を か い た り し て 調 べ る。 端 の 部 分 は4cmを10等 分 し て0.1の 目 盛 り を つ く り、 い くつ 分 か 調 べ る 活 動 が 期 待 で き る 。

等 分 の場 面 な どで数 直線 で表 す経 験 が あ れ ば、 図18の よ うな 図 を か い て考 え、 説 明 す る活 動 も で き る。 倍 の数 直線 は 図17の よ うな倍 の物 差 しの イ メ ー ジか ら も生 ま れ る。

図17の よ うな任 意 単 位 に よ る測 定 を 「倍 の物 差 し」 の数 直線 を長 さ の数 直線 に対 応 させ るア イ デ ア を用 い て、 次 の よ うに説 明 す る こ とが期 待 で き る。

「これ ま で は、 も と の大 き さ と 同 じ大 き さ を1倍 、2つ 分 を2倍 、3つ 分 を3倍 と考 え て き ま した。 も と の大 き さ を1と す る 目盛 りを作 って、1よ り小 さ い端 は1を10等 分 した 目盛 りを 作 れ ば小 数 の倍 が 調 べ られ ま す。」

この よ うな説 明 は、 図14で 示 した小 数 の数 直線 をつ く った活 動 が活 か さ れ て で き る。

数 直線 を 「物 差 し」 と考 え る こ とで、 小 数 倍 の説 明 も無 理 な く出来 るよ うに な る。 そ して、1 よ り も小 さ い 「倍 」 の あ る こ と も子 ど もが 自 ら発 見 す る こ とが期 待 で き る。

(4)小 数 ÷整 数＝ 小 数 と な る計算 の意 味(重 さが2.5倍 に なれ ば 、長 さ も2.5倍 にな る こと及 び2.5m は、1mの2.5倍 で あ る こ とを 見 い だ し、 説 明す る)

「1mで3gの ア ル ミの 針 金 が あ り ま す 。 こ の 針 金6g で は 何mで し ょ う か 。 ま た 、7.5gで は 何mに な る で し ょ う か 。」 と い う 問 題 を 提 示 す る と 、 次 の よ う な 課 題 が 生 ま れ る。

「6÷3＝2で6gの 針 金 の 重 さ は3gの 針 金 の 重 さ の 2倍 と分 か る 。 重 さ が2倍 に な っ た ら 長 さ も2倍 に な っ て 、2mに な る 。 重 さ が7.5gの よ う な 小 数 で 表 さ れ て い る と き 、 ど の よ う に 考 え れ ば 同 じ よ う に 説 明 で き る だ ろ う か 。」

問 題 の 解 決 に 当 た っ て は 、7.5÷3=2.5と 計 算 し、2.5g

と い う答 え を 求 め る こ と が で き る。 し か し、 重 さ が 小 数 倍 に な っ て い る と き、 長 さ も小 数 倍 に な る と い う こ と を 説 明 す る こ と を 課 題 と す る の で あ る。

こ の よ う に し て 、 課 題 を 設 定 す る こ と で 、 実 際 に 重 さ と長 さ を 測 っ て 確 か め 、 次 の よ う に 図 や 式 、 言 葉 を 使 っ て 説 明 す る活 動 が 実 現 す る。

「7.5gは 、7.5÷3=2.5で1mの 重 さ の 2.5倍 と 分 か り ま す 。 重 さ が1mの 重 さ の2.5倍 な の で 、 長 さ も2.5倍 の2.5m に な り ま す 。」

と い う よ う に 説 明 す る活 動 を 行 い 、

「1mの 針 金 の 重 さ と 長 さ を 知 り た い 針 金 の 重 さ が 分 か れ ば 、 そ の 重 さ が1mの 重 さ の 何 倍 か を わ り算 で 求 め ら れ る 。 長 さ も1mの 何 倍 か に な る 。」

と い う ま と め を す る こ と が で き る。 さ ら に 、

「こ れ ま で 、2.5mを1m2つ 分 と0.5mと い う 見 方 を し て き た が 、1mの2.5倍 と い う 見 方 が で き る こ と が 分 か っ た 。」

と い う よ う に 、 こ れ ま で の 小 数 の 見 方 を 振 り返 り、 こ れ と は 異 な る新 し い 数 量 の 見 方 に 発 展 さ せ て い く こ と が で き る。

1.5gや0.5mの よ う に 小 数 で 表 さ れ た 数 量 を1gや1mの1.5倍 や0.5倍 の よ う に 見 る 見 方 は 、 2／3gを1gの2／3倍 と見 た り、agを1gのa倍 と見 た り す る こ と につ な が る。 こ の よ う に 数 量 を 見 て い く活 動 は 、 小 数 の 場 合 だ け で な く、 分 数 や 文 字 を 用 い た 乗 法 や 除 法 の 意 味 につ い て も分 か

り や す く説 明 で き る よ う に な る素 地 的 な 活 動 で あ る と言 え る。

2.5mは 、1mの2.5倍 と い う よ う な 数 量 の 見 方 を 扱 っ て い る 教 科 書 は 皆 無 で あ る 。 な お 、 こ の よ う な 指 導 の 必 要 性 につ い て は1章 で も紹 介 し た が 、 小 山 ほ か(2006)が 研 究 報 告 し て い る。

(5)整 数 ÷ 整 数=小 数 と な る 計 算 の 意 味(ひ も の 長 さ と 重 さ が 分 か る と1mの 重 さ や1gの 長 さ が 分 か る こ と を 見 い だ し、 除 法 で 求 め ら れ る こ と を 説 明 す る)

平 成22年 度 の 文 科 省 の 実 態 調 査 で8mで4kgの 棒1mの 重 さを 求 め る問 題 の 正 答 率 は、54.1%

で あ る。 整 数÷ 整 数＝ 小 数 とな る第4学 年 の 問題 で あ るが、 第6学 年 で も十 分 理 解 出来 な い で い る。

第4学 年 の教 科 書 で この よ うな 除法 の 問題 を扱 って い る教 科 書 は2社 が練 習 問題 で扱 って い る だ け で あ る。 どの教 科 書 も等 分 して1つ 分 の大 きさ を求 め る場 面 で しか、 商 が小 数 とな る場 合 の 意 味 に つ い て考 え、 説 明 す る活 動 の指 導 が で き るよ うに な って い な い。

教 科 書 に な い か ら指 導 して い な い とは必 ず し も言 え な い が、 この よ うな実 態 が正 答 率 を下 げ て い る一 因 で あ る と考 え られ る。

1mの 重 さ を 求 め る 問 題 で 、 棒 で は 実 際 に1mを 切 り 出 し て 調 べ る活 動 は で き な い 。 そ こ で 、 毛 糸 を 用 い て 商 が 純 小 数 と な る次 の よ う な 問 題 を 提 示 し た い 。

問 題 「4mで2gの 毛 糸 が あ り ま す 。 こ の 毛 糸1mの 重 さ は 何 ｇ で し ょ う か 。」

毛 糸 の 長 さ は 、 伸 び 縮 み す る の で ぴ ん と張 っ た と き の 長 さ と す る。

1mの 重 さ を 求 め る 問 題 で は 、 「4mは1mの4倍 の 大 き さ を

表 し て い る 」 と い う理 解 が あ れ ば 、4mを1mに す る に は4で 割 れ ば 良 い と 考 え る こ と が で き る 。 そ こ で 、 次 の よ う に 働 き か け た い 。

「こ れ ま で の 学 習 で 、 長 さ は 分 か ら な い け ど、 重 さ が 分 か る針 金 が あ る と き、1mの 重 さ が 分 か れ ば 、 そ の 長 さ が 何mか 分 か り ま し た 。 便 利 で す ね 。 さ て 、1mの 重 さ が 分 か れ ば い い の で す が 、 い つ も そ う と は 限 り ま せ ん 。 長 さ と重 さ が 分 か っ て い る と き、1mの 重 さ は ど れ だ け か 、 計 算 で 求 め る こ と は で き る で し ょ う か 。」

こ の よ う に す る と、 次 の よ う な 課 題 が 明 ら か に な る。

「4mで2gと い う よ う に 長 さ と 重 さ が 分 か っ て い る と き 、1mの 重 さ は 、 ど の よ う に 考 え れ ば 求 め る こ と が で き る か 、 説 明 し よ う 。」

こ の 課 題 に 対 し て 、 次 の よ う な 説 明 が 期 待 で き る。

「4mを1mの4倍 と 見 る と 、4mを1mに す る に は 、4で 割 れ ば 良 い 。 長 さ を4で 割 っ た の で 重 さ も4で 割 れ ば1mの 重 さ が 求 め ら れ る 。2÷4＝0.5、

1mの 重 さ は0.5gと な る 。」

「4mを4等 分 し た1つ 分 は1m、4mの 重 さ も4等 分 す れ ば 1mの 重 さ に な る の で 、2÷4＝0.5、1mの 重 さ は0.5gと 分 か る 。」

整 数 で 割 っ て 、1mの 重 さ を 求 め る場 合 は 、 倍 の 考 え を 用 い な く て も、 こ の よ う に 、 図 を 用 い る こ と で 等 分 し た1つ 分 を 求 め れ ば よ い と い う説 明 も成 り立 っ 。

問 題 の 答 え が 求 め ら れ た と こ ろ で 、 デ ジ タ ル 秤 を 用 い て 確 か め る活 動 を 行 い た い 。 そ うす る こ と で 、 長 さ と、 重 さ と の 関 係 を 実 感 的 に 理 解 で き る よ う に な る か ら で あ る。 確 か め が で き た と こ ろ で 課 題 に 立 ち 返 る。 そ し て 、

「長 さ と重 さが 分 か って い る と き、1mの 重 さ を求 め る に は、 そ の長 さが1mの 何 倍 かが 分 か れ ば そ の数 で割 れ ば1mの 重 さ を求 め る ことが で き る。 図 を か い て4mを1mに す る に は ど う した らよ い か考 え れ ば、 説 明が 出来 る。」

とい うよ うに ま とめ るの で あ る。

む す び

算 数 的活 動 は、 既 習 の 内容 の活 用 に よ って実 現 す る、 今 回、 小 数 の乗 法 、 除 法 の意 味 が十 分 理 解 出来 て い な い とい う子 ど もの実 態 を 引 き起 こ して い る原 因 は何 か とい う視 点 と意 味 を考 え、 説 明 す る算 数 的活 動 が 出来 るよ うに す るに は、 どの よ うな 内容 につ い て どの よ うに指 導 す る こ とが 重 要 で あ るか とい う2つ の視 点 で研 究 を進 め た。

結 果 、 指 導 す べ き内容 につ い て、 これ ま で十 分 指 導 さ れ て い な い 内容 が 明 らか に な った。 この 内容 に っ い て、 どの よ うに指 導 す る こ とが望 ま しい か論 述 した が、 今 後 、 実 践 的 な研 究 を積 み重 ね、 これ を検 証 して い きた い。

引 用 ・参 考 文 献

(註1)東 京 都 算 数 教 育 研 究 会 実 態 調 査 委 員 会 報 告(2003〜2010)

(註2)平 成13年 度 小 中 学 校 教 育 課 程 実 施 状 況 調 査 報 告 書(2003).国 立 教 育 政 策 研 究 所 ・教 育 課 程 研 究 セ ン ター.東 洋 館 出版 社

(註2)平 成19年 度 、 平 成20年 度 、 平 成22年 度 全 国学 力 ・学 習 状 況 調 査 【小 学 校 】 報 告 書.文 部 科 学 省 ・国立 教 育 政 策 研 究 所

小 山誉 、 松 丸 剛 、 内 藤信 義(2006).小 数 の乗 除 の意 味 を 理 解 し,正 し く立 式 で き る力 を育 て る 指 導:1.5mは,1mの1.5倍 とい う見 方 を用 い て.日 本 数 学 教 育 学 会 誌.臨 時増 刊,総 会 特 集 号 88,P.45

清 水 静 海(2010).算 数 的活 動 の 意 義.講 座 算 数 授 業 の 新 展 開 「算 数 的活 動 」.東 洋 館 出 版 社.

PP6‑21

田端 輝 彦(2001).小 数 倍 の導 入 につ いて の一 考 察:小 数 倍 に表 す よ うに焦 点 を あ て て 、 日本 数 学 教 育 学 会 誌 第83巻 第12号.pp2‑12

中村 享 史(2000).小 数 の乗 法 の割 合 に よ る意 味 づ け、 日本 数 学 教 育 学 会 誌 第82巻 第10号.pp.63‑

67

松 丸 剛(2010)算 数 的活 動 の 指 導 を支 え る諸 条 件.講 座 算 数 授 業 の新 展 開 「算 数 的 活 動 」.東 洋 館 出版 社.PP22‑35

松 丸 剛 ほか5名(1980).乗 法 ・除 法 の 意 味 の指 導 と小 数 倍 の 指 導.日 本 数 学 教 育 学 会 誌.臨 時 増 刊,総 会 特 集 号 62,P41

文 部 科 学 省 検 定 済 教 科 書(2010)、 新 しい 算 数(東 京 書 籍)、 小 学 算 数(教 育 出 版)、 小 学 算 数 (日 本 文 教 出版)、 た の しい算 数(大 日本 図書)、 み ん な と学 ぶ 小 学 校 算 数(学 校 図 書)、 わ く わ く算 数(啓 林 館)