複 合 制 御 確 率 過 程 と非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム
NoncooperativeN‑personStochasticDifferential GamesforMixedWienerandPoissonProcesses
板 垣 有記輔
by YukioITAGAKI
第1節 確 率 微 分 ゲ ー ムの ル ール 第2節 非 協 力 ナ ッシ ュ均 衡 点(定 義)
第3節 非 協 力 ナ ッシ ュ均 衡 点 の動 的 特 性 第4節 非 協 力 零 和2人 確 率 微 分 ゲ ー ム
本 稿 の 目的 は,非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム の ナ ッ シ ュ均 衡 点 の 満 足 す べ き 条 件 を,ウ イ ナ ー 過 程 と ポ ア ソ ソ過 程 と の 複 合 制 御 確 率 過 程 の 確 率 的 最 適 制 御 問 題 に 対 す る 確 率 的 最 大 値 原 理
thestochasticmaximunprincipleformixedWienerandPoissonprocessesに 基 づ い て 探 る こ と に あ る.ウ イ ナ ー 過 程 と ボ ア ソ ン 過 程 と の 複 合 制 御 確 率 過 程 の 確 率 的 最 適 制 御 問 題 に 対 す る 確 率 的 最 大 値 原 理 に よ る 非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム の ナ ッ シ ュ均 衡 点 の 特 徴 付 け に 触 れ た 文 献 は,私 の 知 る 限 り ま だ 見 当 ら な い.本 稿 は,私 の 微 分 ゲ ー ム に つ い て の 第3番 目 の 論 文 で,板 垣[28],[29]に 続 く も の で あ る.
第1節 確 率 微 分 ゲ0ム の ル ー ル
非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム の ル ー ル を 次 の よ う に 定 め る(板 垣[28コ,23‑‑25頁 参 照).
(i)フ 。レ イ ヤ ー
ゲ ー ム の プ レイ ヤ ー の 人 数 はN人 で,2≦N<。 。 と す る.
(ii)計 画 期 間
時 点0で 開 始 さ れ る ゲ ー ム は,連 続 時 間 の 流 れ に 沿 っ て 行 わ れ,終 了 時 点Tは 予 め 与 え ら れ,0<T<○ 。 と す る.
㈱ 状 態 ベ ク トル と そ の 推 移
プ レ イ ヤ ー ブ∈N={1,…,N}の 時 点 庭 丁全[0,T]の 〃 次 元 制 御 ベ ク トル π』{u・ ゴ(t),
…,」(の}∈ σゴ⊂Rm7と す る と き,時 点t∈Tのn次 元 状 態 ベ ク トルx(t)(κ1(の,…, xn(t))∈Rnは,ウ イ ナ ー過 程 と ボ ア ソ ン過 程 と の 複 合 制 御 確 率 過 程 に 対 す る 制 御 確 率 微
22季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XVIII,No.1 分 方 程 式
れヱ
4貌 α)=.f̀Cx(t),ul(t),…,Z6ブ('),・ 畢・,%N(≠),t)4'+Σ6ihi(x⑦,u!(の,…,uゴ α),…,uN(の,の hi=1
・4z砺(の 十gi(x(の
,ul(t),…,uゴ(の ヂ ・・uN(の,t)dgi(t),げ=1,…,n,
とn次 元 初 期 状 態 ベ ク ト ル
x(0)=x°(所 与)
に 従 っ て 変 化 す る.こ こ に,ぬ 瞬 α)c2=1,…,n,hi=1,…,勾 は 標 準 ウ イ ナ ー 過 程9瞬(t)
の 確 率 微 分 で,
Et[dzihi(の コ=0,i=1,…,n,'Gi=1,…,ng, Et[(dzihi⑦)2コ=dちi=1,…,n,h2=1,…,物, È[dtdztihi(t)]=0,ゴ=1,…,n,hi=1,…,n2,
Ea[4g読 乞(t)498んs(t)]=ρ 乞碗sんs(t)dt,Z,S=1,…,n,hi=1,…,nZ,h、==1,…,ns,
但 し
ρ砺 、h、(t)=Cov[ぬ 砺(の,dzsh、(の]/4',Z,S=1,…,n,h2=1,…,ni,hs=1,…ns,
瓦:x(の=xt(既 知)な る も の も と で の 条 件 付 数 学 的 期 待 演 算 子 で あ る.
ま た,dqZ(t)は,ボ ア ソ ソ 過 程g乞(の の 増 分g、(t+dt)‑qi(の で,
1)Y[49、(t)=az(Z=1,…n)コ=λ 漉 十 〇(dt)
{PrCdg2(t)=0(i=1,…,n)]=1‐ddt十 〇(dt}
で あ り,ラ ソ ダ ム 時 に 起 こ る 飛 躍 の ラ ン ダ ム な 振 幅 α=(a・,…,an)は 同 時 確 率 密 度 関 数 ρ(a)を も ち,λ は σα)=(q・(の,…,Qn(の)の 単 位 時 間 内 に 生 起 す る 平 均 飛 躍 回 数 但 し,
簡 単 化 の た め,g乞(t)(i=1,…,n)は の(')(jai,ブ=1,・",n),zihi(の(i=1,…,n,hZ=1,…, η∂ と 独 立 で あ る と す る(板 垣[27],51‑52頁 参 照)。
{iv)情 報 構 造
プ レ イ ヤ ー ブ∈Nの 時 間t∈Tの 清 報 集 合 をItsと す る.こ の と き,も し1、 』{κ(0)}な ら,情 報 構 造 は 開 プ ー ル で あ る と い い,も し1「〆 コ{x(0),x(の}な ら,情 報 構 造 は フ ィ ー
ドバ ッ ク で あ る と い う.
(v)戦 略
プ レ イ ヤ ー ゴ∈Nの 計 画 期 間Tに わ た る 制 御%ゴ(の の 時 聞 径 路{%ブ(の}を 戦 略 と い い, {ガ(の}全{u」(の=θ ゴ(ち1ノ)∈ σ ゴ⊂Rm.9拷 ∈T}と す る.こ の と き,も し ガ(の=θ ゴ(t,x(0)) な ら,制 御 は 開 ル ー プ 制 御 で あ る と い い,も し πゴ(の=θ ゴ(t,x(0),x(の)な ら,制 御 は フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 で あ る と い う .以 下 に お い て は,簡 単 化 の た め,θ プα,x(0))を%ゴ(の,θ ゴα, x(0),x(の)を ガ α,x(の)と あ ら わ す.
回 利 得 汎 関 数
プ レ イ ヤ ー ブ∈Nの 期 待 利 得 汎 関 数 を, ア({uz(の},…,{uゴ α)},…,{%Nα)})
‑E・[ST{Jj
O(伽 ・(の,…,u・(の,… ・醐 ・のexp(一 ∫1δ・(τ)dr)dt
June1988板 垣 有 記 輔:複 合 制 御 確 率 過 程 と非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム a3
+B・(x(T),T)exp(一 ∫1δ・(τ)dz)]
とす る.但 し,δ ゴ(τ)は プ レイ ヤ ー ブ の 時 点 τ の 瞬 時 的 割 引 率 で あ る.
㈲ 非 協 力
プ レイ ヤ ー ブ∈Nは,各 自 の 独 立 な 判 断 に よ っ て,各 自 の 期 待 利 得 汎 関 数 ア({ul(の} ,…, {%ゴ(t)},…,{uN(の})を 最 大 化 す る 戦 略{%ゴ α)}を 決 定 す る.
第2節 非協 力 ナ ッシ ュ均 衡 点(定 義)
定 義1(ナ ッ シ ュ 均 衡 点)
ヱV人 の 戦 略 の 組({u*1(の},…,{u*7‑1(の},{u*ゴ(の},{u*'+1(の},…,{u*Nα)})が 次 の 条 件 を 満 た す と き,こ れ を 非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム の ナ ッ シ ュ 均 衡 点 と い う,
任 意 の ブ∈!Vに つ い て,任 意 の 戦 略{u」(t)}̲{u」(t>∈U」 ⊂R肌 ゴ拷 ∈T}に 対 し て ノゴ({u*1(の},…,{u*ゴ ー1(の},{u*ゴ(t)},{u*j+1(の},…,{u*N(t)})
≧T'({u*1⑦},…,{u*」 『1(の},{%ゴ ⑦},{u*ブ+1(の},…,{u*N(t)}).
こ の 不 等 式 は,他 の1>T1人 の プ レ イ ヤ ー の 戦 略 が({u*1(t)} ,。・・,{u*.i‑1(')},{u*ゴ+1(')},…, {u*N(の})に 与 え ら れ て い る と み な し て,プ レ イ ヤ ー ブ∈2Vが 自 分 だ け で 他 と 非 協 力 に 行 動 し た と き,{u*ゴ(の}が 自 分 に と っ て 最 適 な 戦 略 で あ る こ と を 意 味 し て い る.し た が っ て 他 の プ レ イ ヤ ー が 戦 略 を 変 更 す る の で な い 限 り,誰 も 自 分 の 戦 略 を 変 更 し よ う な ど と い う 誘 因 を 持 た な い と い う 意 味 で 均 衡 点 な の で あ る(板 垣 〔28コ,25頁 参 照).
定 義2(開 ル ー プ ・ナ ッ シ ュ 均 衡 点)
各 プ レ イ ヤ ー ブ∈Nが 開 ル ー プ 制 御 を と る と き の 非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム の ナ ッ シ ュ均 衡 点 を,N人 非 協 力 確 率 微 分I」='.̲̲.ムの 開 ル ー プ ・ナ ッ シ ュ均 衡 点 と い う(板 垣[28],25頁 参 照).
定 義3(フ ィ ー ドバ ッ ク ・ナ ッ シ ュ 均 衡 点)
各 プ レ イ ヤ ー ブ∈Nが フ ィ ー ドバ ッ ク制 御 を と る と き の 非 協 力N入 確 率 微 分 ゲ ー ム の ナ ッ シ x均 衡 点 を,N人 非 協 力 確 率 微 分 ゲ ー ム の フ ィ ー ドバ ッ ク ・ナ ッ シ ュ 均 衡 点 と い う(板 垣[28] , 25頁 参 照).
次 に,非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム の ナ ッ シ ュ 均 衡 点 を 特 徴 付 け る と き に 不 可 欠 と な る ウ ィ ナ ー 過 程 と ポ ア ソ ン過 程 と の 複 合 制 御 確 率 過 程 に 対 す る 確 率 的 最 適 制 御 問 題 の ハ ミル トン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン の 方 程 式Hamilton‑Jacobi‑Bellmanequationofoptimalstochasticcontrol
formixedWienerandPoissonprocessesを,補 題 と し て 掲 げ て お く.
a4 季 刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XVIII,No.1
補 題(固 定 始 点 ・自 由終 点 ・固 定 計 画 期 間 を もつ ボ ル ツ ア型 の 割 引 か れ る 場 合 の 確 率 的 最 適 制 御 問 題 に対 す る ハ ミル トン ・ヤ コ ビ ・ベル マ ンの方 程 式)
ウ イナ ー過 程 と ボ ア ソ ソ過 程 との 複 合 制 御 確 率過 程 に 対 す る割 引 か れ る場 合 の確 率 的 最 適 制 御 問 題
臨 斜E・fi・(聯(の,のexp(一 ∫1δ(τ)dz)dt+B(x(T),T)・xp(一 ∫1δ(τ)dz)]
subjectto蜘 イ α(t)
,u(の,の 研 ￡ 蝋 κ(の,u(の 偽 、、α)
hi=ユ
十gi(x(の,u⑦,の 吻 盛α),z=1,…,n, x(0)=κo(所 与),
x(T):自 由, u(の ∈U⊂Rm,
T:所 与,
の 最 適 径 路(x*(の)・Tと 最 適 制 御 の 時 間 径 路(u*(の)OTは,次 の 条 件 を 満 た す.
1。 最 大 値 条 件:任 意 のt∈[0,T]に 対 し て,
δ(t)V(x*(の,のrプo(x*(の,が(の)÷9初*(V(x*(t),t))十Vt(x*(t> ,の
=Max
u(t){.f°Cx*(の ・u⑦)+9鎚(V(x*(の ・t))+1ろ(x*(t)・ の}・
こ こ に,
nnnゆns Qu(v(x⑦
,渉))=Σ]隣!z(x(t),u(t),t)十(1/2)Σ Σ Σ ΣViscihishS
儒1 ぎ=1s=正hs=lhs=1
+λ ∫… ∫[V(x+gaT,t)‑V(x,t)]p(a)da・ …CZCLn,
で あ る.但 し,
γ(x(の,t)̲°MaxEt
(u(z))tT[∫ ンo(x(τ),u(τ)・ τ)exp(一 ∫1δ⑭)dh)dz
+B(xの,T)exp(一 ∫1δ(・)dz)],
vt=av/at,vz=aV/axz,VzS=a2v/axtiaxs,
9=(91,●.㍉9η),
Cihi、hg=・pihishg(の6ghz(x(t),u⑦,の び、為。(x⑦,u(の,の,i,s=1,…,n,hi=1,…,%乞,乃 、=1,…, ns,
20V{x*(T),T)=B(x*(T),T),
ni
3。dxi*(の=.fiCx*(の,%*(の,t)dt+Σ σ碗(x*Ct),u*(の,の42翫 各(の
乃、=1 十gi(x(t),u(t),t)dgi(t),i=1,…,n, 4。x*(0)=x°(所 与).
証 明 板 垣[27],57‑63頁 参 照.
June1988板 垣 有 記 輔:複 合 制 御 確 率 過 程 と非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム 25
第3節 非協 力 ナ ッシ ュ均 衡 点 の動 的特 性
定 理1非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム の 開 ル ー プ ・ ナ ッ シ ュ 均 衡 点 を({u*1(t)},…,{u*ゴ ー1(の}, {u*ゴ(の},{u*ゴ+1(の},…,{u*N(t)})と し,こ れ に 対 応 す る 状 態 ベ ク ト ル の 時 間 径 路 を{x*(彦)}
と す る.こ の と き,次 の 条 件 を 満 た さ な け れ ば な ら な い.
10各 フ.レ イ ヤ ー ブ∈!Vに つ い てz任 意 の 時 点 雄 丁 に 対 し て,
δゴα)γ ゴ(x*(t),のrプ0ゴ(x*ct),u*1(の,…,u*ゴ ー1α),が ゴ(の,u*3+1(の,…,u*N(t),t,) 十u*ゴ(7ゴ(x*(t),t))十 γ}ゴ(x*(t),t)
=Max .{ノoゴ(x*(t),u*1(t),…,u*ゴ ー1⑦,%ノ('),u*j+1⑦,…,げN(の,渉) 衡フ(の∈U?
十9鴨 ゴ(γ ゴ(x*α),t))十yノ(x*(t),t)},
こ こ に,
9がCl/ゴ(x*(の,t))=Σ 仏 ゲ 霊(x*(t},u*1(の,…,u*ゴ ー1(の,
t=1
nnカ まn5
u?(の,u*ゴ+エ(の,…,u*N(の,の+(1/2)Σ Σ Σ Σ γ1、'o伽,九、
i=1s=1hs=1"S"'T
+λ ∫… ∫[Vゴ(x*+gaT,の 一 γ ゴ(x*,t)コp(a)da・ … 伽 ・,
9脚(T7ゴ(x*(t),渉))=Σ17ノ!乞(κ ‡(t),u*1(t),…,u*ゴ ー1(の,
i=1
nnゆns
u*3(t),u*ゴ+1(の,…,u*N(t),t}+(1/2)Σ Σ Σ Σ 仏 、ゴo*ゴ砺 、ん,
i=1s=1乃 盛=1hs‑i
+λ ∫… ∫[yゴ(x*+9夙 の 一Vゴ(x*,t>コp(a)da・ …uan,
7・(x(t),t)一 一'MaxEt[∫ ン0・(x(T),u*1(・)・ …,u*j‑1(τ),
%'(τ),u・'・1(τ),…,u*N(τ))exp(Sp(h)dh)4τ
+β ・(x(T),T)exp(一 ∫1δ・(τ)dT)]・
Vt」=∂yl」/∂ ちV2」=∂Vゴ/∂xi,Vi、 ゴ=∂2γ ゴ/∂xi∂x、,
で あ る.但 し,
CゴZ碗sん3・=ρ仇 εsんsσ読 乞(x*(t),u*1(の,…,u*ゴ ー1(の,uゴ(t},u*」+1(t>,…,u*N(t),の
・6sh s(x*(の,u*1(の,…,u*j‑1(の,Z〆(t),u*ゴ+1(の,…,u*κ α),の,
C*ゴ砺 ε厄3鵬 ρ抗i8んs碗 んZ(x*(t),u*1(の ヂ ・・,%*ゴ ー1(の,u*ゴ(t),u*ゴ+1(t)ヂ ・・,u*N(の,t)
・6Sh s(x*(の,u*1(の,…u*ゴ ー1u*ゴ(t),u*ゴ+1/t),…,u*N(の,の,
OO69臼32
4°
証 明
は ・ 他 の プ レ イ ヤ ーk∈N㊥=1,…,N,k≠ ブ)の 開 ル ー プ 戦 略{u*k(の}=伽*k(の ∈UkcRmk , t∈T}を,自 分 の と る 開 ル ー プ 戦 略{u」(の}̲{u」(の ∈ σ 忙R肌 ゴ,t∈T}と は 独 立 に 与 え ら れ た 時 間 的 関 数 と み な し て 行 動 す る.す な わ ち,各 プ レ イ ヤ ー ブ∈ ノVは,各 自 の 期 待 利 得 汎 関 数
ノゴ((u*1(の},…,{u*ゴ ー1(の},{%ゴ(の},{u*ゴ+1(の},…,{u*Nα)})
季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XVIII,No.1
7ゴ(x*(T),T)ロBブ α*(T),T) ,
dxi*(t)=fi(x*(の,u*1(t>
,…,u*ゴ ー1(の,u*ゴ(t),u*j+1(t),…,u*N(t)t)dt れガ
+6g」li
hi=1(x*① ・u*1α)・ ●●'・u*ゴー1α)・u*ゴ α)・u*j+1(t)・ … ・u*N① ・t)49…(t)
十9z(x*(t),u*1①,…,u*j‑1(の,が ゴα),u*ゴ+1(の,…,u*N(の,t)dqi(の ,2=1,…,n,
x*(0)xo(所 与)
非 協 力N人 確 率 微 分f」='ム の 開 ル ー プ ・ ナ ッ シ ュ 均 衡 点 に お い て,各 プ レ イ ヤ ー ブ∈N
一E・[Sf
O・ ・働,u・ ・(t),…,u・ ・一・(t),%・(t),u・ …(の,…,u・N(t),t)exp(一 ∫1δ・(τ)dT)dt
+βW),T)・xp(一 ∫1δ・(τ)4τ)]
を,ウ イ ナ ー 過 程 と ボ ア ソ ソ 過 程 と の 複 合 制 御 確 率 過 程 に 対 す る 制 御 確 率 微 分 方 程 式 dxz(のr戸(x(t),u*1(t),…,u*ゴ ー1α)μ ゴ(t),u*jfl(の,… ,u*N(の,t)4'
h{
+濯
1σ碗(x(t),u*1(の ・●●'・u*ゴー1⑦ ・uゴ(の ・u*ゴ+1(の ・… ・u*Nα),の づ軌 α) 十gzCxCt),u*1(の,…,u*j‑1(の,%ゴ(の,u*ゴ+1(t),…,u*N(の,t)dqi(の,2=1,…,n,
と そ の 初 期 条 件 x(0)=x°(所 与)
に 服 し な が ら,最 大 化 す べ ぎ 自 分 の 最 適 な 開 ル ー プ な 戦 略{u*(t)}={u*ゴ(t>∈Z7ゴ ⊂1〜四,渉∈T}
を 単 独 に 選 択 す る.し た が っ て,各 プ レ イ ヤ ー ブ∈Nの 単 独 の 確 率 的 最 適 制 御 問 題 の 解 に 補 題 を 適 用 す れ ば,こ の 定 理 が し た が う(板 垣[28],27‑28頁 の 定 理1を 参 照).証 了
定 理2非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム の フ ィ ー ドバ ッ ク ・ナ ッ シ ュ 均 衡 点 を({u*1⑦},…, {u*ゴー1(の},{u*ゴ ⑦},{u*ゴ+lCt)},…,{u*N(t)})と し,こ れ に 対 応 す る 状 態 ベ ク トル の 時 間 径 路 を{x*⑦}と す る.こ の と き,次 の 条 件 を 満 た さ な け れ ば な ら な い.
=L。 各 プ レ イ ヤ ー ブ∈ ノVに つ い て,任 意 の 時 点t∈Tに 対 し て, δゴ(t)Vj(x*(の,の=∫oゴ α*(の,%*1(t,x*α)),…,u*j‑1(t,u*(t)),
u*ゴ(t,x*(の),u*ゴ+1(t,x*(の),…,u*N(t,x*(の),t>
十9%*ゴ(γ ゴ(x*(の,の)十 γノ(x*(の,の
=Max .{∫oブ(x*(t),u*1(t,x*(t)),…,u*ゴ ー1(t,x*(の), u7(の∈U1
%ゴ(t,x*(の),u*ゴ+1(t,x*(t)),…,u*N(t,x*(t)),t>
十9ガ(γ ゴ(x*(の,t})十7̀(x*(の,の}, こ こ に,
June1988板 垣 有 記輔:複 合 制 御 確 率 過 程 と非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム
n
9'初 コ(Vゴ(x*(の,の)=Σ γ δゲi(x*(の,u*1(ちx*Ct)),…,
i=1
u*ゴ 『1(t,x*(t)),%ゴ(t,x*(の),u*9+1(t,x*(の),…,u*N(t,x*(の),の
nnnzね ヨ
+(1/2)Σ Σ Σ ΣVゴisCブ 歯 、n、
i=1s=11zi=11as=1
+λ ∫… ∫[聴 ・+gaT,の 一 γ ・(x*,の]ρ(a)da・ …4α ・, u*コ(Vゴ(x*(の n
,の)=Viゲi(x*<t),が1(ちx*ct)),…,a=1
u*'‑1(t,x*①)u*」(t,x*α)),猶+1(t,x*⑦),…,u*N(t,x*α)),の
nnntns
十(1/2)Σ Σ Σ ΣVゴ 乞、oゴ恥$1、,
i=],s=],h1=1h5=1
a7
+λ ∫… ∫〔V3(x・+ga・,の 一7・ 卿)]p{a)da・ …4α ・,
脚)・ の 全 臨 。E・[∫ンoゴ(x(τ)・u*1(z,x(・))ヂ ・・,
,u*ゴ ー1(τ,廊)),%ゴ(τ,x(τ)),u*ゴ+1(τ,x(τ)),u*N(z,x(τ)),τ)
・exp(一 ∫:δ・鰍)dz+B・(x(T) ,T)・xp(一 ∫1δ・(τ)dT)],
予7=∂V」/∂t,Vz」=∂ γ ゴ/∂xz,Vi、 』 ∂2V」/∂xi∂xS,
で あ る.但 し,
oゴihishs=pihishSQihi(x*(の,u*1(t,x*(の),…,%*ゴ ー1(t,x*(の), uゴ(ちx*①),u*」+1(t,x*α)),…,u*N(ちx*Ct)),の
・6、。、(x*(の,%*1(渉,x*(の),…,%*'‑1(ちx*(t)),%'(ちx*(の),
u*ゴ+1(t,x*(の),…,u*N(t,x*(の),の,
・・ゴ姻 、=ρ 抗 が、、σ仇 、(x*(の,u*1(t,x*(の),・ 一,u*j‑1(t,x*(の), u*ゴ(t,x*(の),%梱 α,x*(の),…,u*N(t,x*(t)),の
・6sh 、(x*(の,u*1(t,x*(t)),…,u*ゴ ー1(t,x*α)),u*ゴ(t,x*(の),
u*ゴ+1(ちx*(の),…,u*N(t,x*(の),の, 20V」(x*(T),T)=Bゴ(x*(T),T),
30dx*(の==∫ く κ*(t),u*1(t,x*(t)),…,u*ゴ ー1(歩,x*(t)),u*ゴ(t,x*(の), u*坦(t,x*(t)),…,u*Nα,x*Ct)),t)dt
で
+6ihi(x*α),u*1α,x*Ct)),…,u*ゴ ー1α,x*(t)), ゐFl
u・ ゴ(t,x*①),u*ゴ+1α,κ*(の),…,%*N(t,x*(t)),の 晦 μ)
+gz(x*⑦,u*1(t,u*α)),…,u*j‑1(t,x*(t)),u*ゴ(t,x*(の), u*ゴ+1(t,x*(の)ヂ ・・,u*N(t,x*(の)t)dqi(の,Z=1,…,n,
4Qx*(0)=x°(所 与).
証 明 非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム の フ ィ ー ド バ ッ ク ・ ナ ッ シ ュ 均 衡 点 に お い て,各 プ レ イ ヤ
28季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XVIII,No.1 一 ブ∈Nは
,他 の プ レ イ ヤ ーk∈N(k=1,…,1>,ん キブ)の フ ィ ー ドバ ッ ク 戦 略{u*k}={u*差 α, x(t))∈Uk⊂Rmk,t∈T}を,自 分 の と る フ ィ ー ドバ ッ ク 戦 略{π ゴ(の}={%ゴ(t,x(t))∈ σ ゴ⊂1〜吻, 陀7}と は 独 立 に 与 え ら れ た 時 間 的 関 数 と み な し て 行 動 す る.す な わ ち,各 プ レ イ ヤ ー ブ∈/V は,各 自 の 期 待 利 得 汎 関 数
∫ゴ({u*1(の},…,{u*j‑1(の},{〃(の},{u*1+1(の},…,{u*N(の})
一E・[∫ ン ・・(x(の,u・ ・(t,x(の),…,u・ 距1(t,x(の),π ・(t,x(の),
u…1(ちx(t)),…,%・N(ちx⑦),t)exp(一 ∫;δ・(・))dz)dt
+B・(x(T),T)exp(一 ∫1δ・(τ)dz)]
を,ウ イ ナ ー 過 程 と ポ ア ソ ン 過 程 と の 複 合 制 御 確 率 過 程 に 対 す る 制 御 確 率 微 分 方 程 式 dxi(の=JiCx(の,u*1(t,x(t)),…,u*.7‑1(t,x(の),
%ゴ(t,x(の),u*ゴ+1(t,x(の),…,u*N(t,x(の),t)dt
れゴ
+Σ6ihi(κ(の,%*1(t,x(の),…,%*?‑i(t,x(の),%ゴ(t,x(の),
ゐ正=1
u*ゴ+1(t,x(の),…,u*N(t,x(t)),の49乞 海乞(t) 十gi(x(t),u*1(t,x(t)),…,u*ゴ ー1(t,x(t))u'(t,x(の), u*ゴ+1(t,x⑦),…,u*N(t,x(t)),の 吻 盛(の,Z=1,…,n, と そ の 初 期 条 件
x(0)=x°(所 与)
に 服 し な が ら,最 大 化 す べ く 自 分 の 最 適 な フ ィ ー ドバ ッ ク 戦 略{u*ゴ(t>}={%*ブ α,x*(の)∈U'
⊂ 」?殉,t∈T}を 選 択 す る.し た が っ て,各 プ レ イ ヤ ー ブ∈ ノVの 単 独 の 確 率 的 最 適 制 御 問 題 に 補 題 を 適 用 す れ ば,こ の 定 理 が し た が う(板 垣[28],28‑30頁 の 定 理2を 参 照).証 了
第4節 非協 力 零和2人 確率 微 分 ゲ ー ム
プ レ イ ヤ ー の 人 数Nが2で,2人 の 期 待 利 得 汎 関 数 の 間 に
∫ ・・(x(t),u・(t),u・ α),t)e‑{02(x(t),u1Ct),u2①,≠)‑f‑oCx(t),ul(t),u2(t),t),t∈T B1{x(T),T)=‑B2(x(T),T)°B(x(T),T),tET
δ・(の コ δ・(t)全 δ(の,t∈T な る 関 係 が あ る と す る.こ の と き,
ノ・({ul(t)},{u・(の})一 一 ノ・({%1α)},{%2(の})全 ノ({%'(の},{%2(の})(1)
が 成 り 立 つ.こ れ は,プ レ イ ヤ ー1,2の 期 待 利 得 汎 関 数 の 和 が 常 に 零 で,一 方 の 得 は 必 ず 他
June1988板 垣 有 記 輔:複 合 制 御 確 率 過 程 と非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ムaq
方 の 損 と な り,両 者 の 利 害 得 失 は 本 質 的 に 対 立 す る こ と を 示 し て い る.こ の 意 味 で,こ の ゲ ー ム を 零 和2人 ゲ ー ム と い う(板 垣[28],30頁 参 照).
非 協 力 零 和2人 確 率 微 分 ゲ ー ム の ナ ッ シ ュ 均 衡 点({u*1(の},{u*2(の})に つ い て 考 え る.こ の 均 衡 点 に お い て は,勿 論
ノ ・({u*1α)},{u・ ・(の})≧ ノ・({ul(の},{u*2(の}),(2) ノ ・({u・・(の},{u・ ・(の})≧ ノ・({u*1(の},{u2(の}),(3) が 成 立 し て い る か ら,(1),(2)よ り
ノ({が ・ct)},{u・ ・(t)})≧ ノ({u・(の}{u*2(の}),(4) が 成 立 し,(1),(3)か ら
∫({u*1(の},{u・ ・(の})≦ ∫({u・ ・(t)},{u2(の}),(5)
が 成 立 す る.し た が っ て,非 協 力2人 確 率 微 分 ゲ ー ム の ナ ッ シ ュ 均 衡 点({u*1(の},{u*2(t}}) に お い て,(4),(5)か ら,
∫({ul(t)},{u*2(の})≦ ノ({u*1(の},{%*2(t)})≦ ノ({u*1(の},{u2(の}),
が 成 立 す る が,こ れ は,非 協 力2人 確 率 微 分 ゲ ー ム の 均 衡 点({u*1(の},{u*2(t>})が 期 待 利 得 汎 関i数 ∫({%1(t)},{u2(t)})の 鞍 点 で あ る こ と を 示 し て い る(板 垣[28],30頁 参 照).
定 理1非 協 力 零 和2人 確 率 微 分 ゲ ー ム の 開 ル ー プ ・ナ ヅ シ ュ 均 衡 点 を({u*1(の},{u*2(の}) と し,こ れ に 対 応 す る 状 態 ベ ク ト ル の 時 間 径 路 を{x*(t)}と す る.こ の と ぎ,次 の 条 件 を 満 た さ な け れ ば な ら な い.
1。 任 意 のt∈[0,T]に 対 し て,
δ(t)V(x*(の,の=∫0(x*(t),u*1(の,が2⑦,の 十9㍑*(V(x*(の,の)十vt(x*('),t)
=・MaxMin{!o(x*(の,u/(の,u2(t),の
ul(t)∈ …σ1髄2(a)ε σ2
十9π(V(x*(の,t>)十 γ̀(x*('),の},(6) こ こ に,
u(V(x*(の n
,の)=Σ 「隣 ∫ 名(x*(のul(の,u2(の,の
̀=1
+(1/2癌 息 妻
1、熱 轟 噛+λ ∫… ∫[V(x*+gaT,t)
一V'(x*
,の]カ(のdal…dan,
n
9初*(γ(x*α),わ)=Σ1ろ ∫てκ*ct),u*1(の,%*2(t),の i=1
+(1/2)nn
i=1s=、 、毒 誰 匹 ・・砺 ・婦 ÷ λ∫… ∫[V(x*+ga",t)
‑v幽(x*
,の]ρ(α)anal…dan, 聯)・ の 全Max
(蜘E・[∫1/o(x(τ)・%1(・)・u2(τ)・ ・)
・exp(一 ∫1δ(h)dh)dz)+B(x(T),T)・xp(‑ST
tV(τ)dT)],
{7)
<8)
C9)
30季 刊 創 価 経 済 論 集 Vt∂V/∂',Vi=∂V/∂ 銑,Vis=∂2V/∂xi"'xs,
で あ る.但 し,
CihYShs二=pihishs6ihZ(x*(t),ul(t) ,u2(t),t)6shs(x*(∫),ul(t),%2(t),t),
6㌦ 幽=ρ 瞬 轟 、(x*(の,が1α),u*2(t>,t)6sns(x*(の,u*1(の,u*2(t) ,の, 20V(x*(の,t>=B(x*(T),T),
だだ
3.dxi*ct)=fi(x*伽*1伽*2(の ・の4耀
1の・・(x*伽*1伽*2α)・ の4・砺(の
+gz(x*ct),u*1(の,u*2(の,の 忽(の,2=1,…,n,
4。x*(0)=x°(所 与).
Vol.XVIII,No.1 (10}
(11) (12) (13)
(14) (15)
証 明 非 協 力 零 和2人 確 率 微 分 ゲ ー ム の 開 ル ー プ ・ナ ッ シ ュ 均 衡 点 に お い て,最 大 化 プ レイ ヤ ー1∈Nは,最 小 化 プ レ イ ヤ ー2∈Nの 開 ル ー プ 戦 略{u*2(t)}{u*2(')∈ σ2⊂Rm2 ,'∈T}
を,自 分 の と る 開 ル ー プ 戦 略{ul(t)}={ul(の ∈ σ1⊂R≫ ・,t∈T}と は 独 立 に 与}ら れ た 時 間 的 関 数 と み な し て 行 動 す る.す な わ ち,最 大 化 プ レイ ヤ ー1は,期 待 利 得 汎 関 数
∫({u1(の},{u*2(の})
=E・[∫1∫ ・(x(t) ,u・(の,u・ ・(の,t)exp(一 ∫1δ(・)d・)dt
+B(x(T),T)・xp(f'
0(τ)dz)]
を,ウ イ ナ ー過 程 とボ ア ソ ソ過 程 との 複 合 制 御 確 率 過 程 に対 す る制 御 確 率 微 分 方 程 式
nti
伽(の={i(x(の,ul(t),u*2α),t)dt+Σ σ・・μ(t),u'(の,u*2α),t)dzih ,i<t)
hi=1
+gZ(x(の,π1(の,u*2α),t)dq2⑦,Z=1,…,n, と そ の 初 期 条 件
x(0)=x°(所 与)
に 服 し な が ら,最 大 化 す べ き 最 適 な 開 ル ー プ 戦 略{u*ユct)}={u*1α)∈ σ1⊂Rml,超7}を 単 独 に 選 択 す る.し た が っ て,最 大 化 プ レ イ ヤ ー1∈Nに 補 題 を 適 用 す れ ば,{u*1(の,x*(t)}は,
次 の 条 件 を 満 た さ な け れ ば な ら な い.
1。 任 意 の 時 点t∈Tに 対 し て
δ(t)Vl(x*α),t)f(x*(t),u*'ct),u*2(t),の+u*1(V1(x*(の,の) 十V1(x*(の,の
=Max{f°(x*(のul(t)EU1 ,ul(の,%*2(の,t>
十9鉢1(v1(x*(の,の)十yε1(x*(の,t)},(16) こ こ に,
9「ui(Vl(x*α),の)=Σ 呂1∫ 乞α*(のul(の,u*2α),の z=1
+(1/2)毒
1≦ 誰 誰1γ ・加・・ih;shs+,1… ∫[γ1(x・+gaT,t)
June1988板 垣 有 記 輔:複 合 制 御 確 率 過 程 と 非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム ー1/1(x*
,の]カ(a)dal…dan,
n
9初*1(y1(x*(の,の)=Σ7乞1∫ 包(x*(の,%*1α)μ*2(の,の
2=1
+(1/2)毒
1息 塁1誰 、V・isCih;shs+aJ… ∫[V・(x・+9α ・,t)
‑V1(x*
,の コρ(a)dal…dan,
γ ・㈹ ・の 全
(MaxEt[∫ ン0(x(・)・ul(τ),%*2α)・ τ)
・・xp(一rT
tU(乃)dh)dz+B(x(T),T)exp(一 ∫1δ(τ)♂・)], Vtl=aV1/at,Vil=aV1/axi,VIZS=a2Vl/axiaxs,
で あ る.但 し,
1CihZShs==ptihishs6ihi(x*(t),ul(t),u*2(t),t)σ 曲s(x*(t),ul(t),u*2(t),t),
0*肋̀3んs=pEhishsびihy(x*(t),%*1(t),u*2(t),t)σ 曲3(x*(t),u*1(渉),u*2(t),渉), 2。vl(x*(の,の=B(x*(T),T),
ni
3。4銑*(の=fi(x*α),u*1α),u*2(t),のdt十 Σ σ碗(x*(の,u*1(の,u*2α),の42乞 規(の
hz=1
十gz(x*(の,u*1(の,u*2(t),t)dqi(の,」=1,…,n,
4。x*(0)=x°(所 与).
31
(17)
(18)
(19) (20)
(21) (12) (22)
(14) (15)
他 方,最 小 化 プ レイ ヤ ー2∈Nは,最 大 化 プ レ イ ヤ ー1∈Nの 開 ル ー プ 戦 略{u*1(')}=
{u*1(の ∈01⊂Rmi,t∈T}を,自 分 の と る 開 ル ー プ 戦 略{u2(≠)}={uz(t)∈ こ12⊂Rm2,tET}と は 独 立 に 与 え ら れ た 時 間 的 関 数 と み な し て 行 動 す る.す な わ ち,最 小 化 フ.レイ ヤ ー2∈Nは, 期 待 利 得 汎 関 数
ノ({%*1(の,u2①})
=E・[∫1∫ ・(x(t) ,u・ ・(の,u2(t),t)・xp(一 ∫1δ(τ)dz)dt
+B(x(T),T)Texp(‐s
od(τ)dr)]
を,ウ イナ ー過 程 とボ ア ソ ン過 程 との複 合 制 御 確 率 過 程 に 対 す る 制 御 確 率 微 分 方 程 式
ゴ
dxti(の=f̀(x(の,u*1(の,%2α),の4'+Σ6ihy(x(の,u*1,u2(の,t)dzi,,,i(の ゐf=1
+gi(x⑦,u*ユ α),u2(t),の 吻 、(の,a=1,…,n, と そ の 初 期 条 件
x(0)=x°(所 与)
に 服 し な が ら,最 小 化 す べ く 自 分 の 最 適 な 開 ル ー プ 戦 略{u*2(t)}{u*2(の ∈UZ⊂Rm2,'∈T}
を 単 独 に 選 択 す る.し た が っ て,最 小 化 プ レ イ ヤ ー2∈Nに 補 題 を 適 用 す れ ば,{%*2(の,x*(の}
は,次 の 条 件 を 満 た さ な け れ ぽ な ら な い.
1。 任 意 の 時 点tETに 対 し て
32 季 刊 創 価 経 済 論 集 δ⑦V2(x*(の,の=∫0(x*<t),u*1(t),u*2(の,の+少*2(V2(x*(の,の)
+V2z(x*⑦,の
=Min{∫ 。(x*(の ,u*1(の,u2(の,の u2(t)∈ σ2
+ρ2σ2(x*ct),の)+V2(x*⑦,の}, こ こ に,
Vol.XVIII,No.1
rz
9祝2(V2(x*ct),の)=Σ]匹2/i(x*(の,%*1(の,u2(の,の a=1
+(・/2)
、熱 毒1か ・c・一+of… ∫E7・(x・+gaT,の
一 γ1(x*
,わ]ρ(の 吻1…da。,
n
少*2(72(x*(の,の)一 Σ 砿2八 κ*<t),u*1α),u*2(の,の 2=1
+(・/2)晶 壽
1誰1γ ・2S・・ih=shs+λ ∫… ∫[V・Cx・+ga・,の 一 ア2(x*
,の コρ(a)da・ …4α 。,
聯)・ の 全
(MinEtu2Cz))tT[∫ン ・(x(τ)・u・・(・)・u・(τ)・τ)
・exp(一 ∫1δ(h)dh)dz+B(xの
,T)・xp(ST tV(τ)4τ)],
V2t=∂V2/∂ ちV22=∂72/∂xi,72、 、=∂2レ'2/∂xi∂x,,
で あ る.但 し,
2Cihysh.s=ρ 轍 、σ殉(x*(の,u*1(の,%2⑦,t)σ 、・、(x*(の,u*1(の,u2(の,の,
C*肋 言s九s=ρ 猛̀餓8σ τZ砿(x*(渉),u*1(t),u*2(t),t)びShg(x*('),u*1(t) ,%*2(t),t), 2°V2(x*(t),t}=B(x*(T),T),
ガゴ
30dxz*(t)=∫ 乞(x*(の,u*1(の,u*2(t),t)dt十 Σ σ・仇̀(x*(オ),u*1(の,u*2(の,の42鵠̀(の 居=1
+&(x*(の,u*1(の,u*2(の,の 吻,α),i‑‑1,…,%,
4Qx*(0)xo(所 与).
(9)と(19)よ り
V1(x(の ・の 一
(騰 。E・[ST{Ot(x(τ)・ul(τ)・u*・(・)・ τ)
・・xp(一 ∫1δ伽 舷+B(x(T)
,T)・xp(一 ∫1δ(τ)dz)]
一
(鎗 麟1副 ∫ンo(x(τ)・%1(・),u2(τ)・ τ)
・exp(rSJl
tU(h)御 τ+B(x(T),T)・xp(一 ∫.δ(τ)dT)]
=V(x{t) ,の
(23)
(12) (24)
(14) (15)
(25)
dune1988板 垣 有 記 輔:複 合 制 御 確 率 過 程 と非 協 力N人 確 率 微 分 ゲ ー ム33 が 成 立 す る,(10),(20),(25)よ り,
vt=V1,Vi=yl1,Vis=Vlis.(26) (8),(18),(25),(26)よ り,
n
u*1(y1(x*(の
,の)=Σ1隣 ゲf(x*(の,u*1(の,u*2(の,の
2=1
+(1/2)≦
1茎1、毒1誰1匹c悔 娠+λ∫… ∫[VI(x*÷9α 礼 の
V1(x*t)]ρ(a)day…dan
n
=Σ γ 乞∫ ε(x*(の,u*1(の,u*2(の,の
==1
+(・/2)nn
a=1s=、 誰1誰1脇 傾 娠+λ ∫… ∫[V(x*+醐 一v(x* ,の]p(の4α1…dan
== .≦多 瓢*(V(x*(t),t).(27) (25)よ り,
δ(t)vl(x*ct),の=δ(t)V(x*(の,の.(28) (26),(27)よ り,
∫0(x*(の,u*1(の,u*2α),の+u*1(V『1(x*(の,'))+V1(x*(の,の
==ノo(x*(の ,u*1(渉),u*2(t),渉)十9鉱*(V(x*(t),渉))十Vt(x*(t),t).(29) Max{∫o(x*(の,u1(の,u*2(の,t)十9が(VI(x*①,の)十Vi(x*(t),の}
u1(t)EU1
(7),(11),(17),(21)よ り,
=・MaxMin{∫o(x*(の,%1(の ,u2(t),の 十9π(Vl(x*ct),の)十Vlt(x*(の,の}
ul(t)∈ …ひ1⑳2ω ∈ び2
(25),(26)よ り,
=MaxMin{!o(x*(の ,u1(の,u2(の,の 十9鋤(V(x*(のt>)十Vt(x*(の,の}.(30)
ul(L)∈ び1u2ω ∈ σ2
(6),(16),(28)一(30)よ り,(16)が 成 立 し な け れ ば な ら な い と き,(6)も 成 立 し な け れ ば な ら な い こ と が わ か る.ま た,(13),(22),(25)よ り,(22)が 成 立 し な け れ ば な ら な い と き, (13)も 成 立 し な け れ ぼ な ら な い こ とが わ か る.全 く 同 様 に し て,(23)が 成 立 し な け れ ぽ な ら な い と き,(6)が 成 立 し な け れ ば な らず,(24)が 成 立 し な け れ ば な ら な い と き,(13)も 成 立 し な け れ ぽ な ら な い こ と を 示 す こ と が で き る.以 上 よ り,こ の 定 理 が し た が う.証 了
定 理2非 協 力 零 和2人 確 率 微 分 ゲ ー ム の フ ィ ー ドバ ッ ク ・ナ ッ シ ュ 均 衡 点 を({u*1(の}, {u*2(の})と し,こ れ に 対 応 す る 状 態 ベ ク ト ル の 時 間 径 路 を{x*(t)}と す る.こ の と き,次 の 条 件 を 満 た さ な け れ ば な ら な い.
1。 任 意 の た7に 対 し て,
δ(t)V(x*(の,の=∫o(x*(t),u*1(t,x*(t)),u*2(t,x*(t)),t) 十9鎚*(Vz(x*(t),t))十 γ̀α*(t},t)
34季 刊 創 価 経 済 論 集
=燦
。、撫 。,{∫0(x*(の ・ul(ちx*(の)・ π2(ちx*(t)),の +少(V(x*(の,の)+VE(x*(の,t)},
こ こ に,
n
(/u(V(x*(の
,の)rΣyノ 乞(x*ct),ul(t,x*Ct)),%2(ちx*(の),t) i=1
+(・/2)n
i=、茎1誰 誰1恥 ・…+λ ∫… ∫[γ(x・+gaT,t)
‑V(x*t>コ ρ(a)da・ …da n,
少*(V(x*(の,≠))= .Σ71八 κ*(の,u*1(ちx*ct)),%*2(ちx*(の),の
Z=1
+(・/2)茎
1毒1壽1か ・・ihishs+λ∫… ∫[V(x・+9α ・,の 一V(x*
,の]ρ(a)da・ … δα。,
聯)・ の 全
(驚 。(2醗[ST‑FOt(x(τ),%1(z,x(・)),
u2(τ,x(τ)),τ)・xp(一 ∫=δ伽)+B(x(T),T)
・exp(一 ∫1δ(τ)dz)] ・
Vt=aV/at,v2=av/axiVzS=a2v/axiaxs,
で あ る.但 し,
Cihyshs==Pihyshs6ih;(x*(t),ul(t,x*(')),u2(t,x*(t)),≠)
・6Shs(x*ct)ul(t,x*(')),%2α,x*(の),の,
C*、 ・ξ,・、=ρ 仇 幽 σ砲(x*(t),u*'(t,x*(の),u*2(t,x*α)),の
・6shs(x*(の,u*1(t,x*(の),u*2(t,x*(の),t),
2。V(x*(の,t)=B(x*(T),T),
3°dxi*(t)=fi(x*(t),u*1(tx*(t)),u*2(t,x*(t)),t)dt
ぎ
+Σ σ碗(x*α),u*1(ちx*(t)),u*2(ちx*(の),t)d,zihZ(の
乃,=・1
+9・(x*ω,%*1(ちx*ct)),u*2(ちx*α)),の49、(の,2=1,…,n, 4。x*(0)=x°(所 与).
証 明 前 定 理 の 証 明 法 を 適 用 す れ ば,こ の 定 理 が し た が う.
Vol.XVIII,No.1
証了
参 文 照 献
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133‑138.
*はStochasticDifferentialGamesに っ い て の 文 献 か
,あ る い は 一 部 分 そ れ に 触 れ て い る 文 献 で あ る 。
(経 済 学 部 教 授)
