行列の固有値とその応用

黒田紘敏（理学研究院 数学部門）

数理解析学特論A /フロンティア数理物質科学II 第5回

2020年6月11日

数理解析学特論A (第 回) 固有値と推移行列 年 月 日

目標

 行列の固有値と固有ベクトルについて，具体的な応用例を通して理解 を深める．そのための基礎理論や対角化などについて復習する．

(Understand the eigenvalues and eigenvectors of matrices through specific application examples.)

Contents

1 行列の固有値と固有ベクトル(eigenvalues and eigenvectors)

2 行列の対角化(Diagonalization)

3 現象の推移予測（マルコフ過程と推移行列, Markov process and transition matrix）

4 主成分分析（分散共分散行列, Principal component analysis）

今日はベクトルに矢印をつけて表している．また，理解のしやすさを優 先して一部大雑把な説明をしているので，必要に応じて線形代数学の教 科書を復習して欲しい．

数理解析学特論A (第5回) 固有値と推移行列 2020年6月11日 2 / 36

行列の固有値・固有ベクトルとは次のような定義であった．

Definition (行列の固有値と固有ベクトル)

Aをn次正方行列(nsquare matrix)とする．複素数λ^が Aの固有値 (Eigenvalue)であるとは

A⃗v =λ⃗v, ⃗v ,⃗0

となる n次元数ベクトル⃗vが存在することである．このような⃗vをλ^に 対する固有ベクトル(Eigenvector)という．

実際には固有方程式(characteristic equation) F_A(x)= det (xI− A)=0

を解けば Aの固有値が求まり，固有値λ^{に対して連立1次方程式} (A−λI)⃗x=⃗0

を解けば固有ベクトルが求まる．

数理解析学特論A (第 回) 固有値と推移行列 年 月 日

今日は正方行列 Aの成分は実数の範囲で考える．固有値や固有ベクトル も実数からなると思って聞いて差し支えない．

Aの成分がすべて実数でも，その固有値が実数であるとは限らない．

(Even if all the components of Aare real numbers, their eigenvalues are not necessarily real numbers.)

Example

1 0

!

とおけば，Aの固有値は

FA(x) =det (xI− A) =

x 1

−1 x

= x²+1= 0

より，固有値はλ=±√

−1である．もちろん固有ベクトルの成分にも虚 数が現れる．

数理解析学特論A (第5回) 固有値と推移行列 2020年6月11日 4 / 36

Theorem (

1

)

 A^{の異なる固有値を}λ1, λ2, . . . , λmとし，それぞれに対する固有ベクト ルを⃗v₁,⃗v₂, . . . ,⃗vmとする．このとき，⃗v₁,⃗v₂, . . . ,⃗vmは1次独立(linearly independent)である．

 c₁⃗v₁+c₂⃗v₂ =⃗0 · · ·(∗)とおく．(∗)の両辺に左から Aをかければ A(c₁⃗v₁+c₂⃗v₂)= c₁A⃗v₁+c₂A⃗v₂ = c₁λ1⃗v₁+c₂λ2⃗v₂ =⃗0

となる．この式から，(∗)の両辺をλ1倍したものを引けば c₂λ2⃗v₂−c₂λ1⃗v₂ = c₂(λ2−λ1)⃗v₂ =⃗0 であり，λ1 ,λ2, ⃗v₂ ,⃗0より c₂ =0が得られる．

 c₂ =0を(∗)に代入すれば，⃗v₁ ,⃗0より，c₁ =0も成り立つ．従って，

(∗)は自明な解c₁ = c₂ = 0しかもたないので，⃗v₁,⃗v₂^は1次独立である

（つまり平行ではない）．一般のmについては数学的帰納法で証明できる．

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n^{次正方行列}A^が異なる n^{個の固有値}λ1, λ2, . . . , λnをもつとし，λjに 対する固有ベクトルを ⃗p_jとする．このとき，⃗p₁, ⃗p₂, . . . , ⃗p_nは1次独立で あるから

P =

⃗p1 ⃗p2 · · · ⃗pn

とおけば Pは正則行列である．さらに AP=

A⃗p₁ A⃗p₂ · · · A⃗p_n

=

λ1⃗p1 λ2⃗p2 · · · λn⃗pn

= P









λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... ... ...

0 0 · · · λn









が成り立つ．ゆえに，P⁻¹APは対角行列となる．その対角成分には A^の 固有値が並んでおり，変換行列 Pは固有値の並ぶ順番に対応させて固有 ベクトルを並べてできる正則行列である．

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シェア率の予測

(Predict the share rate.)

ある業界ではA社，B社，C社がサービスを提供し，毎年次のように利 用者が契約を変更する．(In an industry, companies A, B, and C provide services, and users change contracts every year as follows.)

A社から，A社継続が80％，B社へ変更が10％，C社へ変更が10％ B社から，A社へ変更が10％，B社継続が70％，C社へ変更が20％ C社から，A社へ変更が10％，B社へ変更が5％，C社継続が85％ 長期間後に各社の契約者数の比率はどうなっていくか調べよ．ただし，

全契約者数は毎年一定とし，新規契約や契約解除は考えないこととする．

(Examine what the ratio of the number of contractors of each company will be after a long period of time.)

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今年のA社，B社，C社の契約者数をそれぞれa₀,b₀,c₀とし，n年後の 人数をそれぞれ an,bn,cnとする．n^年後と n+1年後の関係は







a_n+1 =0.8a_n+0.1b_n+0.1c_n b_n+1 =0.1a_n+0.7b_n+0.05c_n cn+1 = 0.1an+0.2bn+0.85cn

である．これを行列を用いて表せば A=





0.8 0.1 0.1 0.1 0.7 0.05 0.1 0.2 0.85



,



an+1

b_n+1 c_n+1



= A



an

b_n c_n



 (n=0,1,2, . . .) となる．よって，n^年後は



a_n bn

cn



 = A



a_n−1 bn−1

cn−1



= A²



a_n−2 bn−2

cn−2



=· · ·= Aⁿ



a₀ b0

c₀





と求められるから，あとは Aⁿを計算すればよい．

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行列 Aの固有値と固有ベクトルを計算すれば

λ1 =1, ⃗p₁ =





7 4 10



, λ2 = 0.7, ⃗p₂ =



−1

−1 2



, λ3 = 0.65, ⃗p₃ =





0

−1 1





であるから

P=

⃗p₁ ⃗p₂ ⃗p₃

=





7 −1 0 4 −1 −1

10 2 1



, P⁻¹AP=





1 0 0

0 0.7 0 0 0 0.65





と対角化できる．この両辺をn^乗すれば

(P⁻¹AP)ⁿ= P⁻¹AⁿP=





1 0 0

0 0.7ⁿ 0 0 0 0.65ⁿ





となる．このように対角化を利用して Aⁿが計算できる．

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よって 





a_n bn

c_n



= Aⁿ





a₀ b₀ c₀



= P





1 0 0

0 0.7ⁿ 0 0 0 0.65ⁿ



P⁻¹





a₀ b₀ c₀





より，総人数を L= a₀+b₀+c₀とおけば，一般項は









an= 1

21{7L+(14a0−7b0−7c0)0.7ⁿ} b_n= 1

21{4L+(14a₀−7b₀−7c₀)0.7ⁿ+(−18a₀+24b₀+3c₀)0.65ⁿ} c_n= 1

21{10L+(−28a₀+14b₀+14c₀)0.7ⁿ+(18a₀−24b₀−3c₀)0.65ⁿ} と求められる．さらに nが大きくなると（時間が経過すると）

nlim→∞0.7ⁿ= lim

n→∞0.65ⁿ=0

の収束が指数的なので速い(Exponential decay)．よって，契約者数の比

（シェア率）an: bn: cnは7 : 4 : 10に近づいていく．

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結果について観察してみると，最終的なシェア率7 : 4 : 10は固有値1の 固有ベクトル ⃗p₁ =





7 4 10



の成分比と一致する．それは等式



an

b_n c_n



= Aⁿ



a0

b₀ c₀



= P





1 0 0

0 0.7ⁿ 0 0 0 0.65ⁿ



P⁻¹



a0

b₀ c₀





で極限をとればわかる．

Considering the results, the final share ratio7 : 4 : 10agrees with the component ratio of the eigenvector⃗p1with eigenvalueλ1= 1. It can be seen by taking the limit in the above equation.

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また，別の視点から考察してみると，固有値1の固有ベクトルというこ とは

A⃗p₁ = ⃗p₁

となっている．これは年数が経過しても（つまり Aをかけても）変化し ないことを意味しているから，定常状態を表していると考えられる．そ のため，最終的には固有値1の固有ベクトルが表す状態⃗p₁^{に近づくと理} 解することもできる．

From another point of view, the eigenvector of eigenvalueλ1 =1satisfies A⃗p₁ = ⃗p₁. This represents a steady state because it means that it does not change over the years (that is, by multiplying by A). Therefore, it can be understood that it finally approaches the state represented by the eigenvector⃗p₁.

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行列 A=



0.8 0.1 0.1

0.1 0.7 0.05 0.1 0.2 0.85



^{は成分がすべて0}以上で，各列ベクトルの成 分の和（縦に足したもの）がすべて1となっている．このような行列 を確率行列という．

The matrix A has nonnegative real numbers as components, and the sum (vertical addition) of the components of each column vector is all one.

Such a matrix is calledprobability matrix.

Theorem (確率行列の固有値)

確率行列の固有値の1つは1であり，さらに他の固有値の絶対値はすべ て1以下である．

One of the eigenvalues of the probability matrix is 1, and the absolute values of the other eigenvalues are all less than or equal to 1.

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Theorem (

)

確率行列の固有値の1つは1であり，さらに他の固有値の絶対値はすべ て1以下である．

今回の問題で Aが固有値1をもったことや他の固有値が0.7,0.65と絶対 値が1未満（n^乗が0に収束）だったのは偶然ではない．十分時間が経過 した後の状態のみを知りたければ，近似的には固有値1の固有ベクトル を見れば済むため，これほど大変な計算はしなくてもよい．これは他の 固有値・固有ベクトルに関する項が指数的に減少するからである．

In this problem, it is not a coincidence that the transition matrix A has an eigenvalue of 1 and that the other eigenvalues are 0.7 and 0.65 and their absolute values are less than 1 (n-th power converges to 0). If you only want to know the state after a sufficient amount of time has passed, approximately you should check the eigenvectors with eigenvalue 1, so in practice you do not have to perform this much calculation. This is because the terms related to other eigenvalues decrease exponentially.

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主成分分析

ある現象を観測し，N^{個のデータの組}(x₁,y₁),(x₂,y₂), . . . ,(xN,yN)を得 た．データの特徴を最もよく捉えた直線（データを直線へ射影して1次 元データとみなしたときに最も分散が大きくなる直線）を求めよ．

Find the straight line that best describes the characteristics of the data (the straight line with the largest variance when the data is projected onto the straight line and regarded as one-dimensional data).

数理解析学特論A (第 回) 固有値と推移行列 年 月 日

Notation

平均(mean)

x = 1 N

XN

i=1

x_i, y = 1 N

XN

i=1

y_i

分散(variance) σ²_x = 1

N

XN

i=1

(x_i−x)², σ²_y = 1 N

XN

i=1

(y_i −y)²

共分散(covariance)

σxy = 1 N

XN

i=1

(x_i−x)(y_i −y)

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Definition (分散共分散行列 (variance-covariance matrix))

Σ = σ²_x σxy

σxy σ²_y

!

Theorem (

)

求める直線の方向ベクトルは分散共分散行列Σの最大固有値に対する固 有ベクトルである．また，直線へ射影した1次元データの分散はその最 大固有値と一致する．

The direction vector of the desired lineisthe eigenvector for the largest eigenvalueof the variance-covariance matrixΣ. Also, the variance of the1 dimensional data projected onto a straight line matches itsmaximum eigenvalue.

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Theorem (

)

求める直線の方向ベクトルは分散共分散行列Σの最大固有値に対する固 有ベクトルである．また，直線へ射影した1次元データの分散はその最 大固有値と一致する．

remark

Σは実対称行列なので，その固有値はすべて実数である．さらに固有値 はすべて正（厳密には0以上だが，固有値が0となるのは最初からデー タがすべてある直線上にある場合に限る）であることも，2次方程式の解 と係数の関係からわかる．

SinceΣis a real symmetric matrix, all its eigenvalues are real numbers.

Furthermore, we can see that all eigenvalues are positive (strictly, they are 0 or more, but eigenvalues are 0 only when all the data are on a straight line).

数理解析学特論A (第5回) 固有値と推移行列 2020年6月11日 18 / 36

見やすくするため

x˜i := xi−x, y˜i := yi −y

とおけば，{( ˜x_i,y˜_i)}^の平均は(0,0)となり，平行移動しても分散は σ²_x =σ²_x˜, σ²_y =σ²_y˜, σxy= σx˜˜y

となるから，分散共分散行列は変わらない．

For simplicity, set

x˜_i := x_i−x, y˜_i := y_i −y.

Then the average of{( ˜x_i,y˜_i)}^is(0,0). Variance and covariance are σ²_x =σ²_x˜, σ²_y =σ²_˜y, σxy= σx˜˜y.

Therefore thevariance-covariance matrix does not change.

数理解析学特論A (第 回) 固有値と推移行列 年 月 日

このとき

⃗ai := x˜_i y˜i

!

, A:=









t⃗a₁

t⃗a2

...

t⃗a_N







=









x˜₁ y˜₁ x˜2 y˜2

... ...

x˜_N y˜_N









とおけば，{( ˜xi,y˜i)}^の平均(mean)は(0,0)なので，次が成り立つ．

1 N

tA A = 1 N

x˜₁²+· · ·+x˜_N² x˜₁y˜₁+· · ·+x˜_Ny˜_N x˜₁y˜₁+· · ·+x˜Ny˜N y˜₁²+· · ·+y˜N2

!

=



σ²_x˜ σx˜˜y

σx˜˜y σ²_y˜



 = Σ

(since the mean of{( ˜x_i,y˜_i)}^is(0,0).)

数理解析学特論A (第5回) 固有値と推移行列 2020年6月11日 20 / 36

求める直線は平均である原点を通る（今日は省略）．直線の単位方向ベク トルをw⃗ = a

b

!

とすると，データ⃗ai = x˜_i y˜i

!

を直線へ射影したものの原点 からの距離の2乗は内積の2乗(⃗ai·w)⃗ ^{2となる．}

The desired straight line passes through the origin, which is the average (omitted today). Let the unit direction vector of the line bew⃗. The square of the distance from the origin of the projection of⃗a_ion a straight line is the square of the inner product(⃗ai·w)⃗ .

数理解析学特論A (第 回) 固有値と推移行列 年 月 日

よって，直線へ射影した1次元データの分散（平均である原点からの距 離の2乗の平均）は

V(w)⃗ = 1 N

XN

i=1

(⃗ai·w)⃗ ² = ^tw⃗Σw⃗ =

a b σ²_x σxy

σxy σ²_y

! a

b

!

となる．これが最大になるw⃗ を求めればよいが，a²+b² =1という条件 があるため右辺を展開してa,b^の2次関数と見ても単純ではない．そこ で実対称行列Σを対角化して考えてみる．

Therefore,the variance of the one-dimensional data projected onto the straight lineisV(w)⃗ . It suffices to findw⃗ that maximizes this, but since there is a condition a²+b² = 1, it is not simple to expand the right side and see it as a quadratic function of a,b. Therefore, consider the real symmetric matrixΣby diagonalizing it.

数理解析学特論A (第5回) 固有値と推移行列 2020年6月11日 22 / 36

Theorem (実対称行列の固有ベクトル)

実対称行列 Aの異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する．

The eigenvectors for different eigenvalues of the real symmetric matrix A are orthogonal.

Σ^{の固有値を}λ1 > λ2 >0とし，それぞれの単位固有ベクトルを⃗p₁, ⃗p₂と する．このとき，P=

⃗p₁ ⃗p₂

は直交行列（回転行列）で

tPΣP = P⁻¹ΣP= λ1 0 0 λ2

!

と対角化できる．

Leteigenvalues ofΣ^beλ1 > λ2 >0, andthe unit eigenvectors of ⃗p₁, ⃗p.2. At this time, P=

⃗ p₁ ⃗p₂

is an orthogonal matrix (rotation matrix) and

tPΣP= P⁻¹ΣPcan be diagonalized as above.

数理解析学特論A (第 回) 固有値と推移行列 年 月 日

λ1 > λ2 >0, P=

⃗ p₁ ⃗p₂

, ^tPΣP= λ1 0 0 λ2

!

そこで，w⃗ = P⃗uとおけば，u²

1+u²

2= 1で V(w)⃗ = ^tw⃗Σw⃗ = ^t⃗u^tPΣP⃗u=

u₁ u₂ λ1 0 0 λ2

! u₁

u₂

!

=λ1u²

1+λ2u²

2

となるから，分散は(u₁,u₂)= (±1,0)で最大値λ1をとる．このとき，

⃗

w =±⃗p₁なので，求める直線の方向ベクトルは固有ベクトル⃗p₁である．

Therefore, if we putw⃗ = P⃗u, then we haveu²

1+u²

2 = 1and then V(⃗w) =λ1u²

1+λ2u²

2. So The variance takes the maximum valueλ1when (u₁,u₂)= (±1,0). At this time, sincew⃗ =±⃗p₁, the desired direction vector of the straight line is the eigenvector⃗p₁.

数理解析学特論A (第5回) 固有値と推移行列 2020年6月11日 24 / 36

さらに考察を進めると，分散が一番小さくなるような直線の方向ベクト ルは最小固有値λ2 の固有ベクトルであり，求めた直線と直交する．

(As a further consideration, the direction vector of the line with the smallest variance is the eigenvector of the minimum eigenvalueλ2, and is

orthogonal to the line obtained.)

線形代数学の講義内で応用を扱われることはないが，実対称行列は応用 上様々な局面で現れるため非常に重要な理論である．他には多変数関数 の極値問題も実対称行列の固有値の議論に帰着される．

(The theory of real symmetric matrices is very important because it appears in various aspects in the application. In addition, the extremum problem of multivariable functions is reduced to the discussion of eigenvalues of real symmetric matrices.)

数理解析学特論A (第 回) 固有値と推移行列 年 月 日

1 現象の推移予測（マルコフ過程と推移行列）

2 主成分分析（分散共分散行列）

問題文に行列がなくても，線形構造に着目したりデータを適切に並べた りすることで行列の理論が援用できることは多い．必要な行列を自分で 見出すことが有効なこともある．

また，テーマごとに固有値や固有ベクトルがもつ意味は異なる．エネル ギーを表すこともあれば，波長（領域の大きさ）を表すこともある．本 質を理解するためには線形代数とその現象論の両方に対する理解が必要 である．

Even if there is no matrix in the problem sentence, matrix theory can often be applied by focusing on the linear structure and arranging the data appropriately.

Also, the meanings of eigenvalues and eigenvectors differ for each theme.

It may represent energy, or it may represent wavelength (area size). In order to understand the essence, it is necessary to understand both linear algebra and its phenomenology.

数理解析学特論A (第5回) 固有値と推移行列 2020年6月11日 26 / 36

川添充・岡本 真彦，思考ツールとしての数学，共立出版，2012． 石井俊全，まずはこの一冊から 意味が分かる線形代数，ベレ出版，

2011．

G.ストラング 著 山口昌哉 監訳 井上昭 訳，線形代数とその応用，

産業図書，1978．

E.クライツィグ 著 堀素夫 訳，技術者のための高等数学2線形代 数とベクトル解析（原著第8版），培風館，2003．

齋藤正彦，基礎数学1線型代数入門，東京大学出版会，1966． 川久保勝夫，新装版 線形代数学，日本評論社，2010．

数理解析学特論A (第 回) 固有値と推移行列 年 月 日

定数係数線形漸化式

次の漸化式により定まる数列{a_n}^∞_n=1^{の一般項を求めよ．}

a_n+3−5a_n+2+2a_n+1+8a_n=0, a₁ =1, a₂ =2, a₃ =3

＜高校数学の復習＞

an+2−5an+1+6an= 0, a1 =1, a2 =4 は特性方程式

k²−5k+6 =0 を解けば k= 2,3より，漸化式は

 a_n+2−2a_n+1 =3(a_n+1−2a_n)

an+2−3an+1 =2(an+1−3an)

と変形できる．ただ，この方法では隣接4項間は簡単ではなさそう．

数理解析学特論A (第5回) 固有値と推移行列 2020年6月11日 28 / 36

線形代数の範囲で（少しラフに）この問題を考えてみる．

W ={ {an} | an+2−5an+1+6an=0 · · · (∗)}

とおく．つまり漸化式をみたす数列全体の集合である．a₁とa₂を指定し てないので，Wの要素は無限個ある．

もし2個の数列{a_n},{b_n}^が漸化式(∗)をみたすならば，kを実数として {an+bn}^と{kan}^も(∗)をみたす．実際，和については

(a_n+2+b_n+2)−5(a_n+1+b_n+1)+6(a_n+b_n)

=(a_n+2−5a_n+1+6a_n)+(b_n+2−5b_n+1+6b_n) =0+0=0 であり，実数倍については

(kan+2)−5(kan+1)+6(kan)= k(an+2−5an+1+6an) = k0=0 となる． よって，Wは数列全体の空間の中の部分空間である．

数理解析学特論A (第 回) 固有値と推移行列 年 月 日

Definition (

)

線形変換δ:W −→W^を{an} ∈W^に対して δ({a_n}) ={a_n+1} で定義し，これをシフト作用素という．

つまりシフト作用素とは

δ : (a1,a2,a3,a4, . . .) 7−→ (a2,a3,a4,a5, . . .)

と初項を捨てて1つ前に詰めた数列を与える写像である．初項を捨てる だけなので

δ({a_n}+{b_n}) =δ({a_n})+δ({b_n}), δ(k{a_n}) = kδ({a_n}) のように線形性が成り立つ．

具体例：δ({2ⁿ})= {2ⁿ⁺¹}^, δ : (2,4,8,16, . . .) 7−→(4,8,16,32, . . .)

数理解析学特論A (第5回) 固有値と推移行列 2020年6月11日 30 / 36

W ={ {an} | an+2−5an+1+6an=0 · · · (∗)}

W^{の要素は初項}a1と第2項a2を決めると第3項以降は漸化式から自動 的に定まる．よって，W^は2次元（自由度2）である．W^{に属する数列} {x_n},{y_n}^を

{xn} =(1, 0, −6, −30, . . .) {y_n} =(0, 1, 5, 19, . . .) で定めると，{xn},{yn}^はW^{の基底となる．}

また，シフト作用素δによる像を計算する．上で列挙したものから初項 を取り除けば

δ({xn}) = (0, −6, −30, . . .) = −6{yn} δ({yn}) = (1, 5, 19, . . .) = {xn}+5{yn}

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W ={ {an} | an+2−5an+1+6an=0 · · · (∗)} δ({xn}) =−6{yn}, δ({yn})= {xn}+5{yn}

シフト作用素δ^のW^の基底[{xn},{yn}]に関する表現行列 A^は [δ({x_n}), δ({y_n})]= [{x_n}, {y_n}] 0 1

−6 5

!

, A = 0 1

−6 5

!

である．Aの固有方程式は

FA(x) =det (xI− A) =

x −1

6 x−5

= x²−5x+6= 0

となり，これは高校数学で学習した特性方程式と一致する．

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W ={ {a_n} | a_n+2−5a_n+1+6a_n=0 · · · (∗)}

Aの固有方程式を解いて，A^{（つまりシフト作用素}δ^{）の固有値は} FA(x) = x²−5x+6= 0 ∴ λ= 2,3

である（もちろん特性方程式の解でもある）．そこで，δ^の固有値2に対 する固有ベクトル{cn}^{を求める．それは}

δ({cn}) =2{cn}

となる数列のことである．これはシフト作用素の定義から (c2,c3,c4, . . .)= (2c1,2c2,2c3, . . .)

を意味するから，c_n+1 =2c_nが成り立ち，公比2の等比数列である．初 項を1とすれば，固有ベクトル（基本解に相当）はcn=2ⁿ⁻¹となる．

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W ={ {an} | an+2−5an+1+6an=0 · · · (∗)}

A（つまりシフト作用素δ^{） の固有値は}λ=2,3で重解がないので対角 化可能，つまりWの基底を固有ベクトルから構成できる．

δ^の固有値λ= 2に対する固有ベクトルは{2ⁿ⁻¹}^，固有値λ=3に対する 固有ベクトルは{3ⁿ⁻¹}^なので，Wの要素{a_n}^{はこれらの1次結合で表} せるから，一般解は任意定数C₁,C₂を用いて

a_n=C₁2ⁿ⁻¹+C₂3ⁿ⁻¹ (n= 1,2,3, . . .)

となる．あとはa₁ =1, a₂ =4をみたすように定数を決めれば an=4·3ⁿ⁻¹−2ⁿ⁻¹

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漸化式の特性方程式とは，シフト作用素の固有方程式のこと．

特性方程式の解はシフト作用素の固有値のこと．

シフト作用素の固有ベクトルは固有値を公比とする等比数列．これ が漸化式の基本解となる．

固有値に重複がなければ対角化可能なので，固有ベクトルで基底が 構成できるから，等比数列の和の形で一般項は表せる．

これが高校数学における漸化式の解法の背景である．そのため，一般項 には aⁿの形が関係する問題が多かったはずである．

なお，シフト作用素については固有値に重複があれば必ず対角化できな いことが知られている（表現行列の形が特徴的なので絶対に固有空間の 次元が1になる）．特性方程式による解法でも2次方程式が重解をもつか どうかがターニングポイントだったが，それは線形代数学の視点では考 えている線形変換が対角化可能かどうかが関係している．一般的に公式 をまとめるには広義固有空間とJordan標準形の理論が必要になる．

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定数係数線形漸化式

次の漸化式により定まる数列{an}^∞_n=1^{の一般項を求めよ．}

a_n+3−5a_n+2+2a_n+1+8a_n=0, a₁ =1, a₂ =2, a₃ =3

特性方程式は

k³−5k²+2k+8=(k+1)(k−2)(k−4)= 0

より，k= −1,2,4である．重解がないので，一般解はC_iを定数として an= C1(−1)ⁿ⁻¹+C22ⁿ⁻¹+C34ⁿ⁻¹

と表せる．後は a₁,a₂,a₃の条件から連立1次方程式を掃き出し法で解い て（ここが一番大変）

an=− 1

15(−1)ⁿ⁻¹+ 7

62ⁿ⁻¹− 1 104ⁿ⁻¹

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