５次元空間形内の螺旋でない Kirchhoff 弾性棒
川久保 哲1)
（平成22年11月30日受理）
Non-helical Kirchhoff elastic rods in five-dimensional space forms
Satoshi Kawakubo
1)（Received November 30, 2010）
Abstract
The Kirchhoff elastic rod is one of the mathematical models of thin elastic wires, and is characterized as a critical point of the energy functional with the effect of bending and twisting. In this paper, we investigate Kirchhoff elastic rods in space forms of dimension greater than or equal to four. In particular, we announce the result that there exist fully immersed Kirchhoff rod centerlines in five-dimensional space forms which are not helices.
1
序Mn を高次元空間形Rn, Sn, Hn(n≥4)とする．Mn内の曲線の変分問題の解で，充満なものを構成する，と いうことを考える．ここで充満であるとは，Mnのどんなn−1次元全測地的部分多様体にも含まれないことを いう．一口に曲線の変分問題と言っても実に様々なものがあるが，ここでは物理的な意味が明確な汎関数を考えた い．まず，最も基本的な汎関数としてDirichletエネルギーの変分問題が考えられるが，この場合は臨界点は測地
線(即ち１次元全測地的部分多様体)となり，充満なものはもちろん存在しない．そこで，ピアノ線のような１次
元弾性体をモデルにした曲線を考える．このような曲線で最も基本的なものはEulerの弾性曲線であり，これは曲 げエネルギー(Frenet曲率の２乗の積分)の臨界点である([6], [12], [13], [14] etc.)．Eulerの弾性曲線は４階の非 線形微分方程式の解であり，測地線に比べて相当複雑な曲線が現れるが，それでも必ずある３次元全測地的部分 多様体に含まれてしまうことが知られている([2],[3],[14])．つまり弾性曲線の場合でも，充満なものは存在しない わけである．そこで汎関数をもう少し複雑にする．曲げと捩れの両方の効果を考えたエネルギーの臨界点である Kirchhoff弾性棒の中心曲線を考える([5],[7],[8],[9],[10], [15], [16], [17], [18], etc.)．(以下Kirchhoff弾性棒の中心
曲線をKirchhoff曲線ということにする．)これまでのKirchhoff曲線の研究は，ほとんどが３次元空間形内での
ものであり，高次元空間形における研究は少ないが，著者によってMn(n≥4)内の全ての螺旋はKirchhoff曲線
1)福岡大学理学部応用数学科，〒814-0180福岡市城南区七隈8-19-1
Department of Applied Mathematics, Faculty of Science, Fukuoka University, 8-19-1, Nanakuma, Jonan-ku, Fukuoka, 814-0180, Japan
この論文は2010年10月8日の福岡大学微分幾何研究会に於ける講演の内容をまとめたものである．
５次元空間形内の螺旋でない Kirchhoff 弾性棒
川久保 哲1）
（平成 22 年 11 月 30 日受理）
Non-helical Kirchhoff Elastic Rods in Five-dimensional Space Forms
Satoshi Kawakubo1)
（ReceivedNovember30,2010）
Abstract
The Kirchhoff elastic rod is one of the mathematical models of thin elastic wires, and is characterized as a critical point of the energy functional with the effect of bending and twisting.
In this paper, we investigate Kirchhoff elastic rods in space forms of dimension greater than or equal to four. In particular, we announce the result that there exist fully immersed Kirchhoff rod centerlines in five-dimensional space forms which are not helices.
1） 福岡大学理学部応用数学科，〒 814-0180福岡市城南区七隈 8-19-1
DepartmentofAppliedMathematics,FacultyofScience,FukuokaUniversity,8-19-1Nanakuma,Jonan-ku,Fukuoka, 814-0180,Japan
この論文は 2010年 10月 8日の福岡大学微分幾何研究会に於ける講演の内容をまとめたものである．
である，ということが得られている([11])．よく知られているように，充満な螺旋は無限個存在するから，このこ とより，充満なKirchhoff曲線が無限個存在することが分かる．しかしながら，ここで構成された充満なKirchhoff 曲線は螺旋であり，曲線そのものとしてはよく知られたものである．そこで，充満なKirchhoff曲線で，螺旋でな いものは存在するか，という問題が考えられる．本稿では，このことに関して次の結果が得られたことを報告する．
定理1. n= 5とする．Kirchhoff曲線γ:R→M5 で次の条件(i)～(iii)を全て満たすものが無限個存在する．
(i)充満である． (ii)螺旋ではない． (iii)自然曲率がsn関数で表せる．
なお，証明の詳細については別の論文で発表する予定である．
2 Kirchhoff
弾性棒Mn をn 次元空間形Rn,Sn,Hn (n≥4)とし，断面曲率をG とする．�∗,∗�でMnのRiemann計量，|∗|
でノルムを表す．以下，特に断りがない限り，曲線，ベクトル場等はすべてC∞ 級とする．
まず，弾性曲線(曲げの効果のみを考えたモデル)を定義する．γ=γ(t) : [t1, t2]→Mn を速さが1の (即ち 弧長パラメータの) 曲線とし，T(t) =γ�(t)でγの接ベクトル，∇でMn の Levi-Civita接続を表す．γ の曲げ エネルギー(弾性エネルギーともよばれる)F(γ)を
F(γ) =∫ t2
t1 |∇TT|2dt
で定義する．F の Euler-Lagrange方程式は次のようになる．(なお，γの許容される変分としては，両端点及び 両端点での接ベクトルを固定し，弧長パラメータも保つようなものを考えている．)
(2.1) ∇T[
2(∇T)2T +(3|∇TT|2−µ+ 2G) T]
= 0, ここでµは定数である．
定義2. あるµ∈R が存在して，(2.1)が成り立つ時，γ を弾性曲線という．
次にKirchhoff弾性棒(曲げと捩れの両方の効果を考えたモデル)を定義する．曲線 γ のみではピアノ線の捩
れ方を表せないので，次のようなものを導入する．M = (M1, M2, . . . , Mn−1)を，γに沿った法束T⊥M の正規 直交枠場とし，γと M の組{γ, M} を考える．(なおγを {γ, M} の中心曲線とよぶ．)曲げと捩れの両方の効 果を考えたエネルギーTを次のように定義する．以下，ν >0 はピアノ線の材質により決まる定数とする．
T({γ, M}) =F(γ) +ν
n∑−1
i=1
∫ t2
t1 |∇⊥TMi|2dt
ここで，∇⊥ はγに沿う法束T⊥M の法接続を表す．右辺の第二項が捩れの効果を表すエネルギーである．Tの Euler-Lagrange 方程式は次のようになる．(なお，{γ, M} の許容される変分としては，γの両端点γ(t1), γ(t2)，
及び両端点での枠(T(t1), M1(t1), . . . , Mn−1(t1)), (T(t2), M1(t2), . . . , Mn−1(t2))を固定し，弧長パラメータも保 つものを考えている．)
∇T[
2(∇T)2T+(3|∇TT|2−µ+ 2G+ν
n∑−1
i=1
|∇⊥TMi|2) T−4ν
n−1
∑
i=1
�∇TT, Mi�∇⊥TMi
]= 0, (2.2)
(∇⊥TM1, . . . ,∇⊥TMn−1) = (M1, . . . , Mn−1)a.
(2.3)
ここで，µ∈R，a∈o(n−1)である．(o(n−1)はn−1次歪対称行列全体のなすLie環を表す．)
(2.3)で，aはtによらないことに注意する．このことから，Euler-Lagrange方程式が満たされるならば，捩れ
のエネルギー(Tの第２項)の被積分関数がtに依らないことがわかる．これは，もしエネルギーが平衡な状態な らば，(曲げは別にして)捩れはピアノ線の一部に集中することはなく全体に一様に分布することを表している．
定義3. あるµ∈R,a∈o(n−1) が存在して，(2.2)と (2.3)が成り立つとき，{γ, M}を Kirchhoff弾性棒とい う．aは一意的に定まるが，このaを {γ, M} の捩れ行列という．
定義4. γをMn内の速さ１の曲線とする．γに沿う法束の正規直交枠場M = (M1, M2, . . . , Mn−1)が存在して，
{γ, M}がKirchhoff弾性棒となるとき，γをKirchhoff弾性棒の中心曲線(あるいは単にKirchhoff曲線)という．
注5. ϕ∈O(n−1)とする．{γ, M}と{γ, M ϕ}は，同じピアノ線の形態を表していると考えられるので，{γ, M} がエネルギーの平衡なピアノ線を表しているならば，{γ, M ϕ} もそうであるはずである．実際，(2.2)，(2.3)よ り，{γ, M} がKirchhoff弾性棒ならば，{γ, M ϕ}もKirchhoff弾性棒であることが簡単に確かめられる．ただし，
{γ, M}の捩れ行列が aならば，{γ, M ϕ} の捩れ行列は ϕ−1aϕになる．
(2.1)，(2.2)，(2.3)から次のことが容易にわかる．
命題6. {γ, M}が，捩れ行列が 0 のKirchhoff弾性棒ならば，γ は弾性曲線で，M はγ に沿った法接続で平行 である．逆に，γ を弾性曲線とし，M = (M1, . . . , Mn−1)をγ に沿った法束の正規直交枠場で，法接続に関して 平行なものとすると，{γ, M} は捩れ行列が 0 のKirchhoff弾性棒である．
このことからKirchhoff曲線は弾性曲線の拡張であると考えてよいことがわかる．
3
自然曲率ここでは通常のFrenet曲率とは異なる自然曲率とよばれるものを導入する(cf. [1])．γ:I= [t1, t2]→Mn を 速さ１の曲線とする．(P1, . . . , Pn−1)をγに沿った法束内の正規直交枠場で，各Pj(j = 1, . . . , n−1)が法接続
∇⊥で平行であるものとする．これに接ベクトル場Tを付け加えた正規直交枠場(T, P1, . . . , Pn−1)をγに沿った 自然枠(あるいはBishop枠)という．関数kjをkj=�∇TT, Pj�(j= 1, . . . , n−1)によって定義すると，
(3.1) (∇TT,∇TP1, . . . ,∇TPn−1) = (T, P1, . . . , Pn−1)
(0 −tk k 0
)
が成り立つ．ここでk=t(k1, . . . , kn−1)である．この関数k1, . . . , kn−1をγの(自然枠(T, P1, . . . , Pn−1)に関す る)自然曲率という．特に混乱がない限りk=t(k1, . . . , kn−1)のことも自然曲率とよぶ．
Frenet枠，Frenet曲率とは違い，γが与えられた時にその自然枠，自然曲率は一意的には定まらず，O(n−1)
の分だけの自由度をもつ．即ち(T, P1, . . . , Pn−1)をγの一つの自然枠とすると，任意のϕ∈O(n−1)に対して (T,(P1, . . . , Pn−1)ϕ)もγの自然枠である．このとき自然枠(T,(P1, . . . , Pn−1)ϕ)に関する自然曲率はϕ−1kとな る．一方，Frenet枠とは違い，∇TT = 0となる点(即ちFrenet曲率が消える点)においても問題なく定義できる ことが自然枠の利点である．
Frenet枠の時と同様に，次の“曲線論の基本定理”が成り立つ．
定理7 (本質的にBishop([1])). γ,�γ:I→Mn を速さ１の曲線とし，k,�k:I→Rn−1をそれぞれγ,�γの自然曲 率とする．もしγと�γがMn内の曲線として合同ならば，あるϕ∈O(n−1)が存在して�k=ϕkが成り立つ．ま た任意の写像k:I→Rn−1に対し，自然曲率がkに一致するような速さ１の曲線γ :I →Mnが存在する．こ のようなγはMnの等長変換を除いて一意的に定まる．
また次のことも成り立つ．
命題8(本質的にBishop([1])). γ:I→Mnを速さ１の曲線とし，k:I→Rn−1をその自然曲率とする．このと き，γの像γ(I)がMnのあるn−1次元全測地的部分多様体に含まれるための必要十分条件は，k(I)がRn−1の あるn−2次元線形部分空間に含まれることである．
4
主定理の証明ここでは，定理1の証明の概略を述べる．{γ, M}をKirchhoff弾性棒とする．注5より捩れ行列a∈o(4)は標 準形，即ち
a=
0 −a1 0 0
a1 0 0 0
0 0 0 −a2
0 0 a2 0
, a1, a2∈R
であると仮定して一般性を失わない．t0∈Rとし，Pj(t)をMj(t0)を法接続∇⊥で平行移動させてできる，γに沿っ た単位法ベクトル場とすると，(T, P1, P2, P3, P4)はγに沿う自然枠である．k=t(k1, k2, k3, k4)をこの自然枠に 関するγの自然曲率とする．(2.3)を(2.2)に代入したものを自然枠(T, P1, P2, P3, P4)で表し，k=t(k1, k2, k3, k4) の方程式を導くと次が得られる．
(4.1) 2k��−4νak�+ (|k|2−µ+ 2G+ν|a|2)k=0
ここで�はtによる微分を表し，|k|はベクトルkのEuclidノルム，|a|は４次行列aのEuclidノルムを表す．
逆に，もし(4.1)の解kが見つかれば，定理7により，kを自然曲率にもつγ が存在する．(対応する自然枠を (T, P1, . . . , Pn−1)とする．)t0∈Rとし(M1, . . . , Mn−1) = (P1, . . . , Pn−1) exp[(t−t0)a]と定めれば，{γ, M}は 捩れ行列がaのKirchhoff弾性棒となることが分かる．
以下，(4.1)の特別な解を求めよう．未知関数k1, . . . , k4に対して“Hasimoto型”の変換を行う．k=t(k1, k2, k3, k4) =
t(u1, v1, u2, v2)とおき，uj(t), vj(t) (j= 1,2)を次の関係によりrj(t), τj(t) (j= 1,2) に変換する．
uj =rjcosθj, vj=rjsinθj, (4.2)
τj =θj�. (4.3)
(なお空間形Mnの次元nが3の時，上の変換 (u1, v1)→(r1, τ1) (正確にはその逆変換)は Hasimoto変換([4]) とよばれるものであり，この場合はr1は曲線γのFrenet曲率，τ1はFrenet捩率に一致することが分かる．)さ らにrjを次の関係でwjに変換する．
wj =rj2. すると(4.1)より次が従う．ある定数bj ∈R(j= 1,2)があって
{(wj�)2 4wj
+(
−µ+ 2G+ν|a|2+ 2ν2a2j)wj
2 + b2j wj
}�
+ (w1+w2)wj� 2 = 0, (4.4)
τj= bj
wj
+νaj (j= 1,2) (4.5)
が成り立つ．以上より，w1, w2の微分方程式系(4.4) (j= 1,2)を解けばよいことになる．この系の全ての解を求 めるのは困難であると思われるので，定数aj, bjはa2=−a1, b2=−βb1をみたすと仮定し，関係式w2=βw1を みたすような解w1, w2を探す．ただしβは正の定数である．このような仮定をおくと，j= 1,2に対する方程式
系(4.4)は次のようなw1に関する単独方程式と同値になる．
(4.6) (w�1)2
4w1
+(
−µ+ 2G+ν|a|2+ 2ν2a21)w1
2 + b21 w1
+(1 +β)w21
4 =h
ここでhは定数である．この方程式は求積法で解を求めることができ，w1はJacobiのsn関数で表すことができ る．定数α, η >0, 0< p < q≤1に対して次のw1(t), w2(t), τ1(t), τ2(t)は(4.4),(4.5)をみたす．(なお煩雑になる のでここでは定数α, η, p, q とµ, h, a1, b1の関係式は省略する．)
w1(t) =α (
1−p2 q2sn2
( √(1 +β)α 2q t, p
))
, w2(t) =βw1(t),
τ1(t) = α3/2√
(1 +β)(1−q2)(q2−p2) 2q2w1(t) +νη√
α, τ2(t) = α3/2√
(1 +β)(1−q2)(q2−p2) 2q2w1(t) −νη√
α.
ここで，パラメータα, η, p, qが条件q �= 1, √
(1 +β)(1−q2)(q2−p2)/(2q2)−νη ≥ 0 をみたすとする．(この
ようなα, η, p, qは無限個存在する．)この時，曲線k:R→R4の像はどんな３次元線形部分空間にも含まれな
いことが証明できる．従って命題8より，定理の(i)がみたされることが示された．またw1(t), w2(t), τ1(t), τ2(t) は上のようにsn関数で書けているから，kもsn関数で表すことができ，定理の(iii)が示された．最後に(ii)で あるが，これを示すにはγのFrenet曲率の２乗|∇TT|2が定数関数でないことを示せば十分である．(3.1)より
|∇TT|2=u21+v12+u22+v22 である．これはw1+w2= (1 +β)w1に等しく，sn関数で表示されているから，定 数関数ではない．よって(ii)が示された．以上により定理1が証明された．
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